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广东珠海市第九中学2025-2026学年度第二学期九年级校一模数学试卷
1．下列各数中，相反数为的数是（　　）
A．3 B． C． D．
2．据统计，2025年广东省全年快递业务量超220亿件，将220亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正方形
4．如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（　　）
A．2 B．3 C． D．
6．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
10．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．分解因式： －9=　 　．
12．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
13．不等式组的解集是　 　．
14．母亲节是一个为感谢母亲而庆祝的节日．为了向母亲表达心意，小明决定到花店买三朵玫瑰花送给妈妈．已知该花店里有两种不同颜色且足够数量的玫瑰花，小明决定从这两种颜色的玫瑰花中随机选三朵，请问小明选到的玫瑰花颜色一样的概率是　 　．
15．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为　 　．
16．先化简，再求值：，其中．
17．如题图，是的直径，点C为上一点，平分交于点D，连接．若，，求的长．
18．开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）．
19．第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型设计，头顶象征粤港澳三地的木棉花红、紫荆花紫、莲花绿水柱，寓意“三地同心、全民欢庆”．组委会需要定制一批吉祥物玩偶作为官方纪念品，现从A，B两家特许生产工厂中选择一家作为主供应商．组委会对两家工厂此前生产的同类型产品的质量评分（满分10分）进行了抽样调查，分别随机抽取了10个样本数据，并绘制了如图所示的统计图和如下统计表．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）填空：
厂家 平均分/分 中位数/分 众数分 方差/分
A ______ ②______ 9
B 9 ③______ ④______
（2）你认为组委会应在A，B两个厂家中选择哪一家进行合作？并说明理由；
（3）若规定同类型产品质量评分9分及以上的为“优秀”等级，则A厂生产的1000件产品和B厂生产的1500件产品中，估计达到“优秀”等级的产品总数量．
20．防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等．
（1）求A 队、B队的每小时检查的户数；
（2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？
参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车)
M 型 2 50
N型 1.5 40
21．综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸．
（1）直接写出系纸长与宽的比______．
（2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．
（3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明．
22．定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点；
（3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图）
23．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：相反数为的数是．
故答案为：A
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将220亿用科学记数法表示为．
故答案为：C
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称以及中心对称图形的含义和性质分别进行判断即可。
4．【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】
根据两直线平行内错角相等得到，再根据邻补角的定义求出，计算即可解答．
5．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
根据计算零指数幂：，再计算负整数指数幂，最后计算加法，解答即可．
6．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
根据及的乘方法则：，计算即可解答.
7．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该物体为圆锥，底面周长为，
母线长为，
侧面展开图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面面积公式列出算式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 抛物线开口向上，故A说法正确，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，故B、C说法正确，
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴ 当时，随的增大而增大，故D说法错误．
综上，只有D符合题意．
故答案为：D
【分析】
先根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式，然后再根据二次函数的图象和性质逐一判断即可解答．
9．【答案】B
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
∵点的坐标为，
∴，，
则点E的坐标为，点F的坐标为，
∴
，
解得，，
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴．
故答案为：B
【分析】
根据矩形的性质得到，，根据B点的坐标得出点E的坐标为，点F的坐标为，根据割补法求面积得，再用面积公式计算即可解答．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，，
∴设，，
∵是中点，
∴，
∴
∵，，
又∵折叠后点落在处，
∴关于折痕对称，
可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】
连接， 根据矩形得性质设，，根据中点得定义得到CM=3a，根据勾股定理计算出DM=5a，根据折叠性质得到点关于折痕对称，再根据轴对称的性质得到，根据同角的余角相等得，在中利用正弦的定义计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：m＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
故答案为：
【分析】
根据一元一次不等式的解法：先分别解出两个不等式的解集，取解集的公共部分解答即可．
14．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设两种玫瑰花的颜色分别为甲、乙，列举选取三朵花的所有等可能结果如下：
(甲，甲，甲)，(甲，甲，乙)，(甲，乙，甲)，(甲，乙，乙)，(乙，甲，甲)，(乙，甲，乙)，(乙，乙，甲)，(乙，乙，乙) ，
可得共有种等可能的结果，其中三朵玫瑰花颜色一样的结果有种．
则小明选到的玫瑰花颜色一样的概率．
故答案为：
【分析】
设两种玫瑰花的颜色分别为甲、乙，用列举法列举选取三朵花的所有等可能共有种等可能的结果，其中三朵玫瑰花颜色一样的结果有种，再根据概率公式计算即可解答．
15．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点，
∴，且，为定点，
在菱形中，，，
∵，
∴，
∴在中，过点F作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵周长为，
且，
当E，G，三点共线时，最小，此时，
∵，且菱形中，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：
【分析】
作点F关于的对称点，根据菱形的性质得到，， 从而推导出EC=4，在中，过点F作，利用30直角三角形的特殊性得到，， 再利用勾股定理计算求得，再表示出周长为， 根据两点之间线段最短得到当E，G，三点共线时，最小，此时，代入线段计算即可解答．
16．【答案】解：原式
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算括号中的减法，再计算除法，将其化简为最简形式再代入求值即可；
17．【答案】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】解直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；余弦的概念；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到， 再根据同弧所对的圆周角相等得到，再利用45角的余弦解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，解答即可．
18．【答案】解：由题意得，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：此碉楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【分析】根据题意得到，米，在中，利用正切的定义计算得到AD，在中利用正切的定义计算得到BD的值，再计算线段的和，解答即可．
19．【答案】（1）①；②；③9；④
（2）解：选择B厂进行合作，
理由如下：两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是B厂的中位数比A厂的大，意味着B厂质量得高分的更多，
∴选择B厂进行合作；
（3）解：件，
答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为1400件．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）A厂得6分的有个，得7分的有个，得8分的有个，得10分的有个，
∴A厂得9分的有个，
∴A厂的平均分为分，
把A厂的得分按照从低到高的顺序排列为：6分，7分，7分，8分，8分，9分，9分，9分，9分，10分，
故A厂的中位数为分，
B厂的得分分别为：5分，7分，7分，7分，9分，9分，9分，9分，10分，10分，
B厂的众数为9分，
B厂的方差为；
故答案为：①；②；③9；④
【分析】
（1）先计算出A厂各个分数的频数，再利用平均数公式计算可得 A厂的平均分 ，再根据中位数的定义 把A厂的得分按照从低到高的顺序排列取最中间两个数的平均数可得中位数，根据众数的定义是出现次数最多的一个数，根据方差的定义求解即可解答；
（2）由于两个厂家的平均分和众数相同，根据B厂的中位数大于A厂的中位数判断可得 B厂质量得高分的更多 ，于是选择B，解答即可；
（3）根据样本估计总体用：对应厂家的产品数乘以其样本中达到“优秀”等级的产品占比，然后计算和解答即可．
（1）解：A厂得6分的有个，得7分的有个，得8分的有个，得10分的有个，
∴A厂得9分的有个，
∴A厂的平均分为分，
把A厂的得分按照从低到高的顺序排列为：6分，7分，7分，8分，8分，9分，9分，9分，9分，10分，
故A厂的中位数为分，
B厂的得分分别为：5分，7分，7分，7分，9分，9分，9分，9分，10分，10分，
B厂的众数为9分，
B厂的方差为；
（2）解：选择B厂进行合作，理由如下：
两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是B厂的中位数比A厂的大，意味着B厂质量得高分的更多，
∴选择B厂进行合作；
（3）解：件，
答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为1400件．
20．【答案】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，由题意得，
解得，
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小，
w最小值元，
，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，表示出“A队检查120户的时间，B队检查90户的时间，再根据时间相等”，列方程分式方程，计算并检验，解答即可；
（2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，列出总费用的函数关系式，再根据“总运货量吨”，列不等式求得， 根据一次函数的性质可得当时，w最小，计算即可解答．
（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，
由题意得，
解得，
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小，
w最小值元，
，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
21．【答案】（1）
（2）解：四边形纸片不是系纸片，在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
故答案为：
【分析】
（1）设纸的长为，宽为，表示出纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，计算可得， 由此即可解答；
（2）根据折叠的性质得到，，， 在计算角度可得， 根据平行线的判定可得，从而判定得到四边形为正方形，根据正方形的性质得到，， 由此可判定四边形是矩形，根据折叠的性质得到，，连接，设，，可表示出，，， 在由勾股定理可得，根据割补法求面积得到，根据面积公式代入计算，然后判断求出长与宽的比值，解答即可；
（3）设，则，根据系纸的比可得，再表示出，即可计算，结合系纸片长与宽的比进行判断；折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，根据折叠的性质可得，， 再根据平行线的判定可得，，根据平行线的性质和正方形的性质可得，， 从而判定得到四边形是正方形，四边形是矩形，根据正方形和矩形的性质得到，，再计算，即可证明是系纸片，解答即可．
（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
（2）解：四边形纸片不是系纸片，
在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，
∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根线段的和差得到MB=9，设，表示出，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论：当是斜边时由勾股定理建立方程判断即可解答；当是斜边时由勾股定理建立方程计算可得BN=9；当由勾股定理建立方程计算可得BN=4，解答即可；
（2）根据菱形的性质设，表示出，根据平行线分线段成比例得到，则，，则，在计算，再运用勾股定理的计算即可求证；
（3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可解答．
（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
23．【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
1 / 1广东珠海市第九中学2025-2026学年度第二学期九年级校一模数学试卷
1．下列各数中，相反数为的数是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：相反数为的数是．
故答案为：A
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可.
2．据统计，2025年广东省全年快递业务量超220亿件，将220亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将220亿用科学记数法表示为．
故答案为：C
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．圆 D．正方形
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称以及中心对称图形的含义和性质分别进行判断即可。
4．如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】
根据两直线平行内错角相等得到，再根据邻补角的定义求出，计算即可解答．
5．计算的结果是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
根据计算零指数幂：，再计算负整数指数幂，最后计算加法，解答即可．
6．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】
根据及的乘方法则：，计算即可解答.
7．如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该物体为圆锥，底面周长为，
母线长为，
侧面展开图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面面积公式列出算式求解即可.
8．已知二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 抛物线开口向上，故A说法正确，
抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，故B、C说法正确，
∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴ 当时，随的增大而增大，故D说法错误．
综上，只有D符合题意．
故答案为：D
【分析】
先根据配方法将二次函数的一般式化为顶点式，然后再根据二次函数的图象和性质逐一判断即可解答．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
∵点的坐标为，
∴，，
则点E的坐标为，点F的坐标为，
∴
，
解得，，
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴．
故答案为：B
【分析】
根据矩形的性质得到，，根据B点的坐标得出点E的坐标为，点F的坐标为，根据割补法求面积得，再用面积公式计算即可解答．
10．如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边的中点处．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形，，
∴设，，
∵是中点，
∴，
∴
∵，，
又∵折叠后点落在处，
∴关于折痕对称，
可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】
连接， 根据矩形得性质设，，根据中点得定义得到CM=3a，根据勾股定理计算出DM=5a，根据折叠性质得到点关于折痕对称，再根据轴对称的性质得到，根据同角的余角相等得，在中利用正弦的定义计算即可求解．
11．分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得：m＝4.
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得△=b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
13．不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
故答案为：
【分析】
根据一元一次不等式的解法：先分别解出两个不等式的解集，取解集的公共部分解答即可．
14．母亲节是一个为感谢母亲而庆祝的节日．为了向母亲表达心意，小明决定到花店买三朵玫瑰花送给妈妈．已知该花店里有两种不同颜色且足够数量的玫瑰花，小明决定从这两种颜色的玫瑰花中随机选三朵，请问小明选到的玫瑰花颜色一样的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设两种玫瑰花的颜色分别为甲、乙，列举选取三朵花的所有等可能结果如下：
(甲，甲，甲)，(甲，甲，乙)，(甲，乙，甲)，(甲，乙，乙)，(乙，甲，甲)，(乙，甲，乙)，(乙，乙，甲)，(乙，乙，乙) ，
可得共有种等可能的结果，其中三朵玫瑰花颜色一样的结果有种．
则小明选到的玫瑰花颜色一样的概率．
故答案为：
【分析】
设两种玫瑰花的颜色分别为甲、乙，用列举法列举选取三朵花的所有等可能共有种等可能的结果，其中三朵玫瑰花颜色一样的结果有种，再根据概率公式计算即可解答．
15．如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点，
∴，且，为定点，
在菱形中，，，
∵，
∴，
∴在中，过点F作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵周长为，
且，
当E，G，三点共线时，最小，此时，
∵，且菱形中，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：
【分析】
作点F关于的对称点，根据菱形的性质得到，， 从而推导出EC=4，在中，过点F作，利用30直角三角形的特殊性得到，， 再利用勾股定理计算求得，再表示出周长为， 根据两点之间线段最短得到当E，G，三点共线时，最小，此时，代入线段计算即可解答．
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算括号中的减法，再计算除法，将其化简为最简形式再代入求值即可；
17．如题图，是的直径，点C为上一点，平分交于点D，连接．若，，求的长．
【答案】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
【知识点】解直角三角形；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；余弦的概念；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到， 再根据同弧所对的圆周角相等得到，再利用45角的余弦解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长，解答即可．
18．开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体，被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点C处）看碉楼顶部A的仰角是，看碉楼底部B的俯角是，无人机到碉楼的距离约为米，请估算此碉楼的高度（参考数据：，结果保留一位小数）．
【答案】解：由题意得，，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：此碉楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—边角关系；正切的概念
【解析】【分析】根据题意得到，米，在中，利用正切的定义计算得到AD，在中利用正切的定义计算得到BD的值，再计算线段的和，解答即可．
19．第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型设计，头顶象征粤港澳三地的木棉花红、紫荆花紫、莲花绿水柱，寓意“三地同心、全民欢庆”．组委会需要定制一批吉祥物玩偶作为官方纪念品，现从A，B两家特许生产工厂中选择一家作为主供应商．组委会对两家工厂此前生产的同类型产品的质量评分（满分10分）进行了抽样调查，分别随机抽取了10个样本数据，并绘制了如图所示的统计图和如下统计表．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）填空：
厂家 平均分/分 中位数/分 众数分 方差/分
A ______ ②______ 9
B 9 ③______ ④______
（2）你认为组委会应在A，B两个厂家中选择哪一家进行合作？并说明理由；
（3）若规定同类型产品质量评分9分及以上的为“优秀”等级，则A厂生产的1000件产品和B厂生产的1500件产品中，估计达到“优秀”等级的产品总数量．
【答案】（1）①；②；③9；④
（2）解：选择B厂进行合作，
理由如下：两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是B厂的中位数比A厂的大，意味着B厂质量得高分的更多，
∴选择B厂进行合作；
（3）解：件，
答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为1400件．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）A厂得6分的有个，得7分的有个，得8分的有个，得10分的有个，
∴A厂得9分的有个，
∴A厂的平均分为分，
把A厂的得分按照从低到高的顺序排列为：6分，7分，7分，8分，8分，9分，9分，9分，9分，10分，
故A厂的中位数为分，
B厂的得分分别为：5分，7分，7分，7分，9分，9分，9分，9分，10分，10分，
B厂的众数为9分，
B厂的方差为；
故答案为：①；②；③9；④
【分析】
（1）先计算出A厂各个分数的频数，再利用平均数公式计算可得 A厂的平均分 ，再根据中位数的定义 把A厂的得分按照从低到高的顺序排列取最中间两个数的平均数可得中位数，根据众数的定义是出现次数最多的一个数，根据方差的定义求解即可解答；
（2）由于两个厂家的平均分和众数相同，根据B厂的中位数大于A厂的中位数判断可得 B厂质量得高分的更多 ，于是选择B，解答即可；
（3）根据样本估计总体用：对应厂家的产品数乘以其样本中达到“优秀”等级的产品占比，然后计算和解答即可．
（1）解：A厂得6分的有个，得7分的有个，得8分的有个，得10分的有个，
∴A厂得9分的有个，
∴A厂的平均分为分，
把A厂的得分按照从低到高的顺序排列为：6分，7分，7分，8分，8分，9分，9分，9分，9分，10分，
故A厂的中位数为分，
B厂的得分分别为：5分，7分，7分，7分，9分，9分，9分，9分，10分，10分，
B厂的众数为9分，
B厂的方差为；
（2）解：选择B厂进行合作，理由如下：
两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是B厂的中位数比A厂的大，意味着B厂质量得高分的更多，
∴选择B厂进行合作；
（3）解：件，
答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为1400件．
20．防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等．
（1）求A 队、B队的每小时检查的户数；
（2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？
参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车)
M 型 2 50
N型 1.5 40
【答案】（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，由题意得，
解得，
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小，
w最小值元，
，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
【知识点】解分式方程；分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，表示出“A队检查120户的时间，B队检查90户的时间，再根据时间相等”，列方程分式方程，计算并检验，解答即可；
（2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，列出总费用的函数关系式，再根据“总运货量吨”，列不等式求得， 根据一次函数的性质可得当时，w最小，计算即可解答．
（1）解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户；
（2）解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，
由题意得，
解得，
由题意得，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最小，
w最小值元，
，
答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元．
21．综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸．
（1）直接写出系纸长与宽的比______．
（2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．
（3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明．
【答案】（1）
（2）解：四边形纸片不是系纸片，在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
故答案为：
【分析】
（1）设纸的长为，宽为，表示出纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，计算可得， 由此即可解答；
（2）根据折叠的性质得到，，， 在计算角度可得， 根据平行线的判定可得，从而判定得到四边形为正方形，根据正方形的性质得到，， 由此可判定四边形是矩形，根据折叠的性质得到，，连接，设，，可表示出，，， 在由勾股定理可得，根据割补法求面积得到，根据面积公式代入计算，然后判断求出长与宽的比值，解答即可；
（3）设，则，根据系纸的比可得，再表示出，即可计算，结合系纸片长与宽的比进行判断；折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，根据折叠的性质可得，， 再根据平行线的判定可得，，根据平行线的性质和正方形的性质可得，， 从而判定得到四边形是正方形，四边形是矩形，根据正方形和矩形的性质得到，，再计算，即可证明是系纸片，解答即可．
（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
（2）解：四边形纸片不是系纸片，
在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，
∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
22．定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长；
（2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点；
（3）如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图）
【答案】（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根线段的和差得到MB=9，设，表示出，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论：当是斜边时由勾股定理建立方程判断即可解答；当是斜边时由勾股定理建立方程计算可得BN=9；当由勾股定理建立方程计算可得BN=4，解答即可；
（2）根据菱形的性质设，表示出，根据平行线分线段成比例得到，则，，则，在计算，再运用勾股定理的计算即可求证；
（3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可解答．
（1）解：∵，
∴，
设，则，
当是斜边时，，
∴，整理得，
∵，
∴原方程无解，即不是斜边；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
当是斜边时，，
∴，
解得，，
∴；
∴的长为或；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
设，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则，
∵，
∴，即，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是线段的勾股分割点；
（3）解：如图所示，
以点为圆心，以为半径画弧交于点，
分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则，
在上取，
连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即，
∴点即为所求点的位置．
23．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的图象的对称轴．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）设的图象与x轴的交点分别为，，且．若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特点，把代入二次函数中，得2a+b=0，即b=-2a，再根据抛物线对称轴直线公式可得答案；
（2）由于y=ax2+bx-2中a＞0，其对称轴直线为x=1，故函数图象开口向上，当x=1时，函数有最小值为-3，即a+b-2=-3，联合（1）中2a+b=0，求解得出a、b的值，可得二次函数的表达式，进而根据二次函数图象的平移规律“左加右减”得出平移后的新二次函数表达式，分别计算最大值和最小值即可；
（3）由（1）得b=-2a，将其代入抛物线可得y=ax2-2ax-2，由根与系数的关系得到，， 再根据完全平方公式恒等变形得，整体代入计算可得，然后整体代入不等式组求解即可得出a的取值范围.
（1）解：把代入二次函数中，
得：，
整理可得：，
∴，
即对称轴为直线；
（2）解：∵的最小值为，
即当时，，
又∵，
∴有，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
∴向右平移2个单位后的新二次函数表达式为：，
可得对称轴为：直线，
故当时，；
开口向上，距离对称轴比距离对称轴更远，
∴函数最大值在处取到，即，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为；
（3）解：由（1）知，
∴，
图象与轴的交点分别为，，且，
∴，，
∵，
而，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
解得：．
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