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专题01 直线与圆
题型1 直线的倾斜角与斜率定义
1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．
1．（24-25高三上·福建福州·月考）若直线的倾斜角为，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（ ）
A．-1 B． C． D．
3．（24-25高三上·山东临沂·月考）过两不同点的直线的斜率为1，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ．
题型2 直线斜率的取值范围问题
斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
5．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江西南昌·月考）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广东深圳·一调）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型3 求解直线的方程
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．
9．（24-25高三上·吉林·月考）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·山东济宁·月考）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ．
12．（25-26高三上·河北沧州·月考）设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A．
(1)求点A的坐标；
(2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程
题型4 两条直线的位置关系问题
直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)
13．（25-26高三上·陕西汉中·月考）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 .
14．（25-26高三上·广东佛山·月考）直线及互相垂直，其中是一个常数．若与相交于，则的方程（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A． B．或3 C． D．3
16．（25-26高三上·天津·月考）“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型5 直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
17．（24-25高三上·宁夏吴忠·月考）过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 .
18．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
19．（24-25高三上·安徽六安·月考）两平行直线与之间的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
20．（24-25高三上·河南新蔡·期末）若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型6 与直线有关的对称问题
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
23．（24-25高三上·河北邢台·月考）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ）
A．4 B．5 C． D．
24．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型7 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
25．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26高三上·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
27．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
28．已知点轴，，则周长的最小值为 ．
题型8 求圆的标准方程与一般方程
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
29．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（24-25高三上·广西北海·月考）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
题型9 与圆有关的轨迹问题
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
33．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
34．（2025·海南·模拟预测）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
35．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
题型10 直线与圆的位置关系及应用
1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、根据直线与圆的位置关系求参数 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集．
37．（25-26高三上·江西·月考）圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
38．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
39．（25-26高三上·浙江温州·月考）在平面直角坐标系中，圆的标准方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
40．（2025·湖北·模拟预测）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
题型11 圆的弦长及中点弦问题
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|．
41．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知直线与圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
42．（24-25高三上·天津·月考）若直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
43．（2025·河南周口·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．0
44．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型12 圆的切线方程及切线长问题
求圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
45．（25-26高三上·北京平谷·月考）过点且与圆相切的直线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
46．（24-25高三上·福建福州·月考）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
47．（24-25高三上·天津·月考）已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
48．（2025·山东济宁·一调）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（ ）
A．1 B．4 C． D．5
题型13 圆与圆的位置关系
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．
49．（24-25高三上·天津滨海新·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
50．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相离 D．相交
51．（24-25高二上·山西长治·月考）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 .
52．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 .
题型14 两圆的公共弦问题
公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．
53．（24-25高三下·黑龙江·月考）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
54．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
55．（24-25高三下·四川成都·月考）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 .
56．（24-25高三下·云南·月考）直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 .
题型15 两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
57．（24-25高三下·江苏徐州·月考）已知圆与圆恰有三条公切线，则 .
58．（25-26高三上·湖南湘西·月考）若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
59．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
60．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型16 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤： 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
61．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
62．（2024·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
63．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
64．（24-25高三上·重庆·月考）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10专题01 直线与圆
题型1 直线的倾斜角与斜率定义
1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．
1．（24-25高三上·福建福州·月考）若直线的倾斜角为，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，，解得.故选：C
2．（25-26高三上·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线倾斜角为，
由直线方程可得：，
又角的终边位于直线，
由两角的终边相同可知：.故选：C
3．（24-25高三上·山东临沂·月考）过两不同点的直线的斜率为1，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得，解得或．
当时，点重合，不符合题意，舍去．
当时，经验证，符合题意．故选：C.
4．（25-26高三上·上海·开学考试）已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为，可得，
因为，所以，
又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，
所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为.
题型2 直线斜率的取值范围问题
斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
5．（2025·广东肇庆·模拟预测）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，点的轨迹为线段，
又直线过定点，所以，
由题意，直线与线段相交，所以或，故选：C
6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知直线的斜率为，且经过定点，
由点，可得直线的斜率分别为：，
作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，
需使，解得.故选：C.
7．（24-25高三上·江西南昌·月考）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，则，可得，
所以直线过定点，则，，
由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，
所以或，即或，
又时直线的方程为，仍与线段相交，
所以的取值范围为.故选：C
8．（2025·广东深圳·一调）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线恒过定点，如图.
又因为，，所以直线的斜率k的范围为.故选：C.
题型3 求解直线的方程
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．
9．（24-25高三上·吉林·月考）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由方程可知：的斜率为，
由题意可知：，所以，所以，
因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，
即.故选：C.
10．（24-25高三上·山东济宁·月考）过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线夹在直线之间的线段是，（在上，在上），
设，因为被点平分，
所以，于是，
由于在上，在上，
所以，解得，
即的坐标是，而，
则，由点斜式得，即.
所以直线的方程是：.故选：D.
11．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ．
【答案】
【解析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，
由于直线过点，则，故，
所以为的正约数，故.
即满足条件的正整数的个数为.
因此，满足题设条件的直线的条数为.
故答案为：.
12．（25-26高三上·河北沧州·月考）设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A．
(1)求点A的坐标；
(2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，
所以由，
由题意可知：，
因为，所以点A的坐标为；
（2）由（1）可知，所以有直线，
设直线倾斜角为，则有，
所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为，
则有，
所以直线直线的方程为：.
题型4 两条直线的位置关系问题
直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)
13．（25-26高三上·陕西汉中·月考）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 .
【答案】
【解析】由，得，
所以在处的切线斜率为：，
由垂直关系可得：，所以，
14．（25-26高三上·广东佛山·月考）直线及互相垂直，其中是一个常数．若与相交于，则的方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得与相交于，，
将代入中，可得，解得，
可得的斜率为，的斜率为，
则的方程为，化简得，故B正确.故选：B
15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A． B．或3 C． D．3
【答案】B
【解析】因为两直线平行，所以：
，
所以或.故选：B
16．（25-26高三上·天津·月考）“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，
所以，即，解得或．
当时，两直线分别为，，不重合满足题意；
当时，两直线分别为，，不重合满足题意，
故由直线与直线平行可得或，
所以“直线与直线平行”不能推出“”，反之可以.
故“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.故选：B
题型5 直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
17．（24-25高三上·宁夏吴忠·月考）过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 .
【答案】
【解析】由可得，故交点为，因为直线垂直于向量，
故，即，
18．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】圆的圆心，所以.故选：C
19．（24-25高三上·安徽六安·月考）两平行直线与之间的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】若直线与平行，
则，解得，
此时直线与平行，符合题意，
所以直线与之间的距离.故选：C.
20．（24-25高三上·河南新蔡·期末）若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段的中点．由于直线又经过，
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，由于直线又经过，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，故选：C．
题型6 与直线有关的对称问题
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
21．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，
则，，解得，，
代入，得，
即所求直线的方程为．故选：D．
22．（2025·北京通州·一模）若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】由于在圆上，圆心为，
要使关于直线的对称点在圆上，
则直线必经过圆心，故，
结合选项可知：只有D符合，故选：D
23．（24-25高三上·河北邢台·月考）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线.
根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直，
故，.
从而，，故，即或.
但不重合，故，所以，从而，即.
而，，故.
根据对称性，光线经过的路程即为.故选：C.
24．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，，，
则直线方程为，直线方程为
如图，作关于的对称点，，解得，故，
再作关于的对称点，则，得，
连接，连接交与点，则直线方程为，得，
连接、分别交为点、，
则直线方程为，得，
直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得，
连接，，则，之间即为点的变动范围．
直线方程为，斜率为0，
直线的斜率为，
所以斜率的范围为， 故选：D．
题型7 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
25．（24-25高三上·山东临沂·月考）已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．故选：C
26．（25-26高三上·辽宁·月考）已知、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记点、、、，，如下图所示：
易知四边形是边长为的正方形，
所以，，，，
所以，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
，
当且仅当点在线段上时，等号成立，
所以
，
当且仅当点为线段、的交点时，等号成立，
故的最小值为.故选：C.
27．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】A
【解析】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为，
且，则点的坐标为，
则，
记，
则可将理解为点到的距离之和，
即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.
如图，作出点关于直线的对称点,则，
连接，交直线于点,则即的最小值，
且,
故的最小值为.故选：A.
28．已知点轴，，则周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，
设点关于直线的对称点为．
点关于轴的对称点为．
连接，交于点，交轴于点，
显然，，且四点共线，
故此时周长的最小值为．
题型8 求圆的标准方程与一般方程
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
29．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圆心到直线 的距离，
即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为.故选：B.
30．（2025·海南三亚·一模）已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为.故选：D.
31．（24-25高三上·广西北海·月考）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得是直角三角形，且．
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得，．故选：A
32．（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 .
【答案】
【解析】点和点的中点为，
点和点的斜率为，
则点和点的垂直平分线的斜率为，
可得点和点的垂直平分线的方程为
设圆心为，由题意联立方程：
解得，，半径，
圆方程为.
题型9 与圆有关的轨迹问题
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
33．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，则，
由，则直线过定点，
由，则直线过定点，
易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径，
由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是，
则动点的轨迹方程为.故选：C.
34．（2025·海南·模拟预测）已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：圆的圆心，半径，
则，，其中为坐标原点，
可得，
则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，
设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，
则，即，
解得，
所以实数的最大值为．故选：A．
35．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，，由为的中点，
则，即，
由点在圆上，则，即，
化简可得.故选：D.
36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由直线过点，圆可知，圆心为，
设点，
由题意可知，当点与点不重合时，，
则，整理得，即，
此时点的轨迹为圆但不包括点.
当点与点重合时，其坐标满足方程.
综上，点的轨迹方程为.
题型10 直线与圆的位置关系及应用
1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、根据直线与圆的位置关系求参数 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集．
37．（25-26高三上·江西·月考）圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
【答案】A
【解析】圆圆心到直线的距离，
所以圆与直线的位置关系是相交.故选：A
38．（2025·重庆·二模）过点 的直线与曲线 有公共点，则直线的斜率的最大值为 .
【答案】
【解析】由曲线，得，
作出图象如下：
设过点且与半圆相切的直线的斜率为，
则直线方程为，即．
由，解得或（舍去），
直线的斜率的最大值为．
39．（25-26高三上·浙江温州·月考）在平面直角坐标系中，圆的标准方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】B
【解析】圆的方程为，即圆是以为圆心，1为半径的圆；
又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
只需圆与直线有公共点即可．
设圆心到直线的距离为，
则，即，
．
的最大值是．故选：B．
40．（2025·湖北·模拟预测）“”是“圆上恰有2个点到直线的距离为1”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】如图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即，
故“”是“圆上恰有2个点到直线
的距离为1”的必要不充分条件.故选：B.
题型11 圆的弦长及中点弦问题
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|．
41．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知直线与圆相交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆心到直线的距离为，
则，
所以.故选：A.
42．（24-25高三上·天津·月考）若直线被圆截得的弦长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，圆的圆心为，半径为，
由弦长为，解得.故选：A
43．（2025·河南周口·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】，故过定点，
又，故在圆内，
所以当⊥时，取最小值，此时，
又，所以.故选：B
44．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）已知直线与圆交于两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的充要条件是：圆心，到直线的距离，
即，
故的充分不必要条件是的真子集.故选：A.
题型12 圆的切线方程及切线长问题
求圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
45．（25-26高三上·北京平谷·月考）过点且与圆相切的直线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】，圆心，半径，
过点且与圆相切，
当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切；
当此切线存在斜率时，设此切线方程为，
即，
则圆心到切线的距离，解得，
则切线方程为，即；
综上，所求的切线方程为或.故选：D.
46．（24-25高三上·福建福州·月考）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化为，圆心为，半径为2
所以点到圆心的距离为，则切线长为，
所以，则.故选：D
47．（24-25高三上·天津·月考）已知圆，点在直线上，过作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径的圆的面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由圆，则圆心，半径，
因为与圆分别相切于，所以，，
设，，，易知，
易知，则，可得，即，
在中，，则，即，
由图可知，则，
整理可得，
由图易知当垂直于直线时，取得最小值，则，
由函数在上单调递增，则的最小值为，
以为直径的圆的面积，所以面积的最小值为.故选：C.
48．（2025·山东济宁·一调）过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（ ）
A．1 B．4 C． D．5
【答案】D
【解析】设，则，圆的圆心，半径
由切圆于点，得，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，ABC不是，D是.故选：D
题型13 圆与圆的位置关系
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．
49．（24-25高三上·天津滨海新·期中）圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【解析】的圆心为，半径为2，
的圆心为，半径为3，
由于，，
故两圆相交.故选：B
50．（24-25高三上·安徽马鞍山·月考）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相离 D．相交
【答案】D
【解析】对于圆的方程，
所以圆的圆心坐标为，半径.
对于圆的方程，
所以圆的圆心坐标为，半径.
计算两圆心之间的距离
两圆半径之和.同时.
则 .所以两圆的位置关系是相交.故选:D．
51．（24-25高二上·山西长治·月考）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 .
【答案】
【解析】由，则，
由，则，
则，
因为圆与圆有公共点，所以，
即，解得，
所以实数取值范围是.
52．（25-26高三上·重庆·月考）已知曲线，若圆与都相切，则圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】由，得，则曲线表示圆的上半部分，
由，得，则曲线表示圆的上半部分，
由，得，则曲线表示圆的上半部分，
画出曲线，如图所示.根据对称性可知，圆的圆心在轴的正半轴上，
设圆的标准方程为，则，解得，
故圆的标准方程为.
题型14 两圆的公共弦问题
公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．
53．（24-25高三下·黑龙江·月考）圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】圆： ①，所以，.
圆： ②，所以，.
因为，所以圆与圆相交.
因此公共弦所在直线的方程为①②：，
圆的圆心到公共弦的距离为，
即公共弦长为.故选：A
54．（2025·山东烟台·三模）若圆与圆交于M，N两点，则四边形的面积为（ ）．
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【解析】，，，
由，解得，或，
则，
因为，所以四边形的面积为.故选：A.
55．（24-25高三下·四川成都·月考）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，圆心为，半径，
又，所以，所以两圆相交，
则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为.
56．（24-25高三下·云南·月考）直线过圆与圆的公共弦中点，且与两坐标轴围成面积为2的三角形，则的方程为 .
【答案】或
【解析】由，
又或，
设公共弦的中点为，所以，即中点为，
设直线的方程为，
则或，
代入化简整理有：
或，
题型15 两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
57．（24-25高三下·江苏徐州·月考）已知圆与圆恰有三条公切线，则 .
【答案】
【解析】由题知，两圆外切，
由圆方程得，半径，
由圆方程得，半径，
则，解得.
58．（25-26高三上·湖南湘西·月考）若圆和圆内切，则它们的公切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标为，
两圆内切，则它们的公切线与两圆圆心所在直线垂直，
又两圆圆心所在直线的斜率为，
所以它们的公切线的斜率为．故选：A
59．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】圆的方程等价于，
所以圆是以为圆心，为半径的圆，
圆 是以为圆心，为半径的圆，
所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，
即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．故选：C
60．（2025·山东·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，故选：.
题型16 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤： 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
61．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）已知直线，点为圆上一动点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，则直线与圆相离，
所以圆上动点到的最小距离为.故选：A
62．（2024·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
则可设为参数，，
故，其中，
当时，取得最小值，最小值为．故选：D．
63．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，，则，
整理后，
与已知轨迹方程展开整理得：，
对照，得，解得，所以.
则当、、三点共线时取得最小值故选：B.
64．（24-25高三上·重庆·月考）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】圆，则圆心，
圆，则圆心，
两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离，
圆心到直线l的距离，
则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，
设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
，
当且仅当三点共线时等号成立；
即的最小值为．故选：D.

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