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3　牛顿第二定律
[学习目标]　
1.知道牛顿第二定律的内容和表达式的确切含义。2.知道在国际单位制中力的单位“牛顿”是怎样定义的。3.能应用牛顿第二定律解决简单的动力学问题。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　牛顿第二定律
1.内容
物体加速度的大小跟它受到的作用力成 ,跟它的质量成 ,加速度的方向跟作用力的方向 。
正比
反比
相同
2.表达式
F= ,其中k是比例系数,若质量和加速度的单位分别取kg和m/s2,力的单位取kg·m/s2,则k= ,此时表达式简化为F= 。
3.力的单位
在国际单位制中,力的单位是 ,符号是 ,1 N=1 。
kma
1
ma
牛顿
N
kg·m/s2
知识点二　牛顿第二定律的初步应用
1.物体同时受到几个力的作用时,牛顿第二定律中的“作用力”指的是 ,此时牛顿第二定律的公式表述为 。
2.如果作用在物体上的各个分力在一平面内,在此平面内建立直角坐标系,分别求得各分力在x、y方向的合力Fx合、Fy合,则牛顿第二定律可写成Fx合=
,Fy合= 。
合力
F合=ma
max
may
「新知检测」
1.思考判断
(1)由牛顿第二定律知,合力大的物体的加速度一定大。(　 　)
(2)物体的加速度大,说明它的质量一定小。(　 　)
(3)用较小的力推很重的箱子,箱子不动,可见牛顿第二定律不适用于较小的力。(　 　)
(4)任何情况下,物体的加速度方向一定与它的合力方向相同。(　 　)
(5)比例式F=kma中的k一定为1。(　 　)
(6)加速度的两单位N/kg和m/s2是等价的。(　 　)
×
√
×
×
×
√
2.思维探究
(1)在应用公式F=ma进行计算时,F的单位用N,m的单位用g是否可以
提示:(1)不可以。公式中的各量必须用国际单位,不然,公式中的比例系数就不再等于1。
(2)如图所示,小聪用力拉地面上的箱子,但箱子没动,请思考:
①根据牛顿第二定律,有力就能产生加速度,但为什么箱子一直没动呢
提示:(2)①牛顿第二定律F=ma中的力F指的是物体受到的合力,尽管此人对箱子有一个拉力的作用,但箱子受到的合力仍为零,所以不能产生加速度。
②如果箱底光滑,当拉力作用在箱子上的瞬间,箱子是否立刻获得加速度
提示:②加速度与力之间是瞬时对应关系,有力就立刻获得加速度。
突破·关键能力
要点一　对牛顿第二定律的理解
「情境探究」
如图所示是一辆方程式赛车,车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计,比一般小汽车的质量小得多,而且还安装了功率很大的发动机,可以在4～5 s内从静止加速到 100 km/h。你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗
【答案】 赛车的质量小,赛车的运动状态容易改变;功率大,可以为赛车提供较大的动力。因此这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)。
1.对表达式F=ma的理解
(1)单位统一:表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位。
(2)F的含义:F是合力时,a指的是合加速度,即物体的加速度;F是某个力时,a是该力产生的加速度。
「要点归纳」
2.牛顿第二定律的六大特性
同体性 F、m、a都是对同一物体而言
矢量性 F=ma是一个矢量式,a与F的方向相同
瞬时性 a与F是瞬时对应关系,无先后之分
相对性 只适用于惯性参考系
独立性 作用在物体上的每个力都产生各自的加速度
局限性 F=ma只适用于低速、宏观物体的运动
3.两个加速度公式的区别
4.合力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系:力是因,加速度是果。只要物体所受到的合力不为零,就会产生加速度。加速度与合力方向是相同的,大小与合力成正比。
(2)力与速度无因果关系:合力方向与速度方向可以相同,可以相反,还可以有夹角。合力方向与速度方向相同时物体做加速运动,相反时物体做减速运动。
[例1] 下列关于牛顿第二定律的说法正确的是(　　)
[A]加速度与合力的关系是瞬时对应关系,即a与F同时产生、同时变化、同时消失
[B]加速度方向总是与速度方向一致
[C]同一物体的运动速度变化越大,受到的合力也越大
[D]物体的质量与它所受的合力成正比,与它的加速度成反比
A
【解析】 加速度与合力的关系是瞬时对应关系,即a与F同时产生,同时变化,同时消失,故A正确;根据牛顿第二定律可知,加速度的方向总是与合力的方向相同,不一定与速度方向相同,故B错误;速度变化大,加速度不一定大,则合力不一定大,故C错误;质量是物体的固有属性,不随合力、加速度的变化而变化,故D错误。
对牛顿第二定律理解的三大误区
(1)错误地认为先有力,后有加速度。实际上物体的加速度和力是同时产生的,不分先后,但有因果关系。力是产生加速度的原因,没有力就没有加速度。
·规律方法·
(3)错误地认为作用力与m和a都成正比。实际上不能由F=ma得出F∝m、F∝a的结论,物体所受合力的大小是由物体的受力情况决定的,与物体的质量和加速度无关。
·规律方法·
[针对训练1] (多选)在牛顿第二定律的数学表达式F=kma中,有关比例系数k的说法正确的是(　 　)
[A]k的数值由F、m、a的数值决定
[B]k的数值由F、m、a的单位决定
[C]当m的单位取g时,k不等于1
[D]在任何情况下k都等于1
BC
【解析】 在F=kma中,只有m的单位取 kg,a的单位取m/s2,F的单位取N时,
k才等于1。故选B、C。
要点二　牛顿第二定律的简单应用
「要点归纳」
1.解题步骤
2.解题方法
(1)矢量合成法:若物体只受两个力的作用,首先应用平行四边形定则求这两个力的合力,再由牛顿第二定律求出物体的加速度大小。加速度的方向即物体所受合力的方向。
(2)正交分解法:当物体受多个力的作用时,常用正交分解法求物体所受到的合力。
①建立坐标系时,通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度),将物体所受到的力正交分解后,列出方程Fx=ma,Fy=0。
[例2] 如图所示,沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中,悬挂小球的悬线偏离竖直方向的夹角θ=37°,小球和车厢相对静止,小球的质量为1 kg。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况。
(2)求悬线对小球的拉力大小。
【答案】 (1)见解析　(2)12.5 N
方法二　正交分解法
以水平向右为x轴正方向建立坐标系,并将悬线对小球的拉力T正交分解,如图乙所示。
则沿水平方向有
Tsin θ=ma,
竖直方向有
Tcos θ-mg=0,
联立解得a=7.5 m/s2,T=12.5 N,
且加速度方向向右,故车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
(1)应用牛顿第二定律解题时,正确选取研究对象及受力分析至关重要,加速度a一定与F合同向,但速度不一定与加速度同向。
(2)合成法常用于两个互成角度的共点力的合成,正交分解法常用于三个或三个以上互成角度的共点力的合成。
·规律方法·
[针对训练2] 如图所示,自动扶梯与水平面夹角为θ,上面站着质量为m的人,当自动扶梯以加速度a加速向上运动时,求扶梯对人的弹力N和扶梯对人的摩擦力f。(重力加速度为g)
【答案】 mg+masin θ　macos θ
【解析】 法一　分析人受竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力N和水平向右的摩擦力f,建立如图甲所示的直角坐标系,人的加速度方向正好沿x轴正方向,将各力正交分解,由牛顿第二定律可得
x轴方向
fcos θ+Nsin θ-mgsin θ=ma,
y轴方向
Ncos θ-fsin θ-mgcos θ=0,
解得N=mg+masin θ,
f=macos θ。
法二　建立如图乙所示的直角坐标系。由于人的加速度方向是沿扶梯向上的,则在x轴方向和y轴方向上各有一个加速度的分量,分别为ax=acos θ,
ay=asin θ,根据牛顿第二定律有
x轴方向f=max,
y轴方向N-mg=may,
解得N=mg+masin θ,
f=macos θ。
要点三　瞬时加速度的求解
如图所示,用手向下压弹簧玩偶的头部,玩偶头部处于平衡状态。若人向下压的力为F,弹簧玩偶的头部质量为m,人手突然撤离时,弹簧玩偶头部的加速度为多大
「情境探究」
「要点归纳」
1.两种模型:加速度与合力具有瞬时对应关系,二者同时产生、变化和消失,可简化为以下两种模型。
2.轻绳、轻杆、轻弹簧、橡皮条的区别。
类别 弹力表现 形式 弹力方向 弹力能
否突变
轻绳 拉力 沿绳收缩方向 能
轻杆 拉力、 支持力 不确定 能
轻弹簧 拉力、 支持力 沿弹簧轴线指向形变的反方向 不能
橡皮条 拉力 沿橡皮条 收缩方向 不能
[例3] 如图所示,三个物体A、B、C处于静止状态,物体A、B通过轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮连接,其中物体A的质量m1=9 kg,物体B的质量m2=2.5 kg,连接物体A的细绳与水平面间的夹角θ=53°,物体B、C通过轻质弹簧连接,物体C的质量m3=2 kg,弹簧的劲度系数k=200 N/m,重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,弹簧处于弹性限度内,求:
(1)弹簧的伸长量Δx;
【答案】 (1)0.1 m
【解析】 (1)对物体C受力分析,有kΔx=m3g,
解得Δx=0.1 m。
(2)物体A与地面间的最小动摩擦因数μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力);
【答案】 (2)0.5
【解析】 (2)对物体B、C整体分析可得T=(m2+m3)g,
解得T=45 N,
对物体A受力分析,由平衡条件可得
f=Tcos θ,
N=m1g-Tsin θ,f=μN,
解得物体A与地面间的最小动摩擦因数μ=0.5。
(3)剪断细绳瞬间A、B、C三个物体的加速度大小。
【答案】 (3)0　18 m/s2　0
【解析】 (3)对物体A,细绳拉力消失,地面支持力突变,合力F1仍为零,加速度为aA=0,
对物体B,细绳拉力消失,弹簧弹力不变,有
m2g+m3g=m2aB,
解得aB=18 m/s2,
对物体C,弹簧弹力不变,合力F3仍为零,加速度aC=0。
·规律方法·
解决瞬时性问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况,求出各力大小(若物体处于平衡状态,则利用平衡条件;若处于加速状态,则利用牛顿第二定律)。
(2)分析当状态变化时(剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等),哪些力变化,哪些力不变,哪些力消失(被剪断的绳的弹力、被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)。
(3)求物体在状态变化后所受到的合力,利用牛顿第二定律,求出瞬时加速度。
[针对训练3] (多选)如图甲、乙所示,图中细线均不可伸长,两小球质量相同且均处于平衡状态,细线和弹簧与竖直方向的夹角均为θ。如果突然把两水平细线剪断,则剪断瞬间(　 　)
[A]图甲中小球的加速度大小为gsin θ,方向垂直于倾斜细线向下
[B]图乙中小球的加速度大小为gtan θ,方向水平向左
[C]图甲中倾斜细线与图乙中弹簧的拉力之比为1∶cos2θ
[D]图甲中倾斜细线与图乙中弹簧的拉力之比为cos2θ∶1
AD
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
力和运动类问题的处理思路
1.运动状态决定因素:物体的运动状态取决于物体的初速度和物体的受力情况,当物体的受力情况发生变化时,物体的运动状态也会随之发生变化。
2.解题思路:分析物体的受力情况→求合力→由牛顿第二定律求物体的加速度→将初速度与加速度相结合判断物体速度的变化情况。
[示例] (多选)如图所示,自由下落的小球,从它接触竖直放置的弹簧开始,到弹簧被压缩到最短的过程中,小球的速度大小和加速度大小的变化情况是(　 　)
[A]加速度先变小后变大
[B]加速度一直变大
[C]速度先变大后变小
[D]速度一直变小
AC
【解析】 开始阶段,弹簧的压缩量较小,因此弹簧对小球向上的弹力大小小于小球的重力大小,此时合力大小为F合=mg-kx,方向向下,随着弹簧压缩量的增加,弹力增大,故合力减小,则加速度减小,由于合力与速度方向相同,小球的速度增大;当mg=kx时,合力为零,此时速度达到最大;由于惯性,小球继续向下运动,此时合力大小为F合′=kx-mg,方向向上,小球减速,随着压缩量增大,小球所受合力增大,加速度增大。故整个过程中加速度大小为先变小后变大,速度大小为先变大后变小,选项A、C正确。
「科学·技术·社会·环境」
雨滴砸不死蚊子的原因
[示例] 棒球棍可以用作防身武器,但是人们发现用棒球棍击中空中飞舞的蚊子却难以将蚊子打死。已知一只蚊子质量约为5 mg,棒球棍挥舞击中蚊子的瞬时速度可以达到 80 m/s,假设蚊子在被棒球棍击中前在空中盘旋的速度忽略不计,被棒球棍击中的瞬间在0.04 s内加速到与棒球棍相同的速度,加速过程近似看作匀加速,请估算棒球棍对蚊子的作用力为多大。
【答案】 0.01 N
检测·学习效果
1.(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F=ma及其变形公式的理解,正确的是(　 　)
CD
【解析】 物理公式不同于数学公式,不能单从形式上判断正比和反比关系,作用在物体上的合力,可由物体的质量和加速度计算,但并不由它们决定,A错误;质量是物体的属性,由物体本身决定,与物体是否受力无关,B错误;由牛顿第二定律知,加速度与所受合力成正比,与质量成反比,m可由其他两个量求得,C、D正确。
2.如图所示,质量为m的鱼在水中沿水平方向以加速度a从左向右匀加速游动,则下列关于水给鱼的作用力的说法正确的是(　　)
[A]大小等于零
[B]大小等于mg,方向竖直向上
[C]大小等于ma,方向水平向右
[D]大小大于mg,方向斜向右上方
D
3.(多选)如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,A、B、C三个质量相等的物体分别用轻绳或轻弹簧连接,在沿斜面向上的恒力F作用下三者保持静止,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　 　)
[A]在轻绳被烧断的瞬间,A的加速度大小为gsin θ
[B]在轻绳被烧断的瞬间,B的加速度大小为2gsin θ
[C]突然撤去外力F的瞬间,B的加速度大小为gsin θ
[D]突然撤去外力F的瞬间,C的加速度大小为0
BD
4.如图所示,质量为1 kg的物体静止在水平面上,现用大小为20 N,与水平方向成37°角斜向下的推力F作用时,沿水平方向做匀加速直线运动。(g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)若水平面光滑,求物体加速度的大小;
【答案】 (1)16 m/s2
【解析】 (1)对物体进行受力分析如图甲所示,
水平方向根据牛顿第二定律得Fcos 37°=ma1,
解得a1=16 m/s2。
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5,求物体加速度的大小。
【答案】 (2)5 m/s2
【解析】 (2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5,受力分析如图乙所示,水平方向根据牛顿第二定律得
Fcos 37°-f=ma2,
竖直方向根据平衡条件可得
N=mg+Fsin 37°,
根据摩擦力的计算公式可得f=μN,
联立解得a2=5 m/s2。
感谢观看3　牛顿第二定律
[学习目标]　1.知道牛顿第二定律的内容和表达式的确切含义。2.知道在国际单位制中力的单位“牛顿”是怎样定义的。3.能应用牛顿第二定律解决简单的动力学问题。
探究新知
知识点一　牛顿第二定律
1.内容
物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比,跟它的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同。
2.表达式
F=kma,其中k是比例系数,若质量和加速度的单位分别取kg和m/s2,力的单位取kg·m/s2,则k=1,此时表达式简化为F=ma。
3.力的单位
在国际单位制中,力的单位是牛顿,符号是N,1 N=1 kg·m/s2。
知识点二　牛顿第二定律的初步应用
1.物体同时受到几个力的作用时,牛顿第二定律中的“作用力”指的是合力,此时牛顿第二定律的公式表述为F合=ma。
2.如果作用在物体上的各个分力在一平面内,在此平面内建立直角坐标系,分别求得各分力在x、y方向的合力Fx合、Fy合,则牛顿第二定律可写成Fx合=max,Fy合=may。
新知检测
1.思考判断
(1)由牛顿第二定律知,合力大的物体的加速度一定大。(　×　)
(2)物体的加速度大,说明它的质量一定小。(　×　)
(3)用较小的力推很重的箱子,箱子不动,可见牛顿第二定律不适用于较小的力。(　×　)
(4)任何情况下,物体的加速度方向一定与它的合力方向相同。(　√　)
(5)比例式F=kma中的k一定为1。(　×　)
(6)加速度的两单位N/kg和m/s2是等价的。(　√　)
2.思维探究
(1)在应用公式F=ma进行计算时,F的单位用N,m的单位用g是否可以
(2)如图所示,小聪用力拉地面上的箱子,但箱子没动,请思考:
①根据牛顿第二定律,有力就能产生加速度,但为什么箱子一直没动呢
②如果箱底光滑,当拉力作用在箱子上的瞬间,箱子是否立刻获得加速度
提示:(1)不可以。公式中的各量必须用国际单位,不然,公式中的比例系数就不再等于1。
(2)①牛顿第二定律F=ma中的力F指的是物体受到的合力,尽管此人对箱子有一个拉力的作用,但箱子受到的合力仍为零,所以不能产生加速度。
②加速度与力之间是瞬时对应关系,有力就立刻获得加速度。
要点一　对牛顿第二定律的理解
情境探究
如图所示是一辆方程式赛车,车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计,比一般小汽车的质量小得多,而且还安装了功率很大的发动机,可以在4～5 s内从静止加速到
100 km/h。你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗
【答案】 赛车的质量小,赛车的运动状态容易改变;功率大,可以为赛车提供较大的动力。因此这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)。
要点归纳
1.对表达式F=ma的理解
(1)单位统一:表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位。
(2)F的含义:F是合力时,a指的是合加速度,即物体的加速度;F是某个力时,a是该力产生的加速度。
2.牛顿第二定律的六大特性
同体性 F、m、a都是对同一物体而言
矢量性 F=ma是一个矢量式,a与F的方向相同
瞬时性 a与F是瞬时对应关系,无先后之分
相对性 只适用于惯性参考系
独立性 作用在物体上的每个力都产生各自的加速度
局限性 F=ma只适用于低速、宏观物体的运动
3.两个加速度公式的区别
(1)a=是加速度的定义式,它给出了测量物体加速度的方法,这是物理上用比值定义物理量的方法。
(2)a=是加速度的决定式,它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素。
4.合力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系:力是因,加速度是果。只要物体所受到的合力不为零,就会产生加速度。加速度与合力方向是相同的,大小与合力成正比。
(2)力与速度无因果关系:合力方向与速度方向可以相同,可以相反,还可以有夹角。合力方向与速度方向相同时物体做加速运动,相反时物体做减速运动。
[例1] 下列关于牛顿第二定律的说法正确的是(　　)
[A]加速度与合力的关系是瞬时对应关系,即a与F同时产生、同时变化、同时消失
[B]加速度方向总是与速度方向一致
[C]同一物体的运动速度变化越大,受到的合力也越大
[D]物体的质量与它所受的合力成正比,与它的加速度成反比
【答案】 A
【解析】 加速度与合力的关系是瞬时对应关系,即a与F同时产生,同时变化,同时消失,故A正确;根据牛顿第二定律可知,加速度的方向总是与合力的方向相同,不一定与速度方向相同,故B错误;速度变化大,加速度不一定大,则合力不一定大,故C错误;质量是物体的固有属性,不随合力、加速度的变化而变化,故D错误。
对牛顿第二定律理解的三大误区
(1)错误地认为先有力,后有加速度。实际上物体的加速度和力是同时产生的,不分先后,但有因果关系。力是产生加速度的原因,没有力就没有加速度。
(2)错误地认为质量与力成正比,与加速度成反比。实际上不能根据 m=得出m∝F、m∝的结论,物体的质量m是由自身决定的,与物体所受到的合力和运动的加速度无关。
(3)错误地认为作用力与m和a都成正比。实际上不能由F=ma得出F∝m、F∝a的结论,物体所受合力的大小是由物体的受力情况决定的,与物体的质量和加速度无关。
[针对训练1] (多选)在牛顿第二定律的数学表达式F=kma中,有关比例系数k的说法正确的是(　　)
[A]k的数值由F、m、a的数值决定
[B]k的数值由F、m、a的单位决定
[C]当m的单位取g时,k不等于1
[D]在任何情况下k都等于1
【答案】 BC
【解析】 在F=kma中,只有m的单位取 kg,a的单位取m/s2,F的单位取N时,k才等于1。故选B、C。
要点二　牛顿第二定律的简单应用
要点归纳
1.解题步骤
2.解题方法
(1)矢量合成法:若物体只受两个力的作用,首先应用平行四边形定则求这两个力的合力,再由牛顿第二定律求出物体的加速度大小。加速度的方向即物体所受合力的方向。
(2)正交分解法:当物体受多个力的作用时,常用正交分解法求物体所受到的合力。
①建立坐标系时,通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度),将物体所受到的力正交分解后,列出方程Fx=ma,Fy=0。
②特殊情况下,若物体的受力都在两个互相垂直的方向上,也可将坐标轴建立在力的方向上,正交分解加速度a。根据牛顿第二定律列方程求解。
[例2] 如图所示,沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中,悬挂小球的悬线偏离竖直方向的夹角θ=37°,小球和车厢相对静止,小球的质量为1 kg。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取
10 m/s2。
(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况。
(2)求悬线对小球的拉力大小。
【答案】 (1)见解析　(2)12.5 N
【解析】 方法一　合成法
(1)由于车厢沿水平方向运动,所以小球有水平方向的加速度,所受合力F沿水平方向。选小球为研究对象,受力分析如图甲所示。由几何关系可得F=mgtan θ,小球的加速度a==
gtan θ=7.5 m/s2,方向向右,则车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
(2)悬线对小球的拉力大小为
T===12.5 N。
方法二　正交分解法
以水平向右为x轴正方向建立坐标系,并将悬线对小球的拉力T正交分解,如图乙所示。
则沿水平方向有
Tsin θ=ma,
竖直方向有
Tcos θ-mg=0,
联立解得a=7.5 m/s2,T=12.5 N,
且加速度方向向右,故车厢做向右的匀加速直线运动或向左的匀减速直线运动。
(1)应用牛顿第二定律解题时,正确选取研究对象及受力分析至关重要,加速度a一定与F合同向,但速度不一定与加速度同向。
(2)合成法常用于两个互成角度的共点力的合成,正交分解法常用于三个或三个以上互成角度的共点力的合成。
[针对训练2] 如图所示,自动扶梯与水平面夹角为θ,上面站着质量为m的人,当自动扶梯以加速度a加速向上运动时,求扶梯对人的弹力N和扶梯对人的摩擦力f。(重力加速度
为g)
【答案】 mg+masin θ　macos θ
【解析】 法一　分析人受竖直向下的重力mg、竖直向上的支持力N和水平向右的摩擦力f,建立如图甲所示的直角坐标系,人的加速度方向正好沿x轴正方向,将各力正交分解,由牛顿第二定律可得
x轴方向
fcos θ+Nsin θ-mgsin θ=ma,
y轴方向
Ncos θ-fsin θ-mgcos θ=0,
解得N=mg+masin θ,
f=macos θ。
法二　建立如图乙所示的直角坐标系。由于人的加速度方向是沿扶梯向上的,则在x轴方向和y轴方向上各有一个加速度的分量,分别为ax=acos θ,ay=asin θ,根据牛顿第二定律有
x轴方向f=max,
y轴方向N-mg=may,
解得N=mg+masin θ,
f=macos θ。
要点三　瞬时加速度的求解
情境探究
如图所示,用手向下压弹簧玩偶的头部,玩偶头部处于平衡状态。若人向下压的力为F,弹簧玩偶的头部质量为m,人手突然撤离时,弹簧玩偶头部的加速度为多大
【答案】 人手向下压时,弹簧玩偶的头部受三个力的作用,手向下的压力F、重力mg和弹簧的弹力N,在三力的作用下弹簧玩偶头部处于平衡状态,所以有N=mg+F,当人手突然撤离的瞬间,手向下的压力变为0,弹力和重力不变,所以弹簧玩偶头部的加速度为a==。
要点归纳
1.两种模型:加速度与合力具有瞬时对应关系,二者同时产生、变化和消失,可简化为以下两种模型。
2.轻绳、轻杆、轻弹簧、橡皮条的区别。
类别 弹力表现 形式 弹力方向 弹力能 否突变
轻绳 拉力 沿绳收缩 方向 能
轻杆 拉力、 支持力 不确定 能
轻弹簧 拉力、 支持力 沿弹簧轴线指向形变的反方向 不能
橡皮条 拉力 沿橡皮条 收缩方向 不能
[例3] 如图所示,三个物体A、B、C处于静止状态,物体A、B通过轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮连接,其中物体A的质量m1=9 kg,物体B的质量m2=2.5 kg,连接物体A的细绳与水平面间的夹角θ=53°,物体B、C通过轻质弹簧连接,物体C的质量m3=2 kg,弹簧的劲度系数k=200 N/m,重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,弹簧处于弹性限度内,求:
(1)弹簧的伸长量Δx;
(2)物体A与地面间的最小动摩擦因数μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力);
(3)剪断细绳瞬间A、B、C三个物体的加速度大小。
【答案】 (1)0.1 m　(2)0.5　(3)0　18 m/s2　0
【解析】 (1)对物体C受力分析,有kΔx=m3g,
解得Δx=0.1 m。
(2)对物体B、C整体分析可得T=(m2+m3)g,
解得T=45 N,
对物体A受力分析,由平衡条件可得
f=Tcos θ,
N=m1g-Tsin θ,f=μN,
解得物体A与地面间的最小动摩擦因数
μ=0.5。
(3)对物体A,细绳拉力消失,地面支持力突变,合力F1仍为零,加速度为aA=0,
对物体B,细绳拉力消失,弹簧弹力不变,有
m2g+m3g=m2aB,
解得aB=18 m/s2,
对物体C,弹簧弹力不变,合力F3仍为零,加速度aC=0。
解决瞬时性问题的基本思路
(1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况,求出各力大小(若物体处于平衡状态,则利用平衡条件;若处于加速状态,则利用牛顿第二定律)。
(2)分析当状态变化时(剪断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等),哪些力变化,哪些力不变,哪些力消失(被剪断的绳的弹力、被撤去物体接触面上的弹力都立即消失)。
(3)求物体在状态变化后所受到的合力,利用牛顿第二定律,求出瞬时加速度。
[针对训练3] (多选)如图甲、乙所示,图中细线均不可伸长,两小球质量相同且均处于平衡状态,细线和弹簧与竖直方向的夹角均为θ。如果突然把两水平细线剪断,则剪断瞬间(　　)
[A]图甲中小球的加速度大小为gsin θ,方向垂直于倾斜细线向下
[B]图乙中小球的加速度大小为gtan θ,方向水平向左
[C]图甲中倾斜细线与图乙中弹簧的拉力之比为1∶cos2θ
[D]图甲中倾斜细线与图乙中弹簧的拉力之比为cos2θ∶1
【答案】 AD
【解析】 设两球质量均为m,对小球分别进行受力分析如图所示,剪断水平细线后,小球A将沿圆弧摆下,故剪断水平细线瞬间,小球A的加速度a1的方向沿圆周的切线方向向下,即垂直于倾斜细线向下,则有T1=mgcos θ,F1=mgsin θ=ma1,所以a1=gsin θ,方向垂直于倾斜细线向下,故A正确;对小球B进行受力分析,水平细线剪断瞬间,小球B所受重力mg和弹簧弹力T2不变,小球B的加速度a2的方向水平向右,则有T2=,F2=mgtan θ=ma2,所以a2=gtan θ,故B错误;题图甲中倾斜细线与题图乙中弹簧的拉力之比为T1∶T2=cos2θ∶1,故C错误,D正确。
模型·方法·结论·拓展
力和运动类问题的处理思路
1.运动状态决定因素:物体的运动状态取决于物体的初速度和物体的受力情况,当物体的受力情况发生变化时,物体的运动状态也会随之发生变化。
2.解题思路:分析物体的受力情况→求合力→由牛顿第二定律求物体的加速度→将初速度与加速度相结合判断物体速度的变化情况。
[示例] (多选)如图所示,自由下落的小球,从它接触竖直放置的弹簧开始,到弹簧被压缩到最短的过程中,小球的速度大小和加速度大小的变化情况是(　　)
[A]加速度先变小后变大
[B]加速度一直变大
[C]速度先变大后变小
[D]速度一直变小
【答案】 AC
【解析】 开始阶段,弹簧的压缩量较小,因此弹簧对小球向上的弹力大小小于小球的重力大小,此时合力大小为F合=mg-kx,方向向下,随着弹簧压缩量的增加,弹力增大,故合力减小,则加速度减小,由于合力与速度方向相同,小球的速度增大;当mg=kx时,合力为零,此时速度达到最大;由于惯性,小球继续向下运动,此时合力大小为F合′=kx-mg,方向向上,小球减速,随着压缩量增大,小球所受合力增大,加速度增大。故整个过程中加速度大小为先变小后变大,速度大小为先变大后变小,选项A、C正确。
科学·技术·社会·环境
雨滴砸不死蚊子的原因
　　研究组发现,若是雨滴击中蚊子时,蚊子栖息于无法移动的地面上(如图),雨滴的速度将瞬间减小为0,这时蚊子就会承受相当于它体重10 000倍的力,足以致命。而当蚊子在空中被击中并采用“不抵抗”策略,顺应雨滴加速下落时,便能化解高速下降的雨滴带来的巨大冲击力,蚊子受到的冲击力就减小为自身重力的,只相当于在蚊子身上压了一根羽毛——这是蚊子所能承受的。
[示例] 棒球棍可以用作防身武器,但是人们发现用棒球棍击中空中飞舞的蚊子却难以将蚊子打死。已知一只蚊子质量约为5 mg,棒球棍挥舞击中蚊子的瞬时速度可以达到
80 m/s,假设蚊子在被棒球棍击中前在空中盘旋的速度忽略不计,被棒球棍击中的瞬间在0.04 s内加速到与棒球棍相同的速度,加速过程近似看作匀加速,请估算棒球棍对蚊子的作用力为多大。
【答案】 0.01 N
【解析】 设蚊子被棒球棍击中时加速度大小为a。棒球棍击中蚊子前,蚊子的速度为0。
由vt=v0+at得
a===2 000 m/s2,
所以棒球棍对蚊子的作用力
F=ma=0.01 N。
1.(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F=ma及其变形公式的理解,正确的是(　　)
[A]由F=ma可知,物体所受的合力与物体的质量成正比,与物体的加速度成正比
[B]由m=可知,物体的质量与其所受的合力成正比,与其运动的加速度成反比
[C]由a=可知,物体的加速度与其所受的合力成正比,与其质量成反比
[D]由m=可知,物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受的合力而求出
【答案】 CD
【解析】 物理公式不同于数学公式,不能单从形式上判断正比和反比关系,作用在物体上的合力,可由物体的质量和加速度计算,但并不由它们决定,A错误;质量是物体的属性,由物体本身决定,与物体是否受力无关,B错误;由牛顿第二定律知,加速度与所受合力成正比,与质量成反比,m可由其他两个量求得,C、D正确。
2.如图所示,质量为m的鱼在水中沿水平方向以加速度a从左向右匀加速游动,则下列关于水给鱼的作用力的说法正确的是(　　)
[A]大小等于零
[B]大小等于mg,方向竖直向上
[C]大小等于ma,方向水平向右
[D]大小大于mg,方向斜向右上方
【答案】 D
【解析】 根据题意可知,鱼所受重力与水给鱼的作用力的合力水平向右,
所以F=>mg,方向斜向右上方。故选D。
3.(多选)如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,A、B、C三个质量相等的物体分别用轻绳或轻弹簧连接,在沿斜面向上的恒力F作用下三者保持静止,已知重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]在轻绳被烧断的瞬间,A的加速度大小为gsin θ
[B]在轻绳被烧断的瞬间,B的加速度大小为2gsin θ
[C]突然撤去外力F的瞬间,B的加速度大小为gsin θ
[D]突然撤去外力F的瞬间,C的加速度大小为0
【答案】 BD
【解析】 把A、B、C看成是一个整体进行受力分析,根据平衡条件可得F=3mgsin θ,拉力在轻绳被烧断的瞬间,A、B之间的绳子拉力为零,对A,由牛顿第二定律3mgsin θ-mgsin θ=
ma,解得a=2gsin θ;对B,根据牛顿第二定律可得kx+mgsin θ=maB,对C,由平衡条件可得kx=mgsin θ,联立解得aB=2gsin θ,故A错误,B正确;突然撤去外力F的瞬间,对A、B整体研究2mgsin θ+kx=2maAB,解得aAB=gsin θ,突然撤去外力F的瞬间,B的加速度大小为gsin θ,
C的受力没有变化,所以加速度等于零,故C错误,D正确。
4.如图所示,质量为1 kg的物体静止在水平面上,现用大小为20 N,与水平方向成37°角斜向下的推力F作用时,沿水平方向做匀加速直线运动。(g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8)
(1)若水平面光滑,求物体加速度的大小;
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5,求物体加速度的大小。
【答案】 (1)16 m/s2　(2)5 m/s2
【解析】 (1)对物体进行受力分析如图甲所示,
水平方向根据牛顿第二定律得Fcos 37°=ma1,
解得a1=16 m/s2。
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5,受力分析如图乙所示,水平方向根据牛顿第二定律得
Fcos 37°-f=ma2,
竖直方向根据平衡条件可得
N=mg+Fsin 37°,
根据摩擦力的计算公式可得f=μN,
联立解得a2=5 m/s2。
课时作业
(分值:75分)
单选题每题4分,多选题每题6分。
1.(多选)关于牛顿第二定律,下列说法正确的是(　　)
[A]牛顿第二定律的表达式F=ma是矢量式,a与F方向始终相同
[B]某一瞬间的加速度,只能由这一瞬间的外力决定,而与这一瞬间之前或之后的外力无关
[C]在公式F=ma中若F为合力,则a等于作用在该物体上的每一个力产生的加速度的矢量和
[D]物体的运动方向一定与物体所受合力的方向相同
【答案】 ABC
【解析】 牛顿第二定律的表达式F=ma是矢量式,a与F方向始终相同,故A正确;根据a=知,合力变化时,加速度随之变化,某一瞬间的加速度,只能由这一瞬间的外力决定,而与这一瞬间之前或之后的外力无关,故B正确;在公式F=ma中,若F为合力,a等于作用在物体上的合力与质量的比值,根据力的独立作用原理知,a等于作用在该物体上的每一个力产生的加速度的矢量和,故C正确;根据F=ma知加速度的方向与合力的方向相同,但运动的方向不一定与加速度方向相同,所以物体的运动方向与物体所受合力的方向不一定相同,故D错误。
2.一乘客乘坐商场扶梯上楼,遇到紧急情况,扶梯启动了紧急制动功能,乘客随扶梯一起做减速运动。关于乘客的受力分析正确的是(　　)
[A]　 　　 [B]
[C]　　 　 [D]
【答案】 D
【解析】 由于向上做减速运动,加速度沿斜面向下,根据牛顿第二定律可知,所受合力沿斜面向下,因此乘客所受的摩擦力沿水平方向向左,而且乘客受到的支持力小于重力。故选D。
3.(多选)力F1单独作用在物体A上时产生的加速度a1大小为5 m/s2,力F2单独作用在物体A上时产生的加速度a2大小为2 m/s2,那么,力F1和F2同时作用在物体A上时产生的加速度a的大小可能是(　　)
[A]5 m/s2 [B]2 m/s2
[C]8 m/s2 [D]6 m/s2
【答案】 AD
【解析】 设物体A的质量为m,则F1=ma1,F2=ma2,当力F1和F2同时作用在物体A上时,合力的大小范围是|F1-F2|≤F≤F1+F2,即|ma1-ma2|≤ma≤ma1+ma2,加速度的大小范围为
3 m/s2≤a≤7 m/s2,故选A、D。
4.一台吊车用互成角度的绳子吊起货物,两段绳子与水平方向的夹角均为60°,示意图如图所示。绳的质量不计,且绳子能承受的最大拉力为700 N,已知货物质量为200 kg,重力加速度g取10 m/s2。要使绳子不被拉断,则货物上升的最大加速度为(　　)
[A]0.2 m/s2 [B]0.4 m/s2
[C]0.5 m/s2 [D]1 m/s2
【答案】 C
【解析】 对货物受力如图所示,当绳子的拉力达到最大时,货物的加速度最大,根据牛顿第二定律有2Tsin 60°-mg=ma,代入数据解得最大加速度为a=0.5 m/s2。故选C。
5.小球A、B的质量分别为m和3m,用轻弹簧连接,然后用细线悬挂起来处于静止状态,则剪断细线的瞬间,A球和B球的加速度分别为(　　)
[A]aA=2g [B]aA=4g
[C]aB=-g [D]aB=g
【答案】 B
【解析】 悬线剪断前,以B为研究对象,由平衡条件可知弹簧的弹力F=3mg,以A、B整体为研究对象可知悬线的拉力为4mg;剪断悬线瞬间,悬线拉力消失,弹簧的弹力不变,根据牛顿第二定律得,对A,mg+F=maA,得aA=4g,对B,F-3mg=3maB,得aB=0,故B正确,A、C、D
错误。
6.三个完全相同的物块A、B、C放在水平桌面上,它们与桌面间的动摩擦因数均相同。现用大小相同的外力F沿图所示方向分别作用在A和B上,用F的外力沿水平方向作用在C上,使三者都做加速运动,分别用a1、a2、a3表示物块A、B、C的加速度,则(　　)
[A]a1=a2=a3 [B]a1=a2,a2>a3
[C]a1>a2,a2a2,a2>a3
【答案】 C
【解析】 对物块A,由牛顿第二定律得,Fcos 60°-f=ma1,即-μ(mg-Fsin 60°)=ma1;对物块B,由牛顿第二定律得Fcos 60°-f′=ma2,即-μ(mg+Fsin 60°)=ma2;对物块C,由牛顿第二定律得F-f″=ma3,即-μmg=ma3;比较得a1>a3>a2,故C正确。
7.(多选)如图所示,在动摩擦因数μ=0.2的水平面上有一个质量m=1 kg的小球,小球与水平轻弹簧一端及与竖直方向成θ=45°角的不可伸长的轻绳一端相连,此时小球处于静止状态,且水平面对小球的弹力恰好为零。在剪断轻绳的瞬间。下列说法正确的是(g取10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
[A]弹簧的弹力不变
[B]小球立即获得向左的加速度,且a=8 m/s2
[C]小球立即获得向左的加速度,且a=10 m/s2
[D]若剪断的是弹簧,则剪断瞬间小球加速度的大小a=10 m/s2　
【答案】 AB
【解析】 剪断轻绳瞬间,弹簧弹力不会突变,故A正确;剪断轻绳前,f=0,弹簧弹力与小球重力大小相等,F=10 N,剪断轻绳的瞬间,水平面对小球的弹力变为N=mg=10 N,f=μN=μmg=
2 N,小球加速度a===8 m/s2,故B正确,C错误;若剪断弹簧,轻绳对小球的拉力瞬间为零,此时小球所受到的合力为零,则小球的加速度为零,故D错误。
8.(多选)如图所示,物体的质量m=2 kg,斜面倾角θ=37°,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,重力加速度g取10 m/s2。下列关于加速度的计算结果正确的是(　　)
[A]若μ=0,让物体在斜面上自由滑行,则物体向上滑行的加速度小于向下滑行的加速度
[B]若μ=0.5,给物体一初速度使其沿斜面向上滑行,则物体的加速度大小为10 m/s2
[C]若μ=0.5,给物体一初速度使其沿斜面向下滑行,则物体的加速度大小为2 m/s2
[D]若μ=0.5,对物体施加一水平向右的推力F=48 N,则物体的加速度大小为2 m/s2
【答案】 BCD
【解析】 若μ=0,由受力分析可得,无论物体向上滑行或向下滑行,其加速度均为a==gsin θ,物体向上滑行的加速度等于向下滑行的加速度,选项A错误;若μ=0.5,物体向上滑行的加速度为a==gsin θ+μgcos θ=10 m/s2,选项B正确;若μ=0.5,物体向下滑行的加速度为a==gsin θ-μgcos θ=2 m/s2,选项C正确;若μ=0.5,并施加一水平向右的推力F,由受力分析可得,
物体的加速度为a==2 m/s2,选项D正确。
9.一弹簧一端固定在墙上O点,可自由伸长到B点,其右端连接一小物体,今将弹簧压缩到C点,然后释放,小物体能运动到A点静止,物体与水平地面间的动摩擦因数恒定,如图所示。试判断下列说法正确的是(　　)
[A]物体从C到A的速度越来越小
[B]物体从B到A受到的弹力一直向右
[C]物体从C到A受到的摩擦力一直向左
[D]物体从C到B一直做加速运动,从B到A一直做减速运动
【答案】 C
【解析】 由于水平方向受到弹簧的弹力和滑动摩擦力,弹力与形变量成正比,滑动摩擦力为恒力,从C到B过程中,弹簧的弹力先大于摩擦力,后小于摩擦力,则知物体先加速后减速,从B到A过程,摩擦力方向向左,弹簧伸长,弹力也向左,物体一直做减速运动,故A错误;从B到A过程,物体向右运动,弹簧处于伸长状态,弹力向左,故B错误;物体从C到A向右运动,物体与地面之间的摩擦力是滑动摩擦力,摩擦力方向一直水平向左,故C正确;由以上分析可知,物体从C到B,先加速后减速,而从B到A一直做减速运动,故D错误。
10.如图,A、B两球质量相等,光滑斜面的倾角为θ,图甲中,A、B两球用轻弹簧相连,图乙中,A、B两球用轻质杆相连,系统静止时,挡板C与斜面垂直,轻弹簧、轻杆均与斜面平行,在突然撤去挡板的瞬间(　　)
[A]两图中两球加速度均为gsin θ
[B]两图中A球的加速度均为零
[C]图乙中轻杆的作用力一定为零
[D]图甲中B球的加速度是图乙中B球加速度的3倍
【答案】 C
【解析】 对题图甲,弹簧弹力F=mgsin θ,突然撤去挡板的瞬间,弹簧形变量不变,弹力不变,对A球进行受力分析,仍处于平衡状态,加速度为0;对B球进行受力分析,根据牛顿第二定律F+mgsin θ=maB,解得aB=2gsin θ。对题图乙,轻杆为刚性杆,突然撤去挡板的瞬间,轻杆作用力突变为0,以AB为整体,根据牛顿第二定律有2mgsin θ=2ma,解得a=gsin θ,即A、B的加速度都为gsin θ,综上所述可知C正确,A、B、D错误。
11.如图所示,质量分别为M和m的物块由相同的材料制成,且M>m,将它们用通过光滑的轻质定滑轮的轻细线连接。如果按图甲放置,则质量为m的物块恰好匀速下降。若将两物块互换位置,如图乙所示,它们的共同加速度大小为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题图甲可知,物体m匀速运动,有T=mg,物体M也做匀速运动,则T=μMg,联立解得μ=,题图乙中,对M有Mg-T′=Ma,对m有T′-μmg=ma,联立解得a=。故选A。
12.(8分)在平直路面上,质量为1 100 kg的汽车在进行研发测试,当速度达到100 km/h时取消动力,经过70 s停了下来。汽车受到的阻力大小是多少 重新起步加速时牵引力为
2 000 N,产生的加速度大小是多少 假定试车过程中汽车受到的阻力不变。(结果保留3位有效数字)
【答案】 437 N　1.42 m/s2
【解析】 以汽车为研究对象。设汽车运动方向为x轴正方向,建立一维坐标系。取消动力后,汽车做匀减速直线运动。初速度v0=100 km/h≈27.8 m/s,末速度为零,滑行时间t=70 s。根据匀变速直线运动的规律,加速度为a1==-,
汽车受到的阻力为
F阻=ma1=-=-
≈-437 N,
汽车受到的阻力是437 N,方向与运动方向相反。
重新起步后,汽车所受到的合力为
F合=F牵-F阻=2 000 N-437 N=1 563 N,
由牛顿第二定律可以得到汽车的加速度
a2==≈1.42 m/s2,
重新起步产生的加速度是1.42 m/s2,方向与运动方向相同。
13.(15分)某运动员进行跳伞训练,他打开降落伞后的速度—时间图线如图甲所示。降落伞用8根对称的绳悬挂运动员,每根绳与中轴线的夹角均为37°,如图乙所示。已知该运动员的质量为50 kg,降落伞质量也为50 kg,不计运动员所受的阻力,打开伞后伞所受阻力F阻与速度v成正比,即F阻=kv (g取10 m/s2,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6)。
(1)求打开降落伞前运动员下落的距离。
(2)求阻力系数k和打开伞后瞬间的加速度a的大小。
(3)为了安全,每根绳至少要能够承受多大的拉力
【答案】 (1)20 m　(2)200 kg/s　30 m/s2
(3)312.5 N
【解析】 (1)由题图甲可知,打开降落伞瞬间运动员的速度大小为v0=20 m/s,打开降落伞前运动员做自由落体运动,根据速度与位移公式得
h0==20 m。
(2)由题图甲可知,当速度等于5 m/s时,运动员与降落伞做匀速运动,受力平衡,则有kv=2mg,
可得k==200 kg/s,
刚打开降落伞瞬间,根据牛顿第二定律可得
kv0-2mg=2ma,
可得加速度大小为a==30 m/s2。
(3)由题知,刚打开降落伞时,每根绳对运动员的拉力最大,设为T,以运动员为研究对象,根据牛顿第二定律得8Tcos 37°-mg=ma,
解得T==312.5 N,
所以每根绳至少要能够承受312.5 N的拉力。

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