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专题02 空间向量与立体几何
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】空间向量的线性运算及有关定理 【知能解读02】两个向量的数量积及其运算 【知能解读03】空间中的平行与垂直的向量表示 【知能解读04】利用空间向量求空间角 【知能解读05】利用空间向量求空间距离 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】利用空间向量解决探索性问题 【重难点突破02】利用空间向量解决最值范围问题 【重难点突破03】不规则几何体建系问题 【重难点突破04】空间向量新定义问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽视零向量 【易混易错02】错判数量积的符号与夹角关系 【易混易错03】忽略建系的条件而出错 【易混易错04】由线、面关系误解向量关系 【易混易错05】忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 【易混易错06】线面角与向量夹角转化不清等问题 【易混易错07】二面角概念模糊 【易混易错08】动点问题没有取舍 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】用基向量表示指定向量的方法 【方法技巧02】三点共线和空间四点共面的方法比较 【方法技巧03】空间向量数量积的应用 【方法技巧04】利用空间向量证明空间线面位置关系 【方法技巧05】用向量法求异面直线所成角的一般步骤 【方法技巧06】用向量法求解直线与平面所成角的方法 【方法技巧07】利用向量法解二面角问题的策略 【方法技巧08】利用空间向量求空间距离
01 空间向量的线性运算及有关定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律；结合律．
（2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
的长度是的长度的倍．
空间向量数乘的运算律：分配律；结合律．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
【真题实战】（2025高一·海南海口·期末）在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求解.
【解析】因为、分别是、的中点，
则，，
所以，
故选：A.
02 两个向量的数量积及其运算
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，
若，则称与互相垂直，记作.
②非零向量，的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设，，
向量表示 坐标表示
数量积
共线 ，，
垂直
模
夹角
【真题实战】（25-26高二·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.
【解析】因为，，，
所以.
故选：B
03 空间中的平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
【真题实战】（2025高二·全国·专题练习）已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则 ；若，则 ．
【答案】 2
【分析】根据空间向量垂直和平行的坐标表示列方程求参数.
【解析】由是直线的方向向量，是平面的法向量，
若，则，即，解得，则，
若，则，即，解得.
故答案为：2，
04 利用空间向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
3、二面角
（1）若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
【真题实战】（2025·四川巴中模拟预测）如图所示，直三棱柱.

(1)求证：；
(2)若为中点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可；
（2）由两两互相垂直，故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，根据求解即可
【解析】（1）在直三棱柱中，平面面，
则
又，即，又，平面，平面，
所以平面
又平面，所以
在直三棱柱中，，则四边形为正方形
所以，又，平面，平面，
所以平面
又平面，所以
（2）由（1）知两两互相垂直，
故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由于，设，则，
设平面的法向量为
则：，取，则，得，
由（1）知平面，则平面的一个法向量为
由图可知二面角的平面角为锐角，记为.
则：，
即二面角的余弦值为.
05 利用空间向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，
过点作则平面的垂线，交平面于点，
则点到平面的距离为（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【真题实战】（25-26高三·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 .
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解.
【解析】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设直三棱柱的侧棱长为h，
则，
，
由于点在线段上，设，则，
故，
设点到直线的距离为d，则
，
当时，取最小值，则d的最小值为，
故答案为：
01 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【典例1】（25-26高二·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可证明；
（2）取的中点，以直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，由二面角的向量公式求得，即可求解.
【解析】（1）由于平面平面，平面平面，
又且平面，平面.
平面，.
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，可得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，得，
由且得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线、、两两垂直，
以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
则，，，
令，，
，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，
化简得，又，故解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时.
【典例2】（25-26高三·广东深圳·开学考试）如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点．

(1)若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面；
(2)是否存在点M，使得直线与平面所成的角为 若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为
【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论；
（2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可.
【解析】（1）分别为中点，
，且，
又为中点，且，
易得，
连接，交于点，连接，

由题设，易知四边形为平行四边形，
为中点，
是的中点，
为中点，
，又平面，平面，
平面；
（2），
，，
又平面，平面，
即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，如图，
，，
，
，
，
，
，，又平面，，
平面，
平面，
，
则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，

则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，，
直线与平面所成的角为，
，
解得或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为.
02 利用空间向量解决最值范围问题
此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：
一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．
【典例1】（25-26高三·浙江杭州·开学考试）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为

(1)证明：平面；
(2)求点到平面与到平面的距离之比；
(3)若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围
【答案】(1)证明见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）作出辅助线，利用三角形相似以及线面平行判定定理可证明出结论；
（2）根据等体积法以及锥体体积公式计算可得结果；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面与平面的法向量，再由向量夹角的坐标表示计算即可.
【解析】（1）作平行四边形与平行四边形，连接交与点，如下图所示：

显然，，所以，即；
又，可知为的中点，即，
所以，
又因为，；
所以，且，所以为平行四边形，即；
又因为，所以，可得，
故，，，四点共面，
又，平面，平面；
故平面
（2）设点到平面与到平面的距离分别为，，
由∥平面，有，
则，
易知，点到的距离为点到的距离的一半，
所以，可得，
又，，
又因为，
即得
（3）如图，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系
设，，，
则，，，，，

易知，，，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
则，
由可知，
即，解得，
设平面与平面所成角为，
则
【典例2】（2025·福建福州模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°．
（ⅰ）求的长度；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）依据平面得，结合，利用线面垂直判定定理，证得结果；
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，依据异面直线所成角公式求解后结合长度得；
（ⅱ）设求出平面法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围．
【解析】（1）因为平面，平面PAD，
所以，
又因为平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
（2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意可得，
所以，
设，
则，
因为异面直线AF与PB所成角为60°，
所以，
解得，所以．
（ⅱ）设，
则，
，
设平面AEF的法向量为，则，即，
取，得，
因为，所以，即，解得，
所似所以
因为M在线段PB上，所以，
则，
设平面MAD的法向量，则即
取，得，
设EG与平面MAD所成角为，
则，
由于，所以，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为
03 不规则几何体建系问题
常见的，轴选取的参考原则：
①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上；
②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件；
③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点．
【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略．
【典例1】（2025高二·辽宁·期中）在斜棱柱中，，，．
(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点．
(2)点P在棱上一点，若二面角的正弦值为，确定点位置并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)与点重合时满足题意，理由见解析．
【分析】（1）取中点，连接，证明平面得，再由勾股定理逆定理证明，则证得线面垂直，从而得结论；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，设，，用空间向量法求二面角的方法求得值．
【解析】（1）取中点，连接，，则，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
，，所以，侧面是矩形，
，，
，，
所以，所以，
，平面，所以平面，
所以在底面ABC上的射影是线段BC的中点．
（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
，设，，
，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，，即，
平面的一个法向量是，
二面角的正弦值为，则余弦值的绝对值为，
所以，解得，
所以与点重合时满足题意．
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面．
(1)求证：．
(2)求二面角的平面角的余弦值．
(3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点在的延长线上且使．
【分析】（1）连接交于点，则，连接，先根据勾股定理和面面垂直的性质证得线面垂直，以所在直线为轴、轴、轴建立的空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直；
（2）根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法计算二面角平面角的余弦值；
（3）解法一：根据（1）建立的空间直角坐标系，利用空间向量法结合线面平行计算得到点的位置；解法二：连接，根据题设知，可得平面，在平面找到过点有即为所求.
【解析】（1）连接交于点，则，连接．
在中，，，
所以．
所以，
所以，由于平面平面，
所以底面．
以所在直线为轴、轴、轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则．
由于，
则，
所以．
（2）由于平面，由（1）可知，
所以平面的法向量．
设平面，则
设，得到取，
所以．
所以二面角的平面角的余弦值是．
（3）存在，点在的延长线上且使，使得平面.
解法1：假设在直线上存在点，使平面．
设，则，
得，
由（1）可知
设平面，则
设，得到
不妨取．
又因为平面，
所以，即，得，
即点在的延长线上且使．
解法2：连接，由题设知，
因为平面，平面，所以平面，
所以在平面找到过点有即为所求.
如图3．
假设在直线上存在点，使平面，
在的延长线上取点，使，
则，从而平面．
04 空间向量新定义问题
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对．
【典例1】（2025高二·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为.
(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求与所成角的正弦值；
(3)若，不在平面内，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案；
（2）由题意可得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案；
（3）由空间向量垂直的坐标表示，建立方程，求得直线的方向向量，根据向量垂直，可得答案.
【解析】（1）设直线与平面所成角为，
因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为
所以直线的一个方向向量为
平面的一个法向量为.
所以.
所以.
（2）设平面和所成角为，
因为平面的一般式方程为，
平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.
所以，
所以，
（3）证明：设直线的一个方向向量为，则，所以，
令，则，所以直线的一个方向向量为.
因为平面的一般式方程为，
所以平面的一个法向量为.
所以，
所以，又因为不在平面内所以.
【典例2】（2025高一·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度.
【答案】(1)2；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可；
（2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可；
（3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可；
法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解.
【解析】（1）由离散曲率的定义得：
，
，
因为，同理可得其他三个三角形内角和为，
所以；
（2）由平面平面，得，
又平面，则平面，
由平面，得，即，
又，即，
解得，
过点作于点，由平面平面，得，
又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长.
在中，，
所以点到平面的距离为.
（3）方法一：过点作交于点，连接，
由平面，得平面，则为直线与平面所成的角，
依题意，，
设，
则，
，
在中，根据余弦定理，，
由，得，
因此，整理得，即，
解得或，因为，所以.
方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得：，
所以，，
设，则，
设与平面所成的角为，因为，所以，
取平面的法向量，
则，
整理得，即，解得：或（舍），
所以，所以.
01 忽视零向量
辨析：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。
【典例1】（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量，，满足，，则
D．空间中，，，则
【答案】BC
【解析】对于A，两个向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A选项错误；
对于B，由正方体的结构特征可知，与长度相等，方向相同，有＝，B选项正确；
对于C，空间向量，，满足，，
即与长度相等方向相同，与长度相等方向相同，
则有与长度相等方向相同，有，C选项正确；
对于D，时，满足，，但不能得到，D选项错误.
故选：BC
【典例2】【多选】（2025高二·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
【答案】BC
【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解.
【解析】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误，
对于B，由可得，故∥，B正确，
对于C，零向量与任意向量共线，故C正确，
对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误，
故选：BC
02 错判数量积的符号与夹角关系
辨析：未考虑共线情况，误判数量积的符号与夹角的关系.
【典例1】已知向量，若为钝角，则的取值范围为 .
【答案】
因为，则，
令得，当时，，此时反向，
要想为钝角，则且，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【典例2】已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示及共线向量，列式求解即得.
【详解】由向量，得，
由与的夹角是钝角，得且与不共线，
因此，解得且，
所以的取值范围是.
故选：A
03 忽略建系的条件而出错
辨析：缺乏空间象限能力，忽略空间直角坐标系的定义要求.
【典例1】已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示：
，
，，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：A
【典例2】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数.
【详解】以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3，
则，，，，，，，
故所求两直线夹角的余弦值为，
故选：D．
04 由线、面关系误解向量关系
辨析：利用空间向量处理线、面关系，错误理解直线向量、法向量之间的关系.
【典例1】若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线平面，则，
又易知，，，
解得.
故选：A.
【典例2】已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据即可计算.
【详解】由题意可得，，得.
故选：C
05 忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同
辨析：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。
【典例1】已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱柱棱长为，
所以，，，
，
，则，
设异面直线与所成角为，.
故选：D
【典例2】如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正八面体的结构特征有、，若正八面体的棱长为2，应用空间向量数量积的运算律及夹角公式求异面直线的夹角余弦值.
【详解】由正八面体结构特征知，，
若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形，
所以
，
，
同理得，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C
06 线面角与向量夹角转化不清等问题
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
【典例1】若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设l与α所成的角为
由已知，
则，所以l与α所成的角为，
故选：A.
【典例2】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设中点为，连接，由等边三角形、面面垂直的性质得、，再由线面垂直的性质、判定证明结论；
（2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出直线与平面的方向向量、法向量，再应用向量法求线面角的正弦值.
【详解】（1）设中点为，连接，因为为等边三角形，故，
由题意，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故，
又，，平面，故平面，
由平面，故，
又M为的中点，为等边三角形，则，
因为，平面，所以平面.
（2）
由（1）知平面，平面，故，
连接，，则，
即四边形为平行四边形，故，所以，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与平面所成角为θ，，则.
07 二面角概念模糊
辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．
【典例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.
可得，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
在平面上，直线方程为，可设，
在平面上直线方程为，设，因此得，
由得，
则，所以，
当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点，
，，，，，
设平面的一个法向量，
则，取得，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
所以，由图可知，二面角的平面角为钝角.
所以二面角的平面角的余弦值为.
故选：A
【典例2】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解.
【详解】连接，设交于点，则平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面边长为，则，
显然是平面的一个法向量，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设二面角为，所以.
故选：B.
08 动点问题没有取舍
辨析：对于立体结合动点问题，计算结果一般有多个值，没有根据题意进行取舍.
【典例1】如图，在三棱锥中，，，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求.
【解析】（1）∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，
∴平面，平面，
∴平面平面.
（2）过在平面内作，
以为原点，以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图
∵，，∴，
∴，，，∵为中点，∴，
设，，
设平面的法向量为，
∴，
令，，，即，
由（1）知平面，∴为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，
∴，
解得或，
由（1）知，当为中点即时，∴平面，
又∵二面角的余弦值为，∴二面角为锐角，
∴∴，∴，
∴，∴.
【典例2】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)求证：．
(2)求线段中点到平面的距离．
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明；
（2）取的中点，连接，，建立空间直角坐标系，由点到平面距离的向量公式即可求解；
（3）令，，由面面夹角的向量公式求得，即可求解．
【详解】（1）由于平面平面，平面平面，
且平面，
平面，
平面，．
（2）取的中点，连接，，由为等边三角形，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，由，，得四边形是平行四边形，
于是，而，则，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以到平面的距离．
（3）令，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
易知平面的一个法向量为，
于是，，
化简得，又，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时．
01 用基向量表示指定向量的方法
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】（25-26高二·河北衡水·开学考试）在直三棱柱中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出.
【解析】如图所示：
，
故选：B
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算原则求解即可.
【解析】由题意，，
，
则，
故选：D.
【典例3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解.
【解析】由点在上，且，知；
由为的中点，知.
所以.
故选：C.
02 三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【典例1】（25-26高二·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可.
【解析】因为三点共线，所以，则存在实数，使得，
由已知得
故
由于不共面，故解得
另解:因为向量不共面，所以，
由已知得
故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得．
故选：C.
【典例2】（25-26高二·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明∥即可得.
【解析】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，
，
所以，
所以与共线，
因为这两个向量有公共点，
所以、、三点共线．
【典例3】（2025高二·全国·专题练习）已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由四点共面，得与共面，利用共面向量定理列方程组求解即得．
【解析】因为，，，，
所以，，，
因为四点共面，所以与共面，即存在唯一实数对，使得，
所以，
所以，解得．
故选：B
【典例4】（25-26高三·四川成都·开学考试）在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据空间向量共面的性质列式求解.
【解析】因为，且点P在平面内，
根据共面向量定理的推论，若空间四点共面，点为空间任意一点，则，且,
，解得
故选：B.
【典例5】（25-26高三·四川成都·开学考试）在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据空间向量共面的性质列式求解.
【解析】，且点在平面内，
.
故选：B.

【典例6】（25-26高二·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.
【解析】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确；
对于选项B:因为，
所以，即,
由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确；
对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直，
四点不一定共面，故选项C错误；
对于选项D:若，则直线平行或重合，
故四点共面, 故选项D正确．
故选：ABD.
03 空间向量数量积的应用
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角；
2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。
【典例1】【多选】（25-26高二·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可.
【解析】在平行六面体中，
其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是，
所以，.
对于A，因为，
所以，
，故A正确；
对于B，因为,
且,
即不成立，故B错误；
对于C，，所以，
所以,
所以向量与夹角是，故C正确；
对于D，，
，
而，
，
，故D错误.
故选：AC
【典例2】【多选】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中， 且 M为A C 与B D 的交点，设 则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项.
【解析】对于，，故正确；
对于，
，故错误；
对于，，
，
故正确；
对于，，故正确.
故选：.
【典例3】【多选】（25-26高二·全国·课后作业）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】BD
【分析】A：根据向量平行的坐标关系即可判断；B：根据向量模的公式即可计算并且作出判断；C：根据向量数量积进行判断；D：根据投影向量计算公式进行计算即可．
【解析】A：由题意得，，而，∴两向量不平行，A错误；
B：∵，，∴，B正确；
C：∵，∴两向量不垂直，C错误；
D：在上的投影向量为，D正确．
故选：BD．
【典例4】【多选】（25-26高二·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的中点坐标为 B．
C． D．若，则四点共面
【答案】BD
【分析】对于A，由空间中点坐标公式可判断选项正误；对于B，由空间向量坐标运算，数量积运算公式可判断选项正误；对于C，验证是否等于0，可判断选项正误；对于D，由可得，据此可判断选项正误.
【解析】因为，，，所以，，.
对于A，的中点坐标为．故A错误；
对于B，，则．故B正确；
对于C，，所以，不垂直．故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
所以，即，
所以，，共面，所以四点共面，故D正确.
故选：BD
04 利用空间向量证明空间线面位置关系
1、利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】（25-26高二·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得．
【解析】对于A，由，得，则，解得，故A错误；
对于B，由，得，则，解得，故B错误；
对于C，由，得，，，则或，故C错误；
对于D，由，得，，，则，故D正确。
故选：D．
【典例2】（25-26高三·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（ ）
A．直线与所成的角为 B．
C．四点共面 D．平面
【答案】C
【分析】由题意为直线与所成的角，即可判断A；举反例判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求证线线垂直和线面平行判断B、D.
【解析】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角，
，故直线与所成的角为，故A正确；
对于B：如图，设正方体的棱长为1，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
因,则，则，
所以，而，
因为，所以，即，故B正确；
对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误；
对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量．
由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确.
故选：C
【典例3】（2025高三·全国·专题练习）在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为
【答案】B
【分析】利用向量垂直的条件，即可判断A；通过计算向量的数量积判断其位置关系，即可判断B；利用法向量的定义，即可判断C，利用向量的夹角公式求出，进而求解三角形的面积，即可判断D．
【解析】因为，，，，
所以，，，．
对于A：，所以，故A正确；
对于B：，所以，故B错误；
对于C：由A、B可得：，，所以是平面的一个法向量，
故C正确；
对于D：因为，，所以，
所以，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为，故D正确．
故选：B
【典例4】（25-26高二·全国·单元测试）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的定义逐项判断．
【解析】因为不重合，
所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，A错误．
B，由法向量与方向向量的定义易知或，B错误．
C，由于，为平面的法向量，所以，C错误．
D，由法向量与平面的位置关系可得，D正确．
故选：D
05 用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【典例1】（2025·福建三明模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可.
【解析】因为直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，所以两两垂直，
以为轴建立如图所示坐标系，
设，则，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：B
【典例2】（2025高二·湖北武汉·期末）在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设空间的一组基底，将直线BE与DF的方向向量用基底表示，再利用空间向量的夹角公式即可求得.
【解析】
如图，设正方体棱长为4，，
则，.
因，
，
则，故，
，故，
且，
则，
设BE与DF所成的角为，则.
故选：C.
【典例3】（2025高二·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答.
【解析】设，，，则 ，，
，
，
所以 ，
故直线与所成的角余弦值为0.
故选： D.
【典例4】（2025高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建系，分类讨论位置，根据线面角的向量求法求解即可.
【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，
由知异面直线和所成的角即和所成的角，即，设．
①当在线段上时（包含端点），易知，则；
②当在线段上时（不含，包含），设，则，
则，当时，取得最大值；
③当在线段上时（不含，包含），设，
同理，则；
④当在线段上时（不含端点），显然．
综上所述，的最大值为，
故选：C．
【典例5】（25-26高二·河北邢台·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面．
(1)证明：．
(2)证明：平面平面．
(3)已知，求直线与直线所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，利用线面平行的性质定理，分别证得和，进而证得；
（2）由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
（3）以为原点，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【解析】（1）证明：由平面平面，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又因为平面，且平面平面，所以，
所以.
（2）证明：因为平面，且平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（3）解：因为平面，且平面，所以，
又因为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为且，
可得，则
设直线与直线所成角为，
可得，
即直线与直线所成角的余弦值.
06 用向量法求解直线与平面所成角的方法
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
【典例1】（2025高二·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，

(1)求C点到平面的距离.
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可；
（2）利用线面角的向量求法即可求解.
【解析】（1）由题意可知，两两垂直，
于是建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
即，令，则.
所以点C到平面的距离.
（2）设直线与平面所成的角为，
，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
【典例2】（25-26高三·湖北荆州·开学考试）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明四边形和四边形都为平行四边形，从而可得出，再根据线面平行的判断的了即可得证；
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.
【解析】（1）连接，
因为且，
所以四边形为平行四边形，
所以且，
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

【典例3】（25-26高三·河南安阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

(1)求棱的长；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据几何关系，结合勾股定理和余弦定理，即可求解；
（2）根据（1）的结果，转化为证明平面，即可证明面面垂直；
（3）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解.
【解析】（1）因为，，所以，
中，由余弦定理，
即；
（2）由（1）可知中，满足，
所以，且，，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（3）如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
所以.
07 利用向量法解二面角问题的策略
1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【典例1】（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)不能，证明见详解
【分析】（1）在平行四边形中找到三角形的角和边，利用余弦定理解三角形，即可证明的关系，然后利用勾股定理得到的关系，然后得到线面关系；
（2）取线段中点，然后由（1）证明三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，然后由条件写出点的坐标，即可得到面内空间向量的坐标，然后由空间向量的数量积求得两个面的法向量，由法向量的夹角的余弦值求得面面角的余弦值.
（3）反证法，假设直线与平面平行，由线面平行推导得面面平行，又因为面与面存在交点，从而证明假设不成立，然后得到结论.
【解析】（1）在平行四边形中，为等边三角形，
则，
∴，∴，
在中，，，，
∴，
∴，∴，
在四棱锥中由可得，∴，
且，平面，平面，
∴平面.
（2）分别取，中点，，连接，
∴
由（1）可知，平面，
∵，平面，
平面，∴，
在正三角形中，，
∴如图以为原点建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∵，
即，
∴，，
，，
设向量，分别为平面和平面的一个法向量，
则和，
令，则，令，则，
即，，
设平面与平面的夹角为，
则，
（3）不能.
证明：假设存在上一点（不包括端点）使得平面，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵，平面，平面，
则平面平面，
又∵平面平面，故矛盾，
∴假设不成立，
即不存在上一点（不包括端点）使得平面，
即直线不能与平面平行.
【典例2】（25-26高三·湖北恩施·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理进行证明.
（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.
方法二：把二面角的余弦转化成两个平面的垂线所成的角，利用余弦定理求角的余弦.
【解析】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.
又，，所以平面，
平面，所以.
又，所以四边形为正方形，从而.
因为，平面，所以平面.
（2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图空间直角坐标系：

则，，，，，
从而，，.
设平面的法向量为，则
，不妨取
由（1）可知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则.
法二：过作的垂线，垂足为E，连接AE，
平面平面，，平面，
由（1）知，平面，的余弦值即为所求.
在中，，，
，设平面与平面的夹角为，，
则.
【典例3】（25-26高三·山东聊城·开学考试）如图，在正四棱柱中，分别为的中点.
(1)证明：点在平面内.
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行，结合平行线的传递性可得，即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据向量的夹角公式求解向量的夹角，即可求解.
【解析】（1）设为的中点，连接.
由题易知所以
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，且点在平面内，故点在平面内
（2）不妨设，则，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，,.
设为平面的法向量，
所以即令，得，
所以平面的一个法向量为.
设为平面的法向量，
所以即令，得，
所以平面的一个法向量为.
因为==，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【典例4】（25-26高三·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.

(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求证平面，再根据即可求出；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，再利用公式计算即可.
【解析】（1）因为直角梯形，，，，
则，则 ，即，
因平面，平面，则，
又平面，则平面，
因分别为线段上靠近点的三等分点，则，
则平面；
（2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，

则，
则，由，可设，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，则，
由题意可知平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
【典例5】（2025·广西模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．
(1)求证：平面平面；
(2)当取得最小值时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）解法一：由二面角的性质可知即为二面角的平面角，利用垂直关系和等面积法求出的边长，进而求出的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.
【解析】（1）因为平面，平面，所以，
因为四边形为菱形，所以
又因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，
因为平面，所以，，
又，平面平面，所以即为二面角的平面角，
当取得最小值时，有，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为在菱形ABCD中，，，
所以，，
又因为，所以，
又因为在中，，解得,
则在中，，
所以二面角的余弦值为．
解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直，
又当取得最小值时，有，
以为原点，分别为轴建空间直角坐标系，
因为在菱形ABCD中，，，
所以，为等边三角形，易得，，
则，，，，，
易知为平面的法向量，
又由（1）得平面，平面，
所以，又因为，，平面，平面，
所以平面，
所以为平面的法向量，
又，
所以二面角的余弦值为.
08 利用空间向量求空间距离
（1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为．
【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解．
【典例1】（25-26高三·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）根据已知得是等边三角形，取的中点，连接，进而得，再由线面、面面平行的判定定理证明平面平面，再由线面平行的性质证明结论；
（2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，进而得，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角及已知列方程求出参数值；（ii）应用点面距离的向量求法求点面距离.
【解析】（1）因为，所以，
因为为的中点，则，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，
又为棱的中点，且，即，则．
因为平面平面平面平面，
所以平面，平面，
又平面，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）（ⅰ）因为，所以．
所以，因为，所以，
又平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
则，
设，则，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则．
设直线与平面所成的角为，所以，
整理得，解得（舍），所以．
（ⅱ）由（ⅰ）知，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，则，
所以点到平面的距离为．
【典例2】（25-26高三·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且
(1)求证∶ 面;
(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离即可.
【解析】（1）（1）法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，
故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵，平面，∴平面；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，令，则，
所以是平面的一个法向量，
易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以，
由（1）知是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，所以，
令，则，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为；
（3）因为，所以，
又是平面的一个法向量，
则D到平面的距离为.
所以点D到平面EBF的距离为.
【典例3】（25-26高三·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面.
(1)证明：三棱柱为正三棱柱；
(2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质得出线面垂直，进而证明侧棱垂直于底面，结合底面形状可证结论；
（2）建立坐标系，利用平面与平面夹角求出高，结合点面距的向量公式可求答案.
【解析】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面，
因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱.
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则；
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则；
设平面的一个法向量为，则，
令，则；
因为平面与平面夹角的余弦值为，所以，
解得，即.
，设点到平面的距离为，则.
【典例4】（2025高二·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用空间向量法求出即可；
（2）利用空间向量法分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值；
（3）求出在上的投影向量的模长，进而求出到直线的距离.
【解析】（1）证明：由题知，平面ABC，
所以、、两两垂直
故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

因为，，，则
，，，，，，
所以，
故
所以
（2）由（1）分析知，，，
又，即
所以，
设平面的法向量为
则，即
令，则
由题知，是平面的一个法向量
设二面角的平面角为，则
所以二面角的余弦值为.
（3）由（2）知，，且
在上的投影向量的模长.
计算.
根据点到直线距离公式，
即点到直线的距离为.
【典例5】（2025·天津北辰模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可.
（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可.
【解析】（1）法一：如图，连接交于，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
因为为的中点，所以是的中位线，
得到，而平面，平面，故平面.
法二：根据题意，以点为坐标原点，
分别以为轴，建立空间直角坐标系，
由题意得，
则，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，故，
平面，平面.
（2），
，
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由已知得，
由点到直线的距离公式得，
故点到直线的距离为.
【典例6】（2025·天津滨海新模拟预测）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD．
(1)证明：平面CDE；
(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
(3)求点G到直线AB的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明；
（2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值；
（3）代入点到直线的距离公式，即可求解.
【解析】（1）因为平面，平面，
所以，
且，，平面，
所以平面，平面，
所以，
由条件可知四边形是正方形，所以，
，且平面，
所以平面；
（2）
如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，，，，
由（1）可知，平面的法向量可为，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，，
所以平面的一个法向量，
设平面CDE与平面ABE的夹角为，
所以；
（3）,
所以点到直线的距离.专题02 空间向量与立体几何
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】空间向量的线性运算及有关定理 【知能解读02】两个向量的数量积及其运算 【知能解读03】空间中的平行与垂直的向量表示 【知能解读04】利用空间向量求空间角 【知能解读05】利用空间向量求空间距离 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】利用空间向量解决探索性问题 【重难点突破02】利用空间向量解决最值范围问题 【重难点突破03】不规则几何体建系问题 【重难点突破04】空间向量新定义问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽视零向量 【易混易错02】错判数量积的符号与夹角关系 【易混易错03】忽略建系的条件而出错 【易混易错04】由线、面关系误解向量关系 【易混易错05】忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同 【易混易错06】线面角与向量夹角转化不清等问题 【易混易错07】二面角概念模糊 【易混易错08】动点问题没有取舍 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】用基向量表示指定向量的方法 【方法技巧02】三点共线和空间四点共面的方法比较 【方法技巧03】空间向量数量积的应用 【方法技巧04】利用空间向量证明空间线面位置关系 【方法技巧05】用向量法求异面直线所成角的一般步骤 【方法技巧06】用向量法求解直线与平面所成角的方法 【方法技巧07】利用向量法解二面角问题的策略 【方法技巧08】利用空间向量求空间距离
01 空间向量的线性运算及有关定理
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加减法
空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．
空间向量加减法的运算律：交换律；结合律．
（2）空间向量的数乘：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，．
的长度是的长度的倍．
空间向量数乘的运算律：分配律；结合律．
3、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
【真题实战】（2025高一·海南海口·期末）在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ）
A． B．
C． D．
02 两个向量的数量积及其运算
1、空间向量的数量积及运算律
（1）数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，
若，则称与互相垂直，记作.
②非零向量，的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
2、空间向量数量积的坐标表示及其应用
设，，
向量表示 坐标表示
数量积
共线 ，，
垂直
模
夹角
【真题实战】（25-26高二·福建泉州·开学考试）在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
03空间中的平行与垂直的向量表示
1、直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量，则向量叫做平面α的法向量．
2、空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
【真题实战】（2025高二·全国·专题练习）已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则 ；若，则 ．
04利用空间向量求空间角
1、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
2、直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
3、二面角
（1）若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
【真题实战】（2025·四川巴中模拟预测）如图所示，直三棱柱.

(1)求证：；
(2)若为中点，求二面角的余弦值.
05利用空间向量求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)．
2、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，
过点作则平面的垂线，交平面于点，
则点到平面的距离为（如图）.
3、线面距和面面距
线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．
（1）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．
（2）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【真题实战】（25-26高三·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 .
01 利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
【典例1】（25-26高二·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．
(1)求证：；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（25-26高三·广东深圳·开学考试）如图，已知正方形的边长为4，E，F分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，M为线段上一点．

(1)若M为线段中点，设直线与直线的交点为O，证明：平面；
(2)是否存在点M，使得直线与平面所成的角为 若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由．
02 利用空间向量解决最值范围问题
此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考：
一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；
二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．
【典例1】（25-26高三·浙江杭州·开学考试）如图，在三棱柱中，，分别为棱，上的点，满足，，且与的面积之比为

(1)证明：平面；
(2)求点到平面与到平面的距离之比；
(3)若，直线，，两两相互垂直，求平面与平面所成角余弦值的取值范围
【典例2】（2025·福建福州模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，．
(1)证明：平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°．
（ⅰ）求的长度；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围．
03 不规则几何体建系问题
常见的，轴选取的参考原则：
①尽可能的让底面上更多的点位于，轴上；
②找角：，轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件；
③找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点．
【注意】解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先确定题目中是否给出垂直条件，如果没有直接给出，还需证明所用坐标轴两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略．
【典例1】（2025高二·辽宁·期中）在斜棱柱中，，，．
(1)证明：在底面ABC上的射影是线段BC的中点．
(2)点P在棱上一点，若二面角的正弦值为，确定点位置并说明理由．
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面．
(1)求证：．
(2)求二面角的平面角的余弦值．
(3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
04 空间向量新定义问题
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合．明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式．在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题．对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明．同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象．最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对．
【典例1】（2025高二·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为.
(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求与所成角的正弦值；
(3)若，不在平面内，证明：.
【典例2】（2025高一·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度.
01 忽视零向量
辨析：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。
【典例1】（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量，满足，则
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝
C．若空间向量，，满足，，则
D．空间中，，，则
【典例2】【多选】（2025高二·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线
D．两个单位向量一定是相等向量
02 错判数量积的符号与夹角关系
辨析：未考虑共线情况，误判数量积的符号与夹角的关系.
【典例1】已知向量，若为钝角，则的取值范围为 .
【典例2】已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
03 忽略建系的条件而出错
辨析：缺乏空间象限能力，忽略空间直角坐标系的定义要求.
【典例1】已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
04 由线、面关系误解向量关系
辨析：利用空间向量处理线、面关系，错误理解直线向量、法向量之间的关系.
【典例1】若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知空间向量，分别是平面的法向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
05 忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同
辨析：两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。
【典例1】已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
06 线面角与向量夹角转化不清等问题
辨析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
【典例1】若直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则l与α所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，M为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
07 二面角概念模糊
辨析：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．
【典例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
08 动点问题没有取舍
辨析：对于立体结合动点问题，计算结果一般有多个值，没有根据题意进行取舍.
【典例1】如图，在三棱锥中，，，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求.
【典例2】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
(1)求证：．
(2)求线段中点到平面的距离．
(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
01 用基向量表示指定向量的方法
（1）结合已知向量和所求向量观察图形．
（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
【典例1】（25-26高二·河北衡水·开学考试）在直三棱柱中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）

A． B．
C． D．
【典例3】（25-26高二·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
02 三点共线和空间四点共面的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面
＝λ且同过点P ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【典例1】（25-26高二·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（25-26高二·全国·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【典例3】（2025高二·全国·专题练习）已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（25-26高三·四川成都·开学考试）在三棱柱中，，，．若点P满足，且点P在平面内，则（ ）
A． B． C． D．1
【典例5】（25-26高三·四川成都·开学考试）在直三棱柱中，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A． B． C． D．1
【典例6】（25-26高二·全国·课后作业）（多选）以下能判定空间中四点共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
03 空间向量数量积的应用
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角；
2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；
3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。
【典例1】【多选】（25-26高二·广东深圳·阶段练习）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为
【典例2】【多选】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A B C D 中， 且 M为A C 与B D 的交点，设 则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3】【多选】（25-26高二·全国·课后作业）已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【典例4】【多选】（25-26高二·全国·单元测试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．的中点坐标为 B．
C． D．若，则四点共面
04 利用空间向量证明空间线面位置关系
1、利用空间向量证明平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线
线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行
面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零
线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示
面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示
【典例1】（25-26高二·安徽阜阳·阶段练习）若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【典例2】（25-26高三·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（ ）
A．直线与所成的角为 B．
C．四点共面 D．平面
【典例3】（2025高三·全国·专题练习）在以为坐标原点的空间直角坐标系中，，，．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．三棱锥的体积为
【典例4】（25-26高二·全国·单元测试）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
05 用向量法求异面直线所成角的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系；
（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；
（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
（4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【典例1】（2025·福建三明模拟预测）在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025高二·湖北武汉·期末）在正方体中，若，，则BE与DF所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025高二·海南海口·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025高三·全国·专题练习）如图，长方体中，，点在四边形的边上，沿移动，则异面直线和所成角的余弦值的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【典例5】（25-26高二·河北邢台·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，记平面平面，平面．
(1)证明：．
(2)证明：平面平面．
(3)已知，求直线与直线所成角的余弦值．
06 用向量法求解直线与平面所成角的方法
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
【典例1】（2025高二·辽宁·期中）如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，

(1)求C点到平面的距离.
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
【典例2】（25-26高三·湖北荆州·开学考试）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【典例3】（25-26高三·河南安阳·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

(1)求棱的长；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
07 利用向量法解二面角问题的策略
1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
【典例1】（25-26高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平行四边形中（图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（图2）.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若为线段上的动点（不含端点），判断直线能否与平面平行，并说明理由.
【典例2】（25-26高三·湖北恩施·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【典例3】（25-26高三·山东聊城·开学考试）如图，在正四棱柱中，分别为的中点.
(1)证明：点在平面内.
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.
【典例4】（25-26高三·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.

(1)证明: 平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【典例5】（2025·广西模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．
(1)求证：平面平面；
(2)当取得最小值时，求二面角的余弦值．
08 利用空间向量求空间距离
（1）点线距：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点面距：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为．
【注意】线面距、面面距可转化为点面距进行求解．
【典例1】（25-26高三·河北保定·阶段练习）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．
(1)若为棱的中点，证明：平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求点到平面的距离．
【典例2】（25-26高三·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且
(1)求证∶ 面;
(2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求点D到平面EBF的距离．
【典例3】（25-26高三·河北邢台·开学考试）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面.
(1)证明：三棱柱为正三棱柱；
(2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离.
【典例4】（2025高二·广西桂林·期末）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到直线的距离．
【典例5】（2025·天津北辰模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到直线的距离.
【典例6】（2025·天津滨海新模拟预测）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD．
(1)证明：平面CDE；
(2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值；
(3)求点G到直线AB的距离．

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