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专题02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn与an关系求通项
1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多．
1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，则 .
【答案】
【解析】因为数列的前项和为，所以，
当，时，，
又，故满足关系，
所以，
2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记为数列的前项和，若，，则
【答案】243
【解析】，当时，有.
当时，有.
故，即，.
又因为，则数列是公比为，首项为的等比数列.
因此.
当时，.
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
在等比数列中，，
设公比为q，
，解得，∴，
当时，，解得：，
∴是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴.故选：A.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，
则，即，
所以数列是公差为4的等差数列．
又，则．
所以．故选：A.
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
利用累加法可得
,
化简得，则.故选：C.
6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列满足，，
所以，
所以，
则，
所以，故选：A.
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
【答案】
【解析】由题得
，
当时，符合题意，
所以，
8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 .
【答案】
【解析】由，则,
当时，上式相加得，又，
所以，又符合上式，
可知，所以，
所以.
题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】当时，，
由，
由，得，
两式相减得，，
所以，故选：B
10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【解析】由得，
，
.故选：D
11．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以是常数列，所以，
又，所以．故选：B
12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ．
【答案】
【解析】因为①，
所以②，
②①得，，
所以有，
所以．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列．
13．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
【答案】C
【解析】由题设，则，
所以，则
又，则，
所以是首项、公比均为的等比数列，则，
所以，则.故选：C
14．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
【答案】C
【解析】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，解得，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
于是，所以．故选：C
15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ．
【答案】
【解析】利用待定系数法构造新数列，
，
又，则，
所以．
令，是以为首项，公比的等比数列．
．即，．
当时成立，所以．
16．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，即．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．
17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)，；(2).
【解析】（1）在等差数列中，，解得，而，
因此数列的公差，；
设等比数列的公比为，由，得，解得，
又，则，解得，而，因此，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，
所以.
18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的值.
【答案】(1)；(2)100或97
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以的通项公式为；
（2），
，
若为偶数，则，
若为奇数，则，
，若为偶数，则，解得，
若为奇数，则，解得，
综上，或97
19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），当时，,
当时，
两式相减得，得，
因为，所以，
，
为等差数列，；
（2）
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，即，即
又因为成等比数列，所以，即，即，
联立方程组，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
，
因为，即，
可得，
，
所以，所以数列的前2n项的和为．
题型6 逆序相加法求和
如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．
21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数对任意都有，
数列满足①
又②
①②得：，
得.故选：B.
22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则
两式相加得
所以，所以.故选：A.
23．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
【答案】A
【解析】因为，
所以
所以的图象关于点对称，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又，，
所以，，
所以，所以，
所以，，
所以.故选:A.
24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： .
【答案】
【解析】因为函数是上奇函数，所以
，
所以，
，
两式相加得：
即.
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律 （1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为，
所以当时，
，
是首项为1的正项数列，则，
又满足上式，所以.
（2）由（1）可得，，
所以.
26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的前100项的和.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)10
【解析】（1）当时，，整理得，
又，所以.
当时，即，解得，
又，所以.
（2），
，
上述两式相减，得，
，
，
，
数列为等差数列，首项为2，公差为4.
（3））由（2）得：，
，
，
，由求根公式得，
，
，
.
27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知有，所以，解得，
当时，，
又满足上式，所以．
（2），
所以，
因为，所以，
由于单调递减，所以单调递增，
所以当时，最小，为，故．
28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意，，
又，解得，
，①
，②
②减①得，
所以，即，
所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
当时，，
所以，即，
经检验，当时，满足上式，
所以，
因为，
所以.
题型8 错位相减法求和
1、如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，常采用错位相减法． 2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“”与“”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 3、万能公式：形如的数列的前项和为，其中，，．
29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的前n项和．
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）已知 ，当 时，；
当 时，；
验证时，，符合上式，
故数列通项公式为.
因为，
所以，等式两边同时加 可得，
即，所以，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
数列通项公式为，所以.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，则，
所以，
记数列的前项和为 ，
，①
上式乘以公比2可得；，②
由① ②可得：，
即，
，
化简可得，
即.
30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，，
两式相减可得：，即①
则②，
②①可得，
由于，所以数列是首项为2，公差为4的等差数列，
则
（2）设，
所以③
④，
③④可得,
化简可得：
31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令，
(1)证明数列是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)
【解析】（1），两端除以，得，即，
由，得，所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列，
．
（2），
，①
，②
由①-②，得，
．
32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：因为，可得，所以，
两边同除以，可得，即，
又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得，所以，可得，
所以，
则.
两式相减，可得
，
所以.
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． ①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……； ②递推公式：，； ③通项公式：（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：． 3、平方和问题： 4、余数列周期性 ①被2除的余数列周期为3：1，1，0，…… ②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…… ③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…… 5、裂项问题：
33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数
A．1012 B．1348 C．1350 D．1352
【答案】C
【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，
又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，，，
则.故选：C.
35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ）
A．2023 B．2024 C．1 D．2
【答案】C
【解析】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，,
.
由题意得：， 即，
，
，
，

，
即
即.故选：C.
36．（24-25高三上·安徽·月考）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项.
【答案】2025
【解析】由题意知，（，），
所以（，），
所以，，……，，
由累加法可得，
则，
所以是斐波那契数列的第2025项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题； （3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证明．
37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
【解析】由，可得，
易知，两侧同时除，可得，整理得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则，
故，
故，
易知单调递增，
，所以.故选：B
38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.
【解析】（1）当时，，
当时，.
又注意到，符合上式，则；
（2）即判断是否成立，由（1）可得，，
则
，则当时，；时，.
则在时，取最大值，则，因，
则不存在正整数m，使得成立.
39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列中，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由，可得，
即，所以，
又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，
则.
（2），
，
因为，所以，所以，
又恒成立，即恒成立，，即.
所以的取值范围为.
40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和；
①求；
②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)①；②
【解析】（1）证明：因为，
所以．
因为，所以．
又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）①由（1）可得，则，
，
，
两式相减得：，
即，
所以，则．
②因为不等式对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
当为偶数时，因为在为增函数，所以；
当为奇数时，对任意的正整数恒成立，所以，解得．
综上，实数的取值范围为．
题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数． 2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．
41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．
(1)求；
(2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值．
【答案】(1)，；(2)55
【解析】（1）由题意，得，
又时，，符合题意，所以.
设数列的公比为，又，，
即，解得，所以.
（2）根据题意，在与之间插入个1，
即在1和2之间插入个1；
在2和3之间插入个1；
在3和4之间插入个1；
在4和5之间插入个1，
此时刚好有45项，则.
所以的值为55.
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为
因此对任意正整数，即
因为，所以，
所以，是首项为2，公比为3的等比数列，
所以
（2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以
因为，所以，即
因为,所以,则的值为
所以，可得
43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和．
【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3)
【解析】（1）数列中，，
则，而，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为；
（2）由（1）知，，，
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，
即，则有，
又，即，于是，
所以数列的通项公式为；
（3）依题意，数列中，前有数列中的前项，
有数列中的前项，
因此数列中，前共有项，
当时，，
当时，，
因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项，
所以
.
44．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
【答案】(1)；(2)；(3)12182
【解析】（1）由可得，又，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）方法一：由已知得，所以，
所以，又，
等式两边同时相乘，可得，
得，该式对也成立.
故.
方法二：由可知是常数列，
所以，
即.
（3）设在的前100项中，来自的有项.
若第100项来自，则应有，
整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自，则应有，整理可得.
易知在时单调递增，
当时，，不满足题意，
当时，，满足题意，
故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自，
所以
.
题型12 数列的新定义问题
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.
(2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由．
(3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”.
【答案】(1)是“和差单值”数列；(2)是“和差单值”数列，理由见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）对于：8，4，2，1，2，4，8，
若不是“和差单值”数列，
则存在以及，使得，
则．
1为该数列中唯一奇数．
若，则，为奇数，矛盾
若，则只能是或或，
这里的，枚举可得均不成立，
故是“和差单值”数列.
（2）由（1）可得，若不是“和差单值”数列，则存在以及，
使得，即，
设中最小值为，则，
只能是，
由于为偶数，而,
故为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立，
是“和差单值”数列.
（3）数列共有项，且恒成立，
取，
由，可知，
又，则至多有个不同的值，
故中必有两个值相等，故一定不是“和差单值”数列.
46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足．
(1)写出数列的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列是周期为8的周期数列；
（ii）求的个位数字．
参考数据：．
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）4
【解析】（1）由递推关系得，
所以．
（2）（i）由题中给的性质，可得，
因为，
所以，
所以，
所以数列是周期为8的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列的周期，
由参考数据，猜想数列的周期为60，证明如下：
因为，又由参考数据易得，
所以，
所以数列是周期为60的周期数列．
因为，
所以，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以，
，
所以，
所以的个位数字为4．
47．（24-25高三下·云南·月考）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中．
(1)若，求数列的二阶和数列的通项公式；
(2)若．
①求数列的三阶和数列的通项公式；
②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）．
【答案】(1)；(2)①；②（）
【解析】（1）因为，根据定义知：
，
所以数列的一阶和数列的通项公式为．
同理数列的二阶和数列的通项公式为：
．
（2）①因为，所以．
设，，
．
而，所以，
又因为，而，…，，
所以．
，又因为，
所以，…，，
所以数列的三阶和数列的通项公式为：
．
②观察数列的一阶和数列的通项公式，
二阶和数列的通项公式，
三阶和数列的通项公式，
猜想数列的阶和数列的通项公式为（）
48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
(2)证明：，．
(3)是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)巽卦“”对应的十进制为，兑卦“”对应的十进制为；(2)证明见解析
(3)不存在正偶数，使得对任意，满足．理由见解析
【解析】（1）
巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为，
兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为；
（2）由，可得，
故，
所以，，
因为，
所以，
所以，.
（3）不存在正偶数，使得对任意，满足．
反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足．
当时，①，当时，②，
当时，③，
由（2）可知，，因此④，
所以由⑤可得，对于正偶数，，，
而，，所以，
由①②③可知：，
令正偶数，，
则
则根据④可得：，
若为偶数，由⑤得，矛盾，
若为奇数，则为偶数，由⑤可知：，
综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足．专题02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn与an关系求通项
1、关系：，要注意验证与两种情况能否统一． 2、已知与的关系式，记为，求它的通项公式，一般有两种思路： （1）消：容易直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，转化等差或等比数列直接求出； （2）消：难以直接求的情况，可利用阶差公式：，消去，得出与的递推关系式，先求出，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出． 在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求，要比直接求麻烦；但也有时先直接求，会比先求麻烦得多．
1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，则 .
2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记为数列的前项和，若，，则
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构． 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列满足，数列的前项和为，则 .
题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构 利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知为数列的前项和，若，，则的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列满足，则（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
11．（24-25高三上·天津·月考）在数列中，若，则（ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列满足，，则 ．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如，引入参数，构造新的等比数列； （2）形如，引入参数，构造新的等比数列； （3）形如，两边同除以，构造新的数列．
13．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
14．（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，则通项 ．
16．已知数列的首项，且，则的通项公式为 ．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．
17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和.
18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若，求的值.
19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记为正项数列的前项和，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前项和.
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
题型6 逆序相加法求和
如果一个数列的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．
21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： .
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律 （1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的前100项的和.
27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列中，为的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
题型8 错位相减法求和
1、如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，常采用错位相减法． 2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“”与“”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式． 3、万能公式：形如的数列的前项和为，其中，，．
29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的前n项和．
30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列．令，
(1)证明数列是等差数列，并求出通项公式；
(2)求数列的前项和．
32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列的前n项和为，，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)设，数列的前n项和为，求.
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列；表达式，，． ①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……； ②递推公式：，； ③通项公式：（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）． 2、求和问题 ①前项和：； ②奇数项和：； ③偶数项和：． 3、平方和问题： 4、余数列周期性 ①被2除的余数列周期为3：1，1，0，…… ②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，…… ③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，…… 5、裂项问题：
33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数
A．1012 B．1348 C．1350 D．1352
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（ ）
A．2023 B．2024 C．1 D．2
36．（24-25高三上·安徽·月考）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，（，），则是斐波那契数列的第 项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种： （1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小； （2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题； （3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证明．
37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由.
39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列中，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和；
①求；
②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数． 2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．
41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且．
(1)求；
(2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值．
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和．
44．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)求的通项公式；
(3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求.
题型12 数列的新定义问题
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.
(2)已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由．
(3)证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”.
46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设是整数数列，m是某个取定的正整数，若是除以m的余数，则称数列是关于m的模数列，记作．斐波那契数列是常见的整数数列，满足．
(1)写出数列的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列有许多非常好用的性质，比如：，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列是周期为8的周期数列；
（ii）求的个位数字．
参考数据：．
47．（24-25高三下·云南·月考）设数列的前n项和为，由，，…，组成的数列记为，把新数列称为原数列的一阶和数列，设数列的前n项和为，把数列称为数列的二阶和数列，依此类推，可得数列的p阶和数列，其中．
(1)若，求数列的二阶和数列的通项公式；
(2)若．
①求数列的三阶和数列的通项公式；
②写出数列的p阶和数列的通项公式（不用证明）．
48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数．
(2)证明：，．
(3)是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由．

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