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专题03 概率、随机变量与分布列
题型1 随机事件与样本空间
确定样本空间的方法 （1）必须明确事件发生的条件． （2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
1．（2025高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确，
对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确.
故选：C
2．（2025·山西·模拟预测）投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对.
【答案】12
【分析】用列表法把所有的基本事件一一列举，即可得到答案.
【详解】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对.
故答案为：12
3．（2025·广东·模拟预测）有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为 .
【答案】
【分析】归纳求出满足的情况种数，根据古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为种，
满足，则，
当时，对应的情况有，1种；
当时，对应的情况有，2种；
当时，对应的情况有，3种；
当时，对应的情况有，种；
所以满足的情况有种，
故所求事件的概率为.
故答案为：.
题型2 事件的关系
（1）判断事件的包含、交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系运用Venn图分析事件； （2）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
4．（2025高三·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误，
对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确，
对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误，
对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误，
故选：B.
5．（2025·福建南平·模拟预测）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
【答案】C
【分析】由对立事件的概念直接判断即可.
【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.
故选：C.
6．【多选】（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（ ）
A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件
B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件
C．白色与红色粉笔都用到的概率为
D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为
【答案】BD
【分析】根据题意，由互斥事件的定义，可判定A错误；根据对立事件的定义，可得判定B正确，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C错误，D正确.
【详解】记白、红、黄、蓝、绿颜色的粉笔分别为：，
对于A中，“都入选”与“至少1支入选”可以同时发生，所以A错误；
对于B中，对于是否入选所有事件类型有：都入选，入选不入选，不入选入选和都不入选，所以事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件，所以B正确；
对于C中，设从5支中随机选3支，则有，，，，，，，，，，共10种选法，
其中都入选的选法有3种，故所求概率，所以C错误；
对于D中，由至少1支入选的选法有9种，故所求概率，所以D正确．
故选：BD．
7．（2025·山东泰安·模拟预测）在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件 B．与是互斥事件，也是对立事件
C．． D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件的定义可判断B选项；利用并事件的概率公式可判断ACD选项.
【详解】对于A选项，
，
所以不一定是必然事件，A错；
对于B选项，因为不一定是不可能事件，故与不一定互斥，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
题型3 利用互斥事件与对立事件计算概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．
8．（2025·江西·模拟预测）甲 乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解.
【详解】甲以3：0获胜的概率为，以3：1获胜的概率为，
以3：2获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为.
故答案为：
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算全校的人数或计算各班抽取的人数后可求学生被选中的概率.
【详解】法一：全校总人数为人，一共抽取40人，
则被抽到的概率为；
法二：一个班抽取的人数为，
则被抽到的概率为.
故选：B.
10．（2025高三·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
【答案】D
【分析】根据容斥原理的概率公式计算可得答案.
【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，，
则甲乙至少有一种存活的概率为
，
则所以甲、乙都存活的概率为.
故选：D.
题型4 随机事件的频率与概率
1．概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的改变而改变，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
11．（2025·江西宜春·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
【答案】C
【分析】用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果.
【详解】样本中夹谷的比例为，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）.
故选：C.
12．（2025·上海徐汇·模拟预测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可.
【详解】设红球个数为，
由题意可得：，解得：.
故选：B
13．（2025·山东威海·模拟预测）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为.
故选：B.
题型5 古典概型
1.古典概型的概率求解步骤 （1）求出样本空间Ω包含的所有样本点的个数n； （2）求出事件A 包含的所有样本点的个数k； （3）代入公式P（A）＝＝求解. 2.求样本空间中样本点个数的方法 （1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题； （2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复； （3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识.
14．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》 《九章算术》 《海岛算经》 《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概率的计算公式求解即可.
【详解】所有可能的借阅顺序总数为：，
最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》，
所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况，
最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况，
设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件，
则，
故选：D.
15．（25-26高二·陕西西安·月考）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可.
【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、，
则样本空间，
记事件表示“其中一个节气是立春”，则，
由古典概型可知．
故选：B
16．（2025·河北·模拟预测）在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，卡片向上向下颜色有红红，红红，红白，白红四种情况，在确定取出的一张卡片向上一面是红色时，可以利用古典概型概率公式求得其背面是白色的概率.
【详解】因箱子中只有两张卡片，一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，
从中任取一张，分向上向下的情况总共有：红红，红红，红白，白红四种.
现已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则有：红红，红红，红白三种情况，
故它的背面是白色的概率为.
故选：C.
17．（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用古典概型计算公式，再结合分类分步计数原理计算出符合题意的组合数，即可得出所求概率.
【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种，
若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，所以生成的5个数字之和可以为3，6，9（和的最大值为10）；
（1）当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0；
若为三个1和两个0，共有种，
若为一个2，一个1，三个0，共有种，
即数字之和为3时共有种；
（2）当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1；
若为三个2和两个0，共有种，
若为两个2，两个1，一个0，共有种，
若为一个2，四个1，共有种；
即数字之和为6时共有种；
（3）当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种，
因此符合条件的组合数共有种，
所以获二等奖的概率为.
故选：A
18．（2025·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案.
【详解】计算总可能值班的样本点个数：
每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同.
第一天：有4种选择（任何一人均可）；
第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）；
第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）.
总的样本点个数：.
计算甲恰有一天值班的样本点个数：
甲只在第一天值班有种，
甲只在第二天值班有种，
甲只在第三天值班有种.
所以有古典概型知：.
故选：C.
19．（2025高三·河南·阶段练习）一个笔盒中装有10支除颜色外完全一样的笔，其中5支黑色 3支红色 2支蓝色，将这10支笔排成一排，则2支蓝色的笔排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用捆绑法可求得2支蓝色的笔恰好排在一起的方法数，结合笔随机排列的方法总数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】10支笔随机排列，有种情况；把2支蓝色的笔看成一个整体，有种情况，
然后把这个整体与其他笔排序，有种情况；2支蓝色的笔排在一起的概率为：.
故选：C.
20．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，共有8种可能，然后再考虑能打结的有几种，即可解题.
【详解】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能.
先固定中间，有如图所示的四种情形，这四种情形只有一种可以拉成结，
将这四种情形翻转得到另外四种情形，
所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为.
故选：C
题型6 事件相互独立性的判断
1．两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
21．（2025高二·江苏镇江·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件
C． D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件与独立事件定义可判断A错误，B正确，由条件概率公式计算，可判定C错误，再由对立事件公式计算，可判定D错误.
【详解】对于A中，当掷出2，此时事件同时发生，所以M与N不是互斥事件，所以A错误；
对于B中，由，，，满足，所以B正确；
对于C中，由B知：，所以C错误；
对于D中，由，，
所以，所以D错误．
故选：B.
22．（2025·广东广州·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（ ）
A．A，B互斥 B．
C． D．A，B，C两两独立
【答案】D
【分析】利用互斥事件的定义即可判断A，根据并事件的定义即可判断B，利用独立事件的定义即可判断CD.
【详解】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误；
对于B：事件发生，不一定发生，故B错误；
对于C：根据题意，，
所以，，故C错误；
对于D：由，，
所以A，B，C两两独立，故D正确，
故选：D.
23．（2025高二·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【答案】C
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共36个.
则事件包括，，，，，，共6个，，
事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，，
事件包括，，，，，共5个，，
事件包括，，，，，，共6个，.
对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件且包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件且包括，，，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
24．（2025高二·江苏常州·期中）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立
C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型概率公式先求出事件，和的概率，即可判断C，利用互斥事件的概率公式判断A，利用相互独立事件的乘法公式判断B，利用条件概率计算公式判断D.
【详解】对于A，因，故事件A与B不是互斥事件，A错误；
对于B，因，则，
因，故事件与事件不独立，故B错误；
对于C，因，故，而，
故 ，即C错误；
对于D，因则，
于是，，故，即D正确.
故选：D.
25．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（ ）
A．事件两两独立，事件相互独立
B．事件两两独立，事件不相互独立
C．事件不两两独立，事件相互独立
D．事件不两两独立，事件不相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误.
【详解】由题知：，，，
，，，.
因为，，
所以事件两两独立；
但，所以事件不相互独立.
故选：B.
26．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得.
【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种，
所以．
事件“为奇数”的情况有：
共18种，
所以；
事件“”的情况有：
共10种，
所以；
事件“”的情况有：共6种，
所以.
对于A，因，则与不独立，故A错误；
对于B，因，则与不独立，故B错误；
对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误；
对于D， ，则与相互独立，故D正确.
故选：D.
题型7 相互独立事件概率的计算
求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1) 相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2) 当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
27．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率.
【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为，
所以密码被成功破译的概率为.
故选：A
28．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用事件相互独立性来计算即可．
【详解】小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为，，
则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为，，
根据题意，前4次中小明恰好射击3次的情况为第一次小刚击中第二、三次小明均未击中第四次小明射击，其概率为，
第一次小明击中第二次小刚击中第三次小明未击中第四次甲射击，其概率为，
第一次小明未击中第二次小明击中第三次小刚击中第四次小明射击，其概率为，
第一、二次小明未击中第三次小明击中第四次小刚射击，其概率为．
则前4次中小明恰好射击3次的概率为．
故选：D．
29．（25-26高二·四川成都·月考）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得.
【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，
则，，
，所以，
所以，
即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：B
30．（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B.，先确定事件的情况数，再确定，再计算条件概率即可.
【详解】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，
“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B，
则本题求条件概率.要使最终回到初始位置，可分以下两种情况：
（1）一组相同的相反方向移动两次，从前与后、左与右中选1组，
然后在4次移动中安排这两次移动，有种方法；
（2）两组不同的相反方向各移动一次，即对这4次不同方向的移动进行全排列，
有种排法，所以种情况.
其中，进行4次位置调整最终回到初始位置中向左移动两次的情况有种排法，
所以种情况，所以.
故选：C.
31．（2025·河北邢台·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解.
【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，，
，
，
所以.
故选：D.
32．（2025·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05
【答案】D
【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得.
【详解】设事件“选物理”，“选化学”，
则有，，
由该班同学选物理和选化学相互独立，
即，则，
故，,
则.
故选：D.
题型8 条件概率
求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝. (2)样本点法：P(B|A)＝. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
33．（25-26高二·全国·单元测试）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率公式进行求解即可.
【详解】因为，，，
所以，所以．
故选：C.
34．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件概率和全概率计算公式，列出关于的方程求解.
【详解】因为，
.
又，
所以.
故选：A
35．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算.
【详解】从人中选个人为一组，方法数有种，
再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种.
根据分步乘法计数原理，总情况数为种.
若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种，
再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
此时情况数为种.
若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种，
剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
此时情况数为种.
所以甲参加九连环活动的情况数共有种，
则甲参加九连环活动的概率.
若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种，
则甲和乙都参加九连环活动的概率.
根据条件概率公式.
故选：B.
36．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出事件，利用全概率公式和条件概率公式进行求解.
【详解】不是早晚都刷牙且牙齿健康的学生占.
记“该学生不是早晚都刷牙”为事件A，“该学生牙齿健康”为事件B，
则，所以.
故选；A.
37．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】现根据捆绑法计算出仅有两人相邻和三人均相邻的不同情况数，再根据古典概型计算事件概率，再根据条件概率定义求出事件概率.
【详解】设“甲乙丙之间恰有两人相邻”，“甲乙丙三人均相邻”
则，，故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为
，
故选：A.
38．（2025·河南驻马店·模拟预测）小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率公式分别求出和，进而求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以.
故选：A.
39．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用全概率公式以及条件概率的计算，可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：C.
题型9 全概率公式及其应用
1．全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的A1，A2，…，An，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率． 2．注意点 (1)可结合韦恩图理解，形象直观； (2)使用全概率公式时要注意符号化．
40．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全概率公式求解.
【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件，
则，.
则.
故选：D
41．（2025·湖南湘潭·模拟预测）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36
【答案】A
【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可
【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”，
∵三个年级的教师人数之比为3:3:4，
∴，
∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，
∴,
根据全概率公式，
故选：A.
42．（2025·海南·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班的女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意设出事件，写出事件的概率以及条件概率，利用全概率公式，可得答案.
【详解】记事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是甲班的”，
事件“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是乙班的”，
“居民所遇到的一位进行民意调查的同学是女生”，
则，且，互斥，，
由题意可知，，且，
由全概率公式可知，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为．
故选：D．
43．（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ）
A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825
【答案】D
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是，
则，且，两两互斥，
设表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”，
则，
，
则
.
故选：D.
44．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全概率公式，甲箱可能拿黑球，红球放进乙箱，分情况即可求解.
【详解】记“从甲箱中取出的球为红球”为事件，
记“从甲箱中取出的球为黑球”为事件，
所以.
故选:D.
题型10 贝叶斯公式及其应用
1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
45．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案.
【详解】设事件为“取出的红球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”，
则组成了完整的样本空间，且两两互斥．
由题意有
，．
则由全概率公式，，
则在取出的球为红球的条件下，
其取自3号箱的概率为．
故选：A．
46．（2025·广西河池·模拟预测）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解.
【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，，
由全概率计算公式得，
由条件概率公式得，
故选：A.
47．（2025高二·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全概率公式及条件概率计算求解.
【详解】设患病为事件，设检测结果为阳性为事件，
某疾病在人群中的患病率为，检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为，
则，，，
则，，
所以，
如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为.
故选：B.
48．（2025·湖南邵阳·模拟预测）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，
事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，
则，，，
，，，
由贝叶斯公式可得.
因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为.
故选：C.
题型11 离散型随机变量的分布列的性质
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
49．（2025高二·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ）
0 1
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质计算可得.
【详解】依题意可得，解得.
故选：B
50．（2025高二·福建龙岩·期末）随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案.
【详解】，∵，
∴，解得，
则，
∴．
故选：B
51．（2025·广西·模拟预测）随机变量的分布列为
0 1
则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案.
【详解】.
故选：C
52．（2025高二·江苏连云港·阶段练习）随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ）
ξ ﹣1 0 1
P a b c
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可.
【详解】根据题意，由分布列可得：
解得：.
故选:A
53．（2025高三·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，
则，即，则.
故选：D
题型12 求离散型随机变量的分布列及数字特征
1.离散型随机变量分布列的求解步骤 2.求离散型随机变量的均值与方差的步骤. 明取值明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义求概率要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率画表格按规范要求形式写出分布列做检验利用分布列的性质检验分布列是否正确得结果由均值、方差的定义求,
54．（2025·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（ ）
A． B．7 C． D．6
【答案】A
【分析】先求的分布列，再求的期望.
【详解】由题意，的值可以为：6,7,9
表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以；
表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以；
表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以.
所以的分布列为：
6 7 9
所以.
故选：A
55．（2025·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可取0,1,2，分别计算出概率，再用期望公式计算即可.
【详解】根据题意可取0,1,2，
，，，
所以，
故选：A.
56．（2025·广西柳州·模拟预测）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
(1)求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）考虑所有可能的小球数字组合，一共有6种情况，再分别计算各自的取法数目，从而得到总的满足条件的取法数目，最终除以总取法数目，即可应用古典概型得到所求概率；
（2）对的所有可能取值分情况列举对应的取法数目，进一步可对每个数目除以总取法数目以得到每种情况的概率，从而得到分布列，最后根据数学期望的定义即可计算出数学期望.
【详解】（1）总取法数目，
考虑全部的取出的2个小球上的数字不同的情况，
2个小球上的数字可能是，0或，1或，2或0，1或0，2或2，1分别有1，2，1，2，1，2种情况，
故所求概率.
（2）如果取出的2个小球上的数字包含0，此时取出的2个小球上的数字之积为0，总的情况数有种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
如果取出的2个小球上的数字为1， 2，此时取出的2个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；
如果取出的2个小球上的数字为，1，此时取出的2个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；
而总的情况有种，
故，，，
，，
所以分布列为
0 2
0.4 0.2 0.1 0.2 0.1
数学期望
.
57．（2025·陕西西安·模拟预测）拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲 乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.
(1)求甲队获得本场比赛胜利的概率；
(2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，再利用相互独立事件同时发生的概率计算即可得答案；
（2）由题意可知可取：，分别求出其概率，即可解出答案.
【详解】（1）甲队获得本场比赛胜利分：①甲队胜第一、二局，②甲队胜第一、三局，③甲队胜第二、三局，
则甲队获得本场比赛胜利的概率 .
（2）由题意知可取：，
当时，甲队胜的概率为： ，乙队胜的概率为，则 ,
当时，，
所以的分布列为：
数学期望.
58．（2025·海南·模拟预测）某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛.
(1)初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率；
(2)复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用对立事件的概率公式可计算出答案；
（2）解法一：的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，可得的分布列，利用期望与方差公式求出期望与方差.
解法一：的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，可得的分布列，利用二项分布的期望与方差公式求出期望与方差.
【详解】（1）甲进入复赛的概率为.
（2）的所有可能取值为0，1，2，
，
，

分布列如下：
X 0 1 2
P
解法一：，

解法二：因为，所以.
59．（2025·北京·模拟预测）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）．
A 32 68 86
57 70 78 91
66 77 79 80 80 81 83 94
假设所有游客消费金额相互独立.
(1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数；
(2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望；
(3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)32000
(2)
(3)
【分析】（1）根据A地区的游客人数所占比例计算即可；
（2）写出的所有可能并求得所对应的概率得到分布列然后按照期望公式计算即可；
（3）分别得到分布列，然后计算方差，根据数据比较即可.
【详解】（1）由题意，随机采访的15位游客中有3人来自A地区，
估计16万游客中来自A地区的游客人数为．
（2）从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，其一顿烧烤的人均消费金额大于70元的概率分别约为和．
的可能取值为0，1，2，，
，，
所以，的分布列为：
0 1 2
数学期望．
（3）由题可知：的所有可能结果为：32，68，86，选到的概率均为，
所以的分布列为：
32 68 86
P
所以，；
的所有可能结果为：57，70，78，91，选到的概率均为，
所以的分布列为：
57 70 78 91
P
，
的所有可能结果为：66，77，79，80， 81，83，94，
所以的分布列为：
66 77 79 80 81 83 94
P
，，
所以．
题型13 均值与方差的性质
1．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 2．常用结论 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
60．（2025高二·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列：
x 0 1
P
满足，则a的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据期望的计算公式可得，即可利用期望的性质求解.
【详解】由表可得，
又可得,解得，
故选：A
61．（2025·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分布列求出，求出期望即可．
【详解】由题意可得，解得，
．
．
故选：C．
62．（2025·浙江·模拟预测）随机变量的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，进而根据题意得，再根据方法的计算方法得，进而根据即可得答案.
【详解】解：设，则，
因为，，
可得：，解得
∴，，
，
.
故选：D.
【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．本题解题的关键在于设，进而根据得，再根据公式计算即可.
63．（2025·浙江·模拟预测）设，随机变量X的分布列是：
X -1 1 2
P
则当最大时的a的值是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，
可得，
又由
可得，
因为，所以当最大时的的值为.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的计算及应用，其中解答中熟记离散型随机变量的分布列的期望与方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于中档试题.
题型14 均值与方差中的决策问题
期望与方差的决策应用 1．决策问题一般有三种途径： (1) 利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定． (2) 利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好． (3) 利用方差：方差反映了随机变量偏离平均 值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近． 2．在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差)．
64．（2025·陕西·模拟预测）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：
95 126 187
P 0.5
且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示：
0 1 2
41.2 117.6 204.0
(1)求的值；
(2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概率和为1及期望值列出方程组求解即可;
（2）结合题意可知的可能取值为41.2，117.6，204，分别计算概率，得到的分布列，并计算期望值，由，整理计算即可.
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）的可能取值为41.2，117.6，204，
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 41.2 117.6 204
P
可得，
由，得，
,
解得，
即当选择投资有机蔬菜项目时，p的取值范围是，投资回报率最大．
65．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：
7 9 10 11 13
3 4 5 6 7
请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）
(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．
参考数据：，，；
参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
【答案】(1)与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合
(2)
【分析】（1）根据相关系数公式直接计算即可；
（2）利用二项分布期望公式可得甲高校考试通过科目数的期望，分别求出通过乙高校的考试科目数各种可能值的概率，然后由期望公式计算，最后根据期望之间的关系求解即可.
【详解】（1）由题意，可得：，，
，
,
所以，
所以与之间的线性相关性较强，可用线性回归模型进行拟合．
（2）通过甲高校的考试科目数，则，
设通过乙高校的考试科目数为，则的可能取值为，则：
，
，
，
，
则，
由题意知，，即，解得，
又因为，综上，的取值范围为．
66．（2025·上海宝山·模拟预测）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系：
项目类别 体验类 演出类 互动类
开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3
平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30
(1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；
(2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；
(3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.
【答案】(1)，51分钟；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据表中数据分别求出，代入回归方程即可求出，将代入回归方程可求出平均等待时间；
（2）利用条件概率公式，结合分步计数乘法原理和分类计数加法原理以及组合数，计算即可求得概率；
（3）通过计算得到小王参加第二关获得的游园币数的期望，根据每道题答对的概率的取值分类讨论，做出相关决策.
【详解】（1），
代入回归方程，得，解得.
当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟.
（2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”，
因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种；
在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有：
①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况；
②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况.
由条件概率公式得.
（3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为，
则
所以.
所以，当时，，不建议小王继续闯关；
当时，，小王可根据自己的情况随机选择；
当时，，建议小王继续闯关.
67．（2025·江西·模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.
(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率；
(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望 和方差 ，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.
【答案】(1)
(2)，，，，派李明代表该班参加竞赛更好
【分析】（1）根据超几何分布和二项分布概率公式分别计算李明和王华回答问题正确的个数为的概率，由独立事件概率乘法公式可求得结果；
（2）根据超几何分布概率公式可得每个取值对应的概率，由此可计算得到；根据二项分布期望和方差计算公式可求得，根据，可得结论.
【详解】（1）李明回答问题正确的个数为的概率；
王华回答问题正确的个数为的概率；
李明和王华回答问题正确的个数均为的概率.
（2）由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为，
，，
，；
王华回答问题正确的个数，
，；
，，派李明代表该班参加竞赛更好.
题型15 两点分布
1．若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X01P1－pp
其中068．（2025高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（ ）
A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84
【答案】A
【分析】根据两点分布概率公式求解即可.
【详解】由题意可得，
故选：A.
69．（2025高二·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照两点分布的性质计算.
【详解】依题意可得，解得.
故选：C
70．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两点分布分别求得的概率，再，由求出，由条件概率公式计算.
【详解】随机变量均服从两点分布，
，，
又，
，由条件概率公式，
故选：D.
71．（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列举法即可求解.
【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，，
所以，，
所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：A.
72．（25-26高二·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据两点分布期望和方差公式可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】服从两点分布，设成功的概率为，则可得，，其中，
（当且仅当，即时取等号），
的最大值为．
故选：D.
题型16 二项分布
二项分布问题的解题关键 定型①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生定参确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率
提醒：下列问题能转化为二项分布 ①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二项分布．
73．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二项分布的概率公式即可.
【详解】由题意得
故选：D.
74．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式可得，可求，进而可求.
【详解】由二项分布的知识得，
得，又，所以，
所以．
故选：D．
75．（2025·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
76．（25-26高三·广东·月考）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．
(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；
(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)的分布列为
0 1 2 3 4
的数学期望是.
【分析】（1）解法一，利用条件概率公式及全概率公式即可求解；
（2）由题意可得，根据二项分布的特征即可求解分布列及数学期望.
【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B.
.
所以.
故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为.
（2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为.
记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则.
因为四次摸球总得分为，所以.所以.
所以，
，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以的数学期望是.
77．（2025·云南昭通·模拟预测）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)29
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解；
（2）确定可能取值，由题意得到，即可求解.
【详解】（1），
故均值为29．
（2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为，
则，
则，
；
．
列出的分布列如下：
0 1 2 3 4
0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401
．
78．（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.
(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；
(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.
【答案】(1)分布列见解析，2.4
(2)
【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.
（2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率.
【详解】（1）由题意得，，其分布列为：，，1，2，3.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
数学期望为.
（2）设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”.
根据题意，，
.
79．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可；
（2）利用全概率公式求解即可.
【详解】（1）法一：由题意得的可能取值为．
，，
，．
0 1 2 3
因此．
法二：由题意得的可能取值为．
又，故（）．
因此．
（2）设事件“次之内（含次）停止摸球”，
事件“第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”；
事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”；
事件“首次选择甲袋是第次摸球”（），
事件“一直没有选择甲袋”．
则
．
．
．
因此．
题型17 二项分布中的最值问题
二项分布的增减性与最大值如下.记,则当时，,递增；当时，,递减.故的最大值在时取得，此时,两项均为最大值；若非整数，则取的整数部分时，最大且唯一.
80．（2025·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ．
【答案】5
【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解.
【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时.
故答案为：5
81．（2025高二·全国·竞赛）随机变量，当取最大值时， ．
【答案】13或14
【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
82．（2025高二·全国·课后作业）若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时， ．
【答案】3或4
【分析】先求得的表达式，利用列不等式组的方法来求得使取得最大值时的值.
【详解】依题意，
依题意，
，
，，
所以、不是的最大项，
当时，由，
整理得，即，
整理得，，
所以当为3或4时，取得最大值.
故答案为：3或4
83．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
【答案】
【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果.
【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即，
则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数，
即，
由二项分布的概率公式可得，
设最大，则，
由可得，
即，
化简可得，解得，
由可得，
即，
化简可得，解得，
即，且，则时，最大，
则质点最终的位置为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果.
84．（2025高二·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；函数取最大值时， .
【答案】
【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点.
【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为.
因此.
令，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取最大值.
故答案为：；.
85．（2025·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：
用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数.
(1)若，求的分布列与数学期望；
(2)若，求使得取得最大值时的值.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)
【分析】（1）由题意可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）由题意可得，解出的取值范围，结合可得出的的值.
【详解】（1）由频率分布直方图中所有直方图的面积之和为，
可得，所以，
样本中，成绩在的高中生所占的频率为，
当时，由题意可知，
所以，，
，，
故随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
（2）由题意可知，因为最大，则，
所以，解得，
因为，可得，
故使得取得最大值时的值为.
86．（2025·浙江杭州·模拟预测）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
(1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，；
(2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)第次或第次
【分析】（1）分情况列举出所有符合题意的事件，再利用条件概率公式进行求解即可；
（2）设该游戏在第次停止的概率为，表示，通过作商确定的最大值.
【详解】（1）记“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”，
“此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个”，
“第次摸出红球，并且答题正确”，，
“第次摸出黑球，并且答题正确”，，
“第次摸出红球或黑球，并且答题错误”，，
所以，，
因为，，
，，
所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，
因为，，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
（2）设该游戏在第次停止的概率为，
则前次答题正确恰好为次，答题错误次，且第次摸出最后一球时答题正确，
所以，
所以，
令，解得，令，解得，
所以，
所以的最大值是，即该游戏在第次或第次停止的概率最大，最大值为.
题型18 超几何分布
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．求超几何分布的分布列的3个步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列．
87．（2025高三·广东东莞·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据超几何分布的概率公式，可得答案，法二：根据正难则反的解题思想，可得答案.
【详解】法一：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
法二：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则．
故选：A.
88．（2025高二·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为，且，
，，,
则.
故选：C
89．（2025·广东江门·模拟预测）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.
【详解】依题意可得，即，整理得，
解得或9，因为，所以．
故选：B.
90．（2025高二·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ．
【答案】 0，1； .
【分析】根据题意服从超几何分布，应用古典概型概率公式求出相应概率，再由期望公式即可得.
【详解】X的取值可能为0，1．
依题意可知服从超几何分布，
则，，
所以．
故答案为：0，1；.
91．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示：
组别 半月板的健康状况 合计
半月板正常 半月板损伤
长期长跑 40 360 400
非长期长跑 460 140 600
合计 500 500 1000
(1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关；
(2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由假设的定义及公式可得；
（2）由分层抽样可求出正常与损伤的人数，再根据超几何分布求出概率，列表得到分布列及期望.
【详解】（1）零假设为：“长期长跑”与“半月板损伤”之间无相关关系，
则，
故零假设不成立，即“长期长跑”与“半月板损伤”之间具有相关性.
（2）由分层随机抽样知识知，半月板正常的有人，半月板损伤的有人，
则的可能取值为,
则，
所以的分布列为
1 2
故.
题型19 二项分布与超几何分布的综合应用
超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
92．（2025·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果 标准果 精品果 礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果.
(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望；
(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)或
【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，进而求出礼品果的个数，求出的可能取值及对应的概率，得到的分布列，代入期望公式求解期望；
（2）根据且，求出n的取值范围，代入判断求解即可.
【详解】（1）由题意，所以，
所以这100个水果中礼品果的个数为，
采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个，
故随机变量的所有可能取值为，
则，，.
所以的分布列为
0 1 2
期望.
（2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为，
则，
所以，
要使最大，则且，
解得，因为，
所以，所以当最大时，或.
93．（2025·北京东城·模拟预测）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
【答案】(1)人
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可；
（3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论.
【详解】（1），
故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人；
（2）从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
（3），理由如下：
这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，
，，，
则，故.
94．（2025·四川成都·模拟预测）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求的值;
(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，；
(3)
【分析】（1）根据频率和为1，即可求解；
（2）首先确定高度在和的株数，再按照超几何分布，即可求解；
（3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）依题意可得，解得；
（2）由（1）可得高度在和的频率分别为和，所以分层抽取的5株中，高度在和的株数分别为2和3，所以可取0，1，2.
所以，，
所以的分布列为：
所以
（3）从所有花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件，至多株高度低于为事件，
则，，
所以.
95．（2025·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【答案】(1)，平均时间为小时
(2)分布列见解析，期望
(3)
【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可；
（2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；
（3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
题型20 正态曲线的性质
①正态曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此特点结合图象可求出 .②正态曲线在 处达到峰值，由此特点结合图象可求出 .③由指数型函数的图象与性质，既可以得到以上两点，又可以得到其他一些性质.
96．（2025·四川成都·模拟预测）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案.
【详解】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴，
故甲的平均数小于乙的平均数，即，
且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即.
故选：C
97．（2025·天津·模拟预测）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得.
【详解】令对应的正态密度函数分别为，
则函数图象的对称轴分别为，且，
观察图象，得，，所以，.
故选：C
98．（2025高二·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项.
【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线.
由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确.
故选：D.
99．（2025·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性可求得正确的选项.
【详解】因为服从正态分布，故，
故，故的图象关于点对称，
故选：C.
题型21 正态曲线概率的计算
1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 利用正态曲线解题,关键是利用对称性把待求区间内的概率转化为已知区间内的概率.解题时要注意数形结合思想及化归思想的运用.
101．（2025·浙江金华·一模）已知随机变量，且，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35
【答案】B
【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可.
【详解】由题设，且，则，
由正态分布曲线关于对称，则.
故选：B
102．（2025·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（ ）
A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725
【答案】C
【分析】利用标准正态分布求解即可.
【详解】因为随机变量，，
所以.
故选：C.
103．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为随机变量服从正态分布，即，
所以.
故选：B.
104．（2025·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率.
【详解】由，得
.
故选：D
105．（2025·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性，可得答案.
【详解】易得，
由正态分布的对称性可得，
故..
故选：D.
106．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
【答案】B
【分析】利用正态分布的对称性得，进而有，根据已知及对称性求概率，即可估计人数.
【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而，
所以，
所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人.
故选：B
107．（2025·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）
附：若，则．
A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个
【答案】C
【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果.
【详解】由可知，
则，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
故选：C.
108．（2025·四川资阳·一模）某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性求出的值，再利用二项分布的期望公式可求出结果.
【详解】因为，则，
所以，
从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为，
由题意可知，由二项分布的期望可得.
故选：D.
109．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（ ）
A．180 B．185 C．190 D．195
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性求得，进而有，应用二项分布的期望公式求期望.
【详解】由，可得，
则，故.
故选：C
110．（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为（ ）（参考：）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质可知，从而得解.
【详解】由于，
要使在内的概率不小于，
则，即，所以，
即正数的最小值为.
故选：C
111．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知随机变量，，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
【答案】A
【分析】先根据专题03 概率、随机变量与分布列
题型1 随机事件与样本空间
确定样本空间的方法 （1）必须明确事件发生的条件． （2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
1．（2025高一·安徽六安·期末）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
2．（2025·山西·模拟预测）投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对.
3．（2025·广东·模拟预测）有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为 .
题型2 事件的关系
（1）判断事件的包含、交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系运用Venn图分析事件； （2）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.
4．（2025高三·上海黄浦·期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（2025·福建南平·模拟预测）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
6．【多选】（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（ ）
A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件
B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件
C．白色与红色粉笔都用到的概率为
D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为
7．（2025·山东泰安·模拟预测）在一次随机试验中，三个事件、、发生的概率分别是、、，则下列选项正确的是（ ）
A．是必然事件 B．与是互斥事件，也是对立事件
C．． D．
题型3 利用互斥事件与对立事件计算概率
求复杂的互斥事件的概率的两种方法 （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． （2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反）．特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解就显得较简便．
8．（2025·江西·模拟预测）甲 乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为 .
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某学校高三教研组为调查高三学生的学习情况，分别从高三年级中的20个班一共抽取40个人进行询问，其中各班人数均为50人，则某个班级中某个学生被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（ ）
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
题型4 随机事件的频率与概率
1．概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的改变而改变，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． 2．随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
11．（2025·江西宜春·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
12．（2025·上海徐汇·模拟预测）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
13．（2025·山东威海·模拟预测）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A． B． C． D．
题型5 古典概型
1.古典概型的概率求解步骤 （1）求出样本空间Ω包含的所有样本点的个数n； （2）求出事件A 包含的所有样本点的个数k； （3）代入公式P（A）＝＝求解. 2.求样本空间中样本点个数的方法 （1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题； （2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复； （3）排列、组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列、组合的知识.
14．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》 《九章算术》 《海岛算经》 《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高二·陕西西安·月考）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·河北·模拟预测）在一个箱子中有大小质地相同的2张卡片，其中一张两面均是红色，另一张一面红色，一面白色，已知取出的一张卡片向上一面的颜色是红色，则它背面是白色的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025高三·河南·阶段练习）一个笔盒中装有10支除颜色外完全一样的笔，其中5支黑色 3支红色 2支蓝色，将这10支笔排成一排，则2支蓝色的笔排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（ ）
A． B． C． D．
题型6 事件相互独立性的判断
1．两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B为相互独立事件．
21．（2025高二·江苏镇江·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ）
A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件
C． D．
22．（2025·广东广州·模拟预测）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（ ）
A．A，B互斥 B．
C． D．A，B，C两两独立
23．（2025高二·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
24．（2025高二·江苏常州·期中）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B为互斥事件 B．事件两两独立
C． D．
25．（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（ ）
A．事件两两独立，事件相互独立
B．事件两两独立，事件不相互独立
C．事件不两两独立，事件相互独立
D．事件不两两独立，事件不相互独立
26．（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
题型7 相互独立事件概率的计算
求相互独立事件同时发生的概率的方法： (1) 相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2) 当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
27．（2025·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（ ）
A． B． C． D．
29．（25-26高二·四川成都·月考）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
31．（2025·河北邢台·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05
题型8 条件概率
求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝. (2)样本点法：P(B|A)＝. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
33．（25-26高二·全国·单元测试）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·江苏南通·模拟预测）已知，是样本空间中的随机事件，，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
35．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
36．（2025·江西·模拟预测）儿童牙齿是否健康与早晚是否都刷牙有关.据调查，某幼儿园大约有的学生牙齿健康，大约有的学生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的学生中约有的学生牙齿健康.现从不是早晚都刷牙的学生中任意调查一名学生，则他的牙齿健康的概率约为（ ）
A． B． C． D．
37．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（ ）
A． B． C． D．
38．（2025·河南驻马店·模拟预测）小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ）
A． B． C． D．
39．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
题型9 全概率公式及其应用
1．全概率问题的求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的A1，A2，…，An，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率． 2．注意点 (1)可结合韦恩图理解，形象直观； (2)使用全概率公式时要注意符号化．
40．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
41．（2025·湖南湘潭·模拟预测）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ）
A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36
42．（2025·海南·模拟预测）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班的女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
43．（2025·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ）
A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825
44．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的球是2个黑球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
题型10 贝叶斯公式及其应用
1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．
45．（2025·江西·模拟预测）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（ ）
A． B． C． D．
46．（2025·广西河池·模拟预测）一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ）
A． B． C． D．
47．（2025高二·河北·期中）某疾病在人群中的患病率为．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（ ）
A． B． C． D．
48．（2025·湖南邵阳·模拟预测）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型11 离散型随机变量的分布列的性质
分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性． (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
49．（2025高二·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ）
0 1
A． B． C． D．
50．（2025高二·福建龙岩·期末）随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（ ）
A． B． C． D．
51．（2025·广西·模拟预测）随机变量的分布列为
0 1
则等于（ ）
A． B． C． D．
52．（2025高二·江苏连云港·阶段练习）随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（ ）
ξ ﹣1 0 1
P a b c
A． B． C． D．
53．（2025高三·湖北·期末）若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ）
3 4 5 6 7
A． B． C． D．
题型12 求离散型随机变量的分布列及数字特征
1.离散型随机变量分布列的求解步骤 2.求离散型随机变量的均值与方差的步骤. 明取值明确随机变量的可能取值有哪些，及每一个取值所表示的意义求概率要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率画表格按规范要求形式写出分布列做检验利用分布列的性质检验分布列是否正确得结果由均值、方差的定义求,
54．（2025·广东·模拟预测）一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（ ）
A． B．7 C． D．6
55．（2025·浙江宁波·模拟预测）将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
56．（2025·广西柳州·模拟预测）不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球．
(1)求取出的2个小球上的数字不同的概率；
(2)记取出的2个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．
0 2
0.4 0.2 0.1 0.2 0.1
57．（2025·陕西西安·模拟预测）拔河比赛起源于我国春秋时期，比赛采用三局两胜制，即每场比赛两支队伍最多比3局，率先胜2局比赛的队伍获得本场比赛胜利，比赛随即结束.甲 乙两队进行一场拔河比赛，已知每局比赛甲队胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.
(1)求甲队获得本场比赛胜利的概率；
(2)记为本场比赛结束时比赛的局数，求的分布列及数学期望.
58．（2025·海南·模拟预测）某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛.
(1)初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率；
(2)复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差.
59．（2025·北京·模拟预测）2023年山东淄博以烧烤文化火出了圈．为了解游客在淄博吃烧烤的消费情况，某记者随机采访了15位游客，他们分别来自A、、三个地区．现将这15位游客一顿烧烤的人均消费金额数据记录如下表（单位：元）．
A 32 68 86
57 70 78 91
66 77 79 80 80 81 83 94
假设所有游客消费金额相互独立.
(1)据人流量监测数据显示，五一假期中的某日有超过16万游客“进淄赶烤”．估计其中来自A地区的游客人数；
(2)从来自A地区和地区的游客中各随机选取一人，记为选出的两人中一顿烧烤的人均消费金额大于70元的人数，估计的数学期望；
(3)从样本中来自A、、三个地区的游客中各随机选取一人，记这三人一顿烧烤的人均消费金额分别为，写出方差的大小关系．（结论不要求证明）
题型13 均值与方差的性质
1．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 2．常用结论 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
60．（2025高二·天津滨海新·期中）已知随机变量X的分布列：
x 0 1
P
满足，则a的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
61．（2025·浙江·模拟预测）已知随机变量的分布是，则等于（ ）
A． B． C． D．
62．（2025·浙江·模拟预测）随机变量的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C． D．
63．（2025·浙江·模拟预测）设，随机变量X的分布列是：
X -1 1 2
P
则当最大时的a的值是
A． B． C． D．
题型14 均值与方差中的决策问题
期望与方差的决策应用 1．决策问题一般有三种途径： (1) 利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定． (2) 利用均值：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定，如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好． (3) 利用方差：方差反映了随机变量偏离平均 值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近． 2．在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差(或标准差)．
64．（2025·陕西·模拟预测）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示：
95 126 187
P 0.5
且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示：
0 1 2
41.2 117.6 204.0
(1)求的值；
(2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率）
65．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质或基础学科拔尖的学生，聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域，由有关高校结合自身办学特色，合理安排招生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试才能进入面试环节．
(1)某研究机构为了更好地服务于高三学生，随机抽取了某校5名高三学生，对其记忆力测试指标和分析判断力测试指标进行统计分析，得到下表数据：
7 9 10 11 13
3 4 5 6 7
请用线性相关系数判断该组数据中与之间的关系是否可用线性回归模型进行拟合；（精确到）
(2)现有甲、乙两所高校的笔试环节都设有三门考试科目，某考生参加每门科目考试是否通过相互独立．若该考生报考甲高校，每门笔试科目通过的概率均为；该考生报考乙高校，每门笔试科目通过的概率依次为，其中．若该考生只能报考甲、乙两所高校中的一所，以笔试中通过的科目数的数学期望为依据作出决策，得知该考生更有希望通过乙大学的笔试，求的取值范围．
参考数据：，，；
参考公式：线性相关系数：．一般地，时，认为两个变量之间存在较强的线性相关关系．
66．（2025·上海宝山·模拟预测）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系：
项目类别 体验类 演出类 互动类
开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3
平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30
(1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；
(2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；
(3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.
67．（2025·江西·模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.
(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率；
(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望 和方差 ，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.
题型15 两点分布
1．若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X01P1－pp
其中068．（2025高二·新疆·期末）已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（ ）
A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84
69．（2025高二·甘肃白银·期末）若服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
70．（25-26高三·广东深圳·开学考试）已知随机变量均服从两点分布，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
71．（2025·湖北宜昌·模拟预测）已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
72．（25-26高二·全国·单元测试）若随机变量服从两点分布，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
题型16 二项分布
二项分布问题的解题关键 定型①在每一次试验中，事件发生的概率相同． ②各次试验中的事件是相互独立的． ③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生定参确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率
提醒：下列问题能转化为二项分布 ①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二项分布．
73．（2025·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
74．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，其中，若，则（ ）
A． B． C． D．
75．（2025·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
76．（25-26高三·广东·月考）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球．
(1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率；
(2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望．
77．（2025·云南昭通·模拟预测）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务．为了测试该模型的性能，对其进行了1000次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)估计这1000次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)以频率估计概率，随机对该模型进行4次试验，用表示这4次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望．
78．（2025·云南大理·模拟预测）在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6.
(1)若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望；
(2)若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率.
79．（2025·浙江丽水·模拟预测）已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球．
(1)按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望；
(2)按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率．
题型17 二项分布中的最值问题
二项分布的增减性与最大值如下.记,则当时，,递增；当时，,递减.故的最大值在时取得，此时,两项均为最大值；若非整数，则取的整数部分时，最大且唯一.
80．（2025·湖南邵阳·模拟预测）若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ．
81．（2025高二·全国·竞赛）随机变量，当取最大值时， ．
82．（2025高二·全国·课后作业）若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时， ．
83．（2025·云南曲靖·模拟预测）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大．
84．（2025高二·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则 ；函数取最大值时， .
85．（2025·福建泉州·模拟预测）为增强学生的法制意识，打造平安校园，某市组织该市的全体高中学生开展“智慧法治，平安校园”的知识竞赛，竞赛成绩经统计，得到如下的频率分布直方图：
用样本估计总体，以频率代替概率.现从该市的高中学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数.
(1)若，求的分布列与数学期望；
(2)若，求使得取得最大值时的值.
86．（2025·浙江杭州·模拟预测）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．
(1)若此人次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各个的概率记为，求，；
(2)该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．
题型18 超几何分布
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．求超几何分布的分布列的3个步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； (3)用表格的形式列出分布列．
87．（2025高三·广东东莞·期末）如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则（ ）
A． B． C． D．
88．（2025高二·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
89．（2025·广东江门·模拟预测）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
90．（2025高二·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ．
91．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随机抽取了1000人进行调查，所得数据统计如下表所示：
组别 半月板的健康状况 合计
半月板正常 半月板损伤
长期长跑 40 360 400
非长期长跑 460 140 600
合计 500 500 1000
(1)根据小概率值的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关；
(2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取人，再从这人中随机挑选人，记抽到的人中半月板损伤的人数为，求的分布列与均值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
题型19 二项分布与超几何分布的综合应用
超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
92．（2025·重庆·模拟预测）某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果 标准果 精品果 礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果.
(1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望；
(2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值.
93．（2025·北京东城·模拟预测）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小.
94．（2025·四川成都·模拟预测）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求的值;
(2)若从高度在和中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率.
95．（2025·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
题型20 正态曲线的性质
①正态曲线是单峰的，它关于直线 对称，由此特点结合图象可求出 .②正态曲线在 处达到峰值，由此特点结合图象可求出 .③由指数型函数的图象与性质，既可以得到以上两点，又可以得到其他一些性质.
96．（2025·四川成都·模拟预测）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
97．（2025·天津·模拟预测）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
98．（2025高二·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
99．（2025·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
题型21 正态曲线概率的计算
1、正态分布下两类常见的概率计算 （1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线对称，曲线与轴之间的面积为1． （2）利用原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于，，中的哪一个． 2、正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 （1）充分利用正态曲线对称性和曲线与轴之间面积为1． （2）熟记，，的值． 利用正态曲线解题,关键是利用对称性把待求区间内的概率转化为已知区间内的概率.解题时要注意数形结合思想及化归思想的运用.
101．（2025·浙江金华·一模）已知随机变量，且，则的值为（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35
102．（2025·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（ ）
A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725
103．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
104．（2025·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（ ）
（附：若，则，）
A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772
105．（2025·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
106．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（ ）
（参考数据：若，有，，）
A．580 B．480 C．380 D．280
107．（2025·广东·二模）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ）
附：若，则．
A．228个 B．456个 C．1587个 D．3174个
108．（2025·四川资阳·一模）某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（ ）
A． B． C． D．
109．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知某批零件的尺寸服从正态分布，其中的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用表示这200个零件中合格品的个数，则（ ）
A．180 B．185 C．190 D．195
110．（2025·江苏·模拟预测）已知随机变量，为使在内的概率不小于，则正数的最小值为（ ）（参考：）
A． B． C． D．
111．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知随机变量，，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．3 D．
题型22 正态分布的实际应用
解决正态分布问题要把握住三个关键点：对称轴 ,标准差 和分布区间.
112．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望．
附：若，则，，.
113．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布．
(1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列；
(2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大．
参考数据：若，则．
114．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升.
(1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；
②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值．
参考数据：，.
115．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
满意度评分
频数 10 15 20 30 15 10
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
0 1000 2000 3000 4000
116．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表：
平均尺寸 标准差
甲生产线p件M型零件 80 6
乙生产线q件M型零件 70 4
(1)求这40件M型零件尺寸的平均数；
(2)求这40件M型零件尺寸的标准差；
(3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件
参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③.

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