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20.1.2《勾股定理的应用》小节习题
一、单选题
1．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在同一水平线上有相距8m的两棵树AB和CD，其中树AB高8m，大风将树AB折断，树的顶端B恰好落在AC的中点E处，则树的折断点离地面的高度是（　　）
A．6m B．5m C．4m D．3m
3．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（ ）
A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米
二、填空题
6．一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动________米．
7．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则______尺．
8．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需______．
9．如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是_____．
10．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取）
三、解答题
11．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？
12．某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
13．如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
14．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，有多少小时可以接收到信号？
15．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
16.（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______．
（2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值．
（3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值．
17.数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出的最小值 ．
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ．
(3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ．
参考答案
一、单选题
1．B
解：在中，
，，
．
根据题意可得，
，
在中，
，
．
鱼线水平方向移动的距离是，
故选：B．
2．D
解：如图所示：
根据题意可得，，设，则，
在中，
，
即，
解得：，
树的折断点离地面的高度是．
故选：D．
3.B
解：根据题意可得：，，
∴，
故选：B．
4．D
解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等，
∴，
在和中，，，
∴．
设为，则，
将，代入关系式为，
解得，
∴蔬菜批发厂E应建在距A点处，
故选：D．
5．A
设旗杆米，则米，根据勾股定理可得，
，
，
解得．
故选：A
二、填空题
6．
解：由题意可得：，，
故，
梯子顶端沿墙下滑米，
，，
，
，
故答案为：．
7．12
解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
故答案为：12．
8．
解：如图，，，，
∴，
根据平移性质可得地毯的长度至少需，
故答案为：．
9．
解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长；
当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长，高为，
由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度，
筷子露在收纳盒外的长度最短；
筷子露在盒外的部分的取值范围是，
故答案为：．
10．
解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴它至少要走的路程，
故答案为：．
三、解答题
11．解：如图，过作于，
则四边形是长方形，
，，
，
在中，，
，
答：至少需要的彩旗带．
12．解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，
在Rt△BOC中，
∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm，
∴32+h2= (h+1)2，
解得h=4，
∴h+1=5．
答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
13．（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
14．（1）由题意，得：，；
∴；
∵，；
∴（海里），
即：点A与点B之间的距离为1000海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
∵；
∴；
∵；
∴；
∵海里；
∴；
行驶时间为（小时）．
答：有14个小时可以接收到信号．
15．（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体，
∴甲设计的爬行路线长为，
乙设计的爬行路线长为，
丙设计的爬行路线长为，
∵，
∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，
答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短．
（2）解：∵两点之间线段最短，
∴不考虑沿着棱爬行的情况，
如图所示，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
∵，
∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为，
答：蚂蚁经过的路程最短路程为．
16.解：如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，
∴由长方形的性质得，，
∴，
∴，
∴的最小值为10，
故答案为：10；
（2）如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，
∴由长方形的性质得，，
∴，
∴，
∴的最小值为17，
（3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图，
由对称性知，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
∵，
∴，
又，
∴，
∴的最小值为．
17.（1）解：①在中，，
在中，，
故答案为：，；
②连接，
由①得：，
而（当且仅当、、共线时取等号），
作交的延长线于，如图1，
则，
∴四边形为长方形，
，，
在中，，
的最小值为，即的最小值为；
（2）解：如图，
设，，，，则，
在中，，
在中，；
，
而（当且仅当、、共线时取等号），
作交的延长线于，则，
∴四边形为长方形，
，，
在中，，
的最小值为20，即的最小值为20．
（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下：
则，，，，
，
利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），
，
的最小值为，
的最小值为．

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