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广东省深圳市光明实验学校2026年中考数学调研试卷
1．中国人最早使用负数，时间可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（　　)
A． B． C． D．
3．北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。其中数据1400000用科学记数法应表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
5．一次函数 y=3x+b和 y=ax-3的图象如图所示，其交点为 P （-2， - 5) ，则不等式3x+b> ax-3的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A． B．
C． D．
6．如图所示，直线 a∥b，直角△ABC的顶点 C在直线 b上.若∠1=33°，则∠2的度数为（　　)
A．57° B．47° C．67° D．33°
7．某玩具厂共有 300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架 20个或车轮 40个，且 1个车架与 4个车轮可配成一套，设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（　　)
A． B．
C． D．
8．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点 P射入，经过地板 MN反射到天花板上形成光斑.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β.已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为 3m，当α=45°，β=30°时，光斑移动的距离 AB为（　　)
A．3m B． C． D．6m
9．若 则 a+b的值为　 　.
10．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是　 　．
11．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上， 反比例函数经过点B，求反比例函数解析
式　 　
13．如图， △ABE是等边三角形， M是正方形 ABCD对角线 BD （不含 B点) 上任意一点，BM=BN， ∠ABN=15°（点 N在 AB的左侧) ， 当 AM+BM+CM的最小值为 时，正方形的边长为　 　.
14．计算：
15．下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简
解：原式 第一步
第二步
第三步
（1）小星同学的化简过程从第 　 　步开始出现错误，错误原因是 　 　.
（2）请写出正确的化简过程，并从-1，0，1，2中选择合适的数代入求值.
16．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是▲ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
17．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下：
购买的数量（单位：瓶） 总费用（元）
甲消毒液 乙消毒液
17 13 64
13 17 56
（1）每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
18．如图，在△ABC中， AC（1）实践与操作：点 O在线段 BC上，以 O为圆心作⊙O，⊙O恰好过 A，C两点，并与线段 BC交于另一点 D.小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示.请你用尺规作图：作出点 O与点 D，并补全⊙O.
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若 2∠C+∠B=90°.
①求证：直线 AB是⊙O的切线；
②若 求⊙O的半径.
19．综合与探究
【定义】对于 y关于 x的函数，函数在 范围内有最大值 m和最小值 n，则 m-n称为极差值，记作
【示例】如图（a)，根据函数 y=2x的图象可知，在-1≤x≤2范围内，该函数的最大值是 4，最小值为-2，即 R[-1， 2]=4 - （-2) =6.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数 的 R[1， 3]的值为　 　；
（2）已知二次函数 的图象经过点（2， -3).
①求该函数的表达式；
②在图（b)的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 R[-1， 4]的值.
（3）已知函数 函数 的图象经过点（0，0)，且两个函数的 相等，求 k的值.
20．【性质探究】
如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， AE平分∠BAC，交 BC于点 E.作 DF⊥AE于点 H，分别交 AB， AC于点 F， G.
（1）判断△AFG的形状并说明理由.
（2）求证： BF=2OG.
（3）【迁移应用】
记△DGO的面积为 S1， △DBF的面积为 S2，当 时，求 的值.
（4）【拓展延伸】若 DF交射线 AB于点 F，【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF，当 的面积为矩形 ABCD面积的 时，请直接写出 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故答案为：B．
【分析】根据倒数的定义求解即可。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意可得零件的主视图为：
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示：1400 000=1.4×106
故选：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可求解.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵根据函数图象可得两个一次函数的图象的交点为P（-2，-5），
∴不等式3x+b> ax-3的解集为x>-2，
∴不等式的解集为
故答案为：C.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
6．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1=33°，
∴∠3=180°-∠1-90°=57°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=57°，
故答案为：A.
【分析】先利用平角的定义求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=57°.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，利用“ 某玩具厂共有 300名生产工人，1个车架与 4个车轮可配成一套 ”列出方程组即可.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝＝3（m），
∴AP＝2PE＝6（m），
在Rt△PDF中，PF＝＝（m），
∴BP＝2PF＝（m），
∴AB＝BP AP＝（-6）m，
∴光斑移动的距离AB为（-6）m，
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
9．【答案】18
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴（a+b）（a-b）=6，
∵，
∴a+b=6÷=18，
故答案为：18.
【分析】利用平方差公式可得（a+b）（a-b）=6，再将代入求出a+b=6÷=18即可.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．【答案】0
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程，
得：，
解得：，
故答案是：0．
【分析】将代入一元二次方程可得，再求出a的值即可.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO＋∠BCD＝90°，
∠OAC＋∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵C（1，0）
∴BD＝OC＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝，
∴OA＝＝
∴CD＝OA＝，
∴B（1＋，1），
∵反比例函数经过点B，
∴k＝1＋
∴y＝，
故答案为y＝．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而求得OC＝BD＝1，OA＝CD，解等腰直角三角形求得AC＝2，根据勾股定理求得CD＝OA＝，得出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，
∴∠EBF＝90° 60°＝30°，
设正方形的边长为x，则BF＝，EF＝，
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（＋x）2＝(＋1)2．
解得x＝（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及0指数幂的性质化简，再计算即可.
15．【答案】（1）二；计算减法时，没有变号
（2）解：原式＝
＝
＝
＝x＋1；
∵x＋1≠0，x 1≠0，x≠0，
∴x≠0， 1，1，
当x＝2时，原式＝2＋1＝3．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；计算减法时，没有变号；
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可．
16．【答案】（1）200；81°
（2）解：补全图形如下：
微信
（3）解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 = .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°× =81°，
故答案为：200、81°；
（ 2 ）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案.
17．【答案】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，
根据题意得：，
解得：
答：每瓶甲消毒液的价格是3元，每瓶乙消毒液的价格是1元.
（2）解：根据题意，得
由已知，得，
解得：．
是正整数，
可取18，19，20．
，
随的增大而增大，
当a取最小值18，时，取得最小值，
即．
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，利用“甲的费用+乙的费用=总费用”列出方程组求解即可；
（2）利用“总费用=甲的费用+乙的费用”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，
根据题意得：，
解这个方程组得：
（2）根据题意，得
由已知，得，
解得：．
是正整数，
可取18，19，20．
，
随的增大而增大，
当a取最小值18，时，取得最小值，
即．
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
18．【答案】（1）解：如图所示，⊙O、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接AO，
∵弧AD＝弧AD，
∴∠AOB＝2∠C，
∵2∠C＋∠B＝90°，
∴∠AOB＋∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
方法二：连接AO，
∵OC＝OA，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠AOB＝∠C＋∠OAC＝2∠C，
∵2∠C＋∠B＝90°，
∴∠AOB＋∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
②解：法一：设⊙O的半径为r，则AO＝CO＝r，OB＝ r，
在Rt△AOB中，AO2＋AB2＝CO2，
即r2＋8＝（ r）2，
解得r＝，
故⊙O的半径为；
法二：设⊙O的半径为r，则CO＝DO＝r，BD＝ 2r，
∵直线AB是⊙O的切线，
由切割线定理得AB2＝BD BC，
∴()2＝ ( 2r)，
解得r＝，
故⊙O的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点O，进而作出⊙O，得到点D；
（2）①由∠AOB＝2∠C结合2∠C＋∠B＝90°，可得∠AOB＋∠B＝90°，据此得证；
②设半径为r，则AO＝CO＝r，OB＝ r，在Rt△AOB中利用勾股定理建立方程求解即可．
19．【答案】（1）4
（2）解：①将点（2， 3）代入函数表达式得： 3＝4＋2b＋5，则b＝ 6，
则函数的表达式为：y＝x2 6x＋5；
②对于y＝x2 6x＋5，当x＝0时，y＝ 5，当y＝0时，x＝1或5，当x＝6时，y＝5，
将上述各点描点连线绘制函数图象如下：
③从函数图象看，当x＝ 1时，y＝x2 6x＋5＝12为最大值，
当x＝3时，即在顶点（3， 4）时，取得最小值，
则R[ 1，4]＝12 （ 4）＝16；
（3）解：函数y2＝(a 1)x2 4ax＋a2 1的图象经过点（0，0），则a2 1＝0，
则a＝±1，
当a＝ 1时，抛物线的表达式为：y＝ 2x2＋4x，抛物线的对称轴为直线x＝1，
对于y1＝kx（k＞0），
当x＝0时，y1＝0，当x＝时，y1＝，
则R[0，]＝；
当≤1时，则抛物线在x＝0时，取得最小值为y＝0，x＝时，函数取得最大值，即y＝ 2（）2＋4（），
则R[0，]＝＝ 2（）2＋4（） 0，则k＝1（舍去）或3，
即k＝3；
当1＜≤2时，抛物线的顶点（1，2）时取得最大值，在x＝0时，y＝0取得最小值，则2 0≠，
故该情况不存在；
当k＜时，则在x＝时，函数取得最小值，y＝ 2（）2＋4（），
而在顶点处取得最大值，
即R[0，]＝2 [ 2（）2＋4（）]＝，
解得：k＝6＋（不合题意舍去），
当a＝1时，直线解析式为：y＝ 4x，
∵y＝kx与y＝ 4x的R[0，]相等，
∴两直线重合或关于x轴对称，
∴k＝ 4（舍去）或4．
综上，k＝3或4．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当x＝1时，y＝＝6，当x＝3时，y＝2，
则6 2＝4，
故答案为：4；【分析】（1）当x＝1时，y＝＝6，当x＝3时，y＝2，即可求解；
（2）①将点（2， 3）代入函数表达式得： 3＝4＋2b＋5，则b＝ 6，即可求解；
②取点描点连线绘制函数图象即可；
③从函数图象看，当x＝ 1时，y＝x2 6x＋5＝12为最大值，当x＝3时，即在顶点（3， 4）时，取得最小值，即可求解；
（3）当≤1时，则抛物线在x＝0时，取得最小值为y＝0，x＝时，函数取得最大值，即y＝ 2（）2＋4（），即可求解；当1＜≤2和k＜时，同理可解．
20．【答案】（1）解：如图 1中， △AFG是等腰三角形.
理由： ∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AHF≌△AHG （ASA) ，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形.
（2）证明：如图 2中，过点 O作 OL∥AB交 DF于 L，则∠AFG=∠OLG.
∵AF=AG，
∴∠AFG=∠AGF，
∵∠AGF=∠OGL，
∴∠OGL=∠OLG，
∴OG=OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴BD=2OD，
∴BF=2OL，
∴BF=2OG.
（3）解：如图 3中，过点 D作 DK⊥AC于 K，则∠DKA=∠CDA=90°，
∵∠DAK=∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
又∵
设 CD=2x， AC=3x，则
（4）解：的值为 或
【知识点】等腰三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（4）设 OG=a， AG=k.
①如图 4中，连接 EF，当点 F在线段 AB上时，点 G在 OA上.
∵AF=AG， BF=2OG，
∴AF=AG=k， BF=2a，
∴AB=k+2a， AC=2 （k+a) ，
∵∠BAE+∠AFH=∠ADF+∠AFH=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
又∠ABE=∠DAF=90°，
∴△ABE∽△DAF，
由题意：
即
∴k=2a，
②如图 5中，当点 F在 AB的延长线上时，点 G在线段 OC上，连接 EF.
∵AF=AG， BF=2OG，
∴AF=AG=k， BF=2a，
∴AB=k-2a， AC=2 （k-a) ，
易得∠BAE=∠ADF，
又∵∠ABE=∠DAF=90°，
∴△ABE∽△DAF，
由题意：
即
综上所述， 的值为 或
【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设OG＝a，AG＝k.分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
1 / 1广东省深圳市光明实验学校2026年中考数学调研试卷
1．中国人最早使用负数，时间可追溯到两千多年前的秦汉时期， 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，
故答案为：B．
【分析】根据倒数的定义求解即可。
2．图甲是某零件的直观图，则它的主视图为（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据题意可得零件的主视图为：
故答案为：A.
【分析】利用三视图的定义并结合几何体分析求解即可.
3．北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。其中数据1400000用科学记数法应表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法表示：1400 000=1.4×106
故选：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可求解.
4．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
5．一次函数 y=3x+b和 y=ax-3的图象如图所示，其交点为 P （-2， - 5) ，则不等式3x+b> ax-3的解集在数轴上表示正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵根据函数图象可得两个一次函数的图象的交点为P（-2，-5），
∴不等式3x+b> ax-3的解集为x>-2，
∴不等式的解集为
故答案为：C.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
6．如图所示，直线 a∥b，直角△ABC的顶点 C在直线 b上.若∠1=33°，则∠2的度数为（　　)
A．57° B．47° C．67° D．33°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠1=33°，
∴∠3=180°-∠1-90°=57°，
∵a//b，
∴∠2=∠3=57°，
故答案为：A.
【分析】先利用平角的定义求出∠3的度数，再利用平行线的性质可得∠2=∠3=57°.
7．某玩具厂共有 300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架 20个或车轮 40个，且 1个车架与 4个车轮可配成一套，设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设有 x个工人生产车架，y个工人生产车轮，利用“ 某玩具厂共有 300名生产工人，1个车架与 4个车轮可配成一套 ”列出方程组即可.
8．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点 P射入，经过地板 MN反射到天花板上形成光斑.中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β.已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为 3m，当α=45°，β=30°时，光斑移动的距离 AB为（　　)
A．3m B． C． D．6m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝＝3（m），
∴AP＝2PE＝6（m），
在Rt△PDF中，PF＝＝（m），
∴BP＝2PF＝（m），
∴AB＝BP AP＝（-6）m，
∴光斑移动的距离AB为（-6）m，
故答案为：B．
【分析】过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
9．若 则 a+b的值为　 　.
【答案】18
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴（a+b）（a-b）=6，
∵，
∴a+b=6÷=18，
故答案为：18.
【分析】利用平方差公式可得（a+b）（a-b）=6，再将代入求出a+b=6÷=18即可.
10．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4本数学名著，每一本名著被抽到的概率相同，
∴从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入一元二次方程，
得：，
解得：，
故答案是：0．
【分析】将代入一元二次方程可得，再求出a的值即可.
12．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上， 反比例函数经过点B，求反比例函数解析
式　 　
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO＋∠BCD＝90°，
∠OAC＋∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵C（1，0）
∴BD＝OC＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝，
∴OA＝＝
∴CD＝OA＝，
∴B（1＋，1），
∵反比例函数经过点B，
∴k＝1＋
∴y＝，
故答案为y＝．
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而求得OC＝BD＝1，OA＝CD，解等腰直角三角形求得AC＝2，根据勾股定理求得CD＝OA＝，得出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式．
13．如图， △ABE是等边三角形， M是正方形 ABCD对角线 BD （不含 B点) 上任意一点，BM=BN， ∠ABN=15°（点 N在 AB的左侧) ， 当 AM+BM+CM的最小值为 时，正方形的边长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，
∴∠EBF＝90° 60°＝30°，
设正方形的边长为x，则BF＝，EF＝，
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（＋x）2＝(＋1)2．
解得x＝（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【分析】作辅助线，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，连接EC，由题意求出∠EBF＝30°，设正方形的边长为x，在Rt△EFC中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用绝对值的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及0指数幂的性质化简，再计算即可.
15．下面是小星同学进行分式化简的过程：
化简
解：原式 第一步
第二步
第三步
（1）小星同学的化简过程从第 　 　步开始出现错误，错误原因是 　 　.
（2）请写出正确的化简过程，并从-1，0，1，2中选择合适的数代入求值.
【答案】（1）二；计算减法时，没有变号
（2）解：原式＝
＝
＝
＝x＋1；
∵x＋1≠0，x 1≠0，x≠0，
∴x≠0， 1，1，
当x＝2时，原式＝2＋1＝3．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；计算减法时，没有变号；
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可．
16．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整.观察此图，支付方式的“众数”是▲ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
【答案】（1）200；81°
（2）解：补全图形如下：
微信
（3）解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 = .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°× =81°，
故答案为：200、81°；
（ 2 ）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案.
17．东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下：
购买的数量（单位：瓶） 总费用（元）
甲消毒液 乙消毒液
17 13 64
13 17 56
（1）每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，
根据题意得：，
解得：
答：每瓶甲消毒液的价格是3元，每瓶乙消毒液的价格是1元.
（2）解：根据题意，得
由已知，得，
解得：．
是正整数，
可取18，19，20．
，
随的增大而增大，
当a取最小值18，时，取得最小值，
即．
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，利用“甲的费用+乙的费用=总费用”列出方程组求解即可；
（2）利用“总费用=甲的费用+乙的费用”列出函数解析式，最后利用一次函数的性质分析求解即可.
（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元，
根据题意得：，
解这个方程组得：
（2）根据题意，得
由已知，得，
解得：．
是正整数，
可取18，19，20．
，
随的增大而增大，
当a取最小值18，时，取得最小值，
即．
答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元．
18．如图，在△ABC中， AC（1）实践与操作：点 O在线段 BC上，以 O为圆心作⊙O，⊙O恰好过 A，C两点，并与线段 BC交于另一点 D.小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示.请你用尺规作图：作出点 O与点 D，并补全⊙O.
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若 2∠C+∠B=90°.
①求证：直线 AB是⊙O的切线；
②若 求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图所示，⊙O、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接AO，
∵弧AD＝弧AD，
∴∠AOB＝2∠C，
∵2∠C＋∠B＝90°，
∴∠AOB＋∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
方法二：连接AO，
∵OC＝OA，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠AOB＝∠C＋∠OAC＝2∠C，
∵2∠C＋∠B＝90°，
∴∠AOB＋∠B＝90°，
∴∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB，
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
②解：法一：设⊙O的半径为r，则AO＝CO＝r，OB＝ r，
在Rt△AOB中，AO2＋AB2＝CO2，
即r2＋8＝（ r）2，
解得r＝，
故⊙O的半径为；
法二：设⊙O的半径为r，则CO＝DO＝r，BD＝ 2r，
∵直线AB是⊙O的切线，
由切割线定理得AB2＝BD BC，
∴()2＝ ( 2r)，
解得r＝，
故⊙O的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点O，进而作出⊙O，得到点D；
（2）①由∠AOB＝2∠C结合2∠C＋∠B＝90°，可得∠AOB＋∠B＝90°，据此得证；
②设半径为r，则AO＝CO＝r，OB＝ r，在Rt△AOB中利用勾股定理建立方程求解即可．
19．综合与探究
【定义】对于 y关于 x的函数，函数在 范围内有最大值 m和最小值 n，则 m-n称为极差值，记作
【示例】如图（a)，根据函数 y=2x的图象可知，在-1≤x≤2范围内，该函数的最大值是 4，最小值为-2，即 R[-1， 2]=4 - （-2) =6.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出反比例函数 的 R[1， 3]的值为　 　；
（2）已知二次函数 的图象经过点（2， -3).
①求该函数的表达式；
②在图（b)的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 R[-1， 4]的值.
（3）已知函数 函数 的图象经过点（0，0)，且两个函数的 相等，求 k的值.
【答案】（1）4
（2）解：①将点（2， 3）代入函数表达式得： 3＝4＋2b＋5，则b＝ 6，
则函数的表达式为：y＝x2 6x＋5；
②对于y＝x2 6x＋5，当x＝0时，y＝ 5，当y＝0时，x＝1或5，当x＝6时，y＝5，
将上述各点描点连线绘制函数图象如下：
③从函数图象看，当x＝ 1时，y＝x2 6x＋5＝12为最大值，
当x＝3时，即在顶点（3， 4）时，取得最小值，
则R[ 1，4]＝12 （ 4）＝16；
（3）解：函数y2＝(a 1)x2 4ax＋a2 1的图象经过点（0，0），则a2 1＝0，
则a＝±1，
当a＝ 1时，抛物线的表达式为：y＝ 2x2＋4x，抛物线的对称轴为直线x＝1，
对于y1＝kx（k＞0），
当x＝0时，y1＝0，当x＝时，y1＝，
则R[0，]＝；
当≤1时，则抛物线在x＝0时，取得最小值为y＝0，x＝时，函数取得最大值，即y＝ 2（）2＋4（），
则R[0，]＝＝ 2（）2＋4（） 0，则k＝1（舍去）或3，
即k＝3；
当1＜≤2时，抛物线的顶点（1，2）时取得最大值，在x＝0时，y＝0取得最小值，则2 0≠，
故该情况不存在；
当k＜时，则在x＝时，函数取得最小值，y＝ 2（）2＋4（），
而在顶点处取得最大值，
即R[0，]＝2 [ 2（）2＋4（）]＝，
解得：k＝6＋（不合题意舍去），
当a＝1时，直线解析式为：y＝ 4x，
∵y＝kx与y＝ 4x的R[0，]相等，
∴两直线重合或关于x轴对称，
∴k＝ 4（舍去）或4．
综上，k＝3或4．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）当x＝1时，y＝＝6，当x＝3时，y＝2，
则6 2＝4，
故答案为：4；【分析】（1）当x＝1时，y＝＝6，当x＝3时，y＝2，即可求解；
（2）①将点（2， 3）代入函数表达式得： 3＝4＋2b＋5，则b＝ 6，即可求解；
②取点描点连线绘制函数图象即可；
③从函数图象看，当x＝ 1时，y＝x2 6x＋5＝12为最大值，当x＝3时，即在顶点（3， 4）时，取得最小值，即可求解；
（3）当≤1时，则抛物线在x＝0时，取得最小值为y＝0，x＝时，函数取得最大值，即y＝ 2（）2＋4（），即可求解；当1＜≤2和k＜时，同理可解．
20．【性质探究】
如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， AE平分∠BAC，交 BC于点 E.作 DF⊥AE于点 H，分别交 AB， AC于点 F， G.
（1）判断△AFG的形状并说明理由.
（2）求证： BF=2OG.
（3）【迁移应用】
记△DGO的面积为 S1， △DBF的面积为 S2，当 时，求 的值.
（4）【拓展延伸】若 DF交射线 AB于点 F，【性质探究】中的其余条件不变，连结 EF，当 的面积为矩形 ABCD面积的 时，请直接写出 的值.
【答案】（1）解：如图 1中， △AFG是等腰三角形.
理由： ∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AHF≌△AHG （ASA) ，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形.
（2）证明：如图 2中，过点 O作 OL∥AB交 DF于 L，则∠AFG=∠OLG.
∵AF=AG，
∴∠AFG=∠AGF，
∵∠AGF=∠OGL，
∴∠OGL=∠OLG，
∴OG=OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴BD=2OD，
∴BF=2OL，
∴BF=2OG.
（3）解：如图 3中，过点 D作 DK⊥AC于 K，则∠DKA=∠CDA=90°，
∵∠DAK=∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
又∵
设 CD=2x， AC=3x，则
（4）解：的值为 或
【知识点】等腰三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（4）设 OG=a， AG=k.
①如图 4中，连接 EF，当点 F在线段 AB上时，点 G在 OA上.
∵AF=AG， BF=2OG，
∴AF=AG=k， BF=2a，
∴AB=k+2a， AC=2 （k+a) ，
∵∠BAE+∠AFH=∠ADF+∠AFH=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
又∠ABE=∠DAF=90°，
∴△ABE∽△DAF，
由题意：
即
∴k=2a，
②如图 5中，当点 F在 AB的延长线上时，点 G在线段 OC上，连接 EF.
∵AF=AG， BF=2OG，
∴AF=AG=k， BF=2a，
∴AB=k-2a， AC=2 （k-a) ，
易得∠BAE=∠ADF，
又∵∠ABE=∠DAF=90°，
∴△ABE∽△DAF，
由题意：
即
综上所述， 的值为 或
【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．首先证明OG＝OL，再证明BF＝2OL即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设OG＝a，AG＝k.分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
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