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专题04 抛物线及其应用
题型1 对抛物线定义的理解及应用
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化．
1．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 .
2．(25-26高三上·河南师范大学附属中学·月考)已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 ．
3．(25-26高三上·广西名校高考模拟·模拟)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．6 D．4
4．(25-26高三上·四川成都石室中学·月考)如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
题型2 抛物线中距离和差的最值问题
解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
5．(25-26高三上·福建名校联考·开学考试)设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 .
7．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为
8．(25-26高三上·浙江永嘉·模拟)已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 .
题型3 与抛物线有关的轨迹问题
解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
9．(24-25高三下·河南新乡·月考)已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
10．(24-25高三下·福建泉州·适应性训练)已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
11．(23-24高三下·宁夏石嘴山平罗县平罗中学·模拟)在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 .
12．(23-24高三下·江苏南通·调研测试)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
题型4 由抛物线方程研究几何性质
由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
13．(25-26高三上·北京第一六六中学、第五十中学·期中)已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ．
14．(25-26高三上·北京·开学考)已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ．
15．(25-26高三上·青海多校·月考)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（ ）
A．14 B． C． D．28
16．(25-26高三上·江苏南京·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
题型5 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
17．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
18．(24-25高三下·山西部分重点中学·模拟)若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
19．(24-25高三下·陕西咸阳·月考)已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
20．(24-25高三上·广东汕头·期末)已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型6 直线与抛物线的位置关系
解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断．
21．(25-26高三上·云南·联考)已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
22．(23-24高三下·福建漳州·月考)写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 .
23．(25-26高三上·广东深圳多校联考·)已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 .
24．(24-25高三下·福建福州第一中学·模拟)写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程
题型7 直线与抛物线相交弦长问题
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
25．(24-25高三下·北京通州·模拟考)已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16 B．6 C． D．4
26．(24-25高三下·山西临汾·考前模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．
27．(25-26高三上·湖南部分学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
28．(25-26高三上·重庆·开学考)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 .
(1)求的方程；
(2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求.
题型8 抛物线的中点弦问题
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
29．(24-25高三下·广东湛江·模拟)已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
30．(24-25高三下·云南·月考)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
31．(24-25高三上·贵州黔东南州·期末)已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 .
题型9 抛物线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
33．(25-26高三上·云南昭通·月考)过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
34．(25-26高三上·云南·月考)已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点.
35．(24-25高三下·海南·模拟)已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点．
36．(24-25高三下·江西六校·模拟)已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
题型10 抛物线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
37．(24-25高三·海南部分学校·模拟)直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，．
(1)求；
(2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积．
38．(24-25高三下·辽宁沈阳·三模)已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)当轴时，求直线的斜率；
(3)求证：为定值，并求出该定值．
39．(24-25高三上·安徽马鞍山·月考)已知抛物线：（），任作一条直线：与抛物线相交于，两点，为弦的中点，过作垂直于轴的直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求的面积（用，，表示）；
(3)记弦与抛物线围成的封闭的图形的面积为，已知为定值，求．
40．(24-25高三下·浙江杭州·模拟)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
题型11 抛物线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
41．(25-26高三上·贵州毕节·开学考)已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
42．(25-26高三上·江苏连云港·月考)过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
43．(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.
44．(24-25高三下·云南·模拟)已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值.
题型12 抛物线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
45．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知抛物线的焦点到直线的距离为.
(1)求的准线方程；
(2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：.
46．(24-25高三上·江苏南通·期中)设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.
(1)能否为正三角形 若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.
47．(25-26高三上·湖北·期中)已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴.
48．(24-25高三下·河北·考前模拟)抛物线的焦点为，其上有两点、，，与轴正半轴交于点.
(1)求以为直径的的方程；
(2)证明：取抛物线上的一点（的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、，使为的内切圆.
题型13 抛物线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
49．(24-25高三下·广东深圳·模拟)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
50．(24-25高三上·安徽·摸底)设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
51．(24-25高三下·山西朔州·模拟)已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为．
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由．
52．(24-25高三上·河南周口·期中)已知点在抛物线上，直线交于另一点．
(1)求的准线方程．
(2)若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求圆的方程．
(3)若为上的动点，于点，过点作与轴垂直的直线与直线交于点，问：是否存在直线和常数，使恒成立？若存在，求出直线的方程和的值；若不存在，请说明理由．专题04 抛物线及其应用
题型1 对抛物线定义的理解及应用
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆 1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件； 2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即； 3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化．
1．(25-26高三上·浙江宁波·模拟)已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为 .
【答案】2
【解析】由题意知，将点代入抛物线，可得，
抛物线，可知抛物线的准线方程：，
结合抛物线的性质：抛物线上点到准线的距离等于到焦点的距离，即.
2．(25-26高三上·河南师范大学附属中学·月考)已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，则点P的纵坐标为 ．
【答案】3
【解析】抛物线的标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设抛物线上一点，
则由抛物线的定义可得，解得，
所以点P的纵坐标为3．
3．(25-26高三上·广西名校高考模拟·模拟)已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】由抛物线定义可知，
因为直线AF的倾斜角为，轴，，
所以为等边三角形，
故，，所以，
其中准线l与轴交点为，则，
故，所以.故选：D.
4．(25-26高三上·四川成都石室中学·月考)如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】对抛物线，焦点，准线：.
如图：
过向准线作垂线，垂足为，交轴于，
根据抛物线定义，得，所以；
过向准线作垂线，垂足为，交轴于，
根据抛物线定义，得，所以.
所以，所以.故选：B
题型2 抛物线中距离和差的最值问题
解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
5．(25-26高三上·福建名校联考·开学考试)设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，
所以，而，
所以，要使周长最小，
即最小，仅当三点共线时，取最小值为7，
所以最小周长为12.故选：C
6．(25-26高三上·陕西西安铁一中学·月考)已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 .
【答案】3
【解析】圆的圆心为，半径．
如图，由抛物线的定义可得，解得，
可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线，
则点到直线的距离．可得，
当四点共线时，取得最小值，
所以．
7．(25-26高三上·上海宝山中学·月考)已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为
【答案】5
【解析】曲线，即，
设其圆心为，则.
抛物线的准线，
过点作，垂足为，则，
所以.
当共线时，最小，
此时最小值为点到直线的距离.
设到直线的距离为，则，
则的最小值为.
所以的最小值为.
8．(25-26高三上·浙江永嘉·模拟)已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 .
【答案】2
【解析】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即，
则当点三点共线时，有最小值，最小值为，
因为，则，解得，
符合题意；
②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即，
过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线，
则由抛物线的定义可知，，
所以当三点共线时，有最小值，
则，得，不符合符合题意，
故的值等于.
题型3 与抛物线有关的轨迹问题
解决这类问题的关键是：距离转化 1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即； 2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
9．(24-25高三下·河南新乡·月考)已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径，
而点在轴上，则，又，
于是，而不重合，即，
所以M点的轨迹方程为.故选：D
10．(24-25高三下·福建泉州·适应性训练)已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，
设，，则，
依题意，四边形为矩形，
则，即，
所以，即，
则，
所以顶点的轨迹方程为.
11．(23-24高三下·宁夏石嘴山平罗县平罗中学·模拟)在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 .
【答案】
【解析】设，可得以线段为直径的圆的圆心为，
半径为，
由以线段为直径的圆与轴相切，
可得，整理得．
故答案为：．
12．(23-24高三下·江苏南通·调研测试)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，则线段中点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意知直线的斜率不为0，设的方程为，
联立抛物线方程，得，，
设，则，
设线段中点，则，
即，故线段中点的轨迹方程为，即，
故答案为：
题型4 由抛物线方程研究几何性质
由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 （1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定， 系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
13．(25-26高三上·北京第一六六中学、第五十中学·期中)已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ．
【答案】
【解析】由，则，所以其准线方程为.
14．(25-26高三上·北京·开学考)已知抛物线：的焦点到准线的距离为4，则上的纵坐标为的点到焦点的距离为 ．
【答案】
【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以，
则方程为，可得焦点为，
设抛物线上纵坐标为的点为，代入抛物线方程，
可得，解得，故，
由两点间距离公式得距离为.
15．(25-26高三上·青海多校·月考)设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若，则（ ）
A．14 B． C． D．28
【答案】C
【解析】由题意可得，则可得，则，
又因为抛物线的通径长为，所以轴，
所以，故C正确.故选：C.
16．(25-26高三上·江苏南京·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【答案】D
【解析】由，令，得，所以，所以，
所以抛物线方程为，准线方程为：，
由，令，得，所以，
设，所以，
所以，故选：D.
题型5 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程的方法 （1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； （2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或； 注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式； ②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
17．(25-26高三上·上海大同中学·月考)若抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【解析】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，
设抛物线标准方程为：，
∵抛物线的准线方程为，
∴，∴，
∴抛物线的标准方程为：.
18．(24-25高三下·山西部分重点中学·模拟)若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，抛物线C的方程为，
将代入，可得，故抛物线C的方程为.故选：A.
19．(24-25高三下·陕西咸阳·月考)已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线焦点为，准线为.
由抛物线定义可得，又，则为正三角形.
则，设，
又过F做PQ垂线，垂足为G，
则，则，
又，准线为
则，则.
故抛物线方程为：.故选：D
20．(24-25高三上·广东汕头·期末)已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线的定义，可知，又，，
则，即，
由点在C上，得，结合，解得.
所以C的方程为.故选：B.
题型6 直线与抛物线的位置关系
解题的通用流程 1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式． 2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）． 3、判断方程类型： （1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）； （2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断．
21．(25-26高三上·云南·联考)已知抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），与的准线交于点，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】抛物线，直线与交于两点（点在第一象限），
联立，解得或；所以，
又抛物线的准线为，
则直线与的准线交于点，
则.故选：B.
22．(23-24高三下·福建漳州·月考)写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 .
【答案】（写对一个方程即可）
【解析】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为；
当斜率不为0时，设的方程为，
联立消去，整理得：，
因为直线与抛物线有唯一公共点，所以，
解得或，所以为或，
即或.
综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为：
或或.
故答案为：（或或）.
23．(25-26高三上·广东深圳多校联考·)已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 .
【答案】
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形，
由抛物线定义知，，因为，
则，
所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以，
则直线的斜率为.
24．(24-25高三下·福建福州第一中学·模拟)写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程
【答案】（或）（答案不唯一，写出其中一个即可）
【解析】依题意可知，切线方程一定存在，
不妨设直线的方程为，
易知圆的圆心为，半径为，
由直线和圆方程相切可得，
联立抛物线与直线方程可得，
因此，解得；
所以，解得，即或；
可得；
此时切线方程为或.
题型7 直线与抛物线相交弦长问题
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
25．(24-25高三下·北京通州·模拟考)已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16 B．6 C． D．4
【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的焦点，
由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，
设，
联立方程，可得，解得，
由抛物线的定义可知，.故选：C.
26．(24-25高三下·山西临汾·考前模拟)已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】D
【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且，
，消去x得，
由韦达定理得，则，
由焦半径公式得，，
因为，所以，
联立方程组，解得或（舍去），
则，故D正确.故选：D
27．(25-26高三上·湖南部分学校·月考)在平面直角坐标系xOy中，已知拋物线的焦点为F，准线为直线，过点F的直线l与C相交于A，B两点，则面积的最小值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．8
【答案】D
【解析】依题意，，解得，则抛物线，焦点，
设点，直线的方程为，
由消去得，则，，
因此，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为8.故选：D
28．(25-26高三上·重庆·开学考)已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5 .
(1)求的方程；
(2)设的焦点为，过点的直线与交于、两点，，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）设点，因为点到的焦点的距离为6，到轴的距离为5，
根据抛物线的定义，得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）得，抛物线的方程为，所以，
又过点的直线与交于、两点，
设直线：，，，
则，联立化简得，
所以，，，
又，则，
所以联立方程，解得，
根据弦长公式，对于直线与抛物线相交的弦长，
得，
将，，代入上式，
可得，
又，得.
题型8 抛物线的中点弦问题
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景． 2、分类讨论斜率存在性： （1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况； （2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线． 3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
29．(24-25高三下·广东湛江·模拟)已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，则，
整理得，
因为线段中点的横坐标为，
所以线段中点的纵坐标为，则，
从而可得，故选：D.
30．(24-25高三下·云南·月考)已知抛物线E：上存在两点A，B关于直线l：对称，F为E的焦点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】设，，则，故，
所以，代入l得，
则，故选：D．
31．(24-25高三上·贵州黔东南州·期末)已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设,则，
两式相减得：，
即，
因为直线的斜率为2，所以，所以，
因为，所以.
设直线的方程为，由,
可得：，，解得：.
在直线上，则，，所以.
所以.故选：C
32．(25-26高三上·浙江嘉兴·一模)过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为 .
【答案】16
【解析】设，
则，两式相减得，
∴，
∵的中点是，∴．
∴直线方程为，即，
由，得，
则，
∴．
题型9 抛物线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
33．(25-26高三上·云南昭通·月考)过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）已知当时，，，关于轴对称且．
设，因为，不妨设．
由斜率公式，即，解得，所以，．
面积，解得，抛物线方程为．
（2）
证明：设，，，
则，．
因为，则，所以，
则，，
所以直线的方程为，整理得．
把代入直线方程，得，
所以直线过定点．
34．(25-26高三上·云南·月考)已知M，m分别为五个实数的最大值和最小值.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为，准线方程为的抛物线的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点为上一点，A，B为上异于点的两个动点，且，求证：直线恒过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，得，，
则①，②，
②-①，得，即，
所以的标准方程为.
（2）将点代入的方程，得，所以，即点.
设，，其中，，且.
因为，所以，
即，
整理，得，所以.
直线的方程为，
即，
所以当时，，所以直线恒过定点.
35．(24-25高三下·海南·模拟)已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）的准线方程为，
因为点在上，且，即，得，
所以的方程为．
（2）由（1）知，设．
设的方程为，代入，得．
所以，则，
代入，得，所以．
因为，所以的方程为，同理可得．
当时，，直线．
当时，，
直线的方程为，
即，
整理得．
所以直线过定点．
36．(24-25高三下·江西六校·模拟)已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
（2）设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，则，
设关于轴的对称点为，
则直线的方程为，
根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，
令得：
．
直线过定点．
题型10 抛物线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
37．(24-25高三·海南部分学校·模拟)直线过抛物线的焦点，与交于两点，当线段中点的纵坐标为2时，．
(1)求；
(2)证明：直线的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设在点处的切线相交于点，若，求的面积．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）设，，线段中点设为，则，
由题意，抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义得，所以；
（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，所以，得，
所以直线的斜率之积为，
所以直线的斜率之积为定值，该定值为；
（3）由（1）知，，由题意，所以，
所以或，当时，，
此时，，由得，
所以过点A的切线方程为，即，
过点B的切线方程为，即，
联立得，
又的斜率，即，即，
所以到的距离，因为，
所以的面积为；
当时，，
此时，，由得，
所以过点A的切线方程为，即，
过点B的切线方程为，即，
联立得，
又的斜率，即，即，
所以到的距离，因为，
所以的面积为；
综上，的面积为
38．(24-25高三下·辽宁沈阳·三模)已知圆，抛物线的准线与圆相切，过抛物线焦点的动直线与抛物线交于、两点，线段的中点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)当轴时，求直线的斜率；
(3)求证：为定值，并求出该定值．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意可得，圆的圆心为，半径为，且抛物线的准线为，与圆详相切，
则，因为，解得，故抛物线的方程为.
（2）设点、、，
显然直线的斜率不为零，设直线的方程为，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
则，，即点，
因为轴，则，解得，
因此，直线的斜率为.
（3）由抛物线焦点弦长公式可得，
由（2）可得，
所以.
39．(24-25高三上·安徽马鞍山·月考)已知抛物线：（），任作一条直线：与抛物线相交于，两点，为弦的中点，过作垂直于轴的直线交抛物线于点．
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求的面积（用，，表示）；
(3)记弦与抛物线围成的封闭的图形的面积为，已知为定值，求．
【答案】(1)，准线方程为；(2)；(3)
【解析】（1）由（）得：，
故焦点坐标为，准线方程为．
（2）设，，
则，
联立与得：，，
则，，
所以，
于是
．
（3）记，分别为弦，的中点，
过，分别作垂直于轴的直线交抛物线于点，，
则，
由（2），
，
因为，
所以，
即，得：．
40．(24-25高三下·浙江杭州·模拟)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
(1)求的方程；
(2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
(3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）
由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
题型11 抛物线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
41．(25-26高三上·贵州毕节·开学考)已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）抛物线的准线为，焦点
由抛物线定义可得，解得，
故的方程为
（2）设，，
联立，故，
又则，
由，
解得：或（舍去），
（当且仅当时，等号成立）.
42．(25-26高三上·江苏连云港·月考)过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点．
(1)若线段中点的横坐标为1，求的值；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)3；(2).
【解析】（1）抛物线的焦点，设，
由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得，
所以.
（2）由直线过点，设直线的方程为，
由消去并整理得，
由，得，且，
则，
所以的取值范围为.
43．(25-26高三上·湖北黄冈·月考)已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到准线的最小距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点作互相垂直的两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，，分别为弦，的中点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)32
【解析】（1）因为抛物线上的点到准线的最小距离为2，所以，解得，
故抛物线的方程为.
（2）焦点为，，所以两直线，的斜率都存在且均不为0.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，
联立方程组消去，整理得.
设点.，则.
因为为弦的中点，
所以.
由，得，故点.
同理可得.
故，.
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为32.
44．(24-25高三下·云南·模拟)已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设，则
由题意，得，解得，
所以的方程为；
（2）在点处的切线，
设直线的倾斜角分别为，
联立
则，得，则，
且，则，故，
设直线的倾斜角分别为，则，
又，
所以，
当且时等号成立，
即的最大值为.
题型12 抛物线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
45．(25-26高三上·广东揭阳·期中)已知抛物线的焦点到直线的距离为.
(1)求的准线方程；
(2)若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，则其到的距离为，
又，所以，
所以抛物线的准线方程为；
（2）由（1）得抛物线的标准方程为
由题可知，直线斜率不为0，所以设直线,
设，联立得
，
所以，
，
所以，
所以.
46．(24-25高三上·江苏南通·期中)设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.
(1)能否为正三角形 若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.
【答案】(1)能，或；(2)证明见解析.
【解析】（1）设，因，则.
又由题可得的焦点为，准线为.
则P在l上的射影H为.要使为正三角形，
则应满足HP中点M纵坐标为1，且.
即，即当或时，
能使为正三角形；
（2）由题可得满足.
注意到，
则点处的切线斜率为：，则相应切线为：.
代入，可将切线方程化简为：.
令，可得.又，
则，
得，
又，则.
47．(25-26高三上·湖北·期中)已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，抛物线：的准线为，
因为抛物线的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，
不妨设，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：
法一：设点、、，且满足.
由题意可知两条切线的斜率均存在，
设切线的方程为：，
，消y得：，
由可得：.①
两条切线的斜率为方程①的两个根，所以：.
抛物线即为：，两边对x求导数得：，
所以切线的斜率为，切线的斜率为.
所以：，即，所以轴.
法二：设点、、，且满足.
则直线的方程为：，与联立可得：.
所以，即，即，所以轴.
48．(24-25高三下·河北·考前模拟)抛物线的焦点为，其上有两点、，，与轴正半轴交于点.
(1)求以为直径的的方程；
(2)证明：取抛物线上的一点（的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、，使为的内切圆.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）如图：
设、，方程：，则，
故，，，
故，或4
将代入，得，故，，
则，或，（不符合题意）
故，而，故以为直径的圆的方程为.
（2）设、、，.、分别与相切，如图：
则，方程：，
将代入化为：
到距离为2，可得，
整理得：
同理：由与相切得，
故、是方程的两根
，
以下证与相切：
同理得：，方程：，
到距离为：
故与相切，原命题得证.
题型13 抛物线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
49．(24-25高三下·广东深圳·模拟)已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，和
【解析】（1）由在抛物线上，则，解得，
因此可得抛物线的方程为.
（2）
存在点在抛物线上，
设点，
由直线的斜率为，且过，
则直线的方程为：，即，
联立，可得，解得，或，
即可得点的纵坐标为，代入，得，即，
若，则，即，
又，
则可得，
整理得，，解得，或，或，或，
当时，与重合，舍去，
当时，与重合，舍去，
当时，，
当时，，
综上知，抛物线上存在点，为和时，.
50．(24-25高三上·安徽·摸底)设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在
【解析】（1）物线的焦点为，
直线的方程，
由，得，
设，
所以，
所以，
所以，且
所以，
所以抛物线的方程为．
（2）存在，使得为定值，
由题意可得直线的方程，直线的方程为，
联立，得，
设，
所以，
，
所以，
设，
同理可得，
所以，
由，得，
即，而，
所以，
所以存在，使得为定值0．
51．(24-25高三下·山西朔州·模拟)已知抛物线的准线为l，以为圆心，面积为的圆与y轴的负半轴交于点Q，动点P到直线l的距离为．
(1)求动点P的轨迹的方程；
(2)若直线l与y轴的交点为M，是否存在过点M且斜率存在的直线n交于A，B两点，使？若存在，求出直线n的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在；
【解析】（1）以为圆心，面积为的圆的方程为，
令，得或，
因为点Q在y轴的负半轴上，所以，
易得抛物线的准线为，
设，则，
整理得的方程为．
（2）存在．
依题意可知，设直线n的方程为，，，
联立，
整理得，，
故，，
于是．
因为A，M，B三点共线，所以，
又因为
，
若，即，
解得，满足，
故存在直线n，其方程为．
52．(24-25高三上·河南周口·期中)已知点在抛物线上，直线交于另一点．
(1)求的准线方程．
(2)若以为直径的圆恰好经过坐标原点，求圆的方程．
(3)若为上的动点，于点，过点作与轴垂直的直线与直线交于点，问：是否存在直线和常数，使恒成立？若存在，求出直线的方程和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)圆：或圆：.
(3)存在直线和常数，使恒成立，此时直线：，.
【解析】（1）将点代入得：.
所以抛物线的标准方程为：.
其准线方程为：.
（2）若，则以为直径的圆经过坐标原点，
此时，.
所以圆：.
若不与原点重合，因为以为直径的圆恰好经过坐标原点，所以.
因为，所以.
由得.
此时：，.
所以圆：.
故圆：或圆：.
（3）如图：
设直线：即，.
则直线的方程为：即.
由得：.
又.
所以，，
由.
若为常数，则，
此时直线的方程为：，
.

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