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专题03 向量线性运算与性质培优归类
题型1 向量夹角：坐标型
求平面向量夹角的方法（坐标型）： 坐标法：若非零向量、，则.
1．（24-25高三·上海·阶段练习）函数的图象（随着的增大）（ ）
A．先上升后下降 B．先下降后上升
C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降
【答案】A
【分析】化简函数得出几何意义，通过求解两个向量的夹角变化即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，
函数可改写为：，
其中为向量与的夹角。
下面对变化进行分析：
1.向量方向变化：
向量的分量随增大线性增长，在区间内从1下降到-1，整体方向趋近于轴正方向。
向量的方向角为
2.夹角的变化：
当从增加时，向量的方向角逐渐减小。
初始时，夹角逐渐减小，增大。
当时，达到最大值1；
此后，夹角增大，减小。
∴函数的图象先上升后下降，
故选：A.
2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
【答案】B
【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.
【详解】因为向量，，
所以，
又，所以，所以，
所以.
故选：B.
3．（2024·陕西·模拟预测）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积为负以及共线情况，即可求解.
【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反，
当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得，
故选：A
4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，可知，设的坐标为，根据向量的关系列方程求解即可．
【详解】由题意知，，设的坐标为,则,,,
因为，所以，即，又，
联立解得或，因为在第二象限，故只有满足，即.
故答案为B.
【点睛】本题考查了单位圆的性质，考查了向量的坐标表示，向量的数量积，考查了方程思想，属于基础题．
题型2 向量夹角：模与数量积型
求平面向量夹角的方法模长型）： 定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
1．（21-22高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案.
【详解】由题意作图如下，设，

故向量，
因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则
又因为，所以，则，
故向量与的夹角为的夹角，故为.
故选：C.
2．（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设，，则，由题意中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换整理化简后再由三角函数的性质求解即可.
【详解】设，，则，
因为，与的夹角为，
所以中，，，如图所示，
由正弦定理可得外接圆的半径为1，
则为圆上与不重合的动点.
设（），
由正弦定理可得，，，
则
，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为，
故选：B
3．（21-22高三 ·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与的夹角为，由，可得
，利用的范围可得答案.
【详解】如图所示，设与的夹角为，，所以，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以，，
又因为，所以
，
因为，所以，所以当时最大，
此时，最大的值为.
故选：A.
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题知，再根据向量的模长公式可得，接着利用二倍角公式化简可得，继而可得到值域.
【详解】，，
则，，
.
故选：C.
题型3 线性运算：“中点型”
“中点”型，也是“特殊定比分点型”，是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值.
【详解】因为，可得，
所以，
又因为，所以.
故选：D.
2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果.
【详解】依题意，设，
则，
又，且，不共线，则，
解得，即，则，，所以.
故选：C
3．（24-25高三·海南·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量加减法结合平面向量基本定理计算参数即可.
【详解】在中，是的中点，点满足，
因为，
则，所以.
故选：B.
4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ）

A．1 B． C． D．5
【答案】B
【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值.
【详解】因为，所以，
以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

如图所示，则，
设，则，，
由，所以，可得.
故选：B
题型4 线性运算：“定比分点型”
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则.
1．（23-24高三·广东广州·模拟）如图，在中，，点是的中点.设，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的线性运算可得结果.
【详解】由，可得，
故.
故选：A.
2．（24-25高三·山西临汾·模拟）如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得.
【详解】设，则
，
则有，解得.
故选：C.
3．（24-25高三·四川成都·模拟）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可.
【详解】由图知，
.
故选：D.
4．（24-25高三·河南郑州·阶段练习）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解.
【详解】在中， E是的中点，
则.
故选：D.
题型5 线性运算：内线交点型
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
1．（24-25高三·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合图形，利用重心的性质由向量的加法法则可得.
【详解】由题意可得为三角形重心，
所以
.
故选：D.
2．（22-23高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，进而可得，利用三点共线可求得，进而利用向量的线性运算可求得.
【详解】因为，所以，又因为三点共线，
所以设，又，所以，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以，
所以.
故选：C.
3．（24-25高三广东惠州·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据向量共线定理表示出，，从而求出，即可求得．
【详解】设，因为B，F，E共线，所以，
又，所以，
又因为，
所以，
解：，即，
所以，代入得，
解得，则有．
故选：B．
4．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，根据，可得，再利用向量相等得到方程组，求的值，再求，，即可．
【详解】因为，所以，
所以，
又，则
设，
设，
则，
所以，
又因为不共线，
所以，
故，
所以，所以．
故选：A.
题型6 线性运算：面积比值型
．
1．（21-22高三上·河南平顶山·阶段练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【分析】如图，分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到，由于正三角形，结合题目中的面积关系得到，，由面积之比，分所成的比，从而得出的值．
【详解】，
．
如图，，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，，
故，
在正三角形中，
，
，
且三角形与三角形的底边相等，面积之比为,
所以，得．
故选：B
2．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.
【详解】如图，延长交于点，
设，则，
因为共线，
所以，解得，
所以，，
则，
由，
得，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
3．（22-23高一下·安徽六安·阶段练习）所在平面上一点，满足且，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】取中点，连接，根据向量的运算法则可得，即，从而可得的面积与面积关系，即可得答案.
【详解】如图，取中点，连接
则，所以，故点到直线的距离等于2倍的点到直线的距离，
则.
故选：B.
4．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
【答案】B
【分析】利用三角形重心的性质及平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图所示
是的重心，
,
,
,
,
，即，
点为的中点，即点为边中线的两个三等分点，
，
，
故选：B.
题型7 线性运算：勾股弦图型
1．（24-25高三·江西赣州·阶段练习）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影数量为
【答案】C
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意，
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为，，所以在上的投影数量为，而，故D错误.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】设，建立如图所示的直角坐标系，结合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐标法即可得出结果.
【详解】设，则，，
建立如图所示平面直角坐标系，
由题可知，由，
所以，则.所以，，.
又，所以.
所以.即.
所以，..
又，所以，解得，所以，故选：B.
2．（21-22高一上·青海海南·期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得出，结合平面向量的线性运算可得出关于、的表达式.
【详解】因为在“赵爽弦图”中，若，
所以
，
所以，所以，所以.
故选：B.
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，则，则（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数乘、加减法运算可整理得到，化简整理可得的值，从而求得结果.
【详解】由知：，；
，
，，则，，.
故选：A.
【点睛】思路点睛；本题考查平面向量基本定理的应用，解题的基本思路是能够利用向量的加减法和数乘运算，利用基底表示出所求向量或构造出关于所求向量的方程，从而求得参数的值.
题型8 投影向量
a在b方向上的投影向量为：
1、．（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【答案】C
【分析】①根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故①错误；②利用向量共线定理可知，点C在线段AB上，再结合，可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为1，进而求出的最大值.
【详解】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；
设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以
，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.
故选：C
【点睛】向量投影的理解是很重要的，在出题中往往会画出图形来进行思考问题，利用几何法来解决问题，这道题目的突破口就是结合与，可得：点C在线段AB上且，进而得到最小值.
2．（24-25高三·河南信阳·阶段练习）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，为在方向上的投影向量，
所以，
则，，
设，
由题意可得，
则，，
则，
当且仅当，即时，取等号．
故选：C．
【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形.
3．（2025·安徽·模拟预测）向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A． B．6 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解.
【详解】设，，所以，
因为，所以，所以可设，，
与的夹角为，
若，，
则知，，
即，，，
则当最大时，最大，即最小，即此时，
当且仅当时成立.
故选：C
4．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可.
【详解】
设为轴正半轴上的单位向量，
令，，，
如图所示，设与的夹角为，若，
在中，由余弦定理有：则，
而，
所以，所以，
因为，所以，
有根据正弦定理有：，即，
整理有：，所以，
当与的夹角最大时，最大，取最小值，
因为，
当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于建立适当的平面直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，结合二次函数性质求值.
题型9 基底几何意义
1.（2010高三·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量， ，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．
【答案】
【详解】解：作
为中点，则在内，面积为
2．（23-24高三·上海·阶段练习）如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．

【答案】
【分析】借助向量加法的平行四边形法则，对进行分类讨论即可得.
【详解】当时，由向量加法的平行四边形法则可知，
点会位于射线与射线或的反向延长线上所围成的区域内，
（含射线，不含直线），此时，不符和题意，故舍去；
当时，若，则点会位于线段上，符合要求；
当时，若时，点会位于射线的反向延长线与射线所围成的区域内，
（不包括点），此时一定存在符合要求的，使点在阴影区域内，符合要求.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②正确,利用三点共线解得④正确
【详解】当时，，则在线段上，故，故①错
当是线段的中点时，
，故②对
为定值1时，，，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故③对
如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：；
又；，；
由图形看出，当与重合时：；
此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故④正确
所以选项②③④正确.
故选：C
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
4.（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：若在线段上，设，则有，所以,又由，则，所以，若点在线段上，设，则有，当时，最小值为，当时，最大值为，所以范围为，由于在中，分别是的中点，则，则，故由，当时有最小值，当时，有最大值，所以范围为，若点在边界上，则，故选C．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的应用，其中解答中涉及到平面向量的三角形法则，平面向量的基本定理等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据向量的数形结合的特征，利用向量的运算法则和平面向量的基本定理，得出的关系式是解答的关键，同时注意发挥向量的数形结合的优点．
题型10 模最值型
向量求模运算公式： 1.|a|＝＝ 2.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是的重心，，那么 ；若，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】通过向量的线性运算来求解和的值 进而得到的值；根据向量的数量积公式，求出的值，再利用向量模长公式以及均值不等式来求解的最小值即可.
【详解】设的中点为，是的重心，根据重心的性质可知
，又，，、，即.
，，，，
又，，
根据均值不等式，得，当且仅当时，等号成立，
，
那么，即的最小值是.
故答案为：，.
2．（24-25高三·四川成都·专题练习）已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据平面向量数量积的定义及运算律求得，进而结合向量三角不等式求解即可.
【详解】由题意，，
则，
所以，
当且仅当方向相反时等号成立，
则的最大值为.
故答案为：.
3．（24-25高三·河北·阶段练习）已知平面直角坐标系中两点关于轴对称，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据向量数乘运算，向量数量积运算的坐标表示，设出点的坐标，列出坐标的方程，当方程有解时，求出参数的范围，求出模长的最小值.
【详解】设点，则，，，可知，
由，可得，
则，，
因为与垂直，所以，化简得，
代入，得，
由题意知，
即，化简得，
令，则，
代入得，
整理得，
关于得一元二次方程，
由，得，代入得，
当时有解，即，解得，解得或，
由可得，即，即当，时，取得最小值为.
故答案为：.
4．（2025高三全国·专题练习）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【详解】设，则，
所以，解得，
因为，则，
，当且仅当时，等号成立，
的最小值为．
故答案为：.
题型11 数量积型范围最值
平面向量数量积公式有两种形式： 。 。 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2）求投影， 在 上的投影是； （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
1．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的几何意义，结合几何图形求出最小值.
【详解】要使取到最小值，则的夹角为钝角或平角，且它们的模尽可能的大，
因此点应在八边形边界上，由对称性不妨取点为点，
则点在直线上的投影在的延长线，
当点与重合时，在上的投影向量的模最大，且与方向相反，
此时取得最小值，，，
，
所以.
故答案为：
2．（24-25高三上海·阶段练习）在中，是所在平面内任意一点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法来计算向量的数量积，从而可求出最小值.
【详解】
如图建系，由可得，
设，则
，
当且仅当，取到最小值.
故答案为：.
3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已
（1）
（2）若点分别是边上的动点，则的最大值是 .
【答案】
【分析】先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算即可求解；设，，，，求出的坐标，由平面向量数量积的坐标运算，结合一次函数的最值的求法，即可求解．
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，所以，，
则.
设，，，，
因为，，，，
则，，
则，因为，则，
当且仅当，时取等号，即的最大值是
故答案为：，.
4．（24-25高三·山东青岛·阶段练习）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 .
【答案】
【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解.
【详解】延长AC，使得，
令可知B，G，D三点共线，
时为AG最小值，
在中，，得，
又因为，所以是等边三角形，所以，
在中，，
取NC中点为H，
，,
所以
所以.
即求的最小值，
当时，有最小值，
在中，，，
所以.
故答案为：
题型12 范围最值型：向量建系法
1．（24-25高三·山西临汾·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
【答案】 2
【分析】利用正弦定理直接求解第一空，合理作出图形，建立平面直角坐标系，利用外心的性质求出关键点的坐标，将目标式表示出来，最后利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【详解】由正弦定理得，解得，，
则，
如图，取中点，连接，因为的外接圆的圆心是，所以，以为原点建立平面直角坐标系，
则，，，则边上的中垂线方程为，
由斜率公式得，则的方程为，
由中点坐标公式得的中点坐标为，
故边上的中垂线方程为，
设，代入方程中，得到，
解得，则，
故，，，
则，故，
在中，由余弦定理得，
则，解得，
故，
由重要不等式得，当且仅当时取等，
则，解得，
则，故，即其最大值为，
故答案为：2；
2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则 ．（注：）

【答案】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，分别表示出的坐标，再由相似表示出的坐标，结合向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】

建立如图所示平面直角坐标系，则，
由是边的两个三等分点，可得，即，
则，即，
则，，
则，
，
结合图像可知，且，
则，同理可得，
则，
，
且，，
则，同理可得，
则，
，
则，
，
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的数量积运算，难度较大，解答本题的关键在于建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算解答.
2．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】设向量的始点为原点，终点分别为，取，得到点在直线上，设，可得点的轨迹方程为，再根据椭圆的定义可得结果.
【详解】已知，，，，设，，，由得点在直线上.
这是因为在平面直角坐标系中，直线上所有点的横坐标都为，所以点的横坐标为.
因为对于任意的向量，均有的最小值为，.
在平面直角坐标系中，向量，，所以点到直线的距离为.
根据椭圆的第二定义，点的轨迹是以为右焦点，为右准线的椭圆，其方程为.
设为椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，所以，则.
所以.
根据三角形三边关系，计算.
所以的取值范围是.
故答案为：
3．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示相应向量，根据三角换元、辅助角公式及三角函数的有界性计算即可.
【详解】根据条件可知该四边形为直角梯形，如下图所示，建立平面直角坐标系，
则，
因为，
所以，且，
易知，
利用三角换元，可设，
则，
其中，
显然，则，
所以.
故答案为：
结束专题03 向量线性运算与性质培优归类
题型1 向量夹角：坐标型
求平面向量夹角的方法（坐标型）： 坐标法：若非零向量、，则.
1．（24-25高三·上海·阶段练习）函数的图象（随着的增大）（ ）
A．先上升后下降 B．先下降后上升
C．先上升后下降再上升 D．先下降后上升再下降
2．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，，则（ ）
A．30° B．150° C．60° D．120°
3．（2024·陕西·模拟预测）若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）圆：与轴正半轴交点为，圆上的点，分别位于第一、二象限，并且，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
题型2 向量夹角：模与数量积型
求平面向量夹角的方法模长型）： 定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
1．（21-22高一下·全国·单元测试）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·吉林松原·期末）设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（21-22高三 ·河南南阳·阶段练习）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当最大时，与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知，，，，则函数的值域是（ ）
A． B．
C． D．
题型3 线性运算：“中点型”
“中点”型，也是“特殊定比分点型”，是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）如图，在梯形中，点在线段上，．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（24-25高三·海南·阶段练习）如图，在中，是的中点，点满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·湖北孝感·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（ ）

A．1 B． C． D．5
题型4 线性运算：“定比分点型”
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则.
1．（23-24高三·广东广州·模拟）如图，在中，，点是的中点.设，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三·山西临汾·模拟）如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·四川成都·模拟）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三·河南郑州·阶段练习）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5 线性运算：内线交点型
向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得. 变形形式：已知直线上三点、、，为直线外任一点，有且只有一个实数，使得：. 特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“”，否则可能不存在，也可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.
1．（24-25高三·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三广东惠州·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）如图，点D、E分别在的边BC、AC上.且，，BE与AD交于点M，若，则（ ）
A． B．
C． D．
题型6 线性运算：面积比值型
．
1．（21-22高三上·河南平顶山·阶段练习）已知点为正所在平面上一点，且满足，若的面积与的面积比值为，则的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
2．（22-23高一上·辽宁沈阳·期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B．3 C． D．
3．（22-23高一下·安徽六安·阶段练习）所在平面上一点，满足且，若的面积为4，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（ ）
A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:2
题型7 线性运算：勾股弦图型
1．（24-25高三·江西赣州·阶段练习）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影数量为
2．（2025高三·全国·专题练习）赵爽是我国古代数学家，大约在222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出（ ）
A． B． C．0 D．
2．（21-22高一上·青海海南·期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中利用“赵爽弦图”巧妙的证明了勾股定理，该图形是以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，则，则（ ）．

A． B． C． D．
题型8 投影向量
a在b方向上的投影向量为：
1、．（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（ ）
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
2．（24-25高三·河南信阳·阶段练习）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·模拟预测）向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（ ）
A． B．6 C．12 D．16
4．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8 B．5 C． D．
题型9 基底几何意义
1.（2010高三·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量， ，若且，则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．
2．（23-24高三·上海·阶段练习）如图，点P是线段OB及AB的延长线、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则x的取值范围是 ．

3.（20-21高一上·江西宜春·期末）如图，B是的中点，，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）
①当时，
②当P是线段的中点时，，
③若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段
④的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，若，且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是
A． B． C． D．
题型10 模最值型
向量求模运算公式： 1.|a|＝＝ 2.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是的重心，，那么 ；若，，则的最小值是 .
2．（24-25高三·四川成都·专题练习）已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
3．（24-25高三·河北·阶段练习）已知平面直角坐标系中两点关于轴对称，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ．
4．（2025高三全国·专题练习）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是 .
题型11 数量积型范围最值
平面向量数量积公式有两种形式： 。 。 主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）； （2）求投影， 在 上的投影是； （3）向量垂直，则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
1．（24-25高一下·上海宝山·期末）如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形.若点、在八边形的内部（含边界），则的最小值为 .
2．（24-25高三上海·阶段练习）在中，是所在平面内任意一点，则的最小值是 ．
3．（24-25高一下·北京·期中）梯形中，已
（1）
（2）若点分别是边上的动点，则的最大值是 .
4．（24-25高三·山东青岛·阶段练习）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 .
题型12 范围最值型：向量建系法
1．（24-25高三·山西临汾·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 ；的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则 ．（注：）

2．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若对于任意的向量，均有的最小值为，则的取值范围是 ．
3．（24-25高一下·四川·期中）在平面四边形中，，，则的取值范围为 ．
结束

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