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第七章《相交线与平行线》复习题---平行线的拐点模型
一、单选题
1．在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，如图，是汽车灯的剖面图，从位于O点的灯泡发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（ ）

A． B． C． D．
5．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，，，，则的度数为 ．
12．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．

13．如图，，已知，，则 ．
14．某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．

15．如图，，，，则 ．
三、解答题
16．已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系．
(1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______；
(2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______．
17．如图1，，是直线、间的一条折线．
(1)猜想、、的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则
(3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ．
18．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：．
【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由．
【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数．
【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案）
19．【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：；
【类比分析】（2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明；
【学以致用】（3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．

20．如图1所示，，点E是两平行线内部一点，交直线于点F，且；
(1)求和的数量关系．(2)若其他条件不变，点E在上方(如图2)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．(3)若其他条件不变，点E在下方(如图3)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．
21．如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：．
沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明．
解答下列问题：(1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明．
(2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数．
(3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系．
22．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段．
(1)如图1，若点E在线段上，求证：；
(2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系；
(3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）．
23．综合与探究
问题情境：如图1，已知，点的位置在平行线，之间，连接，，试探究与，之间的数量关系．
探究发现：（1）以下是小宇的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空．
解：如图1，过点作．
（已知），．，（ ）．
_______+_____（等量代换）．
即，，之间的数量关系是_________．
（2）如图2，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
拓展延伸：（3）如图3，已知，若点的位置在直线的上方，与的平分线相交于点，请问（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
24．某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、．
(1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数；(3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数．
25．综合与实践
【问题情境】在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，．
【操作发现】（1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______．
【深入探究】（2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值．
26．综合与实践
【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题．
归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系．
【独立思考】（1）如图1，，，之间的数量关系是_______．
（2）如图2，，，之间的数量关系是_______．
【问题迁移】（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________．
【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足．
（4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．A
解：如图，过的顶点作直线，将分成和，
∵，∴，∴，，∴，故选：A．
2．B
解：过点作，
∵，∴，∵∴，
∴，故选：B．
3．A
解：过C作，
，，，，
∵，，∴，，
故选：A
4．C
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，

∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，
∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，
∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故选：C．
5．C
解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C．
6．C
解：如图，过点作，
，
，，，，
ABC为等腰直角三角形，，，故选：C．
7．C
解：，，
是的外角，，－．故选：C．
8．B
解：如图，∵，∴，
∵，∴，故选：B．

9．B
，，
，，，．故选B．
10．D
解：如图所示，过C作，延长交于N，
则，即，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，故选D．
二、填空题
11.
解：过C作，
∵，，∴，∴，，
∵，，∴，，
∴，故答案为：；
12．
解：如图，过点作，

，，，
，，，，
，，
，故答案为．
13．45
解：过点作，如图，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，故答案为：45．
14．100
解：如图所示，

为了保持水管与方向一致，则，由题可得，，
∵，∴，∴，
∴，
又∵，∴，故答案为：100．
15．/65度
解：过点作，

∵，∴，∴，
∴；故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：∵，，∴，
∴，，∴；
（2）解：，证明如下：
同理（1）可得，，∴，
∴，∴；
（3）解：∵，，∴，∴，，
∵，∴．
17．（1）解：猜想：．理由：如图，过点O作．
∵，∴，∴，，
∴，即．
（2）解：如图，过作，由（1）得：，
∵，，，∴，，
∵，，∴，∴；
（3）解：．　
理由：如图，过点K作，同理可得：，
过点L作，同理可得：，
∵，，，∴，∴，
∴，∴．
18．解：（1），理由如下：如图，过点作，
，，，，
，即；
（2）由（1）可知：，，
，；
（3）如图，过点作，则，
由（1）的结论得：，
，
，，
，，．
19．（）证明：如图，过点作，则，

∵，∴，∴，
∵，∴；
（）如图，过点作，则，
∵，∴，∴，
∴，即；
（）如图，过点作，过点作，
∴，，
∵，∴， ∴，
∵， ∴，
∵，∴，∴，∴．
20．（1）解：证明：如图，过点作，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：结论不成立，．证明：如图，
过点作，则．
又∵，∴，则，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：结论不成立，．证明：如图，
过点作，则．又∵，
∴，则，∴，
∵，∴，∴．
21．（1）证明：过点B，作交于点N．
∵，∴，∵，∴，，
∴，∴，即．
（2）解：过点E作，∴
∵，∴∴，
∵平分，平分∴，，，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即．
（3）解：分下列4种情况：情况1 ：如图1，根据题意可知：，
∴，，，
∴
即
情况2：如图2，根据题意可知：，
∴，，，，
∴，∴，
∴，∴，
情况3：如图3，根据题意可知：，
∴，，，
∴，
，∴
情况4：如图4，根据题意可知：，
∴，，，
∵，，
∴
22．（1）证明：如图1中，过点E作．由平移可得，
∵，∴，∴，
∴；
（2）解：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，，理由如下：如图中，当点E在的延长线上时，过点E作．
∵，∴，∴，
∴．
如图中，当点E在的延长线上时，过点E作．
∵，∴，∴，
∴，
综上所述：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，；
（3）解：如图，设，
∵，∴与（1）同理可得：，
∴，∴，∵，
∴，，
又与（1）同理可得：，
∴．
23．解：（1）解：如图1，过点作．
（已知），．，（两直线平行，内错角相等）．
（等量代换）．
即，，之间的数量关系是．
故答案为：两直线平行，内错角相等，，．
（2）如答图，过点，点分别作，
，分别平分和，，．
，，．，．
．
，，．．
．，．
（3）第（2）问中的结论仍然成立．理由如下：如答图，过点，点分别作，．
，分别平分和，，．
，，．，．
．
，，．．
．，．
24．（1）解：，理由如下：
过点E作 ，
，，
，．
（2）过点E作，过点F作，如图，
由（1）同理可得，，，
∵，∴，
∵平分平分 ∴
∴，∴．
（3）过点E作，过点F作，如图，
由（1）同理可得，，
有，设，∴，，
∵平分，∴，∴，
∵，，∴
∵平分 ∴，∴．
25．解：（1）数量关系为：，过点作，
∵，∴，∴，
∴，∴数量关系为：；
（2）数量关系为：，过点作，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴数量关系为：；
（3）①当时，∵，即，
∵，∴，又∵点C在的延长线上
∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴，∴；
②当时，∵∴， 又∵，∴，
∴， ，
∴， ∴；
③当时，∴， ∴，∴；
综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行．
26．解：（1）如图1，过E作，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：；
（2）如图2，过E作，
∵，∴，∴，
∴，
∴，故答案为：；
（3）如图3，∵分别是的角平分线，∴，
由（1）得，由（2）得，
∴，则，故答案为：；
（4），理由：如图4，过C作，则，
∵，∴，
又，∴，∴，∴．

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