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21.3《特殊的平行四边形》复习题--最值模型之逆等线模型
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
2．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
二、填空题
3．如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ．
4．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ．
5．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
6．如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______．
8．如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为 ．
9．如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ．
10．在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ．
11．菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
12．如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ．
13．如图，已知正方形的边长为6，O为对角线的交点，，分别是边，上的动点，且，连接，．
（1）若射线，则 ；（2）的最小值为 ．
三、解答题
14．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，．(1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度．
(2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和 BCF面积分别记为，，，求．
(3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________．
15．【问题探究】
(1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长；
(2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值；
(3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值．
16．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______；
问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：；
问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计）
17.【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角 ABC中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值．
【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决．
【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的最小值为____________．
【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________．
【拓展迁移】如图④，在等边 ABC中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________．
参考答案
一、单选题
1．A
解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示：
∵四边形为菱形，∴，，∴，
∵，∴∴，∴ ABC是等边三角形，
∵点A，点H关于对称，∴，，∴，
又∵ ABC是等边三角形，∴，， ∴，
∵，，∴，又∵∴，
∴，∴，
∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，
∵，∴，∵，∴，
∴，即的最小值为4．故选：A．
2．C
解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD，
∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE，
作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE，
当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4，
此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C．
二、填空题
3．
解：如图，过点作，使，连接，，则，．
∵菱形的边长为5，∴．∵，∴．
∴．∴．∴．
在和中，，∴．∴．
∴．即．∴的最小值为．故答案为：．
4．
解：如图，延长交的延长线于，连接，
∵正方形，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
当三点共线时最短，∵正方形边长为3，
∴，而，∴的最小值为：；故答案为：
5．
解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，∴，，，∴，
∵O为的中点，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴垂直平分，∴，∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，
∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∴，∴最小值为．故答案为：．
6．
解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，，，
则，，，∵，∴，
∵，，∴，解得：，
∴，，
在和中，∴（），∴，
∴，∴当点E在线段上时，取得最小值．故答案为：．
7．
解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于D/，
∵矩形中，∴，，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵点是点关于对称点，∴，，点，∴，
∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合，
∵，，∴直线解析式为，当时，，
即当最小时，点坐标为．故答案为．
8．
解：如图，在上截取，连接，，
在和中，，∴，
∴，∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵，，∴，∵，∴，
∵四边形是矩形，，∴，，
在中，，∴的最小值为，故答案为：．
9．17
解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示：
四边形是矩形，且，，
，，，，
在和中，，，
，，当为最小时，为最小，
根据“两点之间线段最短”得：，的最小值为线段的长，
当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长，
在中，，，
由勾股定理得：，的最小值是17．故答案为：17．
10．
解：如图，延长至，使得，连接，
∵四边形是正方形，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，如图，
∴，∴最小值为，故答案为：．
11．
解：在的下方作，使，连接，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∵，
∵，∴，∴，
∵，即，∴的最小值为,故答案为：．
12．
解：延长到，使，连接，，
四边形是矩形，∴，，，．．
，，．，，
当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为．
∵∠BAD=90 ，．在Rt GDC中，，，
．最小值为．故答案为：．
13．
解：（1）延长交于点，作于点，
∵正方形，∴，，
∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵正方形，∴，，∴，，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：延长交于点，延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：由（1）得，∴，，
∵，∴，∵四边形为正方形，
∴，，，
∴，∵O为的中点，∴，
∵，，∴，∵，∴，∴，
∵，，∴垂直平分，∴，∴，
∴当、F、G三点共线时，最小，即最小，
∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∴，∴最小值为．故答案为：．
三、解答题
14．（1）解：∵菱形，∴ BCF和 CDF关于对称，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∴，即．
∴．故答案为：=；116．
（2）解：在中，，
如图：连接，由对称性可知：，设，则：，
在中，由勾股定理，得：，解得：，∴，
由（1）可知，．∴．
（3）解：如图：过点D作，截取，连接．
∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，即，
∵菱形，∴垂直平分，∴，
∵，∴．
在和中，，∴．∴．
由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小．
∵，∴，
又∵，∴为等腰直角三角形，∴，
当最小时，．故答案为：75；．
15．（1）解：如图，∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴的长为；
（2）解：如图，连接，连接，与交于点，
∵点分别是的中点，∴是中位线，∴，
∴当时，最小，从而最小，如图，
∵四边形是菱形，∴，，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，即最小值为，∴的最小值为；
（3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，
∵四边形是正方形， ∴，，米，
∵，，∴，，
∴，四边形是平行四边形，
∵，∴四边形是矩形，∴，米，
∴，，∴，即，
∵，∴，∴（米），
∵，，，
∴，∴，∴，
∴三点共线，且时，最小，即长，如图，∴，
∵，∴，∴，由勾股定理得：，
∴，∴，
∵为的中点，米，∴米，∴米，∴米，
∴（米），∴（米），
∴灌溉水渠总长度的最小值为米．
16．（1）解：连接，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵，∴点P到的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上，
∴∴，当点共线时取得最小值，
此时，即的最小值为；故答案为：
（2）∵四边形是菱形，∴，，
∵，∴ ABC是等边三角形，∠BCD=180 -∠B=120 ，
∴，，∴∠ACF=∠B=60 ，又∵，∴，∴；
（3）∵，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，连接，

∵，∴，∵，∴，
∴，∴，延长到点G，使得，连接，，
∵，∴点D和点G关于成轴对称，∴，∴，
∵，当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，
在中，，∴，
即的最小值为，∴的最小值为．
17.（1）证明：∵过点作，使，连接．∴．
∵，∴．
（2）解：连接，过点F作，交延长线于点G．则．
∵，，∴．
∴．∴．∴．
∵，，∴．
∴．∴．
∵，∴．∴．
∴的最小值为．故答案为：．
[方法运用]连接，设交于点O．
∵菱形中，，，
∴ ABC与都是等边三角形．∴．，
∵，∴．∴．
∴．∴的最小值是的长．
∵，∴．∴．
∴．∴的最小值是．故答案为：．
[拓展迁移]过点A作，使，连接．则．
∵，∴．∴．∴．
∴的最小值是线段的长．∵，∴．∴．
∵等边 ABC中，，∴．∴．
∴的最小值是．故答案为：．

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