资源简介

专题02 椭圆及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】椭圆的定义 【知能解读02】椭圆的标准方程与几何性质 【知能解读03】直线与椭圆的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】求椭圆离心率的取值范围 【重难点突破02】椭圆中的定点问题 【重难点突破03】椭圆中的定值问题 【重难点突破04】椭圆中的最值与范围问题 【重难点突破05】椭圆中的证明问题 【重难点突破06】椭圆中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽略直线斜率不存在致错 【易混易错02】忽略韦达定理的前提致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】对椭圆定义的理解 【方法技巧02】椭圆的焦点三角形问题 【方法技巧03】椭圆中距离和与差的最值问题 【方法技巧04】椭圆的标准方程性质与求解 【方法技巧05】与椭圆有关的轨迹问题 【方法技巧06】求椭圆离心率的值的方法 【方法技巧07】直线与椭圆的位置关系 【方法技巧08】椭圆的中点弦 【方法技巧09】直线与椭圆相交弦长问题
01 椭圆的定义
1、椭圆的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
（3）对定义的理解：
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2、椭圆的焦点三角形
（1）定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
（2）常用结论：若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
【真题实战】（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
02 椭圆的标准方程与几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 ， ，
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
轴长 长轴长：；短轴长：
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
【真题实战】（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
03 直线与椭圆的位置关系
1、位置关系的判断
直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
01 求椭圆离心率的取值范围
求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系．
【典例1】（2025·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 .
【典例2】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
02 椭圆中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，.
(1)求的方程；
(2)证明：过定点.
【典例2】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
03 椭圆中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值．
【典例2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
04 椭圆中的最值与范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点．
(1)求的方程；
(2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值．
【典例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围．
05 椭圆中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
06 椭圆中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2025·云南怒江·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.
(1)求的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；
(3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由.
01 忽略直线斜率不存在致错
辨析：设直线为时，默认斜率存在，需单独讨论斜率不存在的直线（）是否满足条件，否则会漏解．
【典例1】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
【典例2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程.
02 忽略韦达定理的前提致错
辨析：已知直线与椭圆相交（如求弦长、中点），需用韦达定理，但韦达定理的适用前提是“方程有两个不同实根”，即，若忽略此条件，会得到“虚解”．
【典例1】（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
【典例2】（2025·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值.
01 对椭圆定义的理解
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【典例1】（24-25高三上·山东临沂·月考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ．
【典例2】（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
02 椭圆的焦点三角形问题
椭圆的焦点三角形的求解思路：
（1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法；
（2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等．
【典例1】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 .
【典例2】（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
03 椭圆中距离和与差的最值问题
椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算．
椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制．
【典例1】（25-26高三上·山东青岛·月考）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
04 椭圆的标准方程性质与求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
②定量：依据条件及确定的值；
③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
（3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．
【典例1】（2025·四川乐山·三模）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
05 与椭圆有关的轨迹问题
与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义．
【典例1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【典例2】（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
06 求椭圆离心率的值的方法
求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
07 直线与椭圆的位置关系
1、通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题．
（1）求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断；
（2）特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置．
2、根据直线与椭圆的位置关系求参数范围
将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围．
【典例1】（25-26高二上·河北保定·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
【典例2】（24-25高三下·云南昭通·月考）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
08 椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则．
【典例1】（2025·四川彭州·模拟预测）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
【典例2】（24-25高三上·河北石家庄·一调）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 .
09 直线与椭圆相交弦长问题
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
【典例1】（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
【典例2】（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.专题02 椭圆及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】椭圆的定义 【知能解读02】椭圆的标准方程与几何性质 【知能解读03】直线与椭圆的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】求椭圆离心率的取值范围 【重难点突破02】椭圆中的定点问题 【重难点突破03】椭圆中的定值问题 【重难点突破04】椭圆中的最值与范围问题 【重难点突破05】椭圆中的证明问题 【重难点突破06】椭圆中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】忽略直线斜率不存在致错 【易混易错02】忽略韦达定理的前提致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】对椭圆定义的理解 【方法技巧02】椭圆的焦点三角形问题 【方法技巧03】椭圆中距离和与差的最值问题 【方法技巧04】椭圆的标准方程性质与求解 【方法技巧05】与椭圆有关的轨迹问题 【方法技巧06】求椭圆离心率的值的方法 【方法技巧07】直线与椭圆的位置关系 【方法技巧08】椭圆的中点弦 【方法技巧09】直线与椭圆相交弦长问题
01 椭圆的定义
1、椭圆的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
（2）椭圆定义的集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
（3）对定义的理解：
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2、椭圆的焦点三角形
（1）定义：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．
（2）常用结论：若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；
②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
③△PF1F2的周长为2(a＋c)．
【真题实战】（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，
易知，解得：．故选：B．
02 椭圆的标准方程与几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 ， ，
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
轴长 长轴长：；短轴长：
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁
通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长
通径的大小：
【真题实战】（2025·湖南·三模）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即．
所以当时，成立，所以p是q的充分条件，
反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件．故选：A．
03 直线与椭圆的位置关系
1、位置关系的判断
直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则弦长公式为：．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．
【答案】(1);(2)
【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，
故，故椭圆方程为：.
（2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，，
由可得，
故即，
且，
故，解得，
故.
01 求椭圆离心率的取值范围
求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系．
【典例1】（2025·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】记左右焦点分别为，由题意，
由椭圆的定义知，
所以，
椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且
所以
所以椭圆离心率的取值范围为.
【典例2】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，解得.故选：A
02 椭圆中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知是椭圆的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，.
(1)求的方程；
(2)证明：过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，，解得，，
所以的方程为.
（2）点，显然的斜率存在，设的方程为，，
由消去整理，得
由直线与椭圆交于、两点，得 ，
则，由，得直线的斜率互为相反数，
即，
因此，整理得，
则，化简得，
所以直线的方程为 ，即过定点.
【典例2】（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【答案】(1)；(2)直线经过定点，定点坐标为
【解析】（1）因为椭圆的左焦点，所以，
又短轴长为，所以，由可得，
故椭圆的方程为.
（2）
当直线和斜率存在时，设直线方程为：，
设，，则有中点，
联立方程，消去得：，
由韦达定理得：，所以的坐标为，
将上式中的换成，同理可得的坐标为，
若，即，，
此时直线斜率不存在，直线过定点；
当时，即直线斜率存在，
则，
直线为，
令，得，
此时直线过定点，
显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过，
综上所述：直线经过定点，定点坐标为.
03 椭圆中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)1
【解析】（1）由题意：，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）如图：
直线的方程为：，代入得：
，
整理得：.
设，，则，.
又直线：，令得；
直线：，令得.
所以
.
【典例2】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）连接，则．设点，
∵圆的圆心，半径为4，
，
∵，
∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，，焦距，
，
∴曲线的方程为；
（2）设直线的方程为，设点，
联立，消去，得，
则，
，
，
综上所述：．
04 椭圆中的最值与范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点．
(1)求的方程；
(2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零，
设直线的方程为，，
由消去，得，显然，
则，，
所以，
则的面积，
令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4，
则当时，取得最小值4，，
所以的面积的最大值为.
【典例2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意，设点、，则，
因为点为线段的中点，则，即，
因为点在圆上，所以，即，
因此，点的轨迹的方程为.
（2）由已知可得，设点、，
联立得，
由已知可得，得，
由韦达定理可得，，
因为，即，则，即，
所以，所以，即，
当时，不成立，
所以，代入得，
解得，因此，的取值范围是.
05 椭圆中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）依题意，设椭圆的半焦距为，
则左焦点，右顶点，离心率，即，
因为为上一点，设，
又直线的斜率为，则，即，
所以，解得，则，即，
因为的面积为，，高为，
所以，解得，
则，，
所以椭圆的方程为.
.
（2）由（1）可知，，，
易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，
联立，消去得，，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以，
即，则，解得，则，
所以直线的方程为，
联立，解得，则，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则，
所以，
，
则，又，
所以，即平分.
法二：所以，，，
由两直线夹角公式，得，，
则，又，
所以，即平分.
法三：则，，
故，
又，
所以，即平分.
法四：则，
所以直线的方程为，即，
则点到直线的距离为，
又点到直线的距离也为，所以平分.
【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
06 椭圆中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2025·云南怒江·模拟预测）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）因为点到点的距离为，
点到直线的距离为，
所以，
化简得，即，
所以动点的轨迹的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率不为0，
故设直线的方程为．
联立，得．直线l过点F，必有，
由韦达定理可得，，
所以的面积，
．
令，则，所以．
令，则在上单调递减，
所以，即面积的最大值为．
因为，所以不存在直线，使得面积为．
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为.
(1)求的方程；
(2)已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；
(3)是否存在坐标平面上定圆（是定圆上的动点）使得线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，若存在，证明、、三点共线；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，证明见解析
【解析】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，所以，
又因为椭圆的离心率为，得，∴，
所以椭圆方程为.
（2）如图：
由得直线的斜率为，中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，∵，
∴所以直线与椭圆相切，且，
即线段的垂直平分线与恰有一个公共点.
（3）假设符合条件的圆存在，由（2）知在圆上，
由对称性知也在圆上，关于右顶点的对称点也在圆上.
因为线段的垂直平分线为，
线段的垂直平分线上的点满足：，
化简即得的垂直平分线方程为.
由，且,
所以过三点的圆的方程为.
如图：

下面证明此圆符合题目条件：
设在圆上，∴，
当时，的垂直平分线方程为或与椭圆相切，符合条件；
当时，的垂直平分线方程为，
设，由得，
∵
，
∴的垂直平分线与椭圆相切.
∴满足条件的圆存在，其方程为.
又由韦达定理得切点的横坐标，
的纵坐标，∴，
∴，
∴三点共线.
01 忽略直线斜率不存在致错
辨析：设直线为时，默认斜率存在，需单独讨论斜率不存在的直线（）是否满足条件，否则会漏解．
【典例1】（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）由题可知，，，
又，且，解得，，
则椭圆的方程为.
（2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意.
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立，得，，
设，则.
由题意，，
即，解得.
故直线的方程为：或.
法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意.
②设直线方程为，
联立，得，，
设，则，
由，得，
即，解得.
故直线的方程为或.
【典例2】（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由题意得，解得.
故椭圆的方程为．
（2）由题知直线的斜率不为零，
设直线，
则联立，可得，
由根与系数关系可知：，
，
，
又，则点坐标满足椭圆的方程，即，
解得或（舍），
所以，故直线的方程为，即
02 忽略韦达定理的前提致错
辨析：已知直线与椭圆相交（如求弦长、中点），需用韦达定理，但韦达定理的适用前提是“方程有两个不同实根”，即，若忽略此条件，会得到“虚解”．
【典例1】（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，
则，解得或，满足，
则或.
【典例2】（2025·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题知，
且，得，
又，代入可得，，
∴椭圆的方程为.
（2）如图：
联立，得，
由题意，即，解得.
设，，可得，，
由，得，
即，即
即，解得.
01 对椭圆定义的理解
1、求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程；
2、求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【典例1】（24-25高三上·山东临沂·月考）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ．
【答案】
【解析】在椭圆中，，
因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，
由椭圆的定义可得，故.
【典例2】（24-25高三上·河北衡水·月考）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
【答案】D
【解析】由题意，，，
，当且仅当时，等号成立，
的最大值是25．故选：D．
02 椭圆的焦点三角形问题
椭圆的焦点三角形的求解思路：
（1）关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法；
（2）在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等．
【典例1】（2025·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题设，可得，
又为上顶点，则，
故，
所以，则，故标准方程为.
【典例2】（2025·福建福州·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
因为平分，由角平分线定理可得，故，
所以，即，
故，所以.
解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且.
因为，所以，所以②.
由①②解得：，.
由，得，
所以.故选：B.
03 椭圆中距离和与差的最值问题
椭圆中“距离和的最值”主要分为“椭圆上一点到两定点的距离和”和“椭圆内一点到椭圆上一点与焦点的距离和”，核心解法“利用椭圆定义转化为两点间距离”（几何法），避免代数硬算．
椭圆中“距离差的最值”主要是“椭圆上一点到两个定点的距离差”和“椭圆上一点到两焦点的距离差”，核心解法是“三角形三边关系”（几何法），注意椭圆的封闭性导致距离差的范围有限制．
【典例1】（25-26高三上·山东青岛·月考）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，
由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且，
又且，则点与点重合，因此，
而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长，
椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合，
所以.故选：C
【典例2】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设半焦距为，因为，故.
又过点，故.
由椭圆得，代入解得，.即，.
所以的方程为.
设的左焦点为，故.
根据椭圆的几何性质可知，
由于两点之间线段最短，所以.
因此.
当且仅当，，在一条直线上时，等号成立.故选：
04 椭圆的标准方程性质与求解
（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
①定位：确定焦点在那个坐标轴上；
②定量：依据条件及确定的值；
③写出标准方程．
（2）求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
（3）当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．
【典例1】（2025·四川乐山·三模）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的方程为：，
双曲线的焦点为，
所以，又因为离心率为，所以，
所以，又因为，
所以圆的方程为.故选：C.
【典例2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若曲线表示椭圆，
则，解得或，
则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.
05 与椭圆有关的轨迹问题
与椭圆有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足椭圆定义或符合椭圆方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配椭圆的定义．
【典例1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.故选：A
【典例2】（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q，
由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心C的轨迹方程为.故选：A
06 求椭圆离心率的值的方法
求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由可得，由图知，，
则的面积为，
解得（其它解不合题意舍去），则椭圆的离心率为.故选：C.
【典例2】（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，
则直线的方程为，即，
由到直线AB的距离为b，得，
又，化简得，即，
所以，解得或（舍去）．
故椭圆E的离心率为.故选：C
07 直线与椭圆的位置关系
1、通过联立直线与椭圆的方程，将几何位置关系转化为方程解的个数问题．
（1）求解步骤：先明确直线与椭圆的方程，再联立方程消元得到一元二次方程，最后通过判别式判断；
（2）特殊情况：若直线过定点，可先判断定点的位置．
2、根据直线与椭圆的位置关系求参数范围
将“位置关系”转化为“代数条件”（如判别式符号、交点坐标特征、切线公式约束等），再通过解方程或不等式求解参数范围．
【典例1】（25-26高二上·河北保定·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
【答案】D
【解析】因为直线和圆没有交点，
可得，即，
所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，
又因为椭圆，可得，
所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，
所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.
【典例2】（24-25高三下·云南昭通·月考）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】直线方程可化为，则该直线过定点，
因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内，
所以，解得且.
因此，实数的取值范围是.
08 椭圆的中点弦问题
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有．
3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则．
【典例1】（2025·四川彭州·模拟预测）已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是 .
【答案】
【解析】设，由题意得，
两式相减，得，又是中点，所以，
代入得，则直线的斜率，
所以直线的方程为，化简得，
又点在椭圆内，故直线与椭圆相交.
【典例2】（24-25高三上·河北石家庄·一调）过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【解析】在中令得，所以椭圆右焦点为，即，
设，，，
∴，两式相减得，
所以，即，从而，
∴，
又，因此，
∴椭圆标准方程.
09 直线与椭圆相交弦长问题
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
【典例1】（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
(1)求的方程；
(2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可得，解得，
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
【典例2】（2025·天津静海·三模）已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】（1）由题意知，
椭圆的方程为：.
（2）为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，
显然，，显然，
斜率存在且不为0，设直线的方程为，，
，，
，，
所以，，
，
此时，，
，，，
，解得或，
直线的斜率为或.

展开更多......

收起↑