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第十章《二元一次方程组》章节复习题
一、单选题
1．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，解为的二元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
3.解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知关于的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.某车间有名工人，生产桌面和桌腿，张桌子配条桌腿，每人每天可生产桌面个或桌腿条，设人生产桌面，人生产桌腿，使桌面和桌腿配套，则方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7.小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ）
A．， B．，8 C．1， D．，1
二、填空题
8.由得到用x表示y的式子为 ．
9.如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为 ．
10.若，则______．
11.已知是关于y的一元一次方程，则的值为______．
12.若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为 ．
13.若方程组的解是，则方程组的解是______．
14.如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________．
15.在学移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______．
三、解答题
16.解下列方程组：
(1)； (2)．
(3) (4)
(5) (6)
17.已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值．
18.已知关于，的二元一次方程组
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求的值．
19.定义：如果两个一元一次方程的解之和为，那么我们就称这两个方程为“和方程”．例如：方程和为“和方程”．
(1)若关于的方程与方程是“和方程”，求的值；
(2)若“和方程”的两个方程解的差为，其中一个解为，求的值．
20.阅读下面材料，回答问题：
解方程组：
解：由①＋②，得，化简，得③．
将③代入①，得，解得．
将③代入②，得，解得．
所以原方程组的解为
这种解二元一次方程组的方法叫作整体求值法．
(1)已知，则________；
(2)已知关于的方程组的解满足，求的值；
(3)请仿照上面的解题思路，解方程组：．
21.某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
冰墩墩 30 40
雪容融 50 65
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
22.某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
(2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，恰好每辆车都坐满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
23.某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表：
A型 B型 C型
满199减76 满99减36 满49减16
在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物．
(1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券”
(2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？
(3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？
24.春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个．
(1)该工厂有男工、女工各多少名？
(2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？
25.双十一期间，某超市开展促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材探索完成任务．
生活中的数学问题
素材1 该超市有大瓶和小瓶两种型号的A品牌牛奶，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元．
素材2 小文在超市购买了8瓶A品牌牛奶，共花了89元．
问题解决
任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由．
任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，则小文购买的A品牌的大瓶牛奶和小瓶牛奶分别为多少瓶？
26.解决问题：解决挖掘机的租用和保养问题
素材1：我校现准备对学校南门的主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
素材2：制定租用计划：为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换．现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还差25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元．
型号 挖掘土石方量（单位： /台·时） 租金（单位：元/台·时）
甲型 18 120
乙型 24 150
(1)任务1：制定租用计划，若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
(2)任务2：探究租用方案，若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案，哪种方案租金最省，最省租金为多少？
(3)任务3：确定保养费用，基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为________元（用含w代数式表示）．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意；
D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意；
故选：C．
2.B
解：A：∵，
∴不是方程的解；
B：∵，
∴是该方程的解；
C：∵，
∴不是方程的解；
D：∵，
∴不是方程的解；
故选：B．
3.D
解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为，
∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等，
∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是．
观察四个选项，选项D符合题意．
4.B
解：是关于，的二元一次方程的一组解，
，
．
5.A
解：由题意得
由②，得，
将③代入①，得，
解得，
∴，
∴．
6.B
解：车间共有名工人，人生产桌面，人生产桌腿，
总人数满足方程，
张桌子配条桌腿，则每天生产的桌腿总数量应为桌面总数量的倍，
又人每天生产桌面总数为，人每天生产桌腿总数为，
可得等量关系，
所列方程组为 ．
7.A
解：设●，※两处分别代表的是，，
∵，
∴，
解得．
二、填空题
8.
解：
，
故答案为：．
9.1
解：把代入关于x，y的二元一次方程中，得，
解得，
故答案为：
10.
解：∵，
∴，解得：，
∴．
11.
由一元一次方程的定义，得，
解得，
所以．
故答案为：．
12.1
解：∵x与y互为相反数，
∴，即，
把代入，可得：，
解得：，
故答案为：1；
13.
解：设，则原方程组可化为，
方程组的解是，
，
，
，
方程组的解是．
14.
解：由已知得：，
得：，
∴．
即x与a的数量关系为．
15.
解：设大正方形边长，小正方形边长，
依题意得，
解得，
设重叠的小正方形边长，
依题意得，
解得，
两块阴影部分的周长和，
阴影面积
三、解答题
16.（1）解：，
由②①得；
将代入①得；
原方程组的解为；
（2）解：，
整理得，
由①②得；
将代入①得；
原方程组的解为．
（3）解：
把②代入①可得：，解得：，
把代入②得：，
∴原方程组的解为；
（4）解：
得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为；
（5）解：
得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为；
（6）解：
得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
17.解:∵两个方程组的解相同，
∴先解方程组，
由得，
将代入得，
解得，
将代入，得；
∴两个方程组的公共解为，
将代入含有的方程组，即，
∴，
由得，
解得，
将代入得，
解得．
18.（1）将方程变形为 ，
因为、是正整数，所以，即，
因为是正整数，
∴或；
当时，；
当时，；
因此所有正整数解为：
，；
（2）由题意，方程组的解满足，
联立得： ，
由得，
代入，解得，．
将，代入方程，得 ，
解得．
19.（1）解：，
，
；
，
，
，
，
∵关于的方程与方程是“和方程”，
∴，
，
，
，
∴的值为；
（2）解：设另一个方程的解为，
∵“和方程”的两个方程解的差为，
∴，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
20.（1）解：，
，得，
解得；
（2）解：，
，得，
化简，得，
∵，
∴，
解得；
（3）解：，
，得，即，
把③代入②，得，解得，
把代入③，得；
∴．
21.（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，
根据题意得：，
解得：，
答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个；
（2）解：由题意可知，（元）
设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，
根据题意得：，
整理得：，
、b为正整数，
或或或，
答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个．
22.（1）解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生；
由题意得：，
解得：；
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生；
（2）解：由题意得，
则；
由于m、n为正整数，且n只能是4的倍数；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当n为大于16的4的倍数时，不符合题意；
故有三种租车方案：方案一：小客车租24辆，大客车租4辆；方案二：小客车租15辆，大客车租8辆；方案三：小客车租6辆，大客车租12辆．
23.（1）解：设她用了张B型“消费券”，
由题意得：，
解得：，即她用了张B型“消费券”，
故答案：；
（2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，
由题意得：，解得：，
答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张；
（3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张，
由题意可知，、、均为正整数，且，，，
①若她使用了A、B型“消费券”，
则，
化简得：，
此时，、的可能取值为，；
②若她使用了A、C型“消费券”，
则，
化简得：，
此时，、的可能取值为，；
③若她使用了B、C型“消费券”，
则，
化简得：，
此时，、的可能取值为，；
即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；
若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，
则实际付款金额为元；
若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张，
则实际付款金额为；
若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张，
则实际付款金额为，
即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少．
24.（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名，
根据题意，得，
解得：，
答：设该工厂有男工25人，女工65人．
（2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，
根据题意，得，
解得：，
答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套．
25.解：任务1：设A品牌的大瓶牛奶买了瓶，A品牌的小瓶牛奶买了瓶．
由题意得，
解得，
∵均为整数，
∴按原价购买，不可能是89元；
任务2：设小文购买的A品牌的大瓶牛奶为瓶，A品牌的小瓶牛奶为瓶，
由题意得，
解得，
答：小文购买的A品牌牛奶大瓶为3瓶，小瓶为5瓶．
26.（1）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台；
（2）解：设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
又，均非负整数，
或或，
∴共有3种租用方案：
方案1：租用甲型挖掘机10台，乙型挖掘机0台，所需租金为（元）；
方案2：租用甲型挖掘机6台，乙型挖掘机3台，所需租金为（元）；
方案3：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，所需租金为（元）．
，
∴租金最少的方案为租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台，最省租金为1140元；
（3）解：由（2）得，所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
（元）．
故实际保养费用为元．

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