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专题03 外接、内切各类球培优归类
题型1 外接球模型：基础思维
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 特殊形式对应正方体，正方体棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
1．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三下·江西·阶段练习）已知球是正三棱锥的外接球，D是的中点，且，侧棱，则球O的表面积为（ ）
A．12 B．8 C．32 D．48
题型2 外接球模型：对棱补形
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
1．（23=24高三·安徽阶段练习）如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长都为2，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近的四等分点，过点作平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
题型3 外接球模型：线面垂直型
线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 线面垂直型满足条件： 线面垂直； 面可以是任何多边形，多边形外接圆半径，都可以借助多边形上任意三定点所构成的三角形，借助正弦定理来计算（等腰或者等比可以用特殊法计算） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式
1．（21-22高三·广西南宁·阶段练习）已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为 ，异面直线，所成角的余弦值为 .
2．（2022·安徽·模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，E为的中点，若四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的余弦值为 .
3．（24-25高三·广东佛山·阶段练习）已知四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球表面积为 ．
4．（2020·河南·模拟预测）三棱锥中，平面，，为正三角形，，则三棱锥外接球表面积为 .
题型4 外接球模型：面面垂直型
面面垂直型基本图形 1.面面垂直型基础模图： 面面垂直型基础空间位置关系 垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 一般情况下，俩面是特殊三角形。
1．（20-21高一下·福建·期中）在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·福建宁德·阶段练习）如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
题型5 特殊三角形双线定心型
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
1．（2023·江苏南通·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高三上·山西太原·阶段练习）已知三棱锥中，，，的中点为E，DE的中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知直三棱柱中，，是边长为的正三角形，点是的中心，则三棱锥外接球球面与侧面的交线所对圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型6 二面角型外接球
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
1．（21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山西临汾·二模）在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A． B．3 C． D．
4．（22-23高三上·全国·专题练习）四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
题型7 动点翻折型外接球
1．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川·三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8 B．4 C． D．2
题型8 特殊几何体：四棱锥型
锥体求外接球 （1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； (2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）； (3)：勾股定理：，解出
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川·模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥中，，，点为四棱锥外接球球面上一点，且点，不在平面的同一侧，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．36
题型9 特殊几何体：圆锥型
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球。 圆锥外接球模型 圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
1．（22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8 B． C． D．2
2．（22-23高三上·广东东莞·期末）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A． B． C． D．
3．（2024河南洛阳·模拟）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
4．（24-25高三·广东清远·期末）如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为 .
题型10 特殊几何体：棱台型
正棱台外接球，以棱轴截面为主。 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
4．（22-23高三上·浙江绍兴·期末）如图，正四棱台，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ．
题型11 特殊几何体：圆台型
圆台外接圆模型 圆台外接球，即轴截面题型外接圆
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上 下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为 .
题型12 特殊几何体：不规则型
1．（2023·天津·一模）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高一下·新疆伊犁·期末）在六面体中，已知四边形与都是矩形，平面平面，它们之间的距离为1，，，，，若六面体有外接球，则该六面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
4．（2023·陕西西安·模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
题型13 内切球
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解 三角形内切圆 类比：三棱锥
1．（24-25高三·福建福州·阶段练习）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B．9 C． D．
2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

B． C． D．
题型14 棱切球
1．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·模拟）点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江金华·模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
4．（23-24高三·黑龙江·阶段练习）点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是△ACD1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是 .
题型15 外接球、内切球与棱切球综合
1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·吉林·模拟预测）设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·吉林·阶段练习）已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为 ；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为 ．
5．（22-23高二下·河南·阶段练习）已知棱长均为的多面体由上 下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．

题型16 球:最值范围型
1．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·福建厦门·阶段练习）已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为 .专题03 外接、内切各类球培优归类
题型1 外接球模型：基础思维
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝. 特殊形式对应正方体，正方体棱长为a，球的半径为R，则： ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
1．（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值.
【详解】设，由长方体的体积为16可得：
，即，
长方体外接球的半径为，
所以，
当且仅当“”时取等，所以，
当，长方体外接球表面积的最小值为.
故选：C.
2．（23-24高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知直四棱柱的底面为矩形，，且该棱柱外接球的表面积为，为线段上一点．则当该四棱柱的体积取最大值时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用外接球的表面积和基本不等式，求出四棱柱体积最大时底面的长和宽，将平面沿展开，与处于同一平面，可求的最小值.
【详解】设外接球O的半径为R，则球O的表面积，所以，
设矩形的长和宽分别为x和y， 则，所以，
，当且仅当时取等号，
即底面为边长为2的正方形时，四棱柱的体积最大.
则有，
将平面沿展开，与处于同一平面，
则，
即平面图形中三点共线时，有最小值.
故选：D
3．（2023·河南开封·三模）在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线，
则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小．
设，则，，，
所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为，
所以．
故选：A
4．（22-23高三下·江西·阶段练习）已知球是正三棱锥的外接球，D是的中点，且，侧棱，则球O的表面积为（ ）
A．12 B．8 C．32 D．48
【答案】D
【分析】由题意作图，补形，根据正方体的外接球直径的求解公式，可得答案.
【详解】由题意，作图如下：
正三棱锥为棱长为的正方体的一个角，显然平面，
平面，，符合题意，
显然正三棱锥的外接球就是图中正方体的外接球，
该外接球的半径为，外接球的表面积为.故选：D.
题型2 外接球模型：对棱补形
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
1．（23=24高三·安徽阶段练习）如图所示，三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，求出即得解.
【详解】由于三棱锥的对棱相等，
故将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，
则，，三式相加，
可得，
故的外接球表面积为，
故选：C.
【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积的计算，考查长方体的外接球的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．（2020·全国·模拟预测）已知三棱锥的所有棱长都为2，且球为三棱锥的外接球，点是线段上靠近的四等分点，过点作平面截球得到的截面面积为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出三棱锥的外接球半径，可知截面面积的最大值为，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为，截面圆的半径的最小值为，进而可求出截面面积的最小值.
【详解】三棱锥是正四面体，棱长为2，将三棱锥放置于正方体中，
可得正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
因为三棱锥的棱长为2，故正方体的棱长为，
可得外接球直径，故，
故截面面积的最大值为.
因为是上的点，当球心到截面的距离最大时，截面面积最小，
此时球心到截面的距离为，△为等腰三角形，
过点作的垂线，垂足为，
，得，
则所得截面半径的最小值为，
所以截面面积的最小值为.故的取值范围为.
故选：B.
【点睛】外接球问题与截面问题是近年来的热点问题，平常学习中要多积累，本题考查学生的空间想象能力、推理能力及计算求解能力，属于中档题.
3．（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解.
【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，
所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.
所以四面体外接球表面积是.
故答案为：B.
4．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，把四面体置于长方体中，求出长方体的体对角线即可得解.
【详解】在四面体中，，
则四面体的四个顶点可为一长方体两个相对面的成异面直线的两条对角线的端点，
此长方体的外接球即为四面体的外接球，
设此长方体共点的三条棱长分别为，则，于是，
四面体的外接球半径，有，解得，
所以该四面体外接球的体积.
故答案为：
题型3 外接球模型：线面垂直型
线面垂直型： 存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理） 线面垂直型满足条件： 线面垂直； 面可以是任何多边形，多边形外接圆半径，都可以借助多边形上任意三定点所构成的三角形，借助正弦定理来计算（等腰或者等比可以用特殊法计算） 1.模板图形原理 图1 图2 2.计算公式
1．（21-22高三·广西南宁·阶段练习）已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为 ，异面直线，所成角的余弦值为 .
【答案】 / /0.8
【分析】根据球的表面积公式求出半径得体积，再由球的截面性质得出球心位置，根据异面直线所成角定义求角，解三角形即可.
【详解】由外接球表面积可知，解得，所以球的体积,
如图，设球心为，为中点，为中心，连接,,
因为为中心，球心为，所以平面，又平面，
所以，由可知，异面直线，所成角为，
在中，,故答案为：；.
2．（2022·安徽·模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，E为的中点，若四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据四棱锥的外接球表面积求得，作出直线与所成角，结合余弦定理求得所成角的余弦值.
【详解】设四棱锥的外接球的半径为，则，
所以，设是的中点，连接，
由于是的中点，所以，所以是直线与所成角（或其补角），
由于底面，所以，，
由于，所以平面，所以，
，
由于，所以平面，所以，所以，
在三角形中，由余弦定理得，
所以直线与所成角的余弦值为.故答案为：
3．（24-25高三·广东佛山·阶段练习）已知四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球表面积为 ．
【答案】
【分析】根据条件可得为等边三角形，为等腰三角形，然后算出三角形PBC的外接圆的直径，可得出四面体的外接球的半径，然后算出答案即可.
【详解】由题意，已知平面PBC，，，
，又PB、平面PBC，所以，，
所以，由勾股定理得：，，所以，为等边三角形，为等腰三角形，
等边三角形PBC的外接圆的直径为，所以四面体的外接球直径，
所以，则四面体的外接球表面积为.故答案为：.
【点睛】本题考查的是几何体的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
4．（2020·河南·模拟预测）三棱锥中，平面，，为正三角形，，则三棱锥外接球表面积为 .
【答案】
【分析】设外心为，求得，再结合截面性质，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，设外心为，交点于，则为中点，
又由，可得，由为正三角形，可得，
在正三角形中，，
又由平面，可得，
故，则.
【点睛】本题主要考查了球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用求得截面性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
题型4 外接球模型：面面垂直型
面面垂直型基本图形 1.面面垂直型基础模图： 面面垂直型基础空间位置关系 垂面型，隐藏很深的线面垂直型， 一般情况下，俩面是特殊三角形。
1．（20-21高一下·福建·期中）在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求得外接球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】设分别是的中点，由于，所以，
由于平面平面且交线为，所以平面，由于，所以是的外心，
所以球心在过且与平面垂直的直线上，
，，，
过作，且交点为，由于，所以四边形是矩形，则.
设外接球的半径为，所以，
解得，.所以外接球的表面积为.故选：D
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设外心为，外心为，DB中点为E，过外心分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心.后利用正弦定理可得，外接圆半径，又注意到四边形为矩形，则外接球半径.
【详解】设外心为，外心为，DB中点为E.
因，平面，平面平面，
平面平面，则平面，又平面，
则.过，分别作平面，平面垂线，则垂线交点O为外接球球心，
则四边形为矩形.外接圆半径.
又因，，则.故外接圆半径.
又.
又平面，平面，则.
故外接球半径，
故外接球表面积为.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为，底面与侧面公共棱长度为，则外接球半径.
3．（24-25高三下·福建宁德·阶段练习）如图，四边形为正方形，四边形为矩形，且平面与平面互相垂直.若多面体 的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设出正方形边长和矩形的高，根据体积公式，求得等量关系；再找到球心，求得半径，利用导数求函数的最小值，则问题得解.
【详解】根据题意，连接交于点，过作//交于点，交于，连接.
因为四边形是正方形，故可得，
又因为平面平面，且交线为，又平面，故平面，
不妨设，
故可得多面体的体积；
则，解得；
又容易知多面体外接球的球心在四边形外心的垂线上，且为的中点，
设外接球半径为，则；
将代入可得，不妨令，
则，则，容易知是关于的单调增函数，
且当时，，故可得在上单调递减，在单调递减.
故.
则外接球表面积的最小值.
故选：B.
【点睛】本题考查棱锥体积的计算、面面垂直的性质、外接球表面积的计算、利用导数求函数的最值，属压轴题.
4．（24-25高二上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
【答案】B
【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解.
【详解】在中，，则，中点为的外心，
于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC，
平面平面，平面，则平面，，
令正的外心为，则为的3等分点，，
又平面，则，而，则四边形是矩形，
，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.故选：B
题型5 特殊三角形双线定心型
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为： 1、寻找一个或两个面的外接圆圆心 2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心； 3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积. 如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法 包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形） 等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心； （2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
1．（2023·江苏南通·模拟预测）在三棱锥中，平面，，，，，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，则三棱锥的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过和可知三棱锥的外接球O为的中点，在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径，进而可得球心到面的距离，从而得，再由解三角形知识求解△的面积最大即可.
【详解】 该三棱锥的外接球O为的中点，下证：
因为平面，平面，所以，所以，
又，即，所以，即三棱锥的外接球球心为的中点，球半径.
点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足，在△中，由正弦定理可得△的外接圆的半径为，球心到平面的距离为，
因为O为的中点，所以到平面的距离为，
，
要使三棱锥的体积最大，只需△的面积最大即可.
在△中由余弦定理可得，
所以，当且仅当时等号成立，
，所以.
当且仅当时, 三棱锥的体积取到最大值.故选：A.
2．（2022·河南·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意作图，结合几何关系，求得四棱锥外接球的球心位置以及球半径，再求三棱锥体积的最大值即可.
【详解】连接交于点，取中点为，连接，作图如下：
因为，又为的中点，故为的外心，
又平面平面，且面面，又面，
故可得面，故；
又四边形为正方形，且为对角线交点，故可得，
综上所述，，故为四棱锥的外接球的球心.
则其外接球半径.
又P为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥的体积最大，
则此时点到平面的距离，
故其体积的最大值
.故选：.
3．（21-22高三上·山西太原·阶段练习）已知三棱锥中，，，的中点为E，DE的中点恰好为点A在平面BCD上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，设点A在面BCD上的射影为点F，根据题意和勾股定理求出BF、AF，
设球心到平面BCD的距离为h，利用勾股定理求出h，进而可得出结果.
【详解】由题意知，如图，为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，
设点A在面BCD上的射影为点F，则点F为DE的中点，
所以，所以，
设球心到平面BCD的距离为h，由BO=AO，在和中，
可得，解得，所以.故选：D
4．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知直三棱柱中，，是边长为的正三角形，点是的中心，则三棱锥外接球球面与侧面的交线所对圆心角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定外接球的球心位置和半径，再确定外接球球面与侧面的交线的形状，再利用余弦定理进行求解.
【详解】设是的中心，则三棱锥的外接球的球心在上，
由得，.
由得，解得.
设球心在侧面内的射影为，则，到的距离为，
到的距离为，到，的距离为，
所以外接球球面与侧面的交线是一段圆弧，半径为，对应弦长为.
截面如图，则圆心角的余弦值为.故选：D.
题型6 二面角型外接球
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法 (1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1 (2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
1．（21-22高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在三棱锥，是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题作出图形，易得外接圆圆心在中点，结合正弦定理可求外接圆半径，结合图形知，，再结合二面角大小求出，进而得解.
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，所以的外心在中点，设为，设的外心为，中点为，，因为，所以必在连线上，则，即，因为两平面交线为，为平面所在圆面中心，所以，，
又因为二面角的大小为，，所以，所以，锥体外接球半径，则三棱锥的外接球表面积为，
故选：B
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用球的截面的性质，找出球心球心，再根据条件求出球的半径，在中，利用勾股定理，求出外接圆的半径，即可求出截面面积，再求出的长，即可求出直线与平面所成角的正切值，从而求出结果.
【详解】依题知平面，又面，所以，又为中点，
所以，
取中点为，连接交于，则是外心，又，
所以，连接，在上取为外心，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球球心，
则四边形是矩形，，连接，设外接圆半径，
设球半径为，因为球的表面积为，所以，得到，
所以在中，，所以平面截球的截面面积，
在中，，所以，
又为直线与平面所成角，所以，故选：D.
3．（2025·山西临汾·二模）在三棱锥中，，且二面角的大小为，则当该三棱锥的外接球体积最小时，（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据二面角的几何法可得，即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圆的半径，根据勾股定理可得球半径即可求解.
【详解】由于且二面角的大小为，故为二面角的平面角，故，由于平面，故平面，
设，则，在中，由余弦定理可得，
则的外接圆直径，
故外接球的半径
当时，球的半径取得最小值,此时三棱锥的外接球体积最小，
故.故选：A
4．（22-23高三上·全国·专题练习）四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用外接球的表面积计算出，建立空间直角坐标系，利用向量的方法计算出所成角的余弦值.
【详解】四棱锥外接球的表面积为.连接角于，由于四边形是矩形，所以是矩形的外心，球心在其正上方.设是的中点，连接，由于是等边三角形，所以，由于平面平面，所以平面.由于，所以.设，则，所以，即，解得.由以及平面可知两两垂直，以为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，设异面直线所成角为，则.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积有关计算，考查线线角的余弦值的求法，属于中档题.
题型7 动点翻折型外接球
1．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值.
【详解】如图，取的中点为，由正方形的边长为4，得，因此为四面体的外接球球心，外接球半径，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，则有，即，
当截面时，最大，此时截面面积最小，且，在中，，，．
由余弦定理可得，．
此时，所以截面面积最小值为.故选：C
2．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案.
【详解】如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接，
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点，
则由球的性质可知，平面，设外接球半径为,
是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,
,在中勾股定理可知,
则在中利用余弦定理可得，
,，则，得，
所以的最小值为1，外接球体积最小值为.故选：C.
3．（2024·江西·模拟预测）已知矩形中，，，取线段，的中点，，连接，以线段为折痕进行翻折，使得，则四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四面体的外接球就是三棱柱的外接球，记，分别是和的外接圆圆心，则的中点就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，正弦定理求出，勾股定理求出代入球的表面积公式即可得解.
【详解】在中，，，则是等腰三角形，，
由于四面体的外接球就是三棱柱的外接球，
记，分别是和的外接圆圆心，则的中点就是翻折后的直三棱柱的外接球球心，则外接球半径，
由正弦定理可得，则，
所以，故四面体的外接球表面积为，
故选：B
【点睛】本题考查多面体外接球问题、球的表面积，属于中档题.
4．（2023·四川·三模）如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为，则（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得四边形为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB的值.
【详解】如图所示，由题意知，，所以，，
所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为，
又因为，所以，，所以在中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，记为，所以在中，因为，，所以为等边三角形，所以，（或由正弦定理得：）
所以，在中，，，，
设外接球半径为R，则，解得：，设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则面ABC，面APC．所以在中，，又因为在，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，又因为面APC，
所以BC⊥面APC，所以，
所以，即：.故选：C.
题型8 特殊几何体：四棱锥型
锥体求外接球 （1）：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； (2)：算出小圆的半径，算出棱锥的高（即圆锥的高）； (3)：勾股定理：，解出
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解.
【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为,
则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为.
连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形，
在中，，
由得，，整理得，.
设内切球的半径为，中，，，
所以，所以四棱锥表面积为，
由，即，
∴，则的长为.故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用得共圆，且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，设，过作与平面的垂线，垂足设为，则为的中心，设，外接球的半径为，利用得与重合时，外接球表面积取得最小可得答案.
【详解】如图，连接，因为，
所以，所以，
所以，所以四边形必存在一个外接圆，
且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面，
设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接，
则为的中心，且必位于底面的上方，
设，外接球的半径为，则，
所以，所以，当且仅当时，
即与重合时，外接球表面积取得最小值为.

故选：C.
【点睛】思路点睛：利用外接球的球心的性质可确定出球心的位置，再根据半径满足的不等式组得到半径的最小值，从而可得外接球的最小表面积.
3．（2021·四川·模拟预测）体积为8的四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，则点轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得到底面的距离，进而求出的外接球的半径，确定点与点不在平面的两侧，得到点的轨迹，求解轨迹长度即可．
【详解】由题意可知，点到底面的距离，
又四棱锥的外接球球心到底面的距离为1，设外接球半径为，
因为底面的中心为，所以平面，且，
所以与不可能在面的两侧，如图所示，
故点在垂直于且与球心距离为2的平面与的外接球的交线上，
即在如图所示的以为半径的圆上，而，
所以，故点的轨迹长度为．故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在找到点的轨迹，点在垂直于且与球心距离为2的平面与的外接球的交线上.
4．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥中，，，点为四棱锥外接球球面上一点，且点，不在平面的同一侧，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．36
【答案】B
【分析】由题意，先求出正四棱锥外接球的半径为，然后分析得通过球心时，点到平面的距离最大，即三棱锥的体积最大即可求解.
【详解】解：连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，
且，则．
设正四棱锥外接球的半径为，则，解得．
连接，∵，不在平面的同一侧，
∴当通过球心时，点到平面的距离最大，即三棱锥的体积最大，
此时,故三棱锥体积的最大值为，故选：B．
【点睛】关键点点睛：由，求出正四棱锥外接球的半径为，并由题意分析出当通过球心时，点到平面的距离最大，即三棱锥的体积最大是本题解题的关键.
题型9 特殊几何体：圆锥型
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球。 圆锥外接球模型 圆锥求外接球，借助轴截面的对应等腰三角形可求解
1．（22-23高三上·陕西西安·阶段练习）已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（ ）
A．8 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用圆锥的体积公式及侧面积公式，及圆锥的外接球半径求法，即可得解.
【详解】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为，
对应圆锥的外接球半径分别为，
由题可得，，同理得：，
由，得
又，化简得，
，
故选：C
2．（22-23高三上·广东东莞·期末）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,
则圆锥的体积为,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展开整理得R=所以外接球的体积为,
故所求体积比为故选A
【点睛】本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
3．（2024河南洛阳·模拟）设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为 ,高为3,体积为,选B.
4．（24-25高三·广东清远·期末）如图，底面半径为2的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意，以母线长为半径绕一圈可带动底面圆走三圈，推知母线长后即可求解.
【详解】设圆锥母线长，底面半径为，依题意，，即，
因此圆锥轴截面等腰三角形底角，，，
此三角形外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
所以该圆锥的外接球表面积为.故答案为：
题型10 特殊几何体：棱台型
正棱台外接球，以棱轴截面为主。 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
1．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知正四棱台的上、下底面边长分别为、，体积为，则该四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，根据正四棱台及其外接球的性质，可知球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，垂直于上下底面，结合已知条件求出上下底面的面积及，根据已知条件结合体积公式得出正四棱台的高，因为，设，根据勾股定理构造关于的方程，求出从而计算出值，根据求出外接球的表面积.
【详解】
如图所示，正四棱台的外接球半径，设，
根据正四棱台及其外接球的性质可知，球心位于正四棱台上、下底面对角线中点的连线上，
垂直于上下底面，且上下底面均为正方形，则
，，
，，设正四棱台的高为，则.
所以.因为，设，则，根据勾股定理.
所以外接球表面积.故选：C.
2．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为.
根据题意列出方程，求解即可.
【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为.
因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，.
设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得，
则，所以正四棱台的外接球表面积为.
故选：D.
3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出正三棱台高的范围，再利用球的截面性质建立方程，求出球半径的范围即可.
【详解】如图，令正三棱台上下底面正三角形中心分别为，
则，，
设正三棱台的高为，则，解得，
设球的半径为，显然球心在线段上（不含端点）
因此，，解得，
且，而，当且仅当时取等号，得，
，解得，
因此，，
所以外接球表面积的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
4．（22-23高三上·浙江绍兴·期末）如图，正四棱台，上下底面分别是边长为4，6的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出正四棱台的上下底面外接圆半径，根据求出正四棱台的高的范围，再根据球的性质，利用勾股定理可求出结果.
【详解】由题意得正四棱台的上下底面外接圆半径分别为，，高为，
因为，所以；
设正四棱台的外接球半径为R，球心到上下底面的距离分别为和，
当球心在上下底面之间时，，当球心不在上下底面之间时，，
所以，又，，则，，
所以， 所以，所以，
所以，即，
所以，因为，所以，
所以，所以棱台外接球表面积．故答案为：．
题型11 特殊几何体：圆台型
圆台外接圆模型 圆台外接球，即轴截面题型外接圆
1．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解.
【详解】取圆台轴截面如图所示，
外接球球心在中轴线上．由勾股定理可知，，设，，则, 解得．
先设的中点到的距离为，
再用等面积法可得：，
则有：，此时，
从而可知内切球半径，
所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为，故选：C．
2．（2024·安徽·三模）已知圆台的上 下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解.
【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：
的上 下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，
则，解得，
故所求体积之比为故选：B
3．（2025·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可.
【详解】过作圆台的轴截面，如图所示
为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，
不妨设圆的半径，则圆的半径
依题意，
，，
，故选：D.
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线与底面所成角为，则圆台的外接球体积与圆台体积之比为 .
【答案】
【分析】根据题意结合轴截面可知，即可得圆台的体积，根据圆台的结构特征列式求球的半径和体积，即可得结果.
【详解】由题意可知：上底面半径，下底面半径，
由轴截面可知：，可知，
可得圆台的体积，
设外接球的半径为，
则，即，解得，
（假设球心在圆台内，则，此时无解）
可得球的体积，所以.故答案为：
题型12 特殊几何体：不规则型
1．（2023·天津·一模）如图，几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为、，若该几何体存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知，则该组合体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由组合体的特征确定球心在中点，再由得出底面半径，进而得出组合体体积.
【详解】设该组合体外接球的球心为，半径为，易知球心在中点，则.
则圆柱的底面半径为，
则该组合体的体积等于.故选：A
2．（21-22高一下·新疆伊犁·期末）在六面体中，已知四边形与都是矩形，平面平面，它们之间的距离为1，，，，，若六面体有外接球，则该六面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设六面体的外接球的球心为，六面体的上，下底面的对角线的交点为，该六面体的外接球的为，，利用球的性质结合条件可得，进而即得.
【详解】设六面体的外接球的球心为，六面体的上，下底面的对角线的交点为，则在一条直线上，平面，平面，，连接，又，，，，
∴，设该六面体的外接球的为，，
则，解得，
该六面体的外接球的体积为.故选：C.
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A．该正八面体结构的外接球表面积为
B．该正八面体结构的内切球表面积为
C．该正八面体结构的表面积为
D．该正八面体结构的体积为
【答案】D
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】对A：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，
外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积。，故A正确；
对D：连接，，则，底面，故该正八面体结构的体积，故D错误；
对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积
，故C正确；
对B：底面中心到各面顶点的距离相等，故为内切球球心，
设该正八面体结构的内切球半径，则，所以，
故内切球的表面积，故B正确.故选：D.
4．（2023·陕西西安·模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二面角的定义，结合球的表面积公式、棱锥的表面积公式和体积公式逐一判断即可.
【详解】如下图所示：设的中心为，的中心为，
取BC的中点为W，分别连接和，因为，，
所以为的二面角，，，
所以，所以，
在直角三角形中，，所以，
所以二面角的余弦值为，所以二面角的余弦值为，故①正确
因为棱长为的正四面体的高，所以，故②正确；
设外接球的球心为O，的中心为，的中心为，
因为截角四面体上下底面距离为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，故③正确；
由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形
及4个边长为a的正六边形构成，故，故④错误.
故选：C.
题型13 内切球
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解 三角形内切圆 类比：三棱锥
1．（24-25高三·福建福州·阶段练习）已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答.
【详解】
在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，
过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图：
依题意，，，
令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即，
由，得，，
设球与球相切于点T，则，
设球的半径为，同理可得，则，
所以球与球的表面积之比.
故选：A
2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设所求为，用表示出正六棱台的体积、表面积，设内切球半径为，可用等体积法表示出，另外一方面等于正六棱台的高，由此可构建方程求解.
【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心，
因为正六边形的每一个内角为，所以，又因为，
所以三角形是等边三角形，所以，同理，所以，
所以正六棱台的体积为，
由，表面积为，
设内切球半径为，则由等体积法可得，，所以，又，
所以，即，
所以，即，解得.故选：C.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答.
【详解】
在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点，
过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图：
显然，，
令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即，
因为，则，显然，，
设球与球相切于点T，则，
设球的半径为，同理可得，即，
设球与球相切于点S，则，
设球的半径为，同理可得，即，，
所以，故选：B
4．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可．
【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点.
连接，则，过于.四边形为矩形．
由于,则，则.
由切线的性质知道.则.
，．
代入计算可得，.故选：D.

题型14 棱切球
1．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径.
【详解】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱
设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设，
在中，
因为为的中心，则，，
在中即；
在中，，即，
在中，，则；
在中，，则，
在中，，则，
又因为，则，化简得，
由得解得.故选：C.
2．（2023·浙江宁波·模拟）点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求得正方体的棱切球与外接球半径，点在棱切球上，点在外接球上某个小圆上动，从而线段的最大值与最小值为两个球半径和与差．
【详解】因为棱长为2的正方体的体对角线为其外接球直径，而面对角线为其棱切球的直径，且正方体的棱切球与外接球球心重合，
所以正方体外接球和棱切球的半径分别为和，
因为的外接圆是正方体外接球的一个小圆，点在棱切球上运动，点在外接球上某个小圆上动，
所以，即.
故选：D.
3．（2024·浙江金华·模拟预测）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
【答案】 /
【分析】先根据切线长公式求得发现该四面体的对棱长度之和相等得，进而得该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥，再结合体积公式与棱切球的知识求解即可.
【详解】设棱切球的球心为，棱切球的半径为，
该棱切球与棱的切点分别为，
则， 因为，
所以，根据切线长公式得，同理可得，
设，因为，
所以，
所以，解得，
所以， 且为中点，
所以，该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥.设在底面的投影为，则是底面三角形的中心，则，，所以该四面体的高，
因为底面三角形的面积为，所以，四面体的体积为.
另一方面，由正三棱锥性质可知，棱切球球心在线段上，因为，
所以，即，解得：，，
因为， ，
所以,整理得：，解得：.
因为，，解得
所以，舍去，即棱切球的半径为.故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用切线长公式求得得到该四面体是一个底面边长为6，侧棱长为8的正三棱锥；此外，求解棱切球半径时，一方面通过三角形相似求得对于线段长度，建立方程求解，另一方面，还需要注意棱切球的半径范围.
4．（23-24高三·黑龙江·阶段练习）点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球（切于正方体各条棱的球）上的一点，点N是△ACD1的外接圆上一点，则线段MN长度的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正方体棱切球的特点，求出球心到三角形外接圆周上的点的距离是一个定值，根据球的几何特征即可求解.
【详解】
根据正方体的几何特征，其棱切球的球心就是体对角线的中点，且到△ACD1所在平面距离为
△ACD1的边长为，根据正弦定理，其外接圆的半径为，
所以球心到△ACD1的外接圆上任意一点的距离都为，
正方体棱长为2，该棱切球的半径为，
所以线段MN长度的取值范围是.
故答案为：
【点睛】此题考查球面上的点到某点距离的最值问题，关键在于转化为球心到点的距离关系求解，此题需要熟练掌握正方体的内切球，外接球，棱切球的几何关系.
题型15 外接球、内切球与棱切球综合
1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，再由棱锥的体积公式计算即可；
【详解】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合，
所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为
所以，解得，
故选：C.
2．（2025·吉林·模拟预测）设正四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正四棱锥的几何特征分别计算内切球及外接球半径即可求解.
【详解】设，分别为该四棱锥外接球、内切球半径，由题可知球心在高上，
，，过球心做面垂线，垂足为，
则点在的中线上（为中点），且，则，，
在中，边上的高为，
所以，，故选：D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知空间四边形，，，且，，面ABC与面夹角正弦值为1，则空间四边形外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间四边形的线面关系可得平面，则空间四边形可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形的外接球半径，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形的内切球半径，即可得空间四边形外接球与内切球的表面积之比.
【详解】解：面与面夹角正弦值为1，面面，又面面
面，平面，
则空间四边形可以内接于圆柱中，如下图所示：
点在上底面圆周上，三个顶点在下底面圆周上，则圆柱的外接球即空间四边形的外接球，
取的中点为，连接，则球心为，半径为，且，为正的外接圆半径，由正弦定理得，即，所以；
如下图，设空间四边形的内切球球心为，连接，设内切球半径为，
则，
又中，，所以，
所以，
所以外接球与内切球的表面积之比为.
4．（24-25高三·吉林·阶段练习）已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球的半径为 ；若动点分别在与的球面上运动，且满足，则的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】第一空：将正四面体放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球的半径；第二空：由不等式可知，，只需求出、即可.
【详解】第一空：连接，设交点为，则是中点，如图所示，将正四面体放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体的中心，
设正方体棱长为，则棱切球球心到正四面体的六条棱的距离都等于，设正四面体的棱切球的半径为，所以，正方体棱长为2，，而正四面体的体积为，正四面体的表面积为，
设该正四面体的内切球的半径为，则由等体积法可知，，解得；
第二空：取任意一点，使得，
所以点在面内（其中是中点），
所以，
而点到平面的距离为，
所以，
等号成立当且仅当是正数且重合且，
综上所述，的最大值为.故答案为：，.
【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出，由此即可顺利得解.
5．（22-23高二下·河南·阶段练习）已知棱长均为的多面体由上 下全等的正四棱锥和拼接而成，其中四边形为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为，则 ．

【答案】
【分析】如图为正方形的中心，则既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，过点作于点，求出外接球的半径与棱切球的半径，即可得解.
【详解】在多面体中，为正方形的中心，如图所示：
由题意可知既是多面体的外接球的球心，也是棱切球的球心，
过点作于点，在中，，
，所以，所以，所以 故答案为：
题型16 球:最值范围型
1．（2024·安徽安庆·三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（ ）
A．这两个球体的半径之和的最大值为
B．这两个球体的半径之和的最大值为
C．这两个球体的表面积之和的最大值为
D．这两个球体的表面积之和的最大值为
【答案】D
【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则，，其中，表达出，，求导得到函数单调性，得到最值，并求出，令，函数在上单调递增，求出，得到答案.
【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，
过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点作⊥AB，垂足为E，过点作⊥OF，垂足为D．
设圆O的半径为R，圆的半径为r，当下面的球与上底面相切时，取得最大值，此时为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为，内切球半径为，
故，故R的最大值为，且取最大值时，三点共线，设，则，
则，解得，所以，，，，.因为，所以①，整理得，解得，令函数，，
.令函数，，所以是增函数.
又因为，，所以，，所以，，，，
即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.
由①可得，这两个球体的表面积之和为.令，函数在上单调递增，
所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.故选：D．
【点睛】方法点睛：
立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
2．（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，所以，则，
所以为与平面所成角，故，，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.故选：B.
3．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为，该四棱锥的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半径计算作答.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因是正三角形，则，又是矩形，有，
而平面平面，平面平面，平面，平面，
因此平面，平面，
又，则平面，平面，则，，
，平面，则平面，又平面，
所以，而，则，显然，
由球的对称性和正四棱锥的特征知，平面截四棱锥的内切球得截面大圆，
此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形，
设，又，，则球的半径，
又四棱锥的表面积为，
由得：，
即，故即，解得，故，，，所以.故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点作出四棱锥的内切球截面大圆，利用等体积法求出内切球半径和.
4．（24-25高三·福建厦门·阶段练习）已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先利用球面上点的特点转化，作交于，通过作二面角的平面角，将转化为，在平面展开图中，通过化曲为直，继续转化，根据梯形的中位线公式求出的值即可得解.
【详解】
如图1，易知为正方体的中心，球的半径，.
所以.
连接交于，可知是二面角的平面角.
在中，.对于上一点，当时，取得最小值，
此时，作交于，连接，可知也是二面角的平面角，
在中，，所以.
如图2，将平面沿直线翻折，使之与平面重合.
作于，交于点，
则有，当且仅当与重合时等号成立.
作交延长线于，则为等腰直角三角形，
，所以，所以.故答案为：

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