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20.1.1《勾股定理》小节习题
一、单选题
1．若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（ ）
A．13 B． C．13或 D．无法确定
2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将 ABC沿翻折得到，交于点E，F为中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（ ）
A．26 B．24 C．21 D．15
4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图甲，直角三角形 ABC的三边，，，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形△O，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（　　 ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，点为轴上一点，且到和点的距离相等，则线段的长度为______．
7．如图，数轴上点A表示的数为的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，若以点A为圆心，以斜边长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为_________．
8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则________．
9．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
10．被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．若将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接成如图②，得到图形．若该图形的周长为48，，则__________， __________．
三、解答题
11．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为2，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），求点所表示的数．
12．八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
13．著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知 ABC中，，，为边上的高，且，请直接写出 ABC的面积．
14．综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）
探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．
15．如图1，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则由勾股定理不难证明
(1)如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明；
(2)如图3，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的数量关系并加以证明；
(3)如图4，四边形的对角线互相垂直，现以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为、、、，请直接写出、、、之间的数量关系．
参考答案
一、单选题
1．C
解：当x是直角边时，，
当x是斜边时，，
综上，x的值为13或，
故选：C．
2．D
解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
，是无理数，符合题意；
故选：D．
3．D
解：根据折叠的性质得，，，
∵，，
∴，
∵的面积为42，F为中点，
∴，
∵ ABC沿翻折得到，
∴，
则，解得，
∴，
则，
，
故选：D．
4.A
解：根据题意，列式可得：，
故选：A
5．A
由题意可得：，，
∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边，，，满足的关系”，
∴根据题意可得：，
∴，
∴，
.....，
∴总结出，
∵，，，
∴归纳得出一般规律：，
∴，
故选：A．
二、填空题
6．
解：设点，
根据题意得，
即，
解得．
故答案为：．
7．
解：的直角边落在数轴上，且长为2个单位长度，长为2个单位长度，
所以，
以斜边长为半径画弧交数轴于点D，
所以
点A表示的数为，点D在点A右侧，
所以点D表示的数为，
故答案为：．
8．29
解：由题意知，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
根据勾股定理得，，，
∴，
故答案为：29．
9．a2+b2＝c2
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
10． 8 10
解：由题意得，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，，
故答案为：8，10．
三、解答题
11．解：由条件可知，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧），
∴，
∴点所表示的数为．
12．解：∵长方形，
∴，，
由折叠的性质可知，， ，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴．
13．（1）解：梯形的面积为，梯形面积也等于，
∴，
∴，
∵左边：，
∴；
（2）解：∵，千米，千米，，
∴设千米，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴新路比原路少千米；
（3）解：如图所示，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述， ABC的面积为24或84．
14．解：（1）中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即，
∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积，
可表示为：
正方形的面积还可以表示为：
∴，化简得．
（2）①当6，8为直角边时，
斜边的平方；
当8为斜边时，
第三边的平方；
②如图，设正方形的边长分别为
根据勾股定理可得：
∴正方形的面积之和等于正方形E的面积，
同理可得：正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和，
∴正方形E的面积为，
∴正方形E的边长为．
15．（1）解：，
证明：设，，，
∴，，，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
证明：设，，，则
，，，
，，，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
（3）解：与的交点记为点，
，
，
，
，
∴，，
∴．

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