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21.3《 特殊的平行四边形》复习题--最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型
一、单选题
1．在边长为2的正方形中，点E、F是对角线上的两个动点，且始终保持，连接、，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．如图，菱形的的边长为3，，对角线上有两个动点、（点在点的左侧），若，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ．
5．如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ．
6．如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________．
7．如图，在矩形中，，，点E在上且．点G为的中点，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为 ．
8．如图，在矩形中，，，E，F，G，H四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
9．如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______ ．
10．如图，在矩形中，，，动点P满足，则周长的最小值为 ．

11．如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ．
12．如图，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的动点，则的最小值是 ．
13．如图，正方形的边长为1，的平分线交于点E．若点P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题
14.如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，求的最小值为．
15．如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，求的最小值是．
16．如图，在平行四边形ABCD中，，，M、N分别是、边上的动点，且，求的最小值是．

17．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．求 BPQ周长的最小值．
18．如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，求的最小值．
19.【综合实践活动】
【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题：
如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小．
画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求．
证明：和关于直线对称 直线垂直平分
________，
根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点．
【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）．
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度．
参考答案
一、单选题
1．B
解：过点作使，则：四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当三点共线时，有最小值即为的长，
∵四边形为正方形，∴，，，
∴，，∴，即：的最小值为3．故选B．
2．A
解：如图，连接交于点，作，使得，连接，，
则四边形是平行四边形，，
，的最小值为的长，
四边形是菱形，，，
，，是等边三角形，，
，，在中，．
的最小值为．故选：A．
3．C
解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，
，
∵正方形，，∴，，，，，
∴点O关于的对称点F，∴，，∴，
∵，，∴，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
又∴，∴，∴，∴最小值为．故选：C．
二、填空题
4.
解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，四边形是平行四边形，，
，，，
，，直线l与直线之间的距离为1，
，，，
，，
即的最小值为，即周长的最小值为．故答案为：．
5.
解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
∵正方形的边长为，是中点，
∴，∴，
由平移的性质可得，设，，
∴，∴，
，∴，
∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和，
∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为，故答案为：．
6.
解：连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴
又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5
当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴
在Rt△DON中， ∴
在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴
∴DN=BM∴ ∴的最小值为故答案为
7.5
连接，∵点G为的中点， F为的中点，∴，，
∴，作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M，
∵，，
∴当P与M重合时，取得最小值，
∵矩形中，，，点E在上且．∴，
∴，∴．故答案为：．
8.
解：如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，

由轴对称的性质可知，，，
四边形是矩形，，，，
，，，，
在和中，，，
，同理可证，，，
，，四边形是矩形，，，
，，，，
，，
四边形周长为，
即四边形周长的最小值为26，故答案为：26．
9.5
解：如图，过点作于．，，，
过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于．
，四边形是矩形，，，
，，，
的最大值为．故答案为：．
10.
解：设中边上的高是h．

∵，∴，∴，
∴动点P在与平行且与的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点，连接，则就是周长的最小值，
在中，，，∴，
即， 即周长的最小值为．故答案为：．
11.1
如图，作点关于的对称点，连接交于，
此时有最小值，最小值为的长．
∵菱形关于对称，是边上的中点，∴是的中点，
又∵是边上的中点，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴，即的最小值为1．故答案为：1．
12.10
解：连接，交于，连接，如图，
四边形是正方形，，，点B与点D关于对称，
∴，当点在处时，最小，最小值的长，
，，，
的最小值为10，故答案为：10．
13.
解：作关于的对称点，再过作于，
，，，，，
是关于的对称点，，即为的最小值，
四边形是正方形，，，
在△中，，，，
，即的最小值为．故答案为：．
三、解答题
14.解：连接，∵在边长为2的菱形中，，∴，
∵将沿射线的方向平移，得到，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，∴的最小值的最小值，
∵点在过点A且平行于的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，
在中，，
∴，∴，∴，
∵∴，
∴.
15.解：连接，∵平行四边形，∴，，
由平移性质得：，，四边形为平行四边形，
，，
作关于直线的对称点D/，连接，，交延长线于，
由对称性得：，，，
，
，，，，，
∵，，，
的最小值为.
16.作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：

，，
为等边三角形，，
，，四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，
，，，
，
中，，
中，
，的最小值是．
17.解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，．，，
∴四边形为平行四边形，．
，，三点共线，此时 BPQ的周长最小．
，，即，，
周长的最小值为：．
18.（1）证明：四边形是矩形，与相等且互相平分，
关于的对称图形为，，
四边形是菱形；
（2）作于Q，交于P，
沿所在直线折叠，得到，，，
，，，，
，，，
，即的最小值为．
19.，①，；解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短；
解：【迁移应用】如图所示，过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵关于直线对称点，∴，，,
∴，
在△中，由勾股定理得，
∴， 故步行观光路线的最短长度为米．

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