资源简介

广西南宁市2026年初中毕业班质量调研数学试卷
1． 如果水库的水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降2m时，水位变化记作（　　）
A．+3m B．+2m C．- 3m D．- 2m
2． 南宁青秀山风景区某日入园游客约234200人次，数据234200用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3． 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线l旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4． 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
5． 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6． 体育课上，小冬的铅球成绩是6. 3m，他投出的铅球落在的区域是（　　）
A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D
7． 正六边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
8． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9． 在平面直角坐标系中，点 P（3，5)关于原点的对称点 P'的坐标是（　　）
A．（-3， 5) B．（-3， - 5)
C．（3， - 5) D．（-5， - 3)
10． 如图，射线OA 的方向是北偏东 70°，若射线OB 与射线OA 垂直，则射线 OB 的方向是（　　）

A．北偏西20° B．西北方向 C．北偏西70° D．西偏北20°
11． 《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少. 现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当x=40时，y=15，则下列说法错误的是
A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数
B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加
C．当x=50时，平均每人分到粮食12千克
D．这批粮食总量有500千克
12． 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为
A． B． C． D．
13． 如图，数轴上点A 表示数1，将点A 向右平移2个单位长度后表示的数是____.
14． 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是　 　调查（填“全面”或“抽样”).
15． 若n为正整数，且满足 则n=　 　.
16． 如图，在Rt△ABC中， AC=BC， ∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点A 为圆心，AC长为半径作弧，交AB 于点 D；
②分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧在 CD右侧相交于点 E；
③作射线AE，交边BC于点 F. 根据作图， 的值是　 　.
17．
（1）计算：
（2）解不等式： 3（2x-1)>9.
18． 如图， AB与CD相交于点O， AC=BD， ∠C=∠D.
（1）求证： △AOC≌△BOD；
（2）若∠C=75°， ∠AOC=40°，求∠B的度数.
19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人. 已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天. 设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花.
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘　 　千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要　 　天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克.
20．为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛. 现从七、八、九年级各随机抽取 10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分)如下：
【收集数据】
七年级代表队： 9， 8， 9， 9， 10， 7， 10， 9， 9， 10；
八年级代表队： 8， 9， 9， 10， 8， 9， 10， 9， 10， 8；
九年级代表队： 8， 8， 9， 8， 10， 9， 10， 8， 10， 10.
【整理数据】
代表队 平均数 中位数 众数 方差
七年级代表队 9 9 m 0. 8
八年级代表队 9 9 9 s2
九年级代表队 9 n 8 和10 0. 8
【分析数据】
（1） 填空： m的值为　 　， n的值为　 　；
（2）计算八年级代表队竞赛成绩的方差s2；
（3）【评估结果】
现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度. 评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优. 请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序).
21．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定.
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的M1N1)位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为AB，以AB为直角边构造Rt△ABC， 在AB上截取AP1=AC， 在P1处确定第一根品丝， 则第一根品丝的对应有效弦长为P1B，过P1作P1Q1⊥AB交BC于点 Q1，在AB上截取 ，在P2处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为P2B，以此类推确定后续品丝位置. 在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm，P1Q1长为19mm.
【求解模型】
（1） 求
（2）求第一根品丝的有效弦长 P1B 及 tanB.
（3）【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置P3到弦桥B的长度约为342mm，若允许偏差是±2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由.
22．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量. 下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中， AB=6， AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A 的对称点为点 F.
图1 图2 图3
（1）如图1，当点 F落在边 BC上时，求证：四边形 EFCD 是矩形；
（2）如图2，当AE=8时， EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A.
①求 BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；
（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长.
23．【研究内容】二次积点函数
将一次函数y=kx+b（k≠0)图象上的任意点 P（x，y)的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点 P'（x，xy). 点 P'所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数y=2x，则其二次积点函数为
【特殊感知】
（1）一次函数y= kx+b（k≠0)的图象经过点（3， 1)， （0， - 2)，完成下列问题：
①求y的解析式；
②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标；
（2）【探索求证】
猜想：一次函数y=kx+b（k≠0)的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
一次函数y=2x+b的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为（1，0)，设△ABC外接圆的直径为d，若 求b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：题干给出“水位升高3m记作+3m”，由此确定“升高”对应正号（+），“下降”对应负号（－），水位下降2m应记作－2m，对照选项：选项A、B、C均不符合题意，选项D为-2m；
故答案为：D.
【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量，“升高”与“下降”为相反意义的量，若规定用正数表示升高的量，则用负数表示下降的量.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：A、a=0.2342＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.342 满足1≤a<10的要求，且n=5 ，正确；
C、a=2.342满足要求，但 n=4错误，2.342×104=23420，比原数少一个0，错误；
D、a=2342＞10，不满足a＜10的要求，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查科学记数法，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数234200，确定a的值应为2.342，再根据小数点向左移动的位数确定n的值为5.
3．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，符合题意；
B、球体由半圆或圆绕直径旋转一周得到，不符合题意；
C、圆柱由长方形绕一边旋转一周得到，不符合题意；
D、该图形可由钝角三角形绕钝角所对的边旋转一周得到，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查“面动成体”的几何原理： “直角三角形绕它的一条直角边所在直线l旋转一周”，首先被选为轴的这条直角边保持不动成为圆锥的高；其次另一条直角边绕轴旋转形成一个圆成为圆锥的底面；最后斜边绕轴旋转形成圆锥的侧面.因此得到的立体图形是圆锥.
4．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察函数图象可知，横轴表示时间，纵轴表示气温.“气温最高”为纵坐标最大，即函数图象中的最高点，最高点所对应的横轴的数值即为气温最高的时刻，由图可知，最高点对应时刻为14时，故选项A、B、D不符合题意；选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查从函数图象中获取信息的能力.解题关键在于正确理解横轴、纵轴的实际意义，通过观察图像，分析问题，确定最高点所对应横坐标的数值，即为气温最高的时刻.
5．【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，
∴选到“篮球”的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题是一个古典概型的问题，已知有“编程、书法、篮球”3门选修课，小明随机选1门，所以所有可能的选择结果一共有3种，且每种选择的可能性相等，题目要求选到“篮球”，符合这个条件的情况只有1种，故根据概率公式.
6．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A、由图可知：区域A表示距离在3m到4m之间，不符合题意；
B、由图可知：区域B表示距离在4m到5m之间，不符合题意；
C、由图可知：区域C表示距离在5m到6m之间，不符合题意；
D、由图可知：区域D表示距离在6m到7m之间，6＜6.3＜7，符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查小数的大小比较及数轴上点的位置与数值大小关系.解题关键在于明确图中各区域所对应的距离范围，进而判断数值6.3所在的区间.
7．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°.
故答案为：C.
【分析】本题考查多边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3且n为正整数）.将n=6代入公式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：A.
【分析】选项A：“与”是同类项，根据合并同类项法则“系数相加减，字母及字母的指数不变”，判断该计算结果正确；
选项B：“”是幂的乘方，法则为“底数不变，指数相乘”，因此选项B结果错误；
选项C：“”是积的乘方，法则为”将每一个因式分别乘方再相乘”，因此选项C结果错误；
选项D：“”是同底数幂相乘，法则为“底数不变，指数相加”，因此选项D结果错误.
9．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标都互为相反数，
∵点P的坐标为（3，5），
∴点P'的坐标为（-3，-5）.
故答案为：B.
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数.
10．【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵ 射线OA 的方向是北偏东 70° ，
∴∠COA=70°，
∵ 射线OB 与射线OA 垂直 ，
∴∠BOA=90°，
∴∠BOC=∠BOA-∠COA=90°-70°=30°，
即射线OB的方向是北偏西20°.
故答案为：A.
【分析】本题考查方位角的表述与垂直关系的角度计算，解题关键是利用垂直关系与∠COA=70°得出∠BOC=30°，表述为射线OB的方向为北偏西20°.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设粮食总量为k千克，依题可列，
∵当x=40时，y=15，
∴，解得k=600，
∴；
A、平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，正确；
B、根据反比例函数性质：当k>0时，y随x的增大而减小，所以当x越小时，y越大，正确；
C、当x=50时，，正确；
D、因为k=600，所以这批粮食总量有600千克，错误.
故答案为：D.
【分析】本题以古代“均赋”思想为背景，考查反比例函数的识别与计算.关键在于利用“总量固定”建立模型，求出k=600，逐一判断即可找出错误选项 D.
12．【答案】B
【知识点】根据数量关系列方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图，两次剪下的矩形面积可分别表示为2a、x(a-2)，
∵x=a-b，且两次剪下的矩形面积恰好相等，
∴2a=(a-b)(a-2)，
去括号得 2a=a2-2a-ab+2b，
移项得 (a-2)b=a2-4a
∴.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查代数式与方程、分式的变形，解题关键是根据“两次剪下的矩形面积恰好相等”列出方程，进行化简，用含有a的式子表示b.
13．【答案】3
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题可知，数轴上点A表示的数为1，则向右平移两个单位长度后为1+2=3.
故答案为：3.
【分析】本题考查在数轴上的点移动规律，确定起始点的位置，向右移动a个单位长度则对应的数+a；向左移动a个单位长度则对应的数-a.
14．【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本题调查目的为“某品牌新能源汽车的抗撞击能力”，抗撞击能力测试通常需要进行破坏性试验（如碰撞测试），如果对每一辆汽车都进行测试，所有被测试的汽车都会被损坏，无法再销售或使用.全面调查（普查）在实际操作中不可行且成本极高；对于具有破坏性的调查，通常采用抽样调查，用样本估计整体情况.
故答案为：抽样.
【分析】解答本题先应明确“全面调查”、“抽样调查”的概念.本题的关键词是“抗撞击能力”，暗示了破坏性测试，因此必须选择抽样调查.这类问题判断依据通常是：调查是否具有破坏性，以及总体是否过大.
15．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵22=4，32=9，且4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∵n为正整数，且满足，
∴n=2.
故答案为：2.
【分析】本题核心是找到两个完全平方数，使6介于它们之间，从而确定在两个连续的整数之间.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示，根据作图步骤可知AF平分∠CAB，
∴，
∵AC=AD，AF=AF，
∴，
∴CF=DF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴，
∵，，
∴.
故答案为：.
【分析】本题主要考查“尺规作图—角平分线”，结合三角形全等及三角形面积进行计算.首先要根据作图步骤判断出AF平分∠CAB，再利用三角形全等得到CF=DF，即与的高相等，再由勾股定理得到两个三角形对应底边的关系，最后计算面积比.
17．【答案】（1）解：原式=4+(-2)-1
=1
（2）解：6x-3>9，
6x>9+3，
6x>12，
x>2
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，在计算过程中应注意运算顺序与符号，先算-2的平方，再算除法，最后加减法得出结果；
（2）本题考查解不等式，先去括号，再移项（移项要变号），最后化为的形式.
18．【答案】（1）证明：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
（2）解：在△AOC中， ∠C=75°， ∠AOC=40°，
∠A=180°-∠C-∠AOC=65°.
由(1)知， △AOC≌△BOD，
∴∠B=∠A=65°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据题干信息及图中隐含条件（对顶角相等），可利用“AAS”判定三角形全等；
（2）根据三角形内角和180°，已知两角度数，求出第三个角的度数；再由（1）知两个三角形全等，利用全等的性质“对应角相等”即可得出结果.
19．【答案】（1）5x； (或）
（2）解：依题意可列： ，
方程两边同时乘以20x得，
，
解得x=10.
检验：当x=10时， 20x≠0，所以x=10是原分式方程的解，且符合题意.
∴人工智能机器人平均每天采摘量：5x=50.
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克.
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据“一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍 ”，可知
一台智能采摘机器人平均每天可采摘5x千克；则一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要天，化简为.
故答案为：5x； (或）.
【分析】（1）根据智能采摘机器人与工人的工作效率关系，可用含x的式子表示出智能采摘机器人的工作效率；需明确“时间=工作总量÷工作效率”，分析题干可知：工作总量为“200”，工作效率为“5x”，所以时间为(或）.
（2）根据“用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”，得到等量关系：“机器人工作的天数=工人工作的天数 1”即“机器人工作的天数+1=工人工作的天数 ”.列出分式方程，并解出x的值，带入求出5x的值；需要注意的是分式方程要检验.
20．【答案】（1）9；9
（2）解：∵八年级代表队竞赛成绩的平均数为9，
.
（3）解：了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级成绩：7，8，9，9，9，9，9，10，10，10，
∴9出现的次数最多，
∴众数m=9；
∵九年级成绩从小到大：8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，
∴中位数为第5，、第6个数的平均数，即中位数.
故答案为：9；9.
（3）∵三个年级平均数相同，八年级方差为0.6，七年级、九年级方差均为0.8，
∴八年级对防溺水知识了解最多，
又∵九年级竞赛成绩大于平均数的人数比七年级的人数多，
∴了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是把一组数据从小到大（或从大到小）的顺序排列后，中间位置的数，若数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数，这里九年级对应数据个数为偶数，所以在按大小排列后，取中间两个数的平均数；
（2）根据方差公式，其中n为数据个数，为这组数据的平均数，由图表可知八年级代表队竞赛成绩的平均数为9，将数据代入公式即可；
（3）三个年级的各个数据均已知，按照要求比较三个年级的平均数，平均数相等则进行下一步；比较方差，其中八年级方差最小，九年级、七年级方差相等，所以八年级为最优；最后比较竞赛成绩大于平均数的人数，九年级的人数更多，所以了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
21．【答案】（1）解：∵以AB为直角边构造Rt△ABC，
∴∠CAB=90°，
∵ P1Q1⊥AB，
∴ ∠Q1P1B=∠CAB=90°，
又 ∠B=∠B，
∴ △ACB∽△P1Q1B，
∵AC=20mm，P1Q1=19mm，
.
（2）解：由(1)得，
∵ AP1=AC=20，
∴，
即 ，
解得P1B=380(mm)，
在Rt△P1Q1B中， .
答：第一根品丝的有效弦长 P1B为380mm，.
（3）解：合格.理由如下：
在 Rt△P2Q2B中，
∴ 342.95-342=0.95(mm).
∵ - 2<0.95<2，
∴ 该品丝合格.
【知识点】相似三角形的实际应用；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）首先判断两个三角形△ACB与△P1Q1B相似，利用相似三角形的性质“对应边成比例”建立比例关系，结合已知条件代入数据即可；
（2）由第（1）问知：线段AB与P1B的比例关系，其中AB=AP1+P1B，且已知AP1=AC=20，代入比例式即可解出P1B；在Rt△P1Q1B中，∠B的对边为P1Q1=19mm，邻边为P1B=380mm，根据正切函数的定义“直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比”即可求解.
（3）本题可根据第（2）问的信息递推，根据已知条件计算第二根品丝到弦桥B的距离P2B，在Rt△P2Q2B中应用正弦函数tanB可求出P2Q2的长度，根据第三根品丝到第二根品丝的垂直距离等于第二根品丝的高度，即P2P3=P2Q2，即可计算P3B的长度，最后计算偏差判断是否合格.
22．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
图1
∴∠A=∠C=∠D=90°.
∵△ABE与△FBE关于直线BE对称，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠A=∠BFE=90°.
∴∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠C=∠D=90°.
∴四边形EFCD是矩形.
（2）解：①由(1)知，△ABE≌△FBE，
∴∠BFE=∠A=90°，∠AEB=∠FEB，EF=EA=8，BF=BA=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FEB，
∴BG=EG，
设BG=x，则GE=x，GF=8-x，
在Rt△BGF中，
即
解得 即
②如图2，过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M，
图2
∴∠MND=∠A=∠D=90°.
∴四边形AMND是矩形.
∴MN=AD=9，MN⊥AB.
∴AM=BM，即点M是AB中点.
又∵O是BE中点，
∴OM是△ABE中位线.
∴ON=MN-OM=9-4=5，
在Rt△ABE中，
即ON为⊙O的半径.
∴点N在⊙O上.
又∵ON⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（3）解：2或12-6
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，有以下两种情况：
①如图3.1，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=30°，
在Rt△ABG中，AB=6
∴，
∠AGB=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴∠A=∠BFE=90°，EF=AE，
∴∠EFG=90，
在Rt△EFG中，，
∵AE+EG=AG，
∴，
∴；
②如图3.2，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴，
在Rt△ABE中，AB=6
∴.
【分析】（1）本题考查矩形的性质与判定，结合轴对称图形的性质即可证明.根据矩形的性质可直接说明∠C=∠D=90°；结合轴对称图形的性质可得∠EFC=90°，利用“三个角是直角的四边形是矩形”判定.
（2）①本小题主要根据勾股定理结合方程思想解答.第一步：根据矩形对边平行得到内错角相等，即∠AEB=∠EBG，结合对称的性质“对应角相等”，得到∠AEB=∠FEB，所以∠EBG=∠FEB，再由“等角对等边”得到BG=EG；第二步：在Rt△BGF中，根据勾股定理列方程，解出x即可；
②本小题考查圆切线的判定“经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线”，即CD满足两点：1、CD垂直于圆的半径；2、CD经过半径外端.由此可作辅助线“过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M”，那么接下来只需证明ON长度是半径即可：首先可证四边形AMND是矩形，根据“垂径定理”与点O是圆心可知OM是△ABE中位线，再由中位线性质及MN长求出ON的长为5；最后根据勾股定理可求出圆O的直径为10，因此可判断ON长为半径，得证.
（3）分析题干“ 点F落在∠ABC的三等分线上 ”应当有两种情况，对于两种情况分别作出对应图示，根据图示进行分析解答，这里主要运用了锐角三角函数进行相应计算.
23．【答案】（1）解：①一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3，1)，(0，-2)，
根据题意得解得
∴y=x-2；
②根据题意，二次积点函数为
∴顶点坐标为(1，-1).
（2）解：∵二次积点函数为由整理得
∵k≠0，
，
∴方程有两个实数根；
∴y与其二次积点函数的图象必有交点.
（3）解：∵y=2x+b的二次积点函数为由
解得
∴交点A，B坐标分别为
又C为(1，0)，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°；
∴AB的长为△ABC外接圆的直径d，
当时，b=0或-4，
当时，b=2或-6，
∴抛物线d2开口向上，
又抛物线d2的对称轴为b=-2，
①当b>-2时，d2随b的增大而增大，
∴当即5≤d2≤20时，0≤b≤2，
②当b<-2时，d2随b的增大而减小，
∴当即5≤d2≤20时，-6≤b≤-4，
综上，-6≤b≤-4或0≤b≤2.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①本小题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知两点代入，解二元一次方程组即可；
②根据题目二次积点函数的定义： 横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积 ，求出函数解析式；用配方法将一般式转化为顶点式：，即可直接读出顶点坐标.
（2）本小题考查函数交点与一元二次方程根的判别式.首先两个函数的交点，就是在函数值相等的点，所以联立两个解析式，得到一元二次方程若有交点，则方程有实数根，根据判别式，代入对应的值整理得到，可判断两个函数图象必有交点.
（3）首先根据题干信息求出二次积点函数解析式，联立两个函数得到一元二次方程，求解可得出点A、B坐标分别为，结合点C坐标（1，0）可得：点A、C横坐标相等，点B、C纵坐标相等，判断出△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°；根据勾股定理求出AB的长，根据题干信息“ △ABC外接圆的直径为d ”，可得，将d2看做b的函数，那么这是一个二次函数且开口向上、对称轴为b=-2；接下来可进行分类讨论函数的增减性结合d的范围从而推出b的范围.
1 / 1广西南宁市2026年初中毕业班质量调研数学试卷
1． 如果水库的水位升高3m时，水位变化记作+3m，那么水位下降2m时，水位变化记作（　　）
A．+3m B．+2m C．- 3m D．- 2m
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：题干给出“水位升高3m记作+3m”，由此确定“升高”对应正号（+），“下降”对应负号（－），水位下降2m应记作－2m，对照选项：选项A、B、C均不符合题意，选项D为-2m；
故答案为：D.
【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量，“升高”与“下降”为相反意义的量，若规定用正数表示升高的量，则用负数表示下降的量.
2． 南宁青秀山风景区某日入园游客约234200人次，数据234200用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：A、a=0.2342＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.342 满足1≤a<10的要求，且n=5 ，正确；
C、a=2.342满足要求，但 n=4错误，2.342×104=23420，比原数少一个0，错误；
D、a=2342＞10，不满足a＜10的要求，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查科学记数法，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数234200，确定a的值应为2.342，再根据小数点向左移动的位数确定n的值为5.
3． 如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线l旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：A、圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，符合题意；
B、球体由半圆或圆绕直径旋转一周得到，不符合题意；
C、圆柱由长方形绕一边旋转一周得到，不符合题意；
D、该图形可由钝角三角形绕钝角所对的边旋转一周得到，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查“面动成体”的几何原理： “直角三角形绕它的一条直角边所在直线l旋转一周”，首先被选为轴的这条直角边保持不动成为圆锥的高；其次另一条直角边绕轴旋转形成一个圆成为圆锥的底面；最后斜边绕轴旋转形成圆锥的侧面.因此得到的立体图形是圆锥.
4． 如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察函数图象可知，横轴表示时间，纵轴表示气温.“气温最高”为纵坐标最大，即函数图象中的最高点，最高点所对应的横轴的数值即为气温最高的时刻，由图可知，最高点对应时刻为14时，故选项A、B、D不符合题意；选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查从函数图象中获取信息的能力.解题关键在于正确理解横轴、纵轴的实际意义，通过观察图像，分析问题，确定最高点所对应横坐标的数值，即为气温最高的时刻.
5． 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，
∴选到“篮球”的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题是一个古典概型的问题，已知有“编程、书法、篮球”3门选修课，小明随机选1门，所以所有可能的选择结果一共有3种，且每种选择的可能性相等，题目要求选到“篮球”，符合这个条件的情况只有1种，故根据概率公式.
6． 体育课上，小冬的铅球成绩是6. 3m，他投出的铅球落在的区域是（　　）
A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：A、由图可知：区域A表示距离在3m到4m之间，不符合题意；
B、由图可知：区域B表示距离在4m到5m之间，不符合题意；
C、由图可知：区域C表示距离在5m到6m之间，不符合题意；
D、由图可知：区域D表示距离在6m到7m之间，6＜6.3＜7，符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查小数的大小比较及数轴上点的位置与数值大小关系.解题关键在于明确图中各区域所对应的距离范围，进而判断数值6.3所在的区间.
7． 正六边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°.
故答案为：C.
【分析】本题考查多边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3且n为正整数）.将n=6代入公式即可求解.
8． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：A.
【分析】选项A：“与”是同类项，根据合并同类项法则“系数相加减，字母及字母的指数不变”，判断该计算结果正确；
选项B：“”是幂的乘方，法则为“底数不变，指数相乘”，因此选项B结果错误；
选项C：“”是积的乘方，法则为”将每一个因式分别乘方再相乘”，因此选项C结果错误；
选项D：“”是同底数幂相乘，法则为“底数不变，指数相加”，因此选项D结果错误.
9． 在平面直角坐标系中，点 P（3，5)关于原点的对称点 P'的坐标是（　　）
A．（-3， 5) B．（-3， - 5)
C．（3， - 5) D．（-5， - 3)
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标特征是：横、纵坐标都互为相反数，
∵点P的坐标为（3，5），
∴点P'的坐标为（-3，-5）.
故答案为：B.
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都互为相反数.
10． 如图，射线OA 的方向是北偏东 70°，若射线OB 与射线OA 垂直，则射线 OB 的方向是（　　）

A．北偏西20° B．西北方向 C．北偏西70° D．西偏北20°
【答案】A
【知识点】角的运算；垂线的概念；方位角
【解析】【解答】解：如图，
∵ 射线OA 的方向是北偏东 70° ，
∴∠COA=70°，
∵ 射线OB 与射线OA 垂直 ，
∴∠BOA=90°，
∴∠BOC=∠BOA-∠COA=90°-70°=30°，
即射线OB的方向是北偏西20°.
故答案为：A.
【分析】本题考查方位角的表述与垂直关系的角度计算，解题关键是利用垂直关系与∠COA=70°得出∠BOC=30°，表述为射线OB的方向为北偏西20°.
11． 《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少. 现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当x=40时，y=15，则下列说法错误的是
A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数
B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加
C．当x=50时，平均每人分到粮食12千克
D．这批粮食总量有500千克
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设粮食总量为k千克，依题可列，
∵当x=40时，y=15，
∴，解得k=600，
∴；
A、平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，正确；
B、根据反比例函数性质：当k>0时，y随x的增大而减小，所以当x越小时，y越大，正确；
C、当x=50时，，正确；
D、因为k=600，所以这批粮食总量有600千克，错误.
故答案为：D.
【分析】本题以古代“均赋”思想为背景，考查反比例函数的识别与计算.关键在于利用“总量固定”建立模型，求出k=600，逐一判断即可找出错误选项 D.
12． 如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据数量关系列方程；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：如图，两次剪下的矩形面积可分别表示为2a、x(a-2)，
∵x=a-b，且两次剪下的矩形面积恰好相等，
∴2a=(a-b)(a-2)，
去括号得 2a=a2-2a-ab+2b，
移项得 (a-2)b=a2-4a
∴.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查代数式与方程、分式的变形，解题关键是根据“两次剪下的矩形面积恰好相等”列出方程，进行化简，用含有a的式子表示b.
13． 如图，数轴上点A 表示数1，将点A 向右平移2个单位长度后表示的数是____.
【答案】3
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由题可知，数轴上点A表示的数为1，则向右平移两个单位长度后为1+2=3.
故答案为：3.
【分析】本题考查在数轴上的点移动规律，确定起始点的位置，向右移动a个单位长度则对应的数+a；向左移动a个单位长度则对应的数-a.
14． 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是　 　调查（填“全面”或“抽样”).
【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本题调查目的为“某品牌新能源汽车的抗撞击能力”，抗撞击能力测试通常需要进行破坏性试验（如碰撞测试），如果对每一辆汽车都进行测试，所有被测试的汽车都会被损坏，无法再销售或使用.全面调查（普查）在实际操作中不可行且成本极高；对于具有破坏性的调查，通常采用抽样调查，用样本估计整体情况.
故答案为：抽样.
【分析】解答本题先应明确“全面调查”、“抽样调查”的概念.本题的关键词是“抗撞击能力”，暗示了破坏性测试，因此必须选择抽样调查.这类问题判断依据通常是：调查是否具有破坏性，以及总体是否过大.
15． 若n为正整数，且满足 则n=　 　.
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵22=4，32=9，且4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∵n为正整数，且满足，
∴n=2.
故答案为：2.
【分析】本题核心是找到两个完全平方数，使6介于它们之间，从而确定在两个连续的整数之间.
16． 如图，在Rt△ABC中， AC=BC， ∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点A 为圆心，AC长为半径作弧，交AB 于点 D；
②分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作弧，两弧在 CD右侧相交于点 E；
③作射线AE，交边BC于点 F. 根据作图， 的值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：如图所示，根据作图步骤可知AF平分∠CAB，
∴，
∵AC=AD，AF=AF，
∴，
∴CF=DF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴，
∵，，
∴.
故答案为：.
【分析】本题主要考查“尺规作图—角平分线”，结合三角形全等及三角形面积进行计算.首先要根据作图步骤判断出AF平分∠CAB，再利用三角形全等得到CF=DF，即与的高相等，再由勾股定理得到两个三角形对应底边的关系，最后计算面积比.
17．
（1）计算：
（2）解不等式： 3（2x-1)>9.
【答案】（1）解：原式=4+(-2)-1
=1
（2）解：6x-3>9，
6x>9+3，
6x>12，
x>2
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，在计算过程中应注意运算顺序与符号，先算-2的平方，再算除法，最后加减法得出结果；
（2）本题考查解不等式，先去括号，再移项（移项要变号），最后化为的形式.
18． 如图， AB与CD相交于点O， AC=BD， ∠C=∠D.
（1）求证： △AOC≌△BOD；
（2）若∠C=75°， ∠AOC=40°，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
（2）解：在△AOC中， ∠C=75°， ∠AOC=40°，
∠A=180°-∠C-∠AOC=65°.
由(1)知， △AOC≌△BOD，
∴∠B=∠A=65°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据题干信息及图中隐含条件（对顶角相等），可利用“AAS”判定三角形全等；
（2）根据三角形内角和180°，已知两角度数，求出第三个角的度数；再由（1）知两个三角形全等，利用全等的性质“对应角相等”即可得出结果.
19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人. 已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天. 设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花.
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘　 　千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要　 　天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克.
【答案】（1）5x； (或）
（2）解：依题意可列： ，
方程两边同时乘以20x得，
，
解得x=10.
检验：当x=10时， 20x≠0，所以x=10是原分式方程的解，且符合题意.
∴人工智能机器人平均每天采摘量：5x=50.
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克.
【知识点】分式方程的实际应用；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】（1）根据“一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍 ”，可知
一台智能采摘机器人平均每天可采摘5x千克；则一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要天，化简为.
故答案为：5x； (或）.
【分析】（1）根据智能采摘机器人与工人的工作效率关系，可用含x的式子表示出智能采摘机器人的工作效率；需明确“时间=工作总量÷工作效率”，分析题干可知：工作总量为“200”，工作效率为“5x”，所以时间为(或）.
（2）根据“用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”，得到等量关系：“机器人工作的天数=工人工作的天数 1”即“机器人工作的天数+1=工人工作的天数 ”.列出分式方程，并解出x的值，带入求出5x的值；需要注意的是分式方程要检验.
20．为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛. 现从七、八、九年级各随机抽取 10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分)如下：
【收集数据】
七年级代表队： 9， 8， 9， 9， 10， 7， 10， 9， 9， 10；
八年级代表队： 8， 9， 9， 10， 8， 9， 10， 9， 10， 8；
九年级代表队： 8， 8， 9， 8， 10， 9， 10， 8， 10， 10.
【整理数据】
代表队 平均数 中位数 众数 方差
七年级代表队 9 9 m 0. 8
八年级代表队 9 9 9 s2
九年级代表队 9 n 8 和10 0. 8
【分析数据】
（1） 填空： m的值为　 　， n的值为　 　；
（2）计算八年级代表队竞赛成绩的方差s2；
（3）【评估结果】
现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度. 评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优. 请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序).
【答案】（1）9；9
（2）解：∵八年级代表队竞赛成绩的平均数为9，
.
（3）解：了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）∵七年级成绩：7，8，9，9，9，9，9，10，10，10，
∴9出现的次数最多，
∴众数m=9；
∵九年级成绩从小到大：8，8，8，8，9，9，10，10，10，10，
∴中位数为第5，、第6个数的平均数，即中位数.
故答案为：9；9.
（3）∵三个年级平均数相同，八年级方差为0.6，七年级、九年级方差均为0.8，
∴八年级对防溺水知识了解最多，
又∵九年级竞赛成绩大于平均数的人数比七年级的人数多，
∴了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是把一组数据从小到大（或从大到小）的顺序排列后，中间位置的数，若数据的个数是偶数，则取中间两个数的平均数，这里九年级对应数据个数为偶数，所以在按大小排列后，取中间两个数的平均数；
（2）根据方差公式，其中n为数据个数，为这组数据的平均数，由图表可知八年级代表队竞赛成绩的平均数为9，将数据代入公式即可；
（3）三个年级的各个数据均已知，按照要求比较三个年级的平均数，平均数相等则进行下一步；比较方差，其中八年级方差最小，九年级、七年级方差相等，所以八年级为最优；最后比较竞赛成绩大于平均数的人数，九年级的人数更多，所以了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级.
21．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定.
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的M1N1)位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为AB，以AB为直角边构造Rt△ABC， 在AB上截取AP1=AC， 在P1处确定第一根品丝， 则第一根品丝的对应有效弦长为P1B，过P1作P1Q1⊥AB交BC于点 Q1，在AB上截取 ，在P2处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为P2B，以此类推确定后续品丝位置. 在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取AC长为20mm，P1Q1长为19mm.
【求解模型】
（1） 求
（2）求第一根品丝的有效弦长 P1B 及 tanB.
（3）【检验模型】
制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置P3到弦桥B的长度约为342mm，若允许偏差是±2mm，请判断该品丝是否合格，并说明理由.
【答案】（1）解：∵以AB为直角边构造Rt△ABC，
∴∠CAB=90°，
∵ P1Q1⊥AB，
∴ ∠Q1P1B=∠CAB=90°，
又 ∠B=∠B，
∴ △ACB∽△P1Q1B，
∵AC=20mm，P1Q1=19mm，
.
（2）解：由(1)得，
∵ AP1=AC=20，
∴，
即 ，
解得P1B=380(mm)，
在Rt△P1Q1B中， .
答：第一根品丝的有效弦长 P1B为380mm，.
（3）解：合格.理由如下：
在 Rt△P2Q2B中，
∴ 342.95-342=0.95(mm).
∵ - 2<0.95<2，
∴ 该品丝合格.
【知识点】相似三角形的实际应用；求正切值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）首先判断两个三角形△ACB与△P1Q1B相似，利用相似三角形的性质“对应边成比例”建立比例关系，结合已知条件代入数据即可；
（2）由第（1）问知：线段AB与P1B的比例关系，其中AB=AP1+P1B，且已知AP1=AC=20，代入比例式即可解出P1B；在Rt△P1Q1B中，∠B的对边为P1Q1=19mm，邻边为P1B=380mm，根据正切函数的定义“直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比”即可求解.
（3）本题可根据第（2）问的信息递推，根据已知条件计算第二根品丝到弦桥B的距离P2B，在Rt△P2Q2B中应用正弦函数tanB可求出P2Q2的长度，根据第三根品丝到第二根品丝的垂直距离等于第二根品丝的高度，即P2P3=P2Q2，即可计算P3B的长度，最后计算偏差判断是否合格.
22．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量. 下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中， AB=6， AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A 的对称点为点 F.
图1 图2 图3
（1）如图1，当点 F落在边 BC上时，求证：四边形 EFCD 是矩形；
（2）如图2，当AE=8时， EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A.
①求 BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；
（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长.
【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
图1
∴∠A=∠C=∠D=90°.
∵△ABE与△FBE关于直线BE对称，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠A=∠BFE=90°.
∴∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠C=∠D=90°.
∴四边形EFCD是矩形.
（2）解：①由(1)知，△ABE≌△FBE，
∴∠BFE=∠A=90°，∠AEB=∠FEB，EF=EA=8，BF=BA=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FEB，
∴BG=EG，
设BG=x，则GE=x，GF=8-x，
在Rt△BGF中，
即
解得 即
②如图2，过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M，
图2
∴∠MND=∠A=∠D=90°.
∴四边形AMND是矩形.
∴MN=AD=9，MN⊥AB.
∴AM=BM，即点M是AB中点.
又∵O是BE中点，
∴OM是△ABE中位线.
∴ON=MN-OM=9-4=5，
在Rt△ABE中，
即ON为⊙O的半径.
∴点N在⊙O上.
又∵ON⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（3）解：2或12-6
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，有以下两种情况：
①如图3.1，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=30°，
在Rt△ABG中，AB=6
∴，
∠AGB=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴∠A=∠BFE=90°，EF=AE，
∴∠EFG=90，
在Rt△EFG中，，
∵AE+EG=AG，
∴，
∴；
②如图3.2，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴，
在Rt△ABE中，AB=6
∴.
【分析】（1）本题考查矩形的性质与判定，结合轴对称图形的性质即可证明.根据矩形的性质可直接说明∠C=∠D=90°；结合轴对称图形的性质可得∠EFC=90°，利用“三个角是直角的四边形是矩形”判定.
（2）①本小题主要根据勾股定理结合方程思想解答.第一步：根据矩形对边平行得到内错角相等，即∠AEB=∠EBG，结合对称的性质“对应角相等”，得到∠AEB=∠FEB，所以∠EBG=∠FEB，再由“等角对等边”得到BG=EG；第二步：在Rt△BGF中，根据勾股定理列方程，解出x即可；
②本小题考查圆切线的判定“经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线”，即CD满足两点：1、CD垂直于圆的半径；2、CD经过半径外端.由此可作辅助线“过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M”，那么接下来只需证明ON长度是半径即可：首先可证四边形AMND是矩形，根据“垂径定理”与点O是圆心可知OM是△ABE中位线，再由中位线性质及MN长求出ON的长为5；最后根据勾股定理可求出圆O的直径为10，因此可判断ON长为半径，得证.
（3）分析题干“ 点F落在∠ABC的三等分线上 ”应当有两种情况，对于两种情况分别作出对应图示，根据图示进行分析解答，这里主要运用了锐角三角函数进行相应计算.
23．【研究内容】二次积点函数
将一次函数y=kx+b（k≠0)图象上的任意点 P（x，y)的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点 P'（x，xy). 点 P'所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数y=2x，则其二次积点函数为
【特殊感知】
（1）一次函数y= kx+b（k≠0)的图象经过点（3， 1)， （0， - 2)，完成下列问题：
①求y的解析式；
②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标；
（2）【探索求证】
猜想：一次函数y=kx+b（k≠0)的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
一次函数y=2x+b的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为（1，0)，设△ABC外接圆的直径为d，若 求b的取值范围.
【答案】（1）解：①一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3，1)，(0，-2)，
根据题意得解得
∴y=x-2；
②根据题意，二次积点函数为
∴顶点坐标为(1，-1).
（2）解：∵二次积点函数为由整理得
∵k≠0，
，
∴方程有两个实数根；
∴y与其二次积点函数的图象必有交点.
（3）解：∵y=2x+b的二次积点函数为由
解得
∴交点A，B坐标分别为
又C为(1，0)，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°；
∴AB的长为△ABC外接圆的直径d，
当时，b=0或-4，
当时，b=2或-6，
∴抛物线d2开口向上，
又抛物线d2的对称轴为b=-2，
①当b>-2时，d2随b的增大而增大，
∴当即5≤d2≤20时，0≤b≤2，
②当b<-2时，d2随b的增大而减小，
∴当即5≤d2≤20时，-6≤b≤-4，
综上，-6≤b≤-4或0≤b≤2.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①本小题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知两点代入，解二元一次方程组即可；
②根据题目二次积点函数的定义： 横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积 ，求出函数解析式；用配方法将一般式转化为顶点式：，即可直接读出顶点坐标.
（2）本小题考查函数交点与一元二次方程根的判别式.首先两个函数的交点，就是在函数值相等的点，所以联立两个解析式，得到一元二次方程若有交点，则方程有实数根，根据判别式，代入对应的值整理得到，可判断两个函数图象必有交点.
（3）首先根据题干信息求出二次积点函数解析式，联立两个函数得到一元二次方程，求解可得出点A、B坐标分别为，结合点C坐标（1，0）可得：点A、C横坐标相等，点B、C纵坐标相等，判断出△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°；根据勾股定理求出AB的长，根据题干信息“ △ABC外接圆的直径为d ”，可得，将d2看做b的函数，那么这是一个二次函数且开口向上、对称轴为b=-2；接下来可进行分类讨论函数的增减性结合d的范围从而推出b的范围.
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