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2026年河北邯郸市育华中学中考一模数学试卷
1．杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
∵，
∴ 温差最大的城市是B选项对应的城市，
故答案为：B。
【分析】本题考查有理数的减法运算，解题关键是明确温差的定义为“最高气温减去最低气温”，再结合有理数减法法则，分别计算各选项温差并比较大小，即可得出温差最大的城市。
2．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是：
.
故答案为：C．
【分析】认真观察 这个构件，从前面看，得到的图形并结合各选项即可求解．
3．关于代数式，下列选项中表述正确的是（　　）
A．表示与的和 B．表示与的乘积
C．表示与的和 D．表示与的乘积
【答案】B
【知识点】代数式的实际意义
【解析】【解答】解：A、与的和为，与代数式不符，A不符合题意；
B、与的乘积为，与代数式一致，B符合题意；
C、与的和为，与代数式不符，C不符合题意；
D、与的乘积为，与代数式不符，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查代数式的含义，解题关键是明确代数式表示的是数字因数与字母的乘法关系，通过分析每个选项对应的运算表达式，与原代数式对比即可得出正确选项。
4．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：首先连接圆心 O 与点 D，由量角器读数可知圆心角∠BOD 的度数为 110°。
由于量角器的直径与直角三角板的斜边 AB 重合，且三角板的直角∠ACB=90°，因此点 D 位于量角器所在的圆上。根据圆周角定理
，同弧所对的圆周角等于其对应圆心角的一半，
因此弧 BD 所对的圆周角，
故答案为：B。
【分析】先根据 “直径所对圆周角为直角” 判定点 D 在圆上，再读取量角器的圆心角度数，最后用圆周角定理计算所求角的度数。
5．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）
A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m
C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：已知 1nm = 1.0×10-9m，对 22nm 进行单位换算：22nm = 22 × 10-9m = 2.2 × 10-8m。
故答案为：C。
【分析】本题考查科学记数法在单位换算中的应用；解题关键是先根据换算关系将纳米转换为米，再将结果整理为科学记数法的标准形式，其中系数需满足 1≤|a|＜10。
6．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：已知△ABC 为等腰三角形，需分两种情况讨论，并结合三角形三边关系判断：① 当 AB=AC=3 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、3，满足 “两边之差＜第三边＜两边之和”（2-2＜3＜2+2）；
在△ABC 中，三边为 3、3、4，同样满足三边关系（3-3＜4＜3+3）；
故 AC=3 符合题意。
② 当 AB=BC=4 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、4，此时 2+2=4，不满足 “两边之和大于第三边” 的构成条件；
故此情况不成立，舍去。
综上，AC 的长为 3，
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论；对每种情况，结合 “三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边” 的规则进行验证；排除不满足条件的情况，得出最终结果。
7．嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：题目给出的运算关系为：被除数 ÷ 除数 = 商，所以“除数 = 被除数 ÷ 商”。
我们把已知的被除数和商代入，就能列出求被撕部分（除数）的式子：
为了方便约分，先把被除数的分母用平方差公式分解：，所以被除数可以写成。
根据分式除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数：
计算得：
因此，被撕下部分的式子可能是，
故答案为：A。
【分析】本题考查分式乘除运算的逆运算；解题核心是先利用除法各部分关系列出算式，再结合因式分解、分式约分法则计算出结果。
8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：先将原方程 整理为一元二次方程的标准形式：
设该方程的两根为 、，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根之和：；两根之积：
由题意 ，，可得：
因此点 的坐标为 ，根据平面直角坐标系各象限的符号特征，该点横坐标为负、纵坐标为正，故位于第二象限。
故答案为：B。
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中点的位置判断，解题关键是先将方程化为标准形式 ；应用韦达定理求出两根之和 与两根之积 ；得到点的坐标后，根据横、纵坐标的符号判断其所在象限。
9．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
从树状图可以看出，一共有 20 种等可能的结果；其中，“两张车票都靠窗” 的情况有 2 种；因此，该事件的概率为：．
故答案为：A。
【分析】通过画树状图，列出所有等可能的结果；数出满足 “两张车票都靠窗” 的有利结果数；用 “概率 = 有利结果数 ÷ 总结果数” 的公式计算最终结果。
10．如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：设矩形的长为，宽为，由图形特征可知正方形的边长也为。
根据题中给出的边长关系，移项化简可得。
接下来依据勾股定理计算矩形的对角线长度，对角线长为。
最后根据正弦的定义，等于角的对边与斜边的比值，即。
故答案为：A。
【分析】本题综合考查勾股定理、矩形性质及锐角三角函数的计算；解题核心要点有三，一是巧设矩形的长和宽，结合边长关系推导出长与宽的倍数关系；二是利用勾股定理，结合长和宽求出矩形的对角线长度；三是紧扣正弦定义，代入边长计算出角的正弦值。
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于点，过点B作轴于点，
由，可设，（），则点A的坐标为。
因点A在反比例函数的图象上，代入得，解得（负值舍去），故。
在中，由勾股定理得。
因为四边形AOCB是菱形，所以，且，因此。
易证，得。
所以，即。
点B在上，代入得，
故答案为：C。
【分析】本题综合考查反比例函数与菱形的性质应用，先利用的比值设参数，结合反比例函数解析式求出点A的具体坐标；再依据勾股定理计算菱形的边长，再结合菱形对边平行、四边相等的性质，得到点B的纵坐标；最后通过证明直角三角形全等，推导出点B的横坐标，最终利用待定系数法确定的值。
12．图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（　　）
A．轨道① B．轨道② C．轨道③ D．轨道④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆形硬币的半径为，
∴圆形硬币的周长为，
∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；
当沿着轨道①滚动时，则的长为，
∴；
当沿着轨道②滑动时，
∵四边形是长宽比为的矩形，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴；
如图所示，过点P作于H，连接，
∵点P为矩形的对称中心，
∴，
∴，，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当沿轨道③滑动时，
∵正方形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴，
如图所示，过点P作于H，连接，
同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当沿着轨道④滑动时，
∵正六边形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴点是的中点，
如图所示，连接，则，
又∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大，
故答案为：B．
【分析】 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；最后求解即可.
13．计算：　 　．
【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
．
【分析】利用平方差公式 ，将原式转化为两个根式的平方差，再分别计算平方并相减得出结果。
14．如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：；
【分析】先通过内错角相等判定AD∥BC，再利用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，得出AD=BC时四边形ABCD为平行四边形。
15．若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是　 　．
【答案】b>﹣5
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：将一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，得到的函数解析式为y=2x+b+5，
又平移后的函数图象经过第一、二、三象限，，
，
解得，
故b的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据直线的平移规律可得平移后的解析式为y=2x+b+5，结合平移后的函数图象经过第一、二、三象限，可得b+5＞0，据此解答即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…；
（1）　 　；
（2）按此规律，则　 　．
【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，，
∴，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】先利用扇形面积公式 ，结合 圆心角，依次求出 等的具体值，发现每一步的半径 都遵循 的规律，然后将半径规律代入扇形面积公式，得到 ；最后将 代入通项公式，计算出 。
17．如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
（1）在①~④的计算结果中，有错误的是　 　（填序号）；为了区分和，请直接写出　 　，　 　；
（2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
【答案】（1）②；4；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，则，
∴有错误的是②，
，；
故答案为：②，4，；
【分析】（1）先根据绝对值的性质判断的化简结果，再计算乘方与负指数幂，找出错误的计算式；
（2）按运算顺序，依次计算乘方、绝对值、零次幂和三角函数值，再去括号合并同类项，最终得出结果。
（1）解：∵，
∴，则，
∴有错误的是②，
，；
（2）解：
．
18．如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c．
（1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________；
（2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：．
【答案】（1）
（2）解：∵a、b、c为三个连续的正整数，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴原式．
【知识点】实数在数轴上表示；分式的化简求值；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
∵点B为原点，，
∴，
∴.
【分析】（1）利用“点A与点C到点B的距离相等”可得，再结合“点B为原点，”求出即可；
（2）利用“ a、b、c为三个连续的正整数， ”求出a的值，再将其代入计算即可.
（1）解：由题意得，，
∵点B为原点，，
∴，
∴；
（2）解：∵a、b、c为三个连续的正整数，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴原式．
19．如图，中，．
（1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法，作出线段 AB 的垂直平分线 DE；
（2）先利用勾股定理求出 AC 的长度，再根据垂直平分线的性质设未知数，结合勾股定理列方程求解 BD 的长度。
（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴．
20．青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七、八年级学生测试成绩频数分布表
5 6 7 8 9 10
七年级 3 1 7 3 4 2
八年级 2 4 4 5 2 3
分析数据，得到以下统计量
年级 平均数 中位数 众数 不合格率
七年级 a 7 7
八年级 7.5 7.5 b c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中　　　　，　　　　，　　　　．
（2）若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数．
（3）结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性）
【答案】（1）；8；
（2）解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人，
(人)，
∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人．
（3）解：八年级学生的成绩较好．
∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率，
∴八年级学生测试成绩较好．
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则
解得．
八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人．
其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此．
八年级5分的频数为2，总人数为20．
不合格率，
因此．
故答案为：；8；；
【分析】（1）利用加权平均数公式计算七年级的平均分a，找出八年级成绩中出现次数最多的分数得到众数b，再用八年级不合格人数除以总人数得到不合格率c；
（2）先分别算出七、八年级样本中的优秀率，再乘以各自年级的总人数，估算出两个年级的优秀总人数；
（3）通过对比七、八年级成绩的平均数、中位数、众数和不合格率等统计量，从至少两个角度分析得出哪个年级的成绩更优。
（1）解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则
解得．
八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人．
其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此．
八年级5分的频数为2，总人数为20．
不合格率，
因此．
（2）解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人，
(人)，
∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人．
（3）解：八年级学生的成绩较好．
∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率，
∴八年级学生测试成绩较好．
21．如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时，
①______，______；
②求点到直线的距离；
（3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______；
【答案】（1）证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，且，，
∴；
（2）①5；3
②如图2，过点F作交延长线于点P，
则线段的长度就是点F到直线的距离．
∵，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：①∵，是边的中点，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∵，
∴；
故答案为：5；3；
（3）解：，
∴，
∵当时，点E到的距离最小，则的值最小，
∴的面积的最小值．
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转与正方形的性质，通过 “SAS” 证明△ADE 与△CDF 全等；
（2）① 利用勾股定理求出 AO 的长度，再通过线段差计算出 AE 的长；② 由△ADE≌△CDF 得到边和角的关系，再证明△ABO∽△CPF，通过相似比求出 PF 的长，即点 F 到 BC 的距离；
（3）由△ADE≌△CDF 可知面积相等，当 OE⊥AD 时△ADE 的面积最小，由此求出△CDF 面积的最小值。
（1）证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，且，，
∴；
（2）解：①∵，是边的中点，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∵，
∴；
②如图2，过点F作交延长线于点P，
则线段的长度就是点F到直线的距离．
∵，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为
（3）解：，
∴，
∵当时，点E到的距离最小，则的值最小，
∴的面积的最小值．
22．【综合与实践】
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______．
【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值．
【答案】（1）；4；2；
（2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下：
由题意得，即直线：，
将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∵，
∴无解，
故两个函数图象无交点；
的图象，
当时，；当时，；
如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴时，不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴有唯一解，即：方程只有一个实数解，
∴，
解得：或（舍去），
此时：，
解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴方程组的解为或，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2.
【分析】（1）联立方程组求出交点坐标，从而可得AB和BC的长；
（2）先联立方程组，再将其转换为一元二次方程，最后利用根与系数的关系分析求解即可；
（3）先画出图形，再联立方程组，再将其转换为一元二次方程，最后利用根与系数的关系分析求解即可.
23．活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，．
（1）若．
①求填充物部分（弓形）的深度及的长；
②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离；
（2）小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵为半圆的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）此时点比②中点的位置升高的距离为
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】（2）解：当时，
如图所示，过点作于点，作于点，已知，，
∴，四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
∴当时，点到的距离为，
当时，
如图所示，
同理，四边形是矩形，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理得，，
∴，
∴，
∴，
∴此时点比②中点的位置升高的距离为。
【分析】（1）① 先利用垂径定理得到弦的一半长度，结合勾股定理算出圆心到弦的距离，再判定△OEF 为等边三角形，得到圆心角∠EOF=60°，最后用弧长公式求出弧 EF 的长度；
② 先根据等边三角形的性质求出∠EOG=30°，利用三角函数算出 OG 的长度，再由线段差得到 OA 的长度，最后通过平行线和三角函数求出点 A 到 MN 的距离 AH。
（2）当 EF=9cm 时，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用含 30° 角的直角三角形性质算出点 F 到 MN 的距离；当 EF=12cm 时，结合勾股定理建立方程求出 OP 的长度，再得到此时点 F 到 MN 的距离，最后计算两种情况的高度差。
（1）解：①∵，
∴，
∵为半圆的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，
如图所示，过点作于点，作于点，已知，，
∴，四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
∴当时，点到的距离为，
当时，
如图所示，
同理，四边形是矩形，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理得，，
∴，
∴，
∴，
∴此时点比②中点的位置升高的距离为．
24．已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线．
（1）直接写出的对称轴及的值；
（2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值；
（3）如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线．
①直接写出抛物线的解析式；
②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）对称轴为直线，
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，函数的最大值是，最小值是，
当时，取最大值，当时，取最小值，
即，，
，
，
解得，（负值舍去），
；
（3）；或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的最大值是5，
∴当时，，
解得；
（3）解：，
则，
解：由题意点，则点，，，
，
，
当时，即，
解得或或（不合题意，舍去），
当时，点的坐标为或．
【分析】（1）先求出抛物线对称轴，再利用二次函数在顶点处取得最大值的性质，代入顶点坐标求解系数 a；
（2）根据抛物线开口方向和对称轴，判断区间 0≤x≤t 上函数的单调性，确定最大值和最小值的位置，再通过 m n=6 列方程求解 t；
（3）① 将原抛物线化为顶点式，根据平移规则求出平移后抛物线 C2 的表达式；
② 设点 P 的坐标，分别表示出 PM 和 QN 的长度，再根据 PM=QN 列绝对值方程求解 b，得到点 P 的坐标。
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的最大值是5，
∴当时，，
解得；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，函数的最大值是，最小值是，
当时，取最大值，当时，取最小值，
即，，
，
，
解得，（负值舍去），
；
（3）解：，
则，
解：由题意点，则点，，，
，
，
当时，即，
解得或或（不合题意，舍去），
当时，点的坐标为或．
1 / 12026年河北邯郸市育华中学中考一模数学试卷
1．杭州、武汉、重庆、拉萨都在地球的北纬附近，下面是某日这四个城市的最高和最低气温（单位：），则本日温差最大的城市是（　　）
A． B．
C． D．
2．鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．关于代数式，下列选项中表述正确的是（　　）
A．表示与的和 B．表示与的乘积
C．表示与的和 D．表示与的乘积
4．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么（　　）
A． B． C． D．
5．面对国外对芯片技术的垄断，我国科学家奋起直追，2020年11月26号，上海微电子宣布由我国独立研发的光刻机为光源完成了22nm的光刻水准，1nm＝1.0×10﹣9m，用科学记数法表示22nm，则正确的结果是（　　）
A．22×10﹣9m B．22×10﹣8m
C．2.2×10﹣8m D．2.2×10﹣10m
6．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
7．嘉嘉的作业纸被撕下来一部分，如图，则被撕下部分的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
8．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（　　）
A．轨道① B．轨道② C．轨道③ D．轨道④
13．计算：　 　．
14．如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为　 　．
15．若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…；
（1）　 　；
（2）按此规律，则　 　．
17．如图是珍珍的一道作业题的部分计算过程．
（1）在①~④的计算结果中，有错误的是　 　（填序号）；为了区分和，请直接写出　 　，　 　；
（2）对于这道作业题，请给出正确的计算过程．
18．如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c．
（1）若点B为原点，点A与点C到点B的距离相等，，则a的值为__________；
（2）若a、b、c为三个连续的正整数，，先化简，再求值：．
19．如图，中，．
（1）用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）在（1）条件下，连接，当，时，求的长．
20．青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为提高学生对时事热点的关注度，特举办了一场“中国事，我知道”的问卷测试．从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分10分，6分及以上为合格，9分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七、八年级学生测试成绩频数分布表
5 6 7 8 9 10
七年级 3 1 7 3 4 2
八年级 2 4 4 5 2 3
分析数据，得到以下统计量
年级 平均数 中位数 众数 不合格率
七年级 a 7 7
八年级 7.5 7.5 b c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中　　　　，　　　　，　　　　．
（2）若该校七、八年级各有500名学生参加此次测试，请估算两个年级学生测试成绩达到优秀（9分及以上）的人数．
（3）结合上表中的统计量，判断哪个年级的学生成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性）
21．如图1，在正方形中，，是边的中点，线段绕着点旋转，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，当点在正方形内部，且，，三点共线时，
①______，______；
②求点到直线的距离；
（3）直接写出在变化的过程中，的面积的最小值为______；
22．【综合与实践】
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______．
【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值．
23．活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，．
（1）若．
①求填充物部分（弓形）的深度及的长；
②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离；
（2）小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离．
24．已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线．
（1）直接写出的对称轴及的值；
（2）当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值；
（3）如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线．
①直接写出抛物线的解析式；
②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：A、；
B、；
C、；
D、；
∵，
∴ 温差最大的城市是B选项对应的城市，
故答案为：B。
【分析】本题考查有理数的减法运算，解题关键是明确温差的定义为“最高气温减去最低气温”，再结合有理数减法法则，分别计算各选项温差并比较大小，即可得出温差最大的城市。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是：
.
故答案为：C．
【分析】认真观察 这个构件，从前面看，得到的图形并结合各选项即可求解．
3．【答案】B
【知识点】代数式的实际意义
【解析】【解答】解：A、与的和为，与代数式不符，A不符合题意；
B、与的乘积为，与代数式一致，B符合题意；
C、与的和为，与代数式不符，C不符合题意；
D、与的乘积为，与代数式不符，D不符合题意；
故答案为：B。
【分析】本题考查代数式的含义，解题关键是明确代数式表示的是数字因数与字母的乘法关系，通过分析每个选项对应的运算表达式，与原代数式对比即可得出正确选项。
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：首先连接圆心 O 与点 D，由量角器读数可知圆心角∠BOD 的度数为 110°。
由于量角器的直径与直角三角板的斜边 AB 重合，且三角板的直角∠ACB=90°，因此点 D 位于量角器所在的圆上。根据圆周角定理
，同弧所对的圆周角等于其对应圆心角的一半，
因此弧 BD 所对的圆周角，
故答案为：B。
【分析】先根据 “直径所对圆周角为直角” 判定点 D 在圆上，再读取量角器的圆心角度数，最后用圆周角定理计算所求角的度数。
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：已知 1nm = 1.0×10-9m，对 22nm 进行单位换算：22nm = 22 × 10-9m = 2.2 × 10-8m。
故答案为：C。
【分析】本题考查科学记数法在单位换算中的应用；解题关键是先根据换算关系将纳米转换为米，再将结果整理为科学记数法的标准形式，其中系数需满足 1≤|a|＜10。
6．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：已知△ABC 为等腰三角形，需分两种情况讨论，并结合三角形三边关系判断：① 当 AB=AC=3 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、3，满足 “两边之差＜第三边＜两边之和”（2-2＜3＜2+2）；
在△ABC 中，三边为 3、3、4，同样满足三边关系（3-3＜4＜3+3）；
故 AC=3 符合题意。
② 当 AB=BC=4 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、4，此时 2+2=4，不满足 “两边之和大于第三边” 的构成条件；
故此情况不成立，舍去。
综上，AC 的长为 3，
故答案为：A。
【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论；对每种情况，结合 “三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边” 的规则进行验证；排除不满足条件的情况，得出最终结果。
7．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：题目给出的运算关系为：被除数 ÷ 除数 = 商，所以“除数 = 被除数 ÷ 商”。
我们把已知的被除数和商代入，就能列出求被撕部分（除数）的式子：
为了方便约分，先把被除数的分母用平方差公式分解：，所以被除数可以写成。
根据分式除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数：
计算得：
因此，被撕下部分的式子可能是，
故答案为：A。
【分析】本题考查分式乘除运算的逆运算；解题核心是先利用除法各部分关系列出算式，再结合因式分解、分式约分法则计算出结果。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：先将原方程 整理为一元二次方程的标准形式：
设该方程的两根为 、，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
两根之和：；两根之积：
由题意 ，，可得：
因此点 的坐标为 ，根据平面直角坐标系各象限的符号特征，该点横坐标为负、纵坐标为正，故位于第二象限。
故答案为：B。
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中点的位置判断，解题关键是先将方程化为标准形式 ；应用韦达定理求出两根之和 与两根之积 ；得到点的坐标后，根据横、纵坐标的符号判断其所在象限。
9．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，画树状图如下：
从树状图可以看出，一共有 20 种等可能的结果；其中，“两张车票都靠窗” 的情况有 2 种；因此，该事件的概率为：．
故答案为：A。
【分析】通过画树状图，列出所有等可能的结果；数出满足 “两张车票都靠窗” 的有利结果数；用 “概率 = 有利结果数 ÷ 总结果数” 的公式计算最终结果。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；求正弦值
【解析】【解答】解：设矩形的长为，宽为，由图形特征可知正方形的边长也为。
根据题中给出的边长关系，移项化简可得。
接下来依据勾股定理计算矩形的对角线长度，对角线长为。
最后根据正弦的定义，等于角的对边与斜边的比值，即。
故答案为：A。
【分析】本题综合考查勾股定理、矩形性质及锐角三角函数的计算；解题核心要点有三，一是巧设矩形的长和宽，结合边长关系推导出长与宽的倍数关系；二是利用勾股定理，结合长和宽求出矩形的对角线长度；三是紧扣正弦定义，代入边长计算出角的正弦值。
11．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形全等的判定-HL；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作轴于点，过点B作轴于点，
由，可设，（），则点A的坐标为。
因点A在反比例函数的图象上，代入得，解得（负值舍去），故。
在中，由勾股定理得。
因为四边形AOCB是菱形，所以，且，因此。
易证，得。
所以，即。
点B在上，代入得，
故答案为：C。
【分析】本题综合考查反比例函数与菱形的性质应用，先利用的比值设参数，结合反比例函数解析式求出点A的具体坐标；再依据勾股定理计算菱形的边长，再结合菱形对边平行、四边相等的性质，得到点B的纵坐标；最后通过证明直角三角形全等，推导出点B的横坐标，最终利用待定系数法确定的值。
12．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵圆形硬币的半径为，
∴圆形硬币的周长为，
∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；
当沿着轨道①滚动时，则的长为，
∴；
当沿着轨道②滑动时，
∵四边形是长宽比为的矩形，
∴，
∵四边形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴；
如图所示，过点P作于H，连接，
∵点P为矩形的对称中心，
∴，
∴，，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当沿轨道③滑动时，
∵正方形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴，
如图所示，过点P作于H，连接，
同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当沿着轨道④滑动时，
∵正六边形的周长为，
∴，
∵点N为的中点，
∴，
∴点是的中点，
如图所示，连接，则，
又∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大，
故答案为：B．
【分析】 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；最后求解即可.
13．【答案】4
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
．
【分析】利用平方差公式 ，将原式转化为两个根式的平方差，再分别计算平方并相减得出结果。
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
故答案为：；
【分析】先通过内错角相等判定AD∥BC，再利用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 的判定定理，得出AD=BC时四边形ABCD为平行四边形。
15．【答案】b>﹣5
【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：将一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，得到的函数解析式为y=2x+b+5，
又平移后的函数图象经过第一、二、三象限，，
，
解得，
故b的取值范围是，
故答案为：．
【分析】根据直线的平移规律可得平移后的解析式为y=2x+b+5，结合平移后的函数图象经过第一、二、三象限，可得b+5＞0，据此解答即可.
16．【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，，
∴，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】先利用扇形面积公式 ，结合 圆心角，依次求出 等的具体值，发现每一步的半径 都遵循 的规律，然后将半径规律代入扇形面积公式，得到 ；最后将 代入通项公式，计算出 。
17．【答案】（1）②；4；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，则，
∴有错误的是②，
，；
故答案为：②，4，；
【分析】（1）先根据绝对值的性质判断的化简结果，再计算乘方与负指数幂，找出错误的计算式；
（2）按运算顺序，依次计算乘方、绝对值、零次幂和三角函数值，再去括号合并同类项，最终得出结果。
（1）解：∵，
∴，则，
∴有错误的是②，
，；
（2）解：
．
18．【答案】（1）
（2）解：∵a、b、c为三个连续的正整数，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴原式．
【知识点】实数在数轴上表示；分式的化简求值；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
∵点B为原点，，
∴，
∴.
【分析】（1）利用“点A与点C到点B的距离相等”可得，再结合“点B为原点，”求出即可；
（2）利用“ a、b、c为三个连续的正整数， ”求出a的值，再将其代入计算即可.
（1）解：由题意得，，
∵点B为原点，，
∴，
∴；
（2）解：∵a、b、c为三个连续的正整数，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴原式．
19．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图方法，作出线段 AB 的垂直平分线 DE；
（2）先利用勾股定理求出 AC 的长度，再根据垂直平分线的性质设未知数，结合勾股定理列方程求解 BD 的长度。
（1）解：如图所示，
（2）解：在中，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴．
20．【答案】（1）；8；
（2）解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人，
(人)，
∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人．
（3）解：八年级学生的成绩较好．
∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率，
∴八年级学生测试成绩较好．
【知识点】频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则
解得．
八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人．
其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此．
八年级5分的频数为2，总人数为20．
不合格率，
因此．
故答案为：；8；；
【分析】（1）利用加权平均数公式计算七年级的平均分a，找出八年级成绩中出现次数最多的分数得到众数b，再用八年级不合格人数除以总人数得到不合格率c；
（2）先分别算出七、八年级样本中的优秀率，再乘以各自年级的总人数，估算出两个年级的优秀总人数；
（3）通过对比七、八年级成绩的平均数、中位数、众数和不合格率等统计量，从至少两个角度分析得出哪个年级的成绩更优。
（1）解： 七年级成绩频数分布：5分3人，6分1人，7分7人，8分3人，9分4人，10分2人．则
解得．
八年级成绩频数分布：5分2人，6分4人，7分4人，8分5人，9分2人，10分3人．
其中8分对应的频数为5，是所有分数中出现次数最多的，因此．
八年级5分的频数为2，总人数为20．
不合格率，
因此．
（2）解：由表格可知七、八年级学生测试成绩达到优秀的分别有6人、5人，
(人)，
∴七、八年级学生测试成绩达到优秀的约有275人．
（3）解：八年级学生的成绩较好．
∵七、八年级学生测试成绩的平均数相等，八年级学生测试成绩的中位数大于七年级学生测试成绩的中位数，八年级学生测试成绩的众数大于七年级学生测试成绩的众数，八年级学生测试成绩的不合格率小于七年级学生测试成绩的不合格率，
∴八年级学生测试成绩较好．
21．【答案】（1）证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，且，，
∴；
（2）①5；3
②如图2，过点F作交延长线于点P，
则线段的长度就是点F到直线的距离．
∵，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：①∵，是边的中点，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∵，
∴；
故答案为：5；3；
（3）解：，
∴，
∵当时，点E到的距离最小，则的值最小，
∴的面积的最小值．
故答案为：；
【分析】（1）利用旋转与正方形的性质，通过 “SAS” 证明△ADE 与△CDF 全等；
（2）① 利用勾股定理求出 AO 的长度，再通过线段差计算出 AE 的长；② 由△ADE≌△CDF 得到边和角的关系，再证明△ABO∽△CPF，通过相似比求出 PF 的长，即点 F 到 BC 的距离；
（3）由△ADE≌△CDF 可知面积相等，当 OE⊥AD 时△ADE 的面积最小，由此求出△CDF 面积的最小值。
（1）证明：∵将线段绕点D逆时针旋转得，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，且，，
∴；
（2）解：①∵，是边的中点，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∵，
∴；
②如图2，过点F作交延长线于点P，
则线段的长度就是点F到直线的距离．
∵，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F到直线的距离为
（3）解：，
∴，
∵当时，点E到的距离最小，则的值最小，
∴的面积的最小值．
22．【答案】（1）；4；2；
（2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下：
由题意得，即直线：，
将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∵，
∴无解，
故两个函数图象无交点；
的图象，
当时，；当时，；
如图中所示：
∵与函数图象没有交点，
∴时，不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴有唯一解，即：方程只有一个实数解，
∴，
解得：或（舍去），
此时：，
解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴方程组的解为或，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2.
【分析】（1）联立方程组求出交点坐标，从而可得AB和BC的长；
（2）先联立方程组，再将其转换为一元二次方程，最后利用根与系数的关系分析求解即可；
（3）先画出图形，再联立方程组，再将其转换为一元二次方程，最后利用根与系数的关系分析求解即可.
23．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∵为半圆的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）此时点比②中点的位置升高的距离为
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】（2）解：当时，
如图所示，过点作于点，作于点，已知，，
∴，四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
∴当时，点到的距离为，
当时，
如图所示，
同理，四边形是矩形，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理得，，
∴，
∴，
∴，
∴此时点比②中点的位置升高的距离为。
【分析】（1）① 先利用垂径定理得到弦的一半长度，结合勾股定理算出圆心到弦的距离，再判定△OEF 为等边三角形，得到圆心角∠EOF=60°，最后用弧长公式求出弧 EF 的长度；
② 先根据等边三角形的性质求出∠EOG=30°，利用三角函数算出 OG 的长度，再由线段差得到 OA 的长度，最后通过平行线和三角函数求出点 A 到 MN 的距离 AH。
（2）当 EF=9cm 时，通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用含 30° 角的直角三角形性质算出点 F 到 MN 的距离；当 EF=12cm 时，结合勾股定理建立方程求出 OP 的长度，再得到此时点 F 到 MN 的距离，最后计算两种情况的高度差。
（1）解：①∵，
∴，
∵为半圆的直径，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点，
∵，是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，
如图所示，过点作于点，作于点，已知，，
∴，四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
∴当时，点到的距离为，
当时，
如图所示，
同理，四边形是矩形，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理得，，
∴，
∴，
∴，
∴此时点比②中点的位置升高的距离为．
24．【答案】（1）对称轴为直线，
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，函数的最大值是，最小值是，
当时，取最大值，当时，取最小值，
即，，
，
，
解得，（负值舍去），
；
（3）；或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的最大值是5，
∴当时，，
解得；
（3）解：，
则，
解：由题意点，则点，，，
，
，
当时，即，
解得或或（不合题意，舍去），
当时，点的坐标为或．
【分析】（1）先求出抛物线对称轴，再利用二次函数在顶点处取得最大值的性质，代入顶点坐标求解系数 a；
（2）根据抛物线开口方向和对称轴，判断区间 0≤x≤t 上函数的单调性，确定最大值和最小值的位置，再通过 m n=6 列方程求解 t；
（3）① 将原抛物线化为顶点式，根据平移规则求出平移后抛物线 C2 的表达式；
② 设点 P 的坐标，分别表示出 PM 和 QN 的长度，再根据 PM=QN 列绝对值方程求解 b，得到点 P 的坐标。
（1）解：抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的最大值是5，
∴当时，，
解得；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，
当时，，
当时，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，函数的最大值是，最小值是，
当时，取最大值，当时，取最小值，
即，，
，
，
解得，（负值舍去），
；
（3）解：，
则，
解：由题意点，则点，，，
，
，
当时，即，
解得或或（不合题意，舍去），
当时，点的坐标为或．
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