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广东汕头市濠江区2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
1．在一次数学测验中，比平均分高5分记作分，那么比平均分低8分应记作（　　）
A． B． C．分 D．8分
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题目规定比平均分高记为正，比平均分高5分记作分，
∴比平均分低与比平均分高是相反意义的量，应当记为负，
因此比平均分低8分应记作分．
故答案为：C
【分析】
根据正负数表示相反数： 比平均分高记作+，那么比平均分低记作-，解答即可 ．
2．我国的陆地面积约为，数字9600000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
4．化简的结果是（　　）
A．10 B．20 C．40 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】
根据二次根式的乘法法则：，然后化简即可解答．
5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，得；
再数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】
先解不等式得到，再数轴上表示时：大于对应向右绘制射线，含等号的解集在数轴上用实心圆点表示，逐一判断即可解答．
6．如图是我国古代一种瓷枕，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是：
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
7．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补可求出∠BGP与∠DGP的度数，然后根据角的构成，由∠EGF=∠BGP+∠DGP计算可得答案.
8．《增删算法统宗》是清代数学家梅珏成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意是：有一根竿子和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿长尺，绳索长尺，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
可列方程组为，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设竿长尺，绳索长尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，列出方程组，即可得到答案．
9．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（　　）
A．十二 B．十八 C．十 D．十六
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵正多边形的内角与外角互补。
∴该正多边形的一个外角为，
∵任意多边形的外角和恒为，正多边形所有外角都相等，
∴该多边形边数为．
∴该多边形的边数是十八．
故答案为：B
【分析】根据正多边形的定义：边长相等，各个内角相等，各个外角页相等，然后根据正多边形内角与外角互补的性质，以及外角和为360，计算得到多边形的边数，解答即可．
10．如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则，
∴，
∵，
∴此时，点为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据同角的余角相等利用AA证明，根据相似三角形的性质得到 ；观察函数图象得当时，有最大值，面积为，根据三角形的面积公式表示出，求出，从而得到点为中点，根据中点的定义得到，根据等腰三角形的性质和同角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定得到，即可算出，再利用勾股定理算出AB，即可解答．
11．多项式中各项的公因式是　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的两项分别为，，
各项的公因式为．
故答案为：
【分析】
根据公因式的定义：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂，由此即可解答.
12．计算：　 　．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：3
【分析】
先计算，再计算特殊的三角函数，再开方计算，再算零指数幂，最后再计算二次根式的混合运算，解答即可.
13．若关于的方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
①+②得：，
提取公因式得：，
，
将代入得：，
解得：，
∴．
故答案为：9
【分析】
根据加减消元法解二元一次方程组：将①+②，化简得到，再整体代值计算得到，根据同底数幂的乘法法则，再代值计算即可解答.
14．从下列各数、、0、、、、中随机选1个数，则选到无理数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可知，，给出的数共有个，
其中无理数为，，，共个，
则选到无理数的概率是．
故答案为：.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．如图，在中，，在线段上，且，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正弦的概念
【解析】【解答】解：过点作于，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
解得：（舍去）或，
经检验是原分式方程的解，
∴的长为．
故答案为：
【分析】
过点作于，设，表示出，利用勾股定理计算出AD，再根据等腰直角三角形的性质得到，再用勾股定理表示出AB，根据正弦的定义列出方程，解答即可．
16．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步）
（1）第______步等式变形产生错误；
（2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．
【答案】（1）
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．
正确过程：
两边同时加，得，
两边同时减，得，
两边同时除以，得．
【知识点】等式的基本性质；解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：第步等式变形产生错误，
故答案为：.
【分析】（1）利用等式的性质分析求解即可；
（2）利用一元一次方程的计算方法分析求解即可.
（1）解：第步等式变形产生错误，
故答案为：；
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．
正确过程：
两边同时加，得，
两边同时减，得，
两边同时除以，得．
17．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．求点到靠背的距离．（精确到）其中．
【答案】解：延长交于点，
根据题意，得，，
∴，
，，
∴，
答：点到靠背的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】延长交于点， 根据平行线的性质得到，在中，根据正弦的定义求出CF，解答即可．
18．快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时．求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？
【答案】解：设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：一名工人每小时可分拣件货物，一台机器人每小时可分拣件货物．
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，根据 这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时 建立方程，解方程并检验，解答即可.
19．某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表：
组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟
A 15
B 47
C 80
D 105
E 200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组；
（2）求本次采集的这60个数据的平均数；
（3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？
【答案】（1）解：组的频数为，
补全条形统计图如下：
（2）解：（分钟），
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
（3）解：（辆，
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】
解：（1）中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组，
这60个数据的中位数落在组；
故答案为：；
【分析】
（1）根据组的频数=总数-其余各组的频数，再补全条形统计图；根据中位数的定义将这组数据从小到大排列后取第30个和31个数据的平均数，解答即可；
（2）根据平均数公式计算即可解答；
（3）根据样本估计总体：用1000停车时长不超过60分钟的百分比，计算即可解答．
（1）解：组的频数为，
补全条形统计图如下：
中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组，
这60个数据的中位数落在组；
故答案为：；
（2）解：（分钟），
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
（3）解：（辆，
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
20．如图，是的直径，点是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
与切点，
，
，
点是半圆的三等分点，
∴，
，
，
，
，
∴内错角相等，两直线平行，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
于点，为直径，
，
在中，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等分点的性质得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，计算得出；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据平行线的判定得到，从而证明四边形是平行四边形，根据半径相等即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据垂径定理得到，在中根据正弦的定义求得DF，从而求得的长，解答即可．
（1）证明：连接，
与切点，
，
，
点是半圆的三等分点，
∴，
，
，
，
，
∴内错角相等，两直线平行，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
于点，为直径，
，
在中，，
，
．
21．综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当时，；
当时，；
当时，；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
（1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明．
（2）【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．
【答案】（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
（2）证明：，
．
又为整数，
能被4整除．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次根式的性质与化简；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】
（1）举例当时，验证猜想即可，设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，根据材料计算，代入计算化简即可解答；
（2）根据题意先表示出，，再代入等式 ，根据二次根式的性质化简证明即可解答．
（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
（2）证明：，
．
又为整数，
能被4整除．
22．如图1，在四边形中，已知．
（1）求的长；
（2）在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中分别是的对应点．
①当点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②请在图3用尺规作图画出点恰好落在边上时的位置，并求出此时的长度．
（3）如图4，连接交于点，为中点，连接．当点在线段上运动时，直接写出当最大时的值为___________．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②如图，在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（3）由折叠的性质得是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，如图
∴当最大时，与相切，
又∵
∴是的切线
如图，
∵分别是的切线，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴点在为直径的圆上，
∴，
∴点P在上，
∴四边形是矩形，
∴，
过点M作，交于点，连接，
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
则
∵
∴
解得：，即，
∴．
故答案为：
【分析】
（1）根据AA判定，根据相似三角形的性质得到，利用勾股定理求得，再将数据代入比例中计算求解即可；
（2）①由折叠的性质得，，再利用角度的和差计算得到证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形解答即可；
②在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；延长和相交于点，连接，根据折叠的性质得，，，即可推导出四边形是矩形，再根据邻边相等可证明四边形是正方形，再根据正方形的性质和勾股定理计算出BC，根据可得，根据相似三角形的性质建立比例关系计算即可解答；
（3）先利用折叠的性质求得，从而得出点在以为直径的上， 当最大时与相切时，根据切线长定理得到， 根据中点的定义得到 ，从而判定得到点在为直径的圆上， 根据得到点P在上， 从而判定得到四边形是矩形， 过点M作，交于点，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，设，表示出DN=8-x， 在中利用勾股定理建立方程计算得到x的值，然后根据正切的定义求出即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②如图，在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质得是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，如图
∴当最大时，与相切，
又∵
∴是的切线
如图，
∵分别是的切线，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴点在为直径的圆上，
∴，
∴点P在上，
∴四边形是矩形，
∴，
过点M作，交于点，连接，
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
则
∵
∴
解得：，即，
∴．
23．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积；
（3）如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标．
（4）如图3，在（3）的条件下，在正方形外部，以为边向外作正方形，连接，点是线段上的一个动点，过点作轴，交直线于点．当的面积取得最大值时，过点作直线，使得直线与反比例函数的图象有且只有一个交点．请直接写出直线的解析式．
【答案】（1）解：当，则，即点，
∴，
解得
则直线的解析式为：；
（2）解：如图1，设直线交y轴于点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴点，
∴，
联立直线和反比例函数的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，
则
；
（3）解：由点A、B的坐标得：，∵以线段为对角线作正方形，
∴，
∵，
∴，
即点，
在正方形中，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
解得：
∴点，
过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示：
则，，
∴，
当时，
，
又∵，
∴，即点G的纵坐标为，
同理可得：，
即点，
当时，
同理可得点，
即点G的坐标为：或；
如图，过点N作，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
根据中点坐标公式得：点或，
同理，根据点、F的坐标得直线的表达式为：，
∵，
∴设的表达式为
把代入得：，
解得：，
∴此时的表达式为，
联立，
解得：，
∴此时点；
同理可得：当时，的表达式为，
联立，
解得：，
此时点；
综上点N的坐标为或．
（4）或或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）根据解析（3）可得：点F的坐标为，
∵四边形为正方形，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴点B、F、M在同一直线上，
∵，
∴点F为的中点，
∵
∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为，
∵，
∴同理可得直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点的坐标为，
过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴直线l的解析式可以是或；
当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为，把代入得：
，
∴，
∴直线l的解析式为，
令，
整理得：，
当时，方程有一个解，直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点，
将方程整理得：，
解得：或，
当时，，直线l的解析式为：
；
当时，，直线l的解析式为：
；
综上直线l的解析式为：或或或．
故答案为：或或或．
【分析】
（1）根据反比例函数解析式先求出点A的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可解答；
（2）设直线交y轴于点， 设直线的解析式为， 然后用待定系数法求出一次函数解析式为：，再算出与y轴的交点，再根据一次函数解析式和反比例函数解析式求出点，再根据三角形的面积公式，解答即可；
（3）根据两点之间的距离公式得，根据正方形得性质得到BE，利用勾股定理求出OE，根据中点坐标公式计算得点，过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、，利用AA证明，根据相似三角形得比例关系求出点的坐标为或，过点N作，根据平行线得性质得到，，再利用ASA证明， 根据全等三角形得性质和中点坐标公式求出点或，根据待定系数法求出直线的表达式为，根据求出的表达式为， ，联立直线方程求出或解答即可；
（4） 先由上体得到点F的坐标为 ，根据正方形得性质和中点得坐标公式得到点M的坐标为，再由求出直线的解析式为，设，表示出，根据两点之间得距离公式表示出 ， 再利用三角形得面积公式表示出，根据二次函数的性质得出当时有最大值，得到此时点的坐标为，根据直线与反比例函数的图象有且只有一个交点利用，求出k的值，然后再根据k的值求出b的值，再写出函数解析式，解答即可．
（1）解：当，则，即点，
∴，
解得
则直线的解析式为：；
（2）解：如图1，设直线交y轴于点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴点，
∴，
联立直线和反比例函数的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，
则
；
（3）解：由点A、B的坐标得：，
∵以线段为对角线作正方形，
∴，
∵，
∴，
即点，
在正方形中，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
解得：
∴点，
过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示：
则，，
∴，
当时，
，
又∵，
∴，即点G的纵坐标为，
同理可得：，
即点，
当时，
同理可得点，
即点G的坐标为：或；
如图，过点N作，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
根据中点坐标公式得：点或，
同理，根据点、F的坐标得直线的表达式为：，
∵，
∴设的表达式为
把代入得：，
解得：，
∴此时的表达式为，
联立，
解得：，
∴此时点；
同理可得：当时，的表达式为，
联立，
解得：，
此时点；
综上点N的坐标为或．
（4）解：根据解析（3）可得：点F的坐标为，
∵四边形为正方形，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴点B、F、M在同一直线上，
∵，
∴点F为的中点，
∵
∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为，
∵，
∴同理可得直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点的坐标为，
过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴直线l的解析式可以是或；
当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为，把代入得：
，
∴，
∴直线l的解析式为，
令，
整理得：，
当时，方程有一个解，直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点，
将方程整理得：，
解得：或，
当时，，直线l的解析式为：
；
当时，，直线l的解析式为：
；
综上，直线l的解析式为：或或或．
1 / 1广东汕头市濠江区2025-2026学年九年级下学期3月阶段检测数学试题
1．在一次数学测验中，比平均分高5分记作分，那么比平均分低8分应记作（　　）
A． B． C．分 D．8分
2．我国的陆地面积约为，数字9600000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．化简的结果是（　　）
A．10 B．20 C．40 D．
5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是我国古代一种瓷枕，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．《增删算法统宗》是清代数学家梅珏成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意是：有一根竿子和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿长尺，绳索长尺，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
9．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（　　）
A．十二 B．十八 C．十 D．十六
10．如图（a），在中，，为边的高，，，分别为边，上的动点，且．设的长为，的面积为，图（b）为点运动时随变化的关系图象，则的长度为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
11．多项式中各项的公因式是　 　．
12．计算：　 　．
13．若关于的方程组的解满足，则的值为　 　．
14．从下列各数、、0、、、、中随机选1个数，则选到无理数的概率是　 　．
15．如图，在中，，在线段上，且，若，则的长为　 　．
16．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步）
（1）第______步等式变形产生错误；
（2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值．
17．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．求点到靠背的距离．（精确到）其中．
18．快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时．求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？
19．某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况．超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表：
组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟
A 15
B 47
C 80
D 105
E 200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组；
（2）求本次采集的这60个数据的平均数；
（3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？
20．如图，是的直径，点是半圆的三等分点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当时，；
当时，；
当时，；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
（1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明．
（2）【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．
22．如图1，在四边形中，已知．
（1）求的长；
（2）在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中分别是的对应点．
①当点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由；
②请在图3用尺规作图画出点恰好落在边上时的位置，并求出此时的长度．
（3）如图4，连接交于点，为中点，连接．当点在线段上运动时，直接写出当最大时的值为___________．
23．如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积；
（3）如图2，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标．
（4）如图3，在（3）的条件下，在正方形外部，以为边向外作正方形，连接，点是线段上的一个动点，过点作轴，交直线于点．当的面积取得最大值时，过点作直线，使得直线与反比例函数的图象有且只有一个交点．请直接写出直线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题目规定比平均分高记为正，比平均分高5分记作分，
∴比平均分低与比平均分高是相反意义的量，应当记为负，
因此比平均分低8分应记作分．
故答案为：C
【分析】
根据正负数表示相反数： 比平均分高记作+，那么比平均分低记作-，解答即可 ．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】
根据二次根式的乘法法则：，然后化简即可解答．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式，得；
再数轴上表示为：
故答案为：D．
【分析】
先解不等式得到，再数轴上表示时：大于对应向右绘制射线，含等号的解集在数轴上用实心圆点表示，逐一判断即可解答．
6．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意得：其主视图是：
故答案为：D．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，同旁内角互补可求出∠BGP与∠DGP的度数，然后根据角的构成，由∠EGF=∠BGP+∠DGP计算可得答案.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
可列方程组为，
故选：D．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设竿长尺，绳索长尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”，列出方程组，即可得到答案．
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的概念与分类
【解析】【解答】解：∵正多边形的内角与外角互补。
∴该正多边形的一个外角为，
∵任意多边形的外角和恒为，正多边形所有外角都相等，
∴该多边形边数为．
∴该多边形的边数是十八．
故答案为：B
【分析】根据正多边形的定义：边长相等，各个内角相等，各个外角页相等，然后根据正多边形内角与外角互补的性质，以及外角和为360，计算得到多边形的边数，解答即可．
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
根据函数图象得：当时，有最大值，面积为，则，
∴，
∵，
∴此时，点为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据同角的余角相等利用AA证明，根据相似三角形的性质得到 ；观察函数图象得当时，有最大值，面积为，根据三角形的面积公式表示出，求出，从而得到点为中点，根据中点的定义得到，根据等腰三角形的性质和同角的余角相等得到，根据等腰三角形的判定得到，即可算出，再利用勾股定理算出AB，即可解答．
11．【答案】
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】解：多项式的两项分别为，，
各项的公因式为．
故答案为：
【分析】
根据公因式的定义：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂，由此即可解答.
12．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；开平方（求平方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：3
【分析】
先计算，再计算特殊的三角函数，再开方计算，再算零指数幂，最后再计算二次根式的混合运算，解答即可.
13．【答案】9
【知识点】同底数幂的乘法；解二元一次方程；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
①+②得：，
提取公因式得：，
，
将代入得：，
解得：，
∴．
故答案为：9
【分析】
根据加减消元法解二元一次方程组：将①+②，化简得到，再整体代值计算得到，根据同底数幂的乘法法则，再代值计算即可解答.
14．【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可知，，给出的数共有个，
其中无理数为，，，共个，
则选到无理数的概率是．
故答案为：.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】解分式方程；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正弦的概念
【解析】【解答】解：过点作于，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
解得：（舍去）或，
经检验是原分式方程的解，
∴的长为．
故答案为：
【分析】
过点作于，设，表示出，利用勾股定理计算出AD，再根据等腰直角三角形的性质得到，再用勾股定理表示出AB，根据正弦的定义列出方程，解答即可．
16．【答案】（1）
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．
正确过程：
两边同时加，得，
两边同时减，得，
两边同时除以，得．
【知识点】等式的基本性质；解一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：第步等式变形产生错误，
故答案为：.
【分析】（1）利用等式的性质分析求解即可；
（2）利用一元一次方程的计算方法分析求解即可.
（1）解：第步等式变形产生错误，
故答案为：；
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为．
正确过程：
两边同时加，得，
两边同时减，得，
两边同时除以，得．
17．【答案】解：延长交于点，
根据题意，得，，
∴，
，，
∴，
答：点到靠背的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系；正弦的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】延长交于点， 根据平行线的性质得到，在中，根据正弦的定义求出CF，解答即可．
18．【答案】解：设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
，
答：一名工人每小时可分拣件货物，一台机器人每小时可分拣件货物．
【知识点】解分式方程；列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【分析】
设每名工人每小时可分拣件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物，根据 这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时 建立方程，解方程并检验，解答即可.
19．【答案】（1）解：组的频数为，
补全条形统计图如下：
（2）解：（分钟），
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
（3）解：（辆，
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】
解：（1）中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组，
这60个数据的中位数落在组；
故答案为：；
【分析】
（1）根据组的频数=总数-其余各组的频数，再补全条形统计图；根据中位数的定义将这组数据从小到大排列后取第30个和31个数据的平均数，解答即可；
（2）根据平均数公式计算即可解答；
（3）根据样本估计总体：用1000停车时长不超过60分钟的百分比，计算即可解答．
（1）解：组的频数为，
补全条形统计图如下：
中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组，
这60个数据的中位数落在组；
故答案为：；
（2）解：（分钟），
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
（3）解：（辆，
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
20．【答案】（1）证明：连接，
与切点，
，
，
点是半圆的三等分点，
∴，
，
，
，
，
∴内错角相等，两直线平行，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
于点，为直径，
，
在中，，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据等分点的性质得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，计算得出；
（2）根据同弧所对的圆周角相等得到，根据平行线的判定得到，从而证明四边形是平行四边形，根据半径相等即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，再根据垂径定理得到，在中根据正弦的定义求得DF，从而求得的长，解答即可．
（1）证明：连接，
与切点，
，
，
点是半圆的三等分点，
∴，
，
，
，
，
∴内错角相等，两直线平行，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
于点，为直径，
，
在中，，
，
．
21．【答案】（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
（2）证明：，
．
又为整数，
能被4整除．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；因式分解的应用；二次根式的性质与化简；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】
（1）举例当时，验证猜想即可，设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，根据材料计算，代入计算化简即可解答；
（2）根据题意先表示出，，再代入等式 ，根据二次根式的性质化简证明即可解答．
（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
（2）证明：，
．
又为整数，
能被4整除．
22．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②如图，在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（3）由折叠的性质得是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，如图
∴当最大时，与相切，
又∵
∴是的切线
如图，
∵分别是的切线，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴点在为直径的圆上，
∴，
∴点P在上，
∴四边形是矩形，
∴，
过点M作，交于点，连接，
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
则
∵
∴
解得：，即，
∴．
故答案为：
【分析】
（1）根据AA判定，根据相似三角形的性质得到，利用勾股定理求得，再将数据代入比例中计算求解即可；
（2）①由折叠的性质得，，再利用角度的和差计算得到证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形解答即可；
②在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；延长和相交于点，连接，根据折叠的性质得，，，即可推导出四边形是矩形，再根据邻边相等可证明四边形是正方形，再根据正方形的性质和勾股定理计算出BC，根据可得，根据相似三角形的性质建立比例关系计算即可解答；
（3）先利用折叠的性质求得，从而得出点在以为直径的上， 当最大时与相切时，根据切线长定理得到， 根据中点的定义得到 ，从而判定得到点在为直径的圆上， 根据得到点P在上， 从而判定得到四边形是矩形， 过点M作，交于点，连接，根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，设，表示出DN=8-x， 在中利用勾股定理建立方程计算得到x的值，然后根据正切的定义求出即可解答．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是矩形，理由如下，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
②如图，在上截取，作的角平分线交于点，则点即为所求；
延长和相交于点，连接，
由折叠的性质得，，，
∵点恰好落在边上，
∴，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠的性质得是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，如图
∴当最大时，与相切，
又∵
∴是的切线
如图，
∵分别是的切线，
∴，
∵是的中点，
∴
∴
∴点在为直径的圆上，
∴，
∴点P在上，
∴四边形是矩形，
∴，
过点M作，交于点，连接，
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
则
∵
∴
解得：，即，
∴．
23．【答案】（1）解：当，则，即点，
∴，
解得
则直线的解析式为：；
（2）解：如图1，设直线交y轴于点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴点，
∴，
联立直线和反比例函数的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，
则
；
（3）解：由点A、B的坐标得：，∵以线段为对角线作正方形，
∴，
∵，
∴，
即点，
在正方形中，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
解得：
∴点，
过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示：
则，，
∴，
当时，
，
又∵，
∴，即点G的纵坐标为，
同理可得：，
即点，
当时，
同理可得点，
即点G的坐标为：或；
如图，过点N作，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
根据中点坐标公式得：点或，
同理，根据点、F的坐标得直线的表达式为：，
∵，
∴设的表达式为
把代入得：，
解得：，
∴此时的表达式为，
联立，
解得：，
∴此时点；
同理可得：当时，的表达式为，
联立，
解得：，
此时点；
综上点N的坐标为或．
（4）或或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）根据解析（3）可得：点F的坐标为，
∵四边形为正方形，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴点B、F、M在同一直线上，
∵，
∴点F为的中点，
∵
∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为，
∵，
∴同理可得直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点的坐标为，
过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴直线l的解析式可以是或；
当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为，把代入得：
，
∴，
∴直线l的解析式为，
令，
整理得：，
当时，方程有一个解，直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点，
将方程整理得：，
解得：或，
当时，，直线l的解析式为：
；
当时，，直线l的解析式为：
；
综上直线l的解析式为：或或或．
故答案为：或或或．
【分析】
（1）根据反比例函数解析式先求出点A的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可解答；
（2）设直线交y轴于点， 设直线的解析式为， 然后用待定系数法求出一次函数解析式为：，再算出与y轴的交点，再根据一次函数解析式和反比例函数解析式求出点，再根据三角形的面积公式，解答即可；
（3）根据两点之间的距离公式得，根据正方形得性质得到BE，利用勾股定理求出OE，根据中点坐标公式计算得点，过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、，利用AA证明，根据相似三角形得比例关系求出点的坐标为或，过点N作，根据平行线得性质得到，，再利用ASA证明， 根据全等三角形得性质和中点坐标公式求出点或，根据待定系数法求出直线的表达式为，根据求出的表达式为， ，联立直线方程求出或解答即可；
（4） 先由上体得到点F的坐标为 ，根据正方形得性质和中点得坐标公式得到点M的坐标为，再由求出直线的解析式为，设，表示出，根据两点之间得距离公式表示出 ， 再利用三角形得面积公式表示出，根据二次函数的性质得出当时有最大值，得到此时点的坐标为，根据直线与反比例函数的图象有且只有一个交点利用，求出k的值，然后再根据k的值求出b的值，再写出函数解析式，解答即可．
（1）解：当，则，即点，
∴，
解得
则直线的解析式为：；
（2）解：如图1，设直线交y轴于点，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴点，
∴，
联立直线和反比例函数的表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，
则
；
（3）解：由点A、B的坐标得：，
∵以线段为对角线作正方形，
∴，
∵，
∴，
即点，
在正方形中，的中点即为的中点，
由中点坐标公式得：，
解得：
∴点，
过点F、G分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，如图所示：
则，，
∴，
当时，
，
又∵，
∴，即点G的纵坐标为，
同理可得：，
即点，
当时，
同理可得点，
即点G的坐标为：或；
如图，过点N作，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点，
根据中点坐标公式得：点或，
同理，根据点、F的坐标得直线的表达式为：，
∵，
∴设的表达式为
把代入得：，
解得：，
∴此时的表达式为，
联立，
解得：，
∴此时点；
同理可得：当时，的表达式为，
联立，
解得：，
此时点；
综上点N的坐标为或．
（4）解：根据解析（3）可得：点F的坐标为，
∵四边形为正方形，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴点B、F、M在同一直线上，
∵，
∴点F为的中点，
∵
∴根据中点坐标公式可得：点M的坐标为，
∵，
∴同理可得直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
此时点的坐标为，
过点Q与x轴或y轴平行的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点，
∴直线l的解析式可以是或；
当直线l与坐标轴不平行时，设直线l的解析式为，把代入得：
，
∴，
∴直线l的解析式为，
令，
整理得：，
当时，方程有一个解，直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点，
将方程整理得：，
解得：或，
当时，，直线l的解析式为：
；
当时，，直线l的解析式为：
；
综上，直线l的解析式为：或或或．
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