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广东省佛山市南海区2026年初中学业水平适应性考试数学试题
一、选择题：本题共 10小题，每小题 2分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2026的相反数是（　　)
A．2026 B． C．-2026 D．
2．佛山市 2025年参加中考的人数约为 91000人，将 91000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，色泽古朴典雅.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在 2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破 1600万辆大关，连续第 11年稳居全球首位.下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．计算 的结果等于（　　）
A．1 B．a+2 C． D．
7．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（　　)
A． B． C． D．
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心 O的光线相交于点 P，点 F为焦点.若∠1=159°， ∠2=22°，则∠3的度数为（　　）
A．43° B．45° C．51° D．53°
9．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为 a，一辆小汽车车门宽AO为 b，当车门打开角度∠AOB为a时，车门边缘的点 A处与墙的距离为（　　）.
A．a-bsinα B．a-btanα C． D．
10．定义一种新运算：对于两个非零实数m，n， 其中x、y为常数.若2*（-2)=3，则3*（-3)的值是（　　）.
A．3 B．- 3 C．2 D．- 2
二、填空题：本题共 5小题，每小题 2分，共 10分。
11．已知x=2是关于 x的方程3x-m=4的解，则 m的值是　 　.
12．已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值：　 　．
13．若菱形的周长为8cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为　 　cm.
14．如图， AB为⊙O的直径， ∠C=25°，则∠BAD=　 　°.
15．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，如（ 设 由 可知， 10x=7.77…，所以10x-x=7，得 于是，得 类比上述方法，无限循环小数1.41化为分数形式为　 　.
三、计算题：本大题共 1小题，共 10分。
16．解不等式组：
四、解答题：本题共 7小题，共 80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，已知点 B、E、C、F在同一直线上.给出以下三组条件：
①BE=CF， AC=DF， AB=DE；
②BE=CF， AC=DF， AC∥DF；
③BE=CF， AC=DF， ∠B=∠DEF.
请你选用其中一组可以证明∠A=∠D的条件进行证明.
你选的一组条件的序号是 ▲ .
证明：
18．如图所示，某学校开发一块长方形试验田 ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的 7块小长方形组成，经测量，试验田 ABCD的周长为 102米，请计算该试验田的面积.
19．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
20．某校为了选拔参加市数学素养比赛的选手，对甲、乙、丙、丁四名同学最近 10次数学素养测试成绩（单位：分，满分 150分)的数据进行整理，部分信息如下：
信息 1：甲、乙两名同学 10次测试成绩的折线图如图所示：
信息 2：丙同学 10次测试成绩： 128， 124， 129， 128， 125， 128， 127， 124， 128， 129.
信息 3：四名同学 10次测试成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 125 a b 3.1
乙 c 124.5 124 d
丙 127 128 128 3.7
丁 125 124 126 3.1
（1）补全上表中空缺的统计量： a=　 　，c=　 　.
（2）表中 d　 　3.1 （填“>”“=”或“<”) ；
（3）按如下方式评估这四名选手的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差均相等，则测试成绩大于或等于平均数的次数较多者实力更强.根据这 10次测试成绩，评估这四名选手的实力由强到弱依次为：　 　.
21．综合与实践
【背景材料】
南海叠澄龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国.为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台.
【问题提出】
如图 1，观赛台的高AB=3m，在观赛台顶部 A处测得赛道内侧边界点 D的俯角为30°.
如图 2，以点 B为坐标原点，平行于河岸的直线为 x轴，BD所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系.龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台 B到标记线EF的距离为2m.
（1）如图 1，求河道的宽BD；
（2）如图 2，已知一艘龙舟的船头在点P（-6，6)处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点 Q，点 Q恰好为抛物线的顶点，且QF=2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式；
（3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m.若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为 请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示 并说明理由.
22．在 ABCD中，点E， F分别在边AD， BC上，将 ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G， PG交BC于点H.
（1）如图 1，求证： ∠DEP=∠GFH；
（2）如图 2，四边形ABCD是正方形，边长为 8，当P为CD的中点时，求GH的长；
（3）如图 3，四边形ABCD是矩形，连接BG，当DP=2CP， BH=3CH时，求 的值.
23．【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值 那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数 中，当x=1时，y=1，则我们称函数 为“不动点函数”，点（1，1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究.
（1）【探究 1】一次函数图象的不动点：
①若一次函数y=-3x+2是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是　 　；
②若一次函数y=kx+b（k≠0)不是 “不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数　 　.
（2）【探究 2】反比例函数图象的不动点：
反比例函数 一定是“不动点函数”吗 请说明理由.
（3）【探究 3】二次函数图象的不动点：若二次函数 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数 的图象上有两个不同的不动点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： -2026的相反数是2026，
故答案为：A.
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：91000=，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形可得紫砂壶的俯视图为
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵不是同类项，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的计算方法、完全平方公式、单项式除以单项式以及同底数幂的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴C符合题意；
D、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：D.
【分析】利用分式的加法的计算方法分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵深色区域的面积为6个方格的面积，总面积为16个方格的面积，
∴ 最终停留在光伏吸收区的概率为.
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC//BF，
∴∠1+∠CFB=180°，
∵∠1=159°，
∴∠CFB=180°-159°=21°，
∵∠2与∠POF是对顶角，
∴∠2=∠POF=22°，
∵∠3=∠POF+∠CFO，
∴∠3=22°+21°=43°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质求出∠CFB=180°-159°=21°，再利用对顶角和三角形外角的性质求出∠3的度数即可.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AQ⊥OB，反向延长线交MN于点P，如图所示：
在Rt△AOQ中，sinα=，
∴AQ=AO×sinα=bsinα，
∵AP=AQ-AQ，
∴AP=a-bsinα，
故答案为：A.
【分析】过点A作AQ⊥OB，反向延长线交MN于点P，先利用解直角三角形的方法求出AQ=AO×sinα=bsinα，再利用线段的和差求出AP的长即可.
10．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2*（-2)=3，
∴，
∴，
∴3*（-3)=，
故答案为：C.
【分析】先根据题干中的定义及计算方法可得，再将其代入3*（-3)=计算即可.
11．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x=2是关于 x的方程3x-m=4的解，
∴3×2-m=4，
∴m=2，
故答案为：2.
【分析】将x=2代入方程3x-m=4可得3×2-m=4，再求出m的值即可.
12．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求出，再求解即可.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵菱形的周长为8cm，
∴AB=×8=2cm，
在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=2，
∵sinA=，
∴BE=AB×sin45°=2×=，
故答案为：.
【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长，再利用解直角三角形的方法求出BE的长，从而得解.
14．【答案】65
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵，
∴∠ABD=∠ACD=25°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-25°=65°，
故答案为：65.
【分析】连接BD，先利用圆周角的性质可得∠ABD=∠ACD=25°，∠ADB=90°，再利用三角形的内角和求出∠BAD的度数即可.
15．【答案】
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：设，则100y＝.
那么100y y＝140，
解得：y＝，
即无限循环小数化为分数形式为，
故答案为：．
【分析】设，则100y＝，两式相减解得y的值即可．
16．【答案】解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>-2，
∴不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．【答案】解：若选①，证明如下：
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
又∵AC=DF， AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SSS)，
∴∠A=∠D；
若选②，证明如下：
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
又∵AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS)，
∴∠A=∠D；
若选③，则无法证明△ABC≌△DEF，进而无法证明∠A=∠D.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】先选择条件，再利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
18．【答案】解：设小长方形的长为 x米，宽为 y米，
依题意得：
解得：
∴实践基地的面积为：2x-（x+y)=2×15×（15+6)=630（平方米).
答：该实践基地的面积为 630平方米.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为 x米，宽为 y米，根据几何图形可得求出x、y的值，最后求出试验田的面积即可.
19．【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
20．【答案】（1）125；125
（2）>
（3）丙、甲、丁、乙
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲同学的10次测验成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此甲同学10次测试成绩的中位数是125，即a＝125；甲同学10次测试成绩出现次数最多的是125，共出现3次，因此众数是125，即b＝125；
乙同学10次测试成绩的平均数c＝；
故答案为：125，125；
（2）乙同学10次测试成绩的方差d＝[（120 125）2＋（122 125）2＋（124 125）2×3＋（125 125）2＋（126 125）2×2＋（128 125）2＋（131 125）2]＝8.4＞3.1，
故答案为：＞；
（3）从平均数上看，丙同学的测试成绩的平均数最大，因此丙同学最强；
甲、乙、丁的平均数相同，而甲、丁的方差也相同，但乙的方差较大，因此乙最弱；
甲同学的10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数为7次，而丁同学10次次数成绩的中位数是124，小于平均数125，因此丁同学的10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数小于7次，所以甲的较强，
综上所述，从强到弱排列为丙、甲、丁、乙，
故答案为：丙、甲、丁、乙．
【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法进行计算即可；
（2）计算乙同学10次测试成绩的方差即可；
（3）根据比较规则，先比较平均数确定丙最强，再比较方差确定乙最弱，甲、丁两位同学再比较10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数即可．
21．【答案】（1）解：由题意可得∠ADB=30°，
（2）解：∵观赛台 B到标记线EF的距离为2m， QF=2m，
∴顶点Q（-2，2)，
设抛物线的解析式为
把P（-6，6)代入可得（
解得
所以该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式为
（3）解：符合赛事安全警示，理由如下：
当x=-2时，
可得
所以这艘龙舟在本次漂移过程中符合赛事安全警示
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形的方法求出BD的长即可；
（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再比较大小并判断即可.
22．【答案】（1）证明：设∠AEF=α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE = 180°-∠AEF = 180°-α， ∠CFE=∠AEF=α，
由折叠的性质可得， ∠PEF=∠AEF=α， ∠GFE = ∠BFE = 180°-α，
∴∠DEP = 180°-∠AEF - ∠PEF = 180°-2α， ∠GFH = ∠GFE - ∠CFE = 180°-2α，
∴∠DEP=∠GFH；
（2）解：设AE=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°， AB=AD=CD=8，
∴DE=AD-AE=8-x，
由折叠的性质可得， ∠EPH=∠A=90°， AE=PE=x， AB=PG=8，
∵点 P为CD的中点，
在Rt△DEP中，
解得x=5，
∴DE =8-x =3，
∵∠DPE +∠CPH = 180°-∠EPH = 90°， ∠CPH +∠CHP = 180°-∠C = 90°，
∴∠CHP = ∠DPE，
∴△CPH∽△DEP，
即
（3）解：如图， 延长AB、PG交于点I， 连接AP， 设CP=2a，
∴DP = 4a， CD = CP + DP = 6a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6a， AD=BC， AB∥CD，
∴△PHC∽△IHB，
∴BI = 3CP = 6a， IH = 3PH ，
∴IA = AB + Bl = 12a，
∵四边形PGFE由四边形ABFE沿着EF翻折得到，
∴AP⊥EF， BG⊥EF， AB = PG = 6a，
∴BG∥AP，
∴△IBG∽△IAP，
∴IG = PG = 6a， IP = 21G = 12a，
在 Rt△CPH中，
在Rt△ADP中，
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设∠AEF=α，利用平行线的性质可得∠BFE = 180°-∠AEF = 180°-α， ∠CFE=∠AEF=α，再利用折叠的性质及角的运算和等量代换求出∠DEP=∠GFH即可；
（2）设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，再利用勾股定理可得将数据代入求出x的值，再证出△CPH∽△DEP，利用相似三角形的性质可得 ，即 求出PH的长，最后利用线段的和差求出GH的长即可；
（3） 延长AB、PG交于点I， 连接AP， 设CP=2a，先证出△PHC∽△IHB，利用相似三角形的性质可得，求出IG = PG = 6a， IP = 21G = 12a，再利用勾股定理及线段的和差求出BG的长，最后求出即可.
23．【答案】（1）；y=x+1 （答案不唯一)
（2）解：反比例函数 不一定是“不动点函数”，理由如下：
若反比例函数 是“不动点函数”，则令y=x，可得方程 两边同时乘以x（x≠0)，得到
当k<0时，方程 无实数解，此时反比例函数 不是“不动点函数”；
当k>0时，方程 的解为 此时反比例函数 是“不动点函数”；
综上所述，反比例函数 不一定是“不动点函数”；
（3）证明：
∴二次函数的顶点坐标为
∵二次函数 的顶点为该函数图象上的一个不动点，
整理可得：
若二次函数 是“不动点函数”，则令y=x，可得方程
整理可得：
∴方程 有两个不相等的实数解，即二次函数 的图象上有两个不同的不动点.
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题可得x＝ 3x＋2，
解得x＝，
∴y＝x＝，
故答案为：(，)；
②只要满足x≠kx＋b即可，
故答案为：y＝x＋1（答案不唯一，只要x≠kx＋b即可）；
【分析】（1）根据不动点定义即可得解；
（2）分两种情况讨论：k＞0或k＜0，再根据定义求解即可；
（3）根据顶点为不动点易得b2 4c 2b＝0，代入函数，利用Δ判断即可．
1 / 1广东省佛山市南海区2026年初中学业水平适应性考试数学试题
一、选择题：本题共 10小题，每小题 2分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，-2026的相反数是（　　)
A．2026 B． C．-2026 D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解： -2026的相反数是2026，
故答案为：A.
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．佛山市 2025年参加中考的人数约为 91000人，将 91000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：91000=，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型样式丰富，色泽古朴典雅.如图是一把做工精湛的紫砂壶，其俯视图的大致形状是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图形可得紫砂壶的俯视图为
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵不是同类项，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项的计算方法、完全平方公式、单项式除以单项式以及同底数幂的乘法的计算方法逐项分析判断即可.
5．根据中国汽车工业协会最新发布数据显示，我国新能源汽车产业在 2025年继续保持强劲增长态势，全年产销双双突破 1600万辆大关，连续第 11年稳居全球首位.下列新能源汽车的车标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图既是轴对称图形也是中心对称图形，∴C符合题意；
D、∵此图是轴对称图形但不是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
6．计算 的结果等于（　　）
A．1 B．a+2 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=，
故答案为：D.
【分析】利用分式的加法的计算方法分析求解即可.
7．如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵深色区域的面积为6个方格的面积，总面积为16个方格的面积，
∴ 最终停留在光伏吸收区的概率为.
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心 O的光线相交于点 P，点 F为焦点.若∠1=159°， ∠2=22°，则∠3的度数为（　　）
A．43° B．45° C．51° D．53°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AC//BF，
∴∠1+∠CFB=180°，
∵∠1=159°，
∴∠CFB=180°-159°=21°，
∵∠2与∠POF是对顶角，
∴∠2=∠POF=22°，
∵∠3=∠POF+∠CFO，
∴∠3=22°+21°=43°，
故答案为：A.
【分析】先利用平行线的性质求出∠CFB=180°-159°=21°，再利用对顶角和三角形外角的性质求出∠3的度数即可.
9．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为 a，一辆小汽车车门宽AO为 b，当车门打开角度∠AOB为a时，车门边缘的点 A处与墙的距离为（　　）.
A．a-bsinα B．a-btanα C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AQ⊥OB，反向延长线交MN于点P，如图所示：
在Rt△AOQ中，sinα=，
∴AQ=AO×sinα=bsinα，
∵AP=AQ-AQ，
∴AP=a-bsinα，
故答案为：A.
【分析】过点A作AQ⊥OB，反向延长线交MN于点P，先利用解直角三角形的方法求出AQ=AO×sinα=bsinα，再利用线段的和差求出AP的长即可.
10．定义一种新运算：对于两个非零实数m，n， 其中x、y为常数.若2*（-2)=3，则3*（-3)的值是（　　）.
A．3 B．- 3 C．2 D．- 2
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵2*（-2)=3，
∴，
∴，
∴3*（-3)=，
故答案为：C.
【分析】先根据题干中的定义及计算方法可得，再将其代入3*（-3)=计算即可.
二、填空题：本题共 5小题，每小题 2分，共 10分。
11．已知x=2是关于 x的方程3x-m=4的解，则 m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x=2是关于 x的方程3x-m=4的解，
∴3×2-m=4，
∴m=2，
故答案为：2.
【分析】将x=2代入方程3x-m=4可得3×2-m=4，再求出m的值即可.
12．已知直线的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的的值：　 　．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求出，再求解即可.
13．若菱形的周长为8cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为　 　cm.
【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵菱形的周长为8cm，
∴AB=×8=2cm，
在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=2，
∵sinA=，
∴BE=AB×sin45°=2×=，
故答案为：.
【分析】先利用菱形的性质求出菱形的边长，再利用解直角三角形的方法求出BE的长，从而得解.
14．如图， AB为⊙O的直径， ∠C=25°，则∠BAD=　 　°.
【答案】65
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵，
∴∠ABD=∠ACD=25°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-25°=65°，
故答案为：65.
【分析】连接BD，先利用圆周角的性质可得∠ABD=∠ACD=25°，∠ADB=90°，再利用三角形的内角和求出∠BAD的度数即可.
15．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，如（ 设 由 可知， 10x=7.77…，所以10x-x=7，得 于是，得 类比上述方法，无限循环小数1.41化为分数形式为　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】解：设，则100y＝.
那么100y y＝140，
解得：y＝，
即无限循环小数化为分数形式为，
故答案为：．
【分析】设，则100y＝，两式相减解得y的值即可．
三、计算题：本大题共 1小题，共 10分。
16．解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x>-2，
∴不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
四、解答题：本题共 7小题，共 80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．如图，已知点 B、E、C、F在同一直线上.给出以下三组条件：
①BE=CF， AC=DF， AB=DE；
②BE=CF， AC=DF， AC∥DF；
③BE=CF， AC=DF， ∠B=∠DEF.
请你选用其中一组可以证明∠A=∠D的条件进行证明.
你选的一组条件的序号是 ▲ .
证明：
【答案】解：若选①，证明如下：
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
又∵AC=DF， AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SSS)，
∴∠A=∠D；
若选②，证明如下：
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF，
又∵AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS)，
∴∠A=∠D；
若选③，则无法证明△ABC≌△DEF，进而无法证明∠A=∠D.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】先选择条件，再利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
18．如图所示，某学校开发一块长方形试验田 ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的 7块小长方形组成，经测量，试验田 ABCD的周长为 102米，请计算该试验田的面积.
【答案】解：设小长方形的长为 x米，宽为 y米，
依题意得：
解得：
∴实践基地的面积为：2x-（x+y)=2×15×（15+6)=630（平方米).
答：该实践基地的面积为 630平方米.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】设小长方形的长为 x米，宽为 y米，根据几何图形可得求出x、y的值，最后求出试验田的面积即可.
19．尺规作图：如图，以点 O为圆心的弧CD，交OA于点 C，交OB于点 D，使扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2.
（1）请求出 的值；
（2）请作出扇形COD.保留作图痕迹，不写作法)
【答案】（1）解：设∠AOB的度数为α，
扇形COD的面积为
扇形AOB的面积为
所以
可得
（负值舍去)；
（2）解：扇形COD如图所示.
【知识点】扇形面积的计算；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）设∠AOB的度数为α，先利用扇形面积公式分析求出扇形COD和扇形AOB的的面积，再结合“ 扇形COD的面积与扇形AOB的面积比为1：2 ”求出最后求解即可；
（2）先作出线段OA的垂直平分线MN，再作出∠HOG=45°，最后以点O为圆心，OH长为半径作出扇形COD即可.
20．某校为了选拔参加市数学素养比赛的选手，对甲、乙、丙、丁四名同学最近 10次数学素养测试成绩（单位：分，满分 150分)的数据进行整理，部分信息如下：
信息 1：甲、乙两名同学 10次测试成绩的折线图如图所示：
信息 2：丙同学 10次测试成绩： 128， 124， 129， 128， 125， 128， 127， 124， 128， 129.
信息 3：四名同学 10次测试成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
甲 125 a b 3.1
乙 c 124.5 124 d
丙 127 128 128 3.7
丁 125 124 126 3.1
（1）补全上表中空缺的统计量： a=　 　，c=　 　.
（2）表中 d　 　3.1 （填“>”“=”或“<”) ；
（3）按如下方式评估这四名选手的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差均相等，则测试成绩大于或等于平均数的次数较多者实力更强.根据这 10次测试成绩，评估这四名选手的实力由强到弱依次为：　 　.
【答案】（1）125；125
（2）>
（3）丙、甲、丁、乙
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲同学的10次测验成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此甲同学10次测试成绩的中位数是125，即a＝125；甲同学10次测试成绩出现次数最多的是125，共出现3次，因此众数是125，即b＝125；
乙同学10次测试成绩的平均数c＝；
故答案为：125，125；
（2）乙同学10次测试成绩的方差d＝[（120 125）2＋（122 125）2＋（124 125）2×3＋（125 125）2＋（126 125）2×2＋（128 125）2＋（131 125）2]＝8.4＞3.1，
故答案为：＞；
（3）从平均数上看，丙同学的测试成绩的平均数最大，因此丙同学最强；
甲、乙、丁的平均数相同，而甲、丁的方差也相同，但乙的方差较大，因此乙最弱；
甲同学的10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数为7次，而丁同学10次次数成绩的中位数是124，小于平均数125，因此丁同学的10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数小于7次，所以甲的较强，
综上所述，从强到弱排列为丙、甲、丁、乙，
故答案为：丙、甲、丁、乙．
【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法进行计算即可；
（2）计算乙同学10次测试成绩的方差即可；
（3）根据比较规则，先比较平均数确定丙最强，再比较方差确定乙最弱，甲、丁两位同学再比较10次测试成绩中，测试成绩大于或等于平均数的次数即可．
21．综合与实践
【背景材料】
南海叠澄龙舟以其惊险刺激的“水上漂移”闻名全国.为了保障市民的安全观赛体验，赛事组委会在某“L”型急弯河段的河岸边搭建了观赛台.
【问题提出】
如图 1，观赛台的高AB=3m，在观赛台顶部 A处测得赛道内侧边界点 D的俯角为30°.
如图 2，以点 B为坐标原点，平行于河岸的直线为 x轴，BD所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系.龙舟在经过该弯道进行“漂移”时，其船头的运动轨迹可近似看作一段开口向上的抛物线，船头到达平行于y轴的标记线EF后，船头的运动轨迹是一条直线，已知观赛台 B到标记线EF的距离为2m.
（1）如图 1，求河道的宽BD；
（2）如图 2，已知一艘龙舟的船头在点P（-6，6)处以15km/h的速度开始入弯漂移，漂移过程中船头经过标记线EF上的点 Q，点 Q恰好为抛物线的顶点，且QF=2m，求该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式；
（3）赛事安全警示：船头到河岸MN的安全距离不得小于1m.若一艘龙舟在漂移过程中前行的速度为13km/h时，船头运动轨迹所在抛物线的表达式为 请判断这艘龙舟在本次漂移过程中是否符合赛事安全警示 并说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得∠ADB=30°，
（2）解：∵观赛台 B到标记线EF的距离为2m， QF=2m，
∴顶点Q（-2，2)，
设抛物线的解析式为
把P（-6，6)代入可得（
解得
所以该龙舟船头漂移轨迹所在抛物线的表达式为
（3）解：符合赛事安全警示，理由如下：
当x=-2时，
可得
所以这艘龙舟在本次漂移过程中符合赛事安全警示
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用解直角三角形的方法求出BD的长即可；
（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将x=-2代入解析式求出y的值，再比较大小并判断即可.
22．在 ABCD中，点E， F分别在边AD， BC上，将 ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G， PG交BC于点H.
（1）如图 1，求证： ∠DEP=∠GFH；
（2）如图 2，四边形ABCD是正方形，边长为 8，当P为CD的中点时，求GH的长；
（3）如图 3，四边形ABCD是矩形，连接BG，当DP=2CP， BH=3CH时，求 的值.
【答案】（1）证明：设∠AEF=α，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE = 180°-∠AEF = 180°-α， ∠CFE=∠AEF=α，
由折叠的性质可得， ∠PEF=∠AEF=α， ∠GFE = ∠BFE = 180°-α，
∴∠DEP = 180°-∠AEF - ∠PEF = 180°-2α， ∠GFH = ∠GFE - ∠CFE = 180°-2α，
∴∠DEP=∠GFH；
（2）解：设AE=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=∠D=90°， AB=AD=CD=8，
∴DE=AD-AE=8-x，
由折叠的性质可得， ∠EPH=∠A=90°， AE=PE=x， AB=PG=8，
∵点 P为CD的中点，
在Rt△DEP中，
解得x=5，
∴DE =8-x =3，
∵∠DPE +∠CPH = 180°-∠EPH = 90°， ∠CPH +∠CHP = 180°-∠C = 90°，
∴∠CHP = ∠DPE，
∴△CPH∽△DEP，
即
（3）解：如图， 延长AB、PG交于点I， 连接AP， 设CP=2a，
∴DP = 4a， CD = CP + DP = 6a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6a， AD=BC， AB∥CD，
∴△PHC∽△IHB，
∴BI = 3CP = 6a， IH = 3PH ，
∴IA = AB + Bl = 12a，
∵四边形PGFE由四边形ABFE沿着EF翻折得到，
∴AP⊥EF， BG⊥EF， AB = PG = 6a，
∴BG∥AP，
∴△IBG∽△IAP，
∴IG = PG = 6a， IP = 21G = 12a，
在 Rt△CPH中，
在Rt△ADP中，
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）设∠AEF=α，利用平行线的性质可得∠BFE = 180°-∠AEF = 180°-α， ∠CFE=∠AEF=α，再利用折叠的性质及角的运算和等量代换求出∠DEP=∠GFH即可；
（2）设AE=x，则DE=AD-AE=8-x，再利用勾股定理可得将数据代入求出x的值，再证出△CPH∽△DEP，利用相似三角形的性质可得 ，即 求出PH的长，最后利用线段的和差求出GH的长即可；
（3） 延长AB、PG交于点I， 连接AP， 设CP=2a，先证出△PHC∽△IHB，利用相似三角形的性质可得，求出IG = PG = 6a， IP = 21G = 12a，再利用勾股定理及线段的和差求出BG的长，最后求出即可.
23．【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值 那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数 中，当x=1时，y=1，则我们称函数 为“不动点函数”，点（1，1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究.
（1）【探究 1】一次函数图象的不动点：
①若一次函数y=-3x+2是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是　 　；
②若一次函数y=kx+b（k≠0)不是 “不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数　 　.
（2）【探究 2】反比例函数图象的不动点：
反比例函数 一定是“不动点函数”吗 请说明理由.
（3）【探究 3】二次函数图象的不动点：若二次函数 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数 的图象上有两个不同的不动点.
【答案】（1）；y=x+1 （答案不唯一)
（2）解：反比例函数 不一定是“不动点函数”，理由如下：
若反比例函数 是“不动点函数”，则令y=x，可得方程 两边同时乘以x（x≠0)，得到
当k<0时，方程 无实数解，此时反比例函数 不是“不动点函数”；
当k>0时，方程 的解为 此时反比例函数 是“不动点函数”；
综上所述，反比例函数 不一定是“不动点函数”；
（3）证明：
∴二次函数的顶点坐标为
∵二次函数 的顶点为该函数图象上的一个不动点，
整理可得：
若二次函数 是“不动点函数”，则令y=x，可得方程
整理可得：
∴方程 有两个不相等的实数解，即二次函数 的图象上有两个不同的不动点.
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：①由题可得x＝ 3x＋2，
解得x＝，
∴y＝x＝，
故答案为：(，)；
②只要满足x≠kx＋b即可，
故答案为：y＝x＋1（答案不唯一，只要x≠kx＋b即可）；
【分析】（1）根据不动点定义即可得解；
（2）分两种情况讨论：k＞0或k＜0，再根据定义求解即可；
（3）根据顶点为不动点易得b2 4c 2b＝0，代入函数，利用Δ判断即可．
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