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专题03 双曲线及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】双曲线的定义 【知能解读02】双曲线的标准方程与几何性质 【知能解读03】直线与双曲线的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】双曲线中的定点问题 【重难点突破02】双曲线中的定值问题 【重难点突破03】双曲线中的最值或范围问题 【重难点突破04】双曲线中的证明问题 【重难点突破05】双曲线中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】定义应用时忽略“绝对值”致错 【易混易错02】忽略双曲线方程“标准”的前提致错 【易混易错03】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】对双曲线定义的理解及应用 【方法技巧02】双曲线的焦点三角形问题 【方法技巧03】双曲线中线段和差的最值问题 【方法技巧04】双曲线标准方程的求解 【方法技巧05】双曲线方程的参数问题 【方法技巧06】与双曲线有关的轨迹问题 【方法技巧07】求双曲线离心率的值或范围 【方法技巧08】直线与双曲线的位置关系 【方法技巧09】直线与双曲线相交弦长问题 【方法技巧10】双曲线的中点弦问题
01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
3、对双曲线定义的理解
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
【真题实战】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（ ）
A．恒为定值 B．恒为定值
C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值
02 双曲线的标准方程与几何性质
1、双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴 焦点在轴
图形
标准方程
焦点坐标 、 、
的关系
2、双曲线的简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
03 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系
将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，
（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
3、中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【真题实战】（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
01 双曲线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
【典例2】（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 .
(1)求的方程；
(2)证明：直线MH过定点.
02 双曲线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，
(1)求动点的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．
03 双曲线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
【典例2】（2025·山东·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
(1)求的方程;
(2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值.
04 双曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线.
【典例2】（25-26高三上·广东·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的两条渐近线将圆分为四段弧长分别为的圆弧.
(1)求与的方程；
(2)过上一动点作的切线交于不同的两点，证明：.
05 双曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2025·江苏·一模）已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且．
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2025·陕西宝鸡·三模）已知双曲线过点且一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
01 定义应用时忽略“绝对值”致错
辨析：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于”，若漏掉“绝对值”，轨迹会变成双曲线的一支，而非完整双曲线．
【典例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线
【典例2】（25-26高三上·四川成都·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
02 忽略双曲线方程“标准”的前提致错
辨析：遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来计算，导致位置偏差．
【典例1】（2025·河南·三模）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ．
【典例2】（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
03 与直线联立求解时漏判特殊情况致错
辨析：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时方程退化为一元一次方程，仅有一个交点（并非相切，而是“相交于一点”），容易误判为相切或无交点．
【典例1】（2025·福建·模拟预测）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 .
【典例2】（25-26高三上·四川·月考）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
01 对双曲线定义的理解及应用
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步．
第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；
第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；
第三步：结合定义解决典型问题．
【典例1】（25-26高三上·贵州·月考）设是双曲线上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ．
【典例2】（2025·甘肃·一模）已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
02 双曲线的焦点三角形问题
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积．
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
【典例1】（25-26高三上·贵州·月考）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ．
【典例2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ．
03 双曲线中线段和差的最值
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
【典例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 .
【典例2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
04 双曲线标准方程的求解
待定系数法求双曲线标准方程
【典例1】（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·湖北十堰·三模）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
05 双曲线方程的参数问题
由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
【典例1】（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（25-26高三上·江西·月考）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
06 与双曲线有关的轨迹问题
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义．
【典例1】（24-25高三上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（25-26高三上·河南南阳·月考）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．7 B．
C．. D．
07 求双曲线离心率的值或范围
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为 .
【典例2】（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ．
08 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．
【典例1】（24-25高三下·北京朝阳·月考）若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为 .
【典例2】（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ．
09 直线与双曲线相交弦长问题
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．
弦长公式：或（）．
【典例1】（24-25高三下·湖北·月考）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.
10 双曲线的中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【典例1】（24-25高三下·河北秦皇岛·五调）已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ．
【典例2】（24-25高三上·天津·月考）若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．专题03 双曲线及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】双曲线的定义 【知能解读02】双曲线的标准方程与几何性质 【知能解读03】直线与双曲线的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】双曲线中的定点问题 【重难点突破02】双曲线中的定值问题 【重难点突破03】双曲线中的最值或范围问题 【重难点突破04】双曲线中的证明问题 【重难点突破05】双曲线中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】定义应用时忽略“绝对值”致错 【易混易错02】忽略双曲线方程“标准”的前提致错 【易混易错03】与直线联立求解时漏判特殊情况致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】对双曲线定义的理解及应用 【方法技巧02】双曲线的焦点三角形问题 【方法技巧03】双曲线中线段和差的最值问题 【方法技巧04】双曲线标准方程的求解 【方法技巧05】双曲线方程的参数问题 【方法技巧06】与双曲线有关的轨迹问题 【方法技巧07】求双曲线离心率的值或范围 【方法技巧08】直线与双曲线的位置关系 【方法技巧09】直线与双曲线相交弦长问题 【方法技巧10】双曲线的中点弦问题
01 双曲线的定义
1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．
2、双曲线的集合表示：．
3、对双曲线定义的理解
（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：
（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
（2）若常数满足约束条件：，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
【真题实战】（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（ ）
A．恒为定值 B．恒为定值
C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值
【答案】A
【解析】不妨设点，且易有，，
且，，
代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为
，
由于P为双曲线C上一点，故
等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2，
故原式等价于，为定值.故选：A.
02 双曲线的标准方程与几何性质
1、双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在轴 焦点在轴
图形
标准方程
焦点坐标 、 、
的关系
2、双曲线的简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：； 半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，
由题知，，
于是，
则，即.故选：D
03 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系
将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，
（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
3、中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【真题实战】（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由直线与轴垂直时，，故，故，
又离心率为，则，所以，
双曲线的方程为：.
（2）设直线l的方程是，，.
由得，
，.
因为，所以，从而.
所以，，消去得，解得，
它满足，.
,
故到直线的距离为，
所以，
由于，所以,
01 双曲线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：的离心率为2，其右焦点F到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于不同的两点A，B，且以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
所以右焦点为到渐近线的距离为，
因为双曲线的离心率为，所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）如图，
设，，
联立，得，
则，，，
所以，
，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
所以，即，
所以，
化简得，即，
因为，，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.
【典例2】（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线左顶点到其渐近线的距离为 .过右焦点F的直线分别交双曲线的左，右两支及直线 于三点，过N作平行于轴的直线交直线于点G，点G满足 .
(1)求的方程；
(2)证明：直线MH过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为C的一条渐近线方程为，
所以点A到渐近线的距离为，
所以，所以双曲线C的方程是 .
（2）由题意双曲线C的右焦点，直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，
因为直线与双曲线左，右两支分别交于两点，
所以，
设，将直线的方程代入中，
得到，
则，，所以，
直线的方程，又直线 ，联立可得，
所以直线的方程为 ，
又直线的方程是，联立可得 ，
又，所以H的坐标是，
所以直线的方程是：
令，由，，
得，
所以直线过定点.
02 双曲线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别是，，双曲线上一点满足，且点到的一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若，是上关于原点对称的两点，且点不与，重合，设直线，的斜率存在且分别为，，求的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设双曲线的半焦距为，
由双曲线的定义可知，即，
又点到渐近线的距离为，故，
双曲线的方程为；
（2）
设，，，
易知，，
.
又，，
，，
，
由（1）可知，
.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，
(1)求动点的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意得，则可得，
将上式两边平方，得，
整理得，所以，
所以
（2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，
与双曲线方程联立，消去，可得，
整理得，
所以且，
解得，代入，得，
所以切线方程为，
与联立得，与联立得，
故.
03 双曲线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
【典例2】（2025·山东·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.点在的右支上，当轴时，.
(1)求的方程;
(2)若直线与的右支的另一个交点为，求面积的最小值.
【答案】(1)；(2)12
【解析】（1）由题知 ，
又 轴时，有代入方程解得，，
则双曲线的方程为： ；
（2）设直线方程为，
，消去得，
则，
所以，
，
因为，
令，则，得
设，则该函数在上单调递减，则，
故，，即面积的最小值为12.
04 双曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线的中心为坐标原点，过点，其中一条渐近线的方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于、两点.直线与直线交于点，证明：三点共线.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知且，
所以，所以的方程为.
（2）由题意知，，
当直线的斜率为时，：，此时三点共线显然成立，
当直线的斜率不为时，设：，，，
联立可得，
由题意得，
，
所以，，
因为直线的方程为，
令，得，所以，
所以，
因为，
所以
所以，故三点共线，
综上：三点共线.
【典例2】（25-26高三上·广东·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的两条渐近线将圆分为四段弧长分别为的圆弧.
(1)求与的方程；
(2)过上一动点作的切线交于不同的两点，证明：.
【答案】(1)双曲线：；圆：；(2)证明见解析
【解析】（1）圆的圆心为，半径为，
由题意可知：圆的周长为，解得，
所以圆的方程为；
因为四段弧长分别为的圆弧对应的圆心角分别为，
又因为双曲线的渐近线方程为，
可知渐近线的斜率为，倾斜角，
可得，即，，
所以双曲线的方程为.
（2）设，则，
若切线斜率不存在，设切线为，，
可知，，且，即，可得，
因为；
若切线斜率存在，设切线方程为，
则，可得，
联立方程，消去可得，
在的前提下可得，
则
；
综上所述：，所以.
05 双曲线中的探索性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2025·江苏·一模）已知点，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且．
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线交于两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）设点的坐标为，则，，
由题意可得，，化简得，
进而曲线的方程为．
（2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设，
由，得，
则，即，
设，，则，，
因为以为直径的圆经过原点，所以，则，
即，整理得，
，
设为点到直线的距离，则，所以，
又，所以．
（ⅱ）若直线的斜率不存在，则，
不妨设，则，代入方程，得，
所以，则，
综上，存在这样的直线与曲线交于，两点，
以为直径的圆经过坐标原点，且．
【典例2】（2025·陕西宝鸡·三模）已知双曲线过点且一条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，试问在轴上是否存在定点，使直线与直线关于轴对称，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为，
又双曲线过点，则代入得，
双曲线的方程为；
（2）
设，，
假设在轴上存在定点，使直线与直线关于轴对称.
由题意知，直线的斜率一定存在，则设其方程为，
联立方程组，消去得：，
由题意知，即，
又有，，
则，
，
，，
上式对恒成立，，
存在定点，使，即使直线与直线关于轴对称.
01 定义应用时忽略“绝对值”致错
辨析：双曲线的定义是“平面内与两焦点距离之差的绝对值等于”，若漏掉“绝对值”，轨迹会变成双曲线的一支，而非完整双曲线．
【典例1】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线
【答案】B
【解析】因为，，所以，
则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支.故选：B.
【典例2】（25-26高三上·四川成都·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.故选：B.
02 忽略双曲线方程“标准”的前提致错
辨析：遇到非标准形式时，直接套用顶点在原点的性质，忘记焦点、顶点等坐标需要结合“中心平移”来计算，导致位置偏差．
【典例1】（2025·河南·三模）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ．
【答案】4
【解析】双曲线的标准方程为，可知
由双曲线的对称性，不妨取上焦点与其中一条渐近线，即，
再由点到直线的距离公式可知焦点到其渐近线的距离，
【典例2】（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当表示双曲线时，均不为0.
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，
此时，,所以,所以
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，
此时，,所以,所以
当时，若则表示焦点在轴上的双曲线，
若则表示焦点在轴上的双曲线.
所以“”是“为双曲线方程”的充要条件．故选：C.
03 与直线联立求解时漏判特殊情况致错
辨析：联立双曲线与直线方程时，只关注一元二次方程的判别式，忽略直线与渐近线平行的情况——此时方程退化为一元一次方程，仅有一个交点（并非相切，而是“相交于一点”），容易误判为相切或无交点．
【典例1】（2025·福建·模拟预测）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 .
【答案】或
【解析】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，
此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点.
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，
则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
【典例2】（25-26高三上·四川·月考）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】联立方程，整理可得，
当时，即，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，解得；
所以直线与双曲线只有一个公共点时，或，
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A
01 对双曲线定义的理解及应用
紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步．
第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线；
第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况；
第三步：结合定义解决典型问题．
【典例1】（25-26高三上·贵州·月考）设是双曲线上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ．
【答案】
【解析】因为双曲线为，则，由双曲线的定义得，
若在左支上，则，此时，故；
若在右支上，则，这与矛盾，
故.
【典例2】（2025·甘肃·一模）已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以．
（1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示．
由，设，
则，由双曲线的定义知
，所以，
在中，，
在中，，
即，解得，
所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：．
（2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示．
由，得
与双曲线定义不符，故此种情况不成立．
综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为，故选：A．
02 双曲线的焦点三角形问题
求双曲线中的焦点三角形面积的方法
（1）①根据双曲线的定义求出；
②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出的值；
④利用公式求得面积．
（2）利用公式求得面积．
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．
【典例1】（25-26高三上·贵州·月考）已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ．
【答案】/
【解析】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距；
设，，由双曲线定义可知：，
在中，由余弦定理得，
，则，又，
，解得：，
点到轴的距离为.
【典例2】（2025·上海崇明·二模）已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，
如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，
则，得，
在中由余弦定理可得，
，即，
则由双曲线的定义可得，得，
则
03 双曲线中线段和差的最值
双曲线中线段和差的最值问题，核心是利用双曲线定义（距离差为定值）和几何性质（两点间线段最短、三角形三边关系）转化距离表达式，避免直接代数运算的繁琐，关键在于判断动点位置与双曲线支的对应关系．
【典例1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】双曲线的右焦点，
设的左焦点为，则，
因为是右支上一点，所以，
所以，
当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为.
【典例2】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，.
由题知，实轴长，
由双曲线定义知，，
则，
当P，D，三点共线时，取得最小值，
且最小值为.
04 双曲线标准方程的求解
待定系数法求双曲线标准方程
【典例1】（24-25高三下·江苏盐城·月考）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等轴双曲线可得： 且，
因为，所以，
又焦点在轴上，故得双曲线方程为：，故选：B．
【典例2】（2025·湖北十堰·三模）设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的实轴长为，所以，
因为双曲线的离心率为，所以，则，
所以，双曲线的方程为，
因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，
由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，则，所以，，
因此，椭圆的方程为.故选：D.
05 双曲线方程的参数问题
由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（2）对于方程，当时表示双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线；
当时表示焦点在轴上的双曲线．
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围．
【典例1】（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若为双曲线方程，则，解得或，
故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.故选：A
【典例2】（25-26高三上·江西·月考）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示双曲线，则满足，解得或，
所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.故选：A.
06 与双曲线有关的轨迹问题
与双曲线有关的轨迹问题，核心是根据已知条件（如距离关系、角度关系、位置约束等），推导满足双曲线定义或符合双曲线方程特征的动点轨迹．解题的关键在于“转化条件”——将几何约束转化为代数方程，或直接匹配双曲线的定义．
【典例1】（24-25高三上·云南·月考）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.故选：D
【典例2】（25-26高三上·河南南阳·月考）已知定点，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程是（ ）
A．7 B．
C．. D．
【答案】B
【解析】如图，当点在轴左侧时，连接，
由点关于点的对称点为，得是线段中点，
而点是线段的中点，则，
由为线段的垂直平分线，得，
于是，当点在轴右侧时，同理，
则，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，对应的方程为.故选：B
07 求双曲线离心率的值或范围
求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为 .
【答案】
【解析】因，且，
可得，
在直角中，因为，
所以，，
因，由双曲线的定义，可得，即，
即，所以双曲线的离心率为.
【典例2】（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【解析】关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称，
四边形是平行四边形，则，
，，
设点在左支，根据双曲线定义得：，
联立可得，
的三条边：，，
是锐角三角形，
的三个内角均为锐角，即
：，
则；
： ，
不等式恒成立；
：，
则，
双曲线的离心率的取值范围为：．
08 直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系问题，核心解题思路是“代数联立+判别式分析”结合“几何性质验证”，既要通过方程联立判断交点数量，也要结合双曲线的渐近线特性（避免漏判特殊情况），关键是区分“相交、相切、相离”的代数与几何标志．
【典例1】（24-25高三下·北京朝阳·月考）若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】对双曲线有，
故双曲线离心率为，
将代入双曲线方程得，
当时，有，此时直线为双曲线渐近线，不符合；
当时，因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，
所以方程即正根有且只有一个，
故（舍去）或，
故双曲线离心率.
故双曲线离心率的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）
【典例2】（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的左焦点为，
设过左焦点且斜率为的直线的方程为，
联立方程组，整理得，其中不等于，
设，且
则，则，
可得，即，
因为，所以，可得，解得，
又因为，所以.
09 直线与双曲线相交弦长问题
“先联立方程定交点，再用公式算弦长”，关键在于通过代数运算确定交点存在性，再结合韦达定理或两点间距离公式计算弦长，同时需注意双曲线渐近线带来的特殊情况．
弦长公式：或（）．
【典例1】（24-25高三下·湖北·月考）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
【答案】8
【解析】由双曲线，得，，
焦点为，倾斜角，
法一：直线斜率，直线方程为，
联立消得，，
由韦达定理知，
代入弦长公式，
得.
法二：.
【典例2】（25-26高三上·江苏·月考）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.
【答案】(1)；(2)或或
【解析】（1）因为双曲线过，离心率为，
所以，解得，所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，，
设，则，
所以，解得，
由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意.
综上所述，直线的方程为或或.
10 双曲线的中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解．
【典例1】（24-25高三下·河北秦皇岛·五调）已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设，，
因为，，由重心坐标公式得，，
所以弦的中点坐标为，，即．
又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则，
故，作差得，
将中点坐标代入得．
【典例2】（24-25高三上·天津·月考）若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线方程为，，
则，两式相减得，
所以，
为线段中点，则，，
又，
所以，即，
而是焦点，所以，，则，
经验证双曲线符合题意，
所以双曲线方程为，故选：B．

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