资源简介

专题03 双曲线及其应用
题型1 对双曲线定义的理解及应用
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题．
1．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
【答案】8
【解析】设光线与双曲线的交点为，双曲线的左焦点为．由题意知，共线，
故路径长．
2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则 ．
【答案】4
【解析】设双曲线的右焦点为，半焦距为c，
因为圆与E在第一象限的交点为A，所以，
由双曲线的定义得，
由，得，
即，解得，(舍去)．
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．2或14
【答案】B
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，所以，，
根据双曲线定义，，，解得或1，
又，所以.故选：B.
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
【解析】由题设中圆心，半径，
中圆心，半径，
根据双曲线方程知其左右焦点为，连接，
所以，
所以
，
，
当且仅当为双曲线右顶点时等号成立，
故的最小值为30.故选：C.
题型2 双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
5．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，双曲线的实半轴长，且，
因为，故在右支上且，
而，故，
由余弦定理可得：，故选：C.
6．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】D
【解析】由题意，则，
不妨设，，，设到轴的距离为，
因为为的角平分线，则，
所以，所以，所以，
又，所以，
所以的周长为.故选：D
7．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左 右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一 三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【解析】设，由在以为直径的圆上可得，
所以，四边形为矩形，则，
由双曲线，得，
所以，又由双曲线的定义有，
所以，得，
所以，
即，而，
所以，所以的周长为.故选：C.
8．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，
由，则，
不妨设在双曲线的右支上，设，，
又，
由双曲线的定义可得，
在中由余弦定理可得，，
即，解得，
所以.故选：D
题型3 双曲线中的距离和差的最值问题
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
9．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】9
【解析】设双曲线的右焦点为.
对于双曲线，可得，则.
因为点在双曲线的右支上，所以，即.
则.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，
可得，当且仅当，，三点共线时取等号.
已知，，根据两点间距离公式，可得.
所以，即的最小值为.
10．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义得，
所以的最小值为.故选：B.
11．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
【答案】C
【解析】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），
可得，．则．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，
则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即．
所以．
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．
所以的最小值为10．故选：C．
12．（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由双曲线的方程可得，焦点，
可得，
所以，
当，，三点共线时，最小，
因为直线和相互垂直，且和分别过定点和，
所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，
所以，
当三点共线且在和之间时最小，
所以的最小值为6，故选：A
题型4 双曲线标准方程的求解
待定系数法求双曲线标准方程
13．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ．
【答案】
【解析】由题可得，故，因为的一条渐近线方程为，
所以，即，故的方程为．
14．（2025·安徽蚌埠·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】设半焦距为，
因为，故，
故，而渐近线方程为，故，
而，故，故双曲线的标准方程为：.
15．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意设双曲线方程为，
由题意可知，
由于，，
故，解得，
故，
故双曲线方程为，故选：D
16．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，直线的倾斜角为，即，
取的中点，连接，由，得，，
，，
则，，
在中，，解得，
所以该双曲线的方程为.故选：A
题型5 双曲线标准方程的参数问题
由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
17．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】表示双曲线时，
等价于，解得或.
因为由可推出或，但是由或，不能推出，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.
18．（2025·湖北黄石·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ，
对于A，是充要条件，A不是；
对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是；
对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是；
对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是.故选：B
19．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立；
当时曲线表示焦点在轴上的双曲线，
故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.故选：A
20．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.故选：B
题型6 与双曲线有关的轨迹问题
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ．
21．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】设动圆的圆心坐标为，
圆心到直线：的距离为，
圆心到直线：的距离为，
又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，
所以，即，
化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线，故选：
22．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设点，由，
可得，即得点的轨迹方程为.故选：A.
23．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆，可得标准方程为，
所以圆心，半径为，
若圆上恰有三个点到直线的距离为，
则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即，
设，则，
代入，可得，
整理得，即点的轨迹方程为.故选：A.
24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设点，
易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直，
所以四边形为矩形，如下图所示：
依题意可知点在轴上方，即，且；
因此，
所以四边形的面积为，
即可得;
所以动点的轨迹方程为.
题型7 求双曲线离心率的值或范围
求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
25．（25-26高三上·北京·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】双曲线（，）的渐近线方程为，
因为一条渐近线的倾斜角的范围是，
所以，即，所以，
所以，即.
26．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知圆心，半径为，
双曲线的渐近线方程为，
的一条渐近线与圆没有公共点，则，解得，故选：A
27．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】取M为的中点，为右焦点，因为，
所以，所以，所以，
因为在上的投影向量的模为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以.故选：D.
28．（25-26高三上·天津河北·期中）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
过作轴，交轴于点，为等腰三角形，，
，为等腰三角形，，
，轴，，
，
是双曲线的左顶点，，，
点在过且斜率为的直线上，
，，，
在中，，，
，，
，，
，.故选：B.
题型8 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．
29．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线有两个不同的交点，
又直线过原点，则
则的取值范围是.故选：B．
30．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】直线与与双曲线只有一个公共点，
联立方程组，消去得，，
当，即时，直线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当，即时，，
此时直线与双曲线恒有两个不同的交点；
当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点，
由能推出直线与双曲线只有一个公共点，
反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出，
“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A.
31．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，
故有，即，，
所以，所以.
所以的范围为.故选：C
32．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程．
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）由题意知该双曲线焦点在x轴上，故设其方程为，
根据过知，又过，故有，解得，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况：
当直线l与双曲线的一条渐近线平行时，设直线l的方程为，
此时三角形的面积为，解得，所以直线l的方程为；
当直线l与双曲线相切时，直线l的斜率显然存在，设其方程为，
联立，得，
所以且，即，
又因为三角形的面积为，解得（负根舍去），
所以，解得（正根舍去），
所以直线l的方程为；
综上，直线l的方程为或.
题型9 直线与双曲线相交弦长问题
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）．
33．（24-25高三上·江西上饶·月考）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的方程得，，直线的方程为①
将其代入双曲线方程消去得，，解之得，．
将，代入①，得，，
故．故选：C．
34．（24-25高三上·山东青岛·期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意知，，则.
若直线轴时，，代入方程，
解得，所以，此时直线不满足题意；
当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时，
设，，
，消去得，
则，
所以
，
又，所以，整理得，
得或，解得（舍去）或，
所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条.
综上，满足题意的直线有2条.故选：C
35．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ．
【答案】12
【解析】因为，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
所以
36．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足．
(1)求的方程；
(2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或．
【解析】（1）由题意，故．解得．
将代入得，所以，
故双曲线的方程为．
（2）过点的直线（与轴不重合），故设直线．
设，联立，整理得：，
且，
故，
故．
即，
则，
即，
解得或，即或：
故的方程为：或．
题型10 双曲线的中点弦问题
既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
37．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设弦端点，，
由，在双曲线上，
则，
两式做差可得，即，
又弦被点平分，
则，代入上式可得，则，
即直线方程为，化简可得，故选：D.
38．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，
则，两式相减得，
，即，即，
所以双曲线的渐近线方程为.故选：C
39．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，
则，①
，②
因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，
由得：中点坐标为，所以，
且.
①②可得，
则，
故选：D
40．（24-25高三上·江苏南通·调研测试）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的中点，
所以，
易知，
由点差法可得
，
若，此时，
与双曲线联立，
即与双曲线只有一个交点，故A错误；
若，则此时，
与双曲线联立，
即与双曲线有两个交点，故B正确；
若，则此时，
与双曲线联立，
即与双曲线有一个交点，故C错误；
若，则此时，
与双曲线联立，显然无解，
即与双曲线没有交点，故D错误；故选：B
题型11 双曲线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
41．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有.
(1)求的离心率；
(2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点.
【答案】(1)；(2)过定点，证明见解析
【解析】（1）设，则，
当直线的倾斜角为时，，所以，故的横坐标为，
代入的方程，得，则，则，
因，则，即，解得（负值舍去），
故的离心率为.
（2）由（1）可知，，
因直线不与轴平行，故设直线，设，
联立，得，
则，
因为，且是线段的中点，则，
所以，即，
因，，
所以，
即，
即
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足，则过定点，
则直线过定点.
42．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)直线过定点．
【解析】（1）由已知，，则．
因为，则，所以，从而．
所以双曲线的方程是．
（2）
设直线，代入，得，
即．
设点，则．
如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称，
猜想：定点在轴上．
设点，由题设，点，则．
因为向量与共线，则，
即，
即．所以，即．
因为为可变量，则，所以直线过定点．
43．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定点坐标为
【解析】（1）由题知，，且，，得，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，则由，得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在，
设直线AB：，代入双曲线方程，
化简得，
设，则，，，，
则，
整理得，
所以，
整理得，即，所以或．
当时，直线AB的方程为，经过y轴上的定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意．
综上，直线AB与y轴的交点为定点，且定点坐标为．
44．（2025·江西新余·模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C：经过．斜率为的直线与C交于两点，为C的左焦点．
(1)求C的方程；
(2)若以为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)直线、分别与C交于点，求证：直线过定点．
【答案】(1)；(2)或；(3)证明见解析.
【解析】（1）由双曲线C：经过，得，由离心率为2，得半焦距，则，
所以双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为，由消去得，
，设，
则，，
由以为直径的圆与轴相切，得，
即，解得，所以的方程为或.
（3）当直线不过双曲线的顶点时，直线都不垂直于轴，
设直线的方程分别为，
由消去得，则，
则，，
即点，同理得点，
因此直线的方程为，
整理得：，
即，
又，，，
因此直线：，即，
由，解得，即直线过定点，
当直线过顶点时，直线，不妨令，由（2）得，
直线，而，直线过点，
当直线过顶点时，直线，不妨令，由（2）得，
直线，由解得，而，
直线过点，
所以直线过定点.
题型12 双曲线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
45．（2025·山西·三模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析，定值1
【解析】（1）由已知可得，所以，
又因为，得①；
将点代入双曲线方程，得②，
联立①②得，所以，
所以双曲线方程为：．
（2）由（1）得双曲线渐近线方程为，，
设，则，，
联立和，解得交点，
则平行线和之间的距离，
则平行四边形的面积
，
由于在双曲线上，则，所以，
所以平行四边形的面积为定值1.
46．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，在双曲线E上，
所以，故，所以E的标准方程为．
（2）如图：
设直线l：，由
得，①
所以，因为直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，
所以，且，故，
设圆P：，，由，
得，②
由双曲线的右顶点D在圆上得，
由①②得.
由，可得③
由，可得④
所以3④③可得，即．
47．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由右顶点为，得，
其焦距为得，所以，
所以双曲线的方程为：；
（2）证明：如图所示：
设过点的直线的方程为：，
联立双曲线方程：，
化简得：，
因直线与双曲线右支相交于两个不同点，
连接分别交直线于两点，
所以，设，
则，
当时，因为三点共线，
所以，则，
同理，，
，
其中，
，
将，
代入得： ，
又，
将，
代入得：，
，
所以为定值1．
48．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足.
(1)求双曲线方程；
(2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，，
故，
将代入，
故双曲线方程为.
（2）设，则，
而，故.
设：代入椭圆方程得：，
，
其中，
过A作ST平行线交椭圆于G，H，由对称性可知：，
故将中的k换为，即得，
故，
∴.
原命题得证.
题型13 双曲线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
49．（24-25高三下·河南·月考）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
【答案】(1)2；(2).
【解析】（1）设，由对称性不妨设，由，
有，可得，
又由，
有
又由，有，
有，
又由，有，
又由，有，可得，
故双曲线的离心率为2.
（2）由（1）可知双曲线的方程为，代入点的坐标，
有，可得，
设，
由双曲线的渐近线的倾斜角及双曲线的图像和性质，可得，
又由，在中，由正弦定理，有，
有，
有
，
由，有，有，
可得的取值范围为．
50．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意可得，
则直线的斜率，直线的斜率．
因为直线的斜率之积为3，所以，解得．
因为点在双曲线上，所以，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线
联立整理得
则
所以．
因为，所以，
所以
即
化简得，故．
由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离．
因为，所以，所以，
即点到直线的距离的最大值是．
51．（24-25高三下·江苏·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为，，所以，
将点代入方程，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，
当的斜率为0时，
因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点；
设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为，
联立，
整理可得，
故，
故即即故，
又，即，
则，
同理可得，
因为为等腰直角三角形，所以，
所以，平方可得，
因为，所以.
，
令，，则，
令，，则，，
当时，，当时，,
所以在上单调递增，上单调递减，所以，
所以，当且仅当时取等号，
当时，由可得，无解，
同理可得时无解，
故时，，所以面积的最小值为.
52．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左 右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，双曲线，其中，
因为为等腰三角形，点在第一象限，
所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，，
所以P点在以为圆心、3为半径的圆上，
设，其中，则有，解得，即.
（2）由题意的斜率不为0，设直线，
设点，则
联立得
由已知二次项系数，且， 即，
所以，
则
即.
代入得，
即，
化简得，即，所以
因为，代入，得，
所以所以，
综上，
题型14 双曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
53．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上，
(1)求的方程；
(2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析，直线的倾斜角为定值
【解析】（1）由题意有，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设
所以，
所以，
由韦达定理有：，
又因为的平分线与轴垂直，所以，
即，所以，即，
所以，
即，所以或，
当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意，
所以，设倾斜角为，即，，
即直线的倾斜角为定值.
54．（2025·福建福州·模拟预测）已知，是焦点在轴的双曲线上两点，，为的左、右焦点，，是以为底边的等腰三角形．
(1)求的离心率；
(2)设过且与的左、右两支均相交的直线斜率为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）
设双曲线，焦距为，延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性知，四边形为平行四边形，
设，则，，可得，即，
所以，则，，
即，所以，
在中，由勾股定理得，
即，解得离心率．
（2）解法一：设过且与的左、右两支均相交的直线为，
显然当的斜率不存在时，直线仅与双曲线的右支相交，不满足题意．
故可设直线的方程为，
由双曲线的方程可得其渐近线方程为，
由双曲线性质可知，若直线与双曲线的左、右两支都相交，则，
整理得，又，所以，
由（1）知，所以，且，所以．
解法二：设过且与的左、右两支均相交的直线为，
显然当的斜率不存在时，直线仅与双曲线的右支相交，不满足题意．
故可设直线的方程为，设与交于，，
联立方程，化简得，
由韦达定理得，
要使与的左、右两支均相交，即使两交点位于轴异侧，
故，即，且，恒成立，
故，整理得，又，所以，
由（1）知，，且，所以．
55．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
【答案】(1)；(2)证明过程见解析.
【解析】（1）由题意可知，则，
又，则，故，
将点坐标代入曲线的方程中得，
又，解得（负值舍去），
则C的方程为
（2）由题意可知直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立得，，
设，
则，得且，
若直线与双曲线的两支相交，则，则，
则
，则为钝角；
若直线与双曲线的一支相交，由于双曲线的对称性，
不妨设直线与双曲线的左支相交，且在点上方，设，
因，
则，则为锐角，
则为钝角，
综上可知，始终为钝角三角形.
56．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【解析】（1）因为圆与恰有两个交点，
由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点，
所以，
又，所以，故，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）由（1）知，,
设过的直线方程为，，如图，
由，可得，
，其中，
，
，
，为圆的一条直径，
三点共线.
（ii）不妨设直线，其中，
由（i）可知，
由，可得，解得,
故可得，即，
，
直线，
由，可解得，
点在定直线上.
题型15 双曲线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
57．（2025·广东广州·三模）已知双曲线．
(1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
(2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在定点，使得，此时
【解析】（1）设，
则，作差可得，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
即.
（2）假设存在定点，使得.
设，焦点，
因为，所以，
即，化简可得，
又点在双曲线上，所以，
代入上式可得，
整理可得，因为对于恒成立，
所以且，解得.
当时，代入双曲线方程可得，
显然，此时为等腰直角三角形，也成立，
综上，.
58．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）由题意，
在椭圆：中，离心率为，
在双曲线C：中，离心率为，
∵，
∴，解得．
（2）由题意及（1）得，
因为，所以：，
对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，
设，，
∴直线方程为，
联立消去y得，
由，解得，
故，
∴，
，
设直线AB中点为，
则，，
又点P在直线l上，所以，则，
又因为，，
所以，
∵，
∴，解得且，
∴．
59．（25-26高三上·安徽合肥·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求a，b.
(2)求的取值范围.
(3)设点M，N满足，是否存在常数，使得a，b变化时，为定值？若存在，求出以及该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)存在，，定值
【解析】（1）由余弦定理可得，
因为，
所以，解得，
所以.
（2）由余弦定理可得.
由，可得，所以.
所以，
又，所以的取值范围是.
（3）存在，且，定值为，理由如下：
如图，以AB的中点为坐标原点，直线AB为轴建立平面直角坐标系，
则，
因为，则，,
则，
因，则点在以为焦点且靠近点的双曲线的一支上，
设双曲线方程为，则，，得，
则双曲线方程为，
设，则,
则，
所以，
要使上式为定值，则需，又，所以.
此时.
60．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为．
(1)若，求点到的渐近线的距离；
(2)证明：；
(3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)不存在，原因见解析
【解析】（1）若，双曲线，
所以，得，所以双曲线，
渐近线方程为，即，
直线与轴的交点，
点到渐近线的距离为．
（2）联立，得，即，
所以，且，，，
，
所以，令，得，即，
所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以．
（3）由（2）知,，
所以PQ的中点为，
所以PQ的中垂线方程为，
令，因为，所以，则，
将代入，得，
令，对称轴为，
①当，即时，
，
此时方程无解；
②当，即时，由，得，又，故，
，
此时方程无解；
综上，E的右支上不存在点M使得．专题03 双曲线及其应用
题型1 对双曲线定义的理解及应用
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题．
1．（2025·广东佛山·三模）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
2．（2025·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，离心率e为，圆与E在第一象限的交点为A，且，则 ．
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为上一点，的两条渐近线方程为，若，则（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．2或14
4．（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
题型2 双曲线的焦点三角形
求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
5．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．20 D．18
7．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左 右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一 三象限的交点分别为，则的周长为（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
题型3 双曲线中的距离和差的最值问题
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
9．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ．
10．（2025·河北石家庄·一模）设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
12．（2025·广东珠海·模拟预测）点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型4 双曲线标准方程的求解
待定系数法求双曲线标准方程
13．（2025·安徽·三模）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且的两顶点之间的距离为4．则的方程为 ．
14．（2025·安徽蚌埠·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为 ．
15．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·天津·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型5 双曲线标准方程的参数问题
由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
17．（2025·新疆·模拟预测）“”是 “方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2025·湖北黄石·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型6 与双曲线有关的轨迹问题
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义． ．
21．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
22．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ．
题型7 求双曲线离心率的值或范围
求双曲线离心率的常用方法 （1）利用求：若可求得，则直接利用得解； （2）利用求：若已知，则直接利用得解； （3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
25．（25-26高三上·北京·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角的范围是，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
26．（24-25高三下·山东聊城·月考）已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆没有公共点，则双曲线的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
27．（25-26高三上·天津·期中）设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C．5 D．
28．（25-26高三上·天津河北·期中）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
题型8 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．
29．（2025·江苏·一模）若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
31．（2025·广西柳州·三模）已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过，两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l与双曲线C有且只有一个公共点，且l与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程．
题型9 直线与双曲线相交弦长问题
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况． 弦长公式：或（）．
33．（24-25高三上·江西上饶·月考）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25高三上·山东青岛·期末）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条
A．4 B．3 C．2 D．1
35．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ．
36．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足．
(1)求的方程；
(2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程．
题型10 双曲线的中点弦问题
既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
37．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
38．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
39．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．（24-25高三上·江苏南通·调研测试）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A． B． C． D．
题型11 双曲线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
41．（2025·河南·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，在中，边的中点为.当直线的倾斜角为时，有.
(1)求的离心率；
(2)若直线不与轴平行，且，证明：直线过定点.
42．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
43．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，点P（2，1）是C上一点，过点P作斜率分别为，的两条直线，，且直线与C交于另一点A，直线与C交于另一点B．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若，证明：直线AB与y轴的交点为定点，并求出定点坐标．
44．（2025·江西新余·模拟预测）如图：在平面直角坐标系中，离心率为2的双曲线C：经过．斜率为的直线与C交于两点，为C的左焦点．
(1)求C的方程；
(2)若以为直径的圆与轴相切，求的方程；
(3)直线、分别与C交于点，求证：直线过定点．
题型12 双曲线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
45．（2025·山西·三模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过双曲线右支上一动点分别作两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于，，为坐标原点，证明：平行四边形的面积为定值，并求出该定值．
46．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点D为双曲线E：的右顶点，，在双曲线上.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点且斜率为的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为，证明：为定值.
47．（2025·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值．
48．（24-25高三上·河北·期末）双曲线，左、右顶点分别为A，B，曲线上有点，满足.
(1)求双曲线方程；
(2)Q是双曲线上的动点，QA，QB分别交椭圆于点E，N，S，T，证明：为定值.
题型13 双曲线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
49．（24-25高三下·河南·月考）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，双曲线的右支上任意一点都使得.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若点在双曲线上，且点不在坐标轴上，求的取值范围.
50．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值．
51．（24-25高三下·江苏·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值.
52．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左 右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
题型14 双曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
53．（2025·山东济宁·二模）已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上，
(1)求的方程；
(2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值.
54．（2025·福建福州·模拟预测）已知，是焦点在轴的双曲线上两点，，为的左、右焦点，，是以为底边的等腰三角形．
(1)求的离心率；
(2)设过且与的左、右两支均相交的直线斜率为，证明：．
55．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
56．（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点.
(1)求的方程；
(2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于.
（i）证明：三点共线；
（ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上.
题型15 双曲线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
57．（2025·广东广州·三模）已知双曲线．
(1)若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程；
(2)若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
58．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
59．（25-26高三上·安徽合肥·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求a，b.
(2)求的取值范围.
(3)设点M，N满足，是否存在常数，使得a，b变化时，为定值？若存在，求出以及该定值；若不存在，请说明理由.
60．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知双曲线的右焦点为，点是与直线的公共点，直线分别与直线轴交于点，直线与轴交于点，记的面积分别为．
(1)若，求点到的渐近线的距离；
(2)证明：；
(3)的右支上是否存在点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

展开更多......

收起↑