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广东省中山市纪念中学2026年中考数学一模试卷
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2． 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长 d=0. 0000000142cm. 将 0. 0000000142用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0. 0000000142用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3． 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　）
A．90° B．85° C．95° D．80°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥EM∥CD
∴∠1+∠BEM=180°，∠CEM=∠2
∵∠1=125°，∠2=35°
∴∠BEM=55°，∠CEM=35°
∴∠BEC=∠BEM+∠CEM=90°
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质可得∠BEM=55°，∠CEM=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项法则，逐项进行计算判断即可.
6．将抛物线 通过平移得到抛物线. 下列平移过程正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7． 在单词 probability （概率)中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中字母“i”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
8． 若点 P （-m，3-2m)在第一象限，则 m的取值范围在数轴上可表示为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 P （-m，3-2m)在第一象限
∴，解得：
∴不等式组的解集为
在数轴上表示解集如下：
故答案为：B
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组，再将解集在数轴上表示出来即可.
9． 按照如图所示的计算程序，若 a=4，则关于 x的方程 x2+4=bx的根的情况是（　　)
A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当a=4时，5-a2=5-16=-11<0
∴输出b=-11
∴方程为x2+11x+4=0
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：C
【分析】将a=4代入程序框图求出b值，再根据二次方程，可得方程有两个不相等的实数根.
10． 如图，在反比例函数 的图象上任取一点 A，过点 A 作 AB∥x轴交反比例函数 的图象于点 B，C是 x轴负半轴上一点，连接 AC、BC，则△ABC的面积为（　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质
【解析】【解答】解：设AB与y轴交于点D，连接OA，OB
∵AB∥x轴
∴
∵点A在上，点B在上
∴
∴
故答案为：A
【分析】设AB与y轴交于点D，连接OA，OB，根据直线平行性质可得，再结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
11．　 　.
【答案】
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据二次根式，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：3
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．因式分解=　 　 ．
【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=．故答案为．
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
14． 如图，已知直线 PA与 PB与圆 O分别相切于点 A， B，若 则劣弧 AB的长为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB
∵直线 PA与PB与圆O分别相切于点A， B
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=90°，OA=OB
∴四边形OBPA为正方形
∴
∴劣弧 AB的长为
故答案为：
【分析】连接OA，OB，根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，再根据正方形判定定理可得四边形OBPA为正方形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
15．如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
16． 先化简，再求值： 其中
【答案】解：原式=
当 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
【答案】（1）解：线段AC的垂直平分线DE，如图所示：
（2）解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BD+DC=AB+BC=7．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。
18．为推进基于探究实践的科学教育，激发中小学生的好奇心、想象力和探求欲，培养学生的科学兴趣，引导学生广泛参与探究实践，某学校计划购买 A，B两种实验器材以方便学生更好地在实践中感受科学的魅力，培养他们的创新实践能力. 已知购买 1件 A种实验器材与 2件 B种实验器材共需要 700元，购买 2件 A种实验器材与 3件 B种实验器材共需要 1200元.
（1）求 A种实验器材和 B种实验器材的单价；
（2）该学校计划购买 A种实验器材和 B种实验器材共 200件，总费用不超过 50000元，那么最多能购买A种实验器材多少件
【答案】（1）解：设A种实验器材的单价为x元，B种实验器材的单价为元.
根据题意得
解得：
答：A种实验器材的单价为300元，B种实验器材的单价为200元.
（2）解：设购买A种实验器材m件，则购买B种实验器材（200-m）件
根据题意，得300m+200(200-m)≤50000
解得：m≤100
答：最多能购买A种实验器材100件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种实验器材的单价为x元，B种实验器材的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买A种实验器材m件，则购买B种实验器材（200-m）件，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．项目化学习
项目主题：最擅长的物理实验调查
项目背景：物理实验是物理教学过程中极其重要的一环，物理实验可以深化对物理知识的理解，通过操作和观察实验现象提升感官认知，理解物理规律. 某校综合实践小组以“你最擅长的物理实验是什么”为主题展开项目学习.
驱动任务：调研擅长每种实验的人数和比例.
研究步骤：（1）制作如下问卷：
你最擅长的物理实验是什么 （要求每个学生必选且只能选择一项)
A. 伏安法测小灯泡正常发光时的电阻
B. 探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系
C. 测量蜡块的密度
D. 测量物体运动的平均速度
E. 探究平面镜成像时像与物的关系（2）发放和回收问卷. （3）整理数据，并形成如下统计图表：
选项 占调查人数的百分比
A 22. 5%
B m%
C 25%
D 30%
E n%
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务.
（1）本次一共调查了　 　名学生，统计表中，m=　 　，n=　 　.
（2）请补全条形统计图.
（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验 B和 E的概率.
【答案】（1）400；7.5；15
（2）解：由（1）可得：B选项的人数为
C选项的人数为
补全图形如下：
（3）解：列表如下：
　 A B C D E
A 　 （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　 （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 　
共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果有2种
∴小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率为
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：90÷22.5%=400人
，即n=15
∴m%=1-22.5%-25%-30%-15%=7.5%，即m=7.5
故答案为：400；7.5；15
【分析】根据A选项的人数与占比可得总人数，根据E选项的人数除以总人数可得n值，再根据1减去其他选项的占比可得m值.
（2）求出B，C选项的人数，再补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20． 如图⊙O是 的外接圆， ，延长 BC于 D，连接 AD，使得 AD∥OC， AB交 OC于 E.
（1） 求证： AD与⊙O相切；
（2） 若 求⊙O的半径和 AB的长度.
【答案】（1）证明：连接 OA；
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC；
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为 R，则
在 Rt△OAE中，
解得 R=4，
作 OH⊥AB于 H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，
则 AH=BH，
在 Rt△AOH中，
∵OH⊥AB，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；等积变换
【解析】【分析】（1）连接OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据直线平行性质可得OA⊥AD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设⊙O的半径为 R，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程可得R=4，作OH⊥AB于H，根据三角形面积可得OH，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
21．矩形 AOBC中，OB=4，OA=1. 分别以 OB，OA所在直线为 x轴，y轴，建立如图 1所示的平面直角坐标系，F是 BC边上一个动点 （不与 B，C重合)，过点 F的反比例函数 的图象与边 AC 交于点 E.
（1）当点 F运动到边 BC的中点时，求点 E的坐标；
（2） 连接 EF， 求∠EFC的正切值；
（3）如图 2，将△CEF沿 EF折叠，点 C恰好落在边 OB上的点 G处，求此时反比例函数的解析式.
【答案】（1）解：∵ 矩形AOBC中，OB=4，OA=1
∴B（4，0），C(4，1)
∵点F是边BC的中点
∴
∵点F在反比例函数的图象上
∴
解得：k=2
∴反比例函数的解析式为
∵过点 F的反比例函数 的图象与边 AC 交于点 E.
∴点E的纵坐标为1，代入反比例函数解析式可得：
∴x=2
∴E（2， 1)
（2）解：由题意可得，F点的横坐标为4
∴
∴
∵点E的纵坐标为1
∴E(k，1)
∴CE=AC-AE=4-k
在Rt△CEF中，
（3）解：过点E作EH⊥OB于点H
∴EH=OA=1，∠EHG=∠GBF=90°
∴∠EGH+∠HEG=90°
由折叠可得，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°
∴∠EGH+∠BGF=90°
∴HEG=∠BGF
∵∠EHG=∠GBF=90°
∴△EHG∽△GBF
∴
∴
∴
在Rt△FBG中，FG2-BF2=BG2
∴
解得：
∴反比例函数的解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得B（4，0），C(4，1)，根据线段中点可得，根据待定系数法将点F坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，根据矩形性质可得点E的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得，根据点的坐标可得E(k，1)，根据两点间距离可得CF，CE，再根据正切定义即可求出答案.
（3）过点E作EH⊥OB于点H，根据折叠性质可得EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，根据角之间的关系可得HEG=∠BGF，再根据相似三角形判定定理可得△EHG∽△GBF，则，代值计算可得BG，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．综合与探索
【探索发现】如图 1， 等腰直角三角形 ABC中， ∠ACB=90°， CB=CA， 过点 A 作 AD⊥l交于点 D， 过点B作 BE⊥l交于点 E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”. （不需要证明)
【迁移应用】如图 2，在直角坐标系中，直线 l1：y=2x+4分别与 y轴，x轴交于点 A、B，
（1） 直接写出 OA=　 　， OB=　 　；
（2） 在第二象限构造等腰直角△ABE， 使得∠BAE=90°， 则点 E的坐标为　 　；
（3）如图 3，将直线 l1绕点 A 顺时针旋转 得到 l2，求 l2的函数表达式；
（4）【拓展应用】
如图 4， 直线 AB： y=2x+8 分别交 x轴和 y轴于 A，B两点，点 C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点 D，使以 A、B、C、D为顶点的四边形为正方形 若存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）4；2
（2）（-4， 6) ；
（3）解：过点B作BC⊥l2，过点A作AD⊥y轴，过点C作x轴的垂线，与AD交于点D，与x轴交于点N，如图 3，
易证△ACD≌△CBN，
设CD=x，则BN=x，AD=2+x，
∴CN=2+x，
∴2+x+x=4，
解得 x=1，
∴C（-3，3) ，
设直线 AC解析式为 y= kx+b，
代入
解得
∴l2的函数表达式为：
（4）解：点D的坐标为（-12， 4) 、（-8， 12) 、（2， 2) .
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）在y=2x+4中，当x=0时，y=4
当y=0时，x=-2
∴A(0，4)，B(-2，0)
∴OA=4，OB=2
故答案为：4；2
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，则∠AEM+∠EAM=90°
∵EA⊥AB
∴∠EAM+∠BAO=90°
∴∠AEM=∠BAO
∵AB=AE，∠EMA=∠AOB=90°
∴△EAM≌△ABO(ASA)
∴EM=OA=4，AM=OB=2
∴OM=OA+AM=6
∴点E的坐标为(-4，6)
故答案为：（-4，6）
（4）存在，理由如下：
①当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO
∴DN=OA=4，AN=OB=8
∴ON=OA+AN=12
∴D(-12，4)
②当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N
易证△BDN≌△ABO
∴BN=OA=4，DN=OB=8
∴ON=OB+BM=12
∴D(-8，12)
③∵点C在第二象限，以AB为对角线
∴正方形为ACBD
过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M
易证△ADN≌△DBM
设ON=x，则BM=x，AN=OA+ON=4+x，DN=BM=x
∴MN=OB=MD+DN=4+x+x=8
解得：x=2
∴D(2，2)
综上所述，点D的坐标为（-12， 4) 或（-8， 12) 或（2， 2) .
【分析】（1）根据坐标轴上点的位置关系可得A(0，4)，B(-2，0)，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，则∠AEM+∠EAM=90°，根据角之间的关系可得∠AEM=∠BAO，再根据全等三角形判定定理可得△EAM≌△ABO(ASA)，则EM=OA=4，AM=OB=2，根据边之间的关系可得OM，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）过点B作BC⊥l2，过点A作AD⊥y轴，过点C作x轴的垂线，与AD交于点D，与x轴交于点N，易证△ACD≌△CBN，设CD=x，则BN=x，AD=2+x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x=1，再根据点的坐标可得C（-3，3) ，设直线AC解析式为 y= kx+b，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO，则DN=OA=4，AN=OB=8，根据边之间的关系可得ON，再根据点的坐标即可求出答案；②当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△BDN≌△ABO，则BN=OA=4，DN=OB=8，根据边之间的关系可得ON，再根据点的坐标即可求出答案；③正方形为ACBD，过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M，易证△ADN≌△DBM，设ON=x，则BM=x，AN=OA+ON=4+x，DN=BM=x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x=2，再根据点的坐标即可求出答案.
23．综合应用
如图 1，顶点为 P的抛物线 与 x轴交于点 A （-3， 0)和点 C （1， 0) ，与 y轴交于点 B，连接 AB、BP.
（1）求 b、c的值及∠PBA的度数；
（2） 如图 2，动点 M从点 O出发，沿着 OA方向以 1个单位/秒的速度向 A匀速运动，同时动点 N从点A出发，沿着 AB方向以 个单位/秒的速度向 B匀速运动，设运动时间为 t秒，ME⊥x轴交 AB于 E，NF⊥x轴交抛物线于 F，连接 MN、EF.
①当 EF∥MN时，求点 F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的 t的值.
【答案】（1）解：∵抛物线与 x轴交于点A（-3， 0)和点C（1， 0) ，
∴b=2，c=-3，
∴P（-1， - 4) ，
当x=0时， y=-3，
∴C（0，-3) ，
∴∠PBA=90°；
（2）解：①∵OA=OB=3，
∴∠OAB=45°，
∴直线 AB的解析式为 y=-x-3，
∴N（-3+t，-t) ，
∵M（-t，0) ，ME⊥x轴，
∴E（-t，t-3) ，
∵MN∥EF
解得 t=3（舍)或 t=1，
∴F（-2，-3) ；
②t=1
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）②∵∠NBP=90°，
△MNB中只能是∠MNB=90°，此时 MN∥PB
∴∠PNB=∠MBN，
∴△MNB∽△PBN，
∵∠OAB=45°，
∴△ANM是等腰直角三角形，
解得t=1.
【分析】（1）根据交点式求出抛物线的解析式，再根据对应项相等可得b，c值，将解析式转换为顶点式可得顶点P（-1， - 4) ，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，-3) ，再根据两点间距离可得AB，BP，PA，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）①根据等腰直角三角形性质可得∠OAB=45°，求出直线AB的解析式为 y=-x-3，根据点的坐标可得N（-3+t，-t) ，，E（-t，t-3) ，再根据直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
②根据直线平行性质可得∠PNB=∠MBN，再根据相似三角形判定定理可得△MNB∽△PBN，则△ANM是等腰直角三角形，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省中山市纪念中学2026年中考数学一模试卷
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2． 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长 d=0. 0000000142cm. 将 0. 0000000142用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
3． 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　　)
A． B．
C． D．
4．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　）
A．90° B．85° C．95° D．80°
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．将抛物线 通过平移得到抛物线. 下列平移过程正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B．向左平移2个单位，再向上平移2个单位
C．向右平移2个单位，再向下平移2个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
7． 在单词 probability （概率)中任意选择一个字母，选中字母“i”的概率是（　　)
A． B． C． D．
8． 若点 P （-m，3-2m)在第一象限，则 m的取值范围在数轴上可表示为（　　)
A． B．
C． D．
9． 按照如图所示的计算程序，若 a=4，则关于 x的方程 x2+4=bx的根的情况是（　　)
A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断
10． 如图，在反比例函数 的图象上任取一点 A，过点 A 作 AB∥x轴交反比例函数 的图象于点 B，C是 x轴负半轴上一点，连接 AC、BC，则△ABC的面积为（　　)
A．4 B．5 C．7 D．8
11．　 　.
12．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　 　．
13．因式分解=　 　 ．
14． 如图，已知直线 PA与 PB与圆 O分别相切于点 A， B，若 则劣弧 AB的长为　 　.
15．如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则　 　 ．
16． 先化简，再求值： 其中
17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为点E，交BC于点D（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求△ABD的周长．
18．为推进基于探究实践的科学教育，激发中小学生的好奇心、想象力和探求欲，培养学生的科学兴趣，引导学生广泛参与探究实践，某学校计划购买 A，B两种实验器材以方便学生更好地在实践中感受科学的魅力，培养他们的创新实践能力. 已知购买 1件 A种实验器材与 2件 B种实验器材共需要 700元，购买 2件 A种实验器材与 3件 B种实验器材共需要 1200元.
（1）求 A种实验器材和 B种实验器材的单价；
（2）该学校计划购买 A种实验器材和 B种实验器材共 200件，总费用不超过 50000元，那么最多能购买A种实验器材多少件
19．项目化学习
项目主题：最擅长的物理实验调查
项目背景：物理实验是物理教学过程中极其重要的一环，物理实验可以深化对物理知识的理解，通过操作和观察实验现象提升感官认知，理解物理规律. 某校综合实践小组以“你最擅长的物理实验是什么”为主题展开项目学习.
驱动任务：调研擅长每种实验的人数和比例.
研究步骤：（1）制作如下问卷：
你最擅长的物理实验是什么 （要求每个学生必选且只能选择一项)
A. 伏安法测小灯泡正常发光时的电阻
B. 探究电磁铁的磁性强弱与电流大小的关系
C. 测量蜡块的密度
D. 测量物体运动的平均速度
E. 探究平面镜成像时像与物的关系（2）发放和回收问卷. （3）整理数据，并形成如下统计图表：
选项 占调查人数的百分比
A 22. 5%
B m%
C 25%
D 30%
E n%
解决问题：请根据图表提供的信息，完成下列任务.
（1）本次一共调查了　 　名学生，统计表中，m=　 　，n=　 　.
（2）请补全条形统计图.
（3）某堂物理实验课上，小军要从以上五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求小军恰好选中两个探究性实验 B和 E的概率.
20． 如图⊙O是 的外接圆， ，延长 BC于 D，连接 AD，使得 AD∥OC， AB交 OC于 E.
（1） 求证： AD与⊙O相切；
（2） 若 求⊙O的半径和 AB的长度.
21．矩形 AOBC中，OB=4，OA=1. 分别以 OB，OA所在直线为 x轴，y轴，建立如图 1所示的平面直角坐标系，F是 BC边上一个动点 （不与 B，C重合)，过点 F的反比例函数 的图象与边 AC 交于点 E.
（1）当点 F运动到边 BC的中点时，求点 E的坐标；
（2） 连接 EF， 求∠EFC的正切值；
（3）如图 2，将△CEF沿 EF折叠，点 C恰好落在边 OB上的点 G处，求此时反比例函数的解析式.
22．综合与探索
【探索发现】如图 1， 等腰直角三角形 ABC中， ∠ACB=90°， CB=CA， 过点 A 作 AD⊥l交于点 D， 过点B作 BE⊥l交于点 E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”. （不需要证明)
【迁移应用】如图 2，在直角坐标系中，直线 l1：y=2x+4分别与 y轴，x轴交于点 A、B，
（1） 直接写出 OA=　 　， OB=　 　；
（2） 在第二象限构造等腰直角△ABE， 使得∠BAE=90°， 则点 E的坐标为　 　；
（3）如图 3，将直线 l1绕点 A 顺时针旋转 得到 l2，求 l2的函数表达式；
（4）【拓展应用】
如图 4， 直线 AB： y=2x+8 分别交 x轴和 y轴于 A，B两点，点 C在第二象限内一点，在平面内是否存在一点 D，使以 A、B、C、D为顶点的四边形为正方形 若存在，请直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由.
23．综合应用
如图 1，顶点为 P的抛物线 与 x轴交于点 A （-3， 0)和点 C （1， 0) ，与 y轴交于点 B，连接 AB、BP.
（1）求 b、c的值及∠PBA的度数；
（2） 如图 2，动点 M从点 O出发，沿着 OA方向以 1个单位/秒的速度向 A匀速运动，同时动点 N从点A出发，沿着 AB方向以 个单位/秒的速度向 B匀速运动，设运动时间为 t秒，ME⊥x轴交 AB于 E，NF⊥x轴交抛物线于 F，连接 MN、EF.
①当 EF∥MN时，求点 F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的 t的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0. 0000000142用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥EM∥CD
∴∠1+∠BEM=180°，∠CEM=∠2
∵∠1=125°，∠2=35°
∴∠BEM=55°，∠CEM=35°
∴∠BEC=∠BEM+∠CEM=90°
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质可得∠BEM=55°，∠CEM=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项法则，逐项进行计算判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移2个单位
故答案为：A
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中字母“i”的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 P （-m，3-2m)在第一象限
∴，解得：
∴不等式组的解集为
在数轴上表示解集如下：
故答案为：B
【分析】根据第一象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组，再将解集在数轴上表示出来即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当a=4时，5-a2=5-16=-11<0
∴输出b=-11
∴方程为x2+11x+4=0
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：C
【分析】将a=4代入程序框图求出b值，再根据二次方程，可得方程有两个不相等的实数根.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行线的性质
【解析】【解答】解：设AB与y轴交于点D，连接OA，OB
∵AB∥x轴
∴
∵点A在上，点B在上
∴
∴
故答案为：A
【分析】设AB与y轴交于点D，连接OA，OB，根据直线平行性质可得，再结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据二次根式，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：3
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．【答案】．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=．故答案为．
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA，OB
∵直线 PA与PB与圆O分别相切于点A， B
∴OA⊥PA，OB⊥PB
∵∠APB=90°，OA=OB
∴四边形OBPA为正方形
∴
∴劣弧 AB的长为
故答案为：
【分析】连接OA，OB，根据切线性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，再根据正方形判定定理可得四边形OBPA为正方形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
16．【答案】解：原式=
当 时，原式=
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将a值代入即可求出答案.
17．【答案】（1）解：线段AC的垂直平分线DE，如图所示：
（2）解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+BD+DC=AB+BC=7．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换求解即可。
18．【答案】（1）解：设A种实验器材的单价为x元，B种实验器材的单价为元.
根据题意得
解得：
答：A种实验器材的单价为300元，B种实验器材的单价为200元.
（2）解：设购买A种实验器材m件，则购买B种实验器材（200-m）件
根据题意，得300m+200(200-m)≤50000
解得：m≤100
答：最多能购买A种实验器材100件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种实验器材的单价为x元，B种实验器材的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购买A种实验器材m件，则购买B种实验器材（200-m）件，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．【答案】（1）400；7.5；15
（2）解：由（1）可得：B选项的人数为
C选项的人数为
补全图形如下：
（3）解：列表如下：
　 A B C D E
A 　 （A，B） （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D） （B，E）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D） （C，E）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　 （D，E）
E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 　
共有20种等可能的结果，其中小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果有2种
∴小军恰好选中两个探究性实验B和E的概率为
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：90÷22.5%=400人
，即n=15
∴m%=1-22.5%-25%-30%-15%=7.5%，即m=7.5
故答案为：400；7.5；15
【分析】根据A选项的人数与占比可得总人数，根据E选项的人数除以总人数可得n值，再根据1减去其他选项的占比可得m值.
（2）求出B，C选项的人数，再补全图形即可.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小军恰好选中两个探究性实验B和E的结果，再根据概率公式即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：连接 OA；
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC；
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为 R，则
在 Rt△OAE中，
解得 R=4，
作 OH⊥AB于 H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，
则 AH=BH，
在 Rt△AOH中，
∵OH⊥AB，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；等积变换
【解析】【分析】（1）连接OA，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据直线平行性质可得OA⊥AD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）设⊙O的半径为 R，则 ，根据勾股定理建立方程，解方程可得R=4，作OH⊥AB于H，根据三角形面积可得OH，再根据勾股定理可得AH，即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵ 矩形AOBC中，OB=4，OA=1
∴B（4，0），C(4，1)
∵点F是边BC的中点
∴
∵点F在反比例函数的图象上
∴
解得：k=2
∴反比例函数的解析式为
∵过点 F的反比例函数 的图象与边 AC 交于点 E.
∴点E的纵坐标为1，代入反比例函数解析式可得：
∴x=2
∴E（2， 1)
（2）解：由题意可得，F点的横坐标为4
∴
∴
∵点E的纵坐标为1
∴E(k，1)
∴CE=AC-AE=4-k
在Rt△CEF中，
（3）解：过点E作EH⊥OB于点H
∴EH=OA=1，∠EHG=∠GBF=90°
∴∠EGH+∠HEG=90°
由折叠可得，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°
∴∠EGH+∠BGF=90°
∴HEG=∠BGF
∵∠EHG=∠GBF=90°
∴△EHG∽△GBF
∴
∴
∴
在Rt△FBG中，FG2-BF2=BG2
∴
解得：
∴反比例函数的解析式为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得B（4，0），C(4，1)，根据线段中点可得，根据待定系数法将点F坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式为，根据矩形性质可得点E的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得，根据点的坐标可得E(k，1)，根据两点间距离可得CF，CE，再根据正切定义即可求出答案.
（3）过点E作EH⊥OB于点H，根据折叠性质可得EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，根据角之间的关系可得HEG=∠BGF，再根据相似三角形判定定理可得△EHG∽△GBF，则，代值计算可得BG，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）4；2
（2）（-4， 6) ；
（3）解：过点B作BC⊥l2，过点A作AD⊥y轴，过点C作x轴的垂线，与AD交于点D，与x轴交于点N，如图 3，
易证△ACD≌△CBN，
设CD=x，则BN=x，AD=2+x，
∴CN=2+x，
∴2+x+x=4，
解得 x=1，
∴C（-3，3) ，
设直线 AC解析式为 y= kx+b，
代入
解得
∴l2的函数表达式为：
（4）解：点D的坐标为（-12， 4) 、（-8， 12) 、（2， 2) .
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：（1）在y=2x+4中，当x=0时，y=4
当y=0时，x=-2
∴A(0，4)，B(-2，0)
∴OA=4，OB=2
故答案为：4；2
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，则∠AEM+∠EAM=90°
∵EA⊥AB
∴∠EAM+∠BAO=90°
∴∠AEM=∠BAO
∵AB=AE，∠EMA=∠AOB=90°
∴△EAM≌△ABO(ASA)
∴EM=OA=4，AM=OB=2
∴OM=OA+AM=6
∴点E的坐标为(-4，6)
故答案为：（-4，6）
（4）存在，理由如下：
①当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO
∴DN=OA=4，AN=OB=8
∴ON=OA+AN=12
∴D(-12，4)
②当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N
易证△BDN≌△ABO
∴BN=OA=4，DN=OB=8
∴ON=OB+BM=12
∴D(-8，12)
③∵点C在第二象限，以AB为对角线
∴正方形为ACBD
过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M
易证△ADN≌△DBM
设ON=x，则BM=x，AN=OA+ON=4+x，DN=BM=x
∴MN=OB=MD+DN=4+x+x=8
解得：x=2
∴D(2，2)
综上所述，点D的坐标为（-12， 4) 或（-8， 12) 或（2， 2) .
【分析】（1）根据坐标轴上点的位置关系可得A(0，4)，B(-2，0)，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）过点E作EM⊥y轴于点M，则∠AEM+∠EAM=90°，根据角之间的关系可得∠AEM=∠BAO，再根据全等三角形判定定理可得△EAM≌△ABO(ASA)，则EM=OA=4，AM=OB=2，根据边之间的关系可得OM，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）过点B作BC⊥l2，过点A作AD⊥y轴，过点C作x轴的垂线，与AD交于点D，与x轴交于点N，易证△ACD≌△CBN，设CD=x，则BN=x，AD=2+x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x=1，再根据点的坐标可得C（-3，3) ，设直线AC解析式为 y= kx+b，再根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△ADN≌△BAO，则DN=OA=4，AN=OB=8，根据边之间的关系可得ON，再根据点的坐标即可求出答案；②当正方形为ADCB时，过点D作DN⊥x轴于点N，易证△BDN≌△ABO，则BN=OA=4，DN=OB=8，根据边之间的关系可得ON，再根据点的坐标即可求出答案；③正方形为ACBD，过点D作DN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥y轴，DM⊥x轴，交于点M，易证△ADN≌△DBM，设ON=x，则BM=x，AN=OA+ON=4+x，DN=BM=x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x=2，再根据点的坐标即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵抛物线与 x轴交于点A（-3， 0)和点C（1， 0) ，
∴b=2，c=-3，
∴P（-1， - 4) ，
当x=0时， y=-3，
∴C（0，-3) ，
∴∠PBA=90°；
（2）解：①∵OA=OB=3，
∴∠OAB=45°，
∴直线 AB的解析式为 y=-x-3，
∴N（-3+t，-t) ，
∵M（-t，0) ，ME⊥x轴，
∴E（-t，t-3) ，
∵MN∥EF
解得 t=3（舍)或 t=1，
∴F（-2，-3) ；
②t=1
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）②∵∠NBP=90°，
△MNB中只能是∠MNB=90°，此时 MN∥PB
∴∠PNB=∠MBN，
∴△MNB∽△PBN，
∵∠OAB=45°，
∴△ANM是等腰直角三角形，
解得t=1.
【分析】（1）根据交点式求出抛物线的解析式，再根据对应项相等可得b，c值，将解析式转换为顶点式可得顶点P（-1， - 4) ，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，-3) ，再根据两点间距离可得AB，BP，PA，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）①根据等腰直角三角形性质可得∠OAB=45°，求出直线AB的解析式为 y=-x-3，根据点的坐标可得N（-3+t，-t) ，，E（-t，t-3) ，再根据直线平行性质建立方程，解方程即可求出答案.
②根据直线平行性质可得∠PNB=∠MBN，再根据相似三角形判定定理可得△MNB∽△PBN，则△ANM是等腰直角三角形，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
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