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21.2.1《平行四边形及其性质》同步练习
一、单选题
1．如图，的对角线交于点，下列结论一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
2.如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）

A．6 B．4 C． D．
5．如图，在中，点是的中点，过点，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等 B．与一定不相等
C．与一定相等 D．与一定不相等
二、填空题
7．如图，在中，的平分线交于点E，若，则______．
8．如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为__________．
9．如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____．
10．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm．
11．在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为___________；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是___________．
12．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
13．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．
14．如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长．
15．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．
求证：．

16．追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在 ABC中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个　B．4个　C．5个　D．6个
②已知，，求的长．
17.综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段进行适当的平移得到线段，且点B的对应点C的坐标为．

(1)直接写出点D的坐标______；
(2)求出平移的距离；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使以点O，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，，则不一定成立，该选项不符合题意；
B、根据平行四边形性质：对角线相互平分，不一定垂直，则不一定成立，该选项不符合题意；
C、根据平行四边形性质：对角线相互平分，在中，，该选项符合题意；
D、根据平行四边形性质，对角线不一定平分对角，则不一定成立，该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
解：根据作图可知：，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选D．
3．C
解：过点D作交的延长线于点F，
∵的垂线交于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理可得，，
，
∴，
∴
∴
即，解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是，
故选：C
4．C
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
如图，过点作于点，
，
则，
，
，
，，
，
故选：C．
5．C
解：四边形是平行四边形，
，，，故①③正确，
，，
点是的中点，
，
又，，，
，
，，故②不正确，
，，
，
即，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选：C．
6．A
解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
二、填空题
7．2
解：∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
8．
解：连接，
由作图可知， 垂直平分，
∴，
∵点N恰为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
9．
10．12
解：∵为等边三角形，
∴，
∵折叠，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：12．
11． 或
解：若与重合，在上，且，
则，
，
．
．
，
．
由勾股定理得，．
，．
．
．
与四边形的面积的比为．
若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，
如图，取的中点，的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，，．
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为．
连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，
∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为，
四边形的面积与四边形的面积的比为．
当时，取最小值，由可知，的最小值为，
作，交延长线于点，则，
，
．
，
．
．
．
，，
．
．
．
．
如图，取的中点，的中点，连接，
四边形是平行四边形，
，．
，，，．
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
，，平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为．
连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，
四边形的面积与四边形的面积的比为，
四边形的面积与四边形的面积的比为．
作，交延长线于点，作于点，则，，
．
．
，，
．
．
．
，
．
．
四边形为矩形．
，．
，，
，．
．
∴折痕长的取值范围是或．
故答案为：；或．
12．
解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，
∴当重合时，最小，最小值为，
∵，，在中，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：
三、解答题
13．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴．
14．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是平行四边形边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．解：（1）是等腰三角形；理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①∵中，
∴，，
同（1），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
即、、、是等腰三角形；共有四个，
故选：B．
②∵中，，，
∴，，
由①得，
∴．
17.（1）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴把点B向右平移3个单位长度，再向上平移6个三个单位长度得到点C，
∵将线段进行适当的平移得到线段，点A的坐标为，
∴点D的坐标为；
故答案为：；
（2）解：∵线段进行适当的平移得到线段，且点B对应点C，
∴线段的长就是平移的距离，
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
=，
答：平移的距离是．
（3）解：如图所示，

①当时，四边形是平行四边形，
∴把点D向下平移3个单位长度得到点，
∴；
②当时，四边形是平行四边形，
∴把点O向下平移1个单位长度再向左平移3个单位长度得到点，
∴；
③当时，四边形是平行四边形，
∴把点D向上平移3个单位长度得到点，
∴；
综上所述，点E的坐标是或或．

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