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专题04 抛物线及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】抛物线的定义 【知能解读02】抛物线的标准方程与几何性质 【知能解读03】焦半径公式 【知能解读04】直线与抛物线的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】抛物线中的定点问题 【重难点突破02】抛物线中的定值问题 【重难点突破03】抛物线中的最值或范围问题 【重难点突破04】抛物线中的证明问题 【重难点突破05】抛物线中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】未考虑抛物线开口方向的多解性致错 【易混易错02】遗漏斜率不存在的情况致错 【易混易错03】判别式使用不当致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】抛物线的定义及辨析 【方法技巧02】利用定义解决距离和差的最值问题 【方法技巧03】与抛物线有关的轨迹问题 【方法技巧04】求抛物线的方程 【方法技巧05】直线与抛物线的位置关系 【方法技巧06】直线与抛物线相交弦长 【方法技巧07】抛物线的中点弦问题
01 抛物线的定义
1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的集合表示：．
3、对抛物线定义的理解：
（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
【真题实战】（2025·重庆·三模）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】对于抛物线，其准线方程为.
已知点到的焦点的距离为，
由抛物线的定义可知，点到准线的距离也为.
又因为点到轴的距离为，
所以点到准线的距离为点到轴的距离加上，即.
对进行求解，移项可得，解得.故选：C.
02 抛物线的标准方程与几何性质
1、抛物线的几何性质
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径
2、抛物线的焦半径
（1）焦半径的定义：设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．
（2）用坐标表示焦半径公式
①抛物线，．
②抛物线，．
③抛物线，．
④抛物线，．
【注意】不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】对，令，则，
所以，即抛物线，
故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.故选：C
03 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有1个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
3、直线与抛物线相交弦长问题
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2）中点弦斜率：,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
（3）中点弦直线方程：直线的方程为．
4、抛物线的焦点弦性质
如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ．
【答案】13
【解析】抛物线的焦点为，
，
抛物线的方程为．
直线的方程：，
联立得，
设，则
．
另解：．
01 抛物线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴 轴分别交于两个不同的动点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】（1）法一：由题意得，中点，点即为动圆圆心.
由得，化简得，
又不重合，因此，所以轨迹的方程为.
法二：由已知得线段是动圆的直径，故，即，
又，所以，
又不重合，因此，所以轨迹的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
则，
由题意得，，同理，
因为，
所以，即，
所以直线的方程为，因此直线过定点.
【典例2】（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点.
(1)求的方程；
(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称，
若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，
因此点必在抛物线上，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴，
设直线的方程为，则直线的方程为，
由消去得，设，
则，线段的中点，
同理得线段的中点，当时，直线斜率，
直线方程为，整理得，直线过定点，
当时，或，直线过定点，
所以直线过定点.
02 抛物线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（25-26高三上·四川成都·月考）已知点在抛物线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）∵点在抛物线C上，
∴，，解得（负值舍），
∴抛物线C的方程为．
（2）由题意得，直线l存在斜率，设直线，，，
联立，消去y可得，，
，由韦达定理得，，
∴．
【典例2】（24-25高三上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）；
(3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，
代入抛物线方程得：，
，，，
，
当时，，，
，抛物线的方程为.
（2）证明：由（1）可知，，
则，
.
（3）证明：设，，
直线AC的方程：，直线BD的方程：，
由，得，
，同理，，
，
由（2）知，则，
.
03 抛物线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（24-25高三下·广东广州·月考）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，
(1)求的值；
(2)若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由抛物线过点，得，
设直线的斜率为，直线的斜率为，
由倾斜角互补可知，即，
由，代入得．
（2）设直线的斜率为，
由，得，
由（1）得，将其代入上式得．
因此设直线的方程为，
由，消去得，
由，得，
这时，
，
又点到直线的距离为，
所以，
令，
则由，得或，
当时，，所以单调递增，
当时，，所以单调递减，
故的最大值为，故面积的最大值为．
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
所以曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，
所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，
所以，所以曲线的方程为：.
（2）如图：
设直线，，
代入抛物线得：，得，
整理得：.
由韦达定理：.
所以.
用代替，可得.
所以.
设，则，当且仅当时取等号.
则. .
04 抛物线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25高三上·海南·期中）已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点.
(1)求的方程；
(2)求点关于的对称点的轨迹方程；
(3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）由题意，可设点，.
由，得，解得，
所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得，
所以的方程为.
（2）因为点，关于对称，过点，所以.
当绕点旋转时，线段也绕点旋转，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
故点的轨迹方程为.
（3）设，，，，直线的方程为.
由题可知直线不过点，则.
联立得消去，整理得，
恒成立，则，，
直线的方程为，即.
令，得，则，
同理可得，
所以
，
因此.
【典例2】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)；(2)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得，
当时，，平方化简得，
当时，，平方化简得，
由可知，不合题意，舍去，
综上，曲线的方程为；
（2）设，因为，所以，
故过点的切线斜率为，又直线的斜率为，
故，解得，故，
又，所以轴，要使，只需，
当直线斜率不存在时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程为，联立得，
，解得或，
设，则，
则
，
故，此时直线的斜率取值范围是.
05 抛物线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在，
【解析】（1）因为抛物线E的准线方程为：，设，则，所以，
故抛物线的标准方程为；
（2）设，
联立抛物线有，
下面先求抛物线在点处的切线方程，
当时，设该切线方程为，
与抛物线方程联立有，
则，
又，
即，则，
则，
当时，切线方程为，满足上式，
所以抛物线在点处的切线方程为，
所以抛物线E在处的切线方程为，
在B处的切线方程为，所以，
则，
直线分别与抛物线方程联立有，
设，则，
由弦长公式知，
同理有，
又，所以，
则,
即，
所以存在实数，使得恒成立.
【典例2】（24-25高三下·浙江·月考）已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，或
【解析】（1）由题意可得：，所以，
所以直线的方程为：，
设，
联立抛物线方程消去得：，
所以，
所以，
因为，所以，
即，解得：，
所以抛物线方程为：
（2）
由（1）得，假设存在满足题意，
过点得动直线方程为，
联立，解得则，设，
联立，消去得：，
所以，
直线得斜率为，直线得斜率为，
直线的斜率为，
因为直线的斜率均成等差数列，
所以，
整理得：，对任意恒成立，
所以，解得：或，此时，
即存在或满足题意.
01 未考虑抛物线开口方向的多解性致错
辨析：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论．
【典例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 .
【答案】或
【解析】令得，令得，所以抛物线的焦点为或.
当焦点为时，抛物线方程为；焦点为时，抛物线方程为.
【典例2】顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 .
【答案】或
【解析】依题意可设抛物线的标准方程为和，
将代入分别解得和，
则抛物线的标准方程为或.
02 遗漏斜率不存在的情况致错
辨析：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在的类型，设直线方程为可规避讨论．
【典例1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，
设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为，
满足直线与抛物线仅有一个公共点，
当时，设直线的方程为，
代入抛物线的方程可得：，
有，解得，故切线方程为，
当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切，
故满足条件的直线方程有三条.故选：C．
【典例2】（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与过焦点与抛物线分别交于与四点.
(1)求证：；
(2)若，求直线的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当直线斜率不存在时，；
当直线斜率存在时，设，则直线的方程为，
代入抛物线方程，化解得，
所以，
，
综上所述.
（2）因，由（1）知，直线斜率存在，设，
同理得，
当直线斜率不存在时，，所以，
当直线斜率存在时，，
所以，，
于是，，或
所以直线的倾斜角的取值范围为.
03 判别式使用不当致错
辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”．
【典例1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
即方程只有一个解，
当时，恒有一个解；
当时，，得，此时方程只有一个解．
即直线与抛物线只有一个公共点，可得或，
故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件，故选：A．
01 抛物线的定义及辨析
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆
1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件；
2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即；
3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化．
【典例1】（25-26高三上·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】依题意，焦点，
由，根据抛物线的定义，得，所以，
则，代入，得，
又，解得.故选：C
【典例2】（25-26高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，设点，
因为轴，所以，且，
又，所以，
又，所以.故选：A.
02 利用定义解决距离和差的最值问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 .
【答案】6
【解析】根据题意，则，
所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示.
故的周长为，其中为定值，
又根据抛物线的定义，
所以当三点共线时取得最小值，
此时，解得.
【典例2】（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，故选：B
03 与抛物线有关的轨迹问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离，
由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，
则，.
因此轨迹方程为：．
【典例2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点，因为，则为的中点，且点在轴上，
所以，则,
又，则，，
由，
故点的轨迹方程为.故选：D.
04 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程的方法
（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或；
注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不妨设点为抛物线上一点，
由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，
所以，化简得出，
即抛物线的方程为.故选：B.
【典例2】（2025·福建厦门·三模）已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为 .
【答案】
【解析】.
则圆心为，将代入，可得.
则抛物线方程为：，则准线方程为：.
05 直线与抛物线的位置关系
解题的通用流程
1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式．
2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）．
3、判断方程类型：
（1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）；
（2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断．
【典例1】（24-25高三下·安徽·月考）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切，
过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点.
所以满足条件的直线有3条，故选：C.
【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，解得（负值舍去），
所以的方程为．
（2）若直线的斜率存在，设的方程为．
由方程组可得．
（Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（Ⅱ）当时，方程的根的判别式为，
（ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
（ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点；
（ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点．
综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；
当的斜率或1或时，与的交点个数为1；
当的斜率时，与的交点个数为2．
06 直线与抛物线的相交弦长
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
【典例1】（25-26高三上·四川眉山·月考）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【解析】由可知，设，、，
联立，则有，
故，即，
又，，
由，则，即有，
则，
即，则或，
又，故，则，则.故选：A.
【典例2】（25-26高三上·贵州·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 .
【答案】1
【解析】设直线PQ的方程为，，.
由消去得，，
则，.
因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以，则.
因为，所以，
即，解得.
07 抛物线的中点弦问题
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景．
2、分类讨论斜率存在性：
（1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况；
（2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线．
3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
【典例1】（25-26高三上·广东·月考）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，则.
因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则.
又直线过的焦点，所以直线的方程为，
则线段的中点的横坐标为，则，
故.故选：C
【典例2】（24-25高三上·河北保定·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，则，
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.专题04 抛物线及其应用
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】抛物线的定义 【知能解读02】抛物线的标准方程与几何性质 【知能解读03】焦半径公式 【知能解读04】直线与抛物线的位置关系 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】抛物线中的定点问题 【重难点突破02】抛物线中的定值问题 【重难点突破03】抛物线中的最值或范围问题 【重难点突破04】抛物线中的证明问题 【重难点突破05】抛物线中的探究性问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】未考虑抛物线开口方向的多解性致错 【易混易错02】遗漏斜率不存在的情况致错 【易混易错03】判别式使用不当致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】抛物线的定义及辨析 【方法技巧02】利用定义解决距离和差的最值问题 【方法技巧03】与抛物线有关的轨迹问题 【方法技巧04】求抛物线的方程 【方法技巧05】直线与抛物线的位置关系 【方法技巧06】直线与抛物线相交弦长 【方法技巧07】抛物线的中点弦问题
01 抛物线的定义
1、抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的集合表示：．
3、对抛物线定义的理解：
（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
【真题实战】（2025·重庆·三模）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为4，到x轴的距离为2，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
02 抛物线的标准方程与几何性质
1、抛物线的几何性质
（1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点．
（4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，．
2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较
标准方程
图形
范围
对称轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
离心率
通径
2、抛物线的焦半径
（1）焦半径的定义：设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．
（2）用坐标表示焦半径公式
①抛物线，．
②抛物线，．
③抛物线，．
④抛物线，．
【注意】不同的标准方程对应于不同的焦半径公式．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
03 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率不存在，设直线方程为，
若，直线与抛物线有两个交点；
若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率存在.
设直线，抛物线，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，
即二次方程（或）解的个数．
①若，
则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当时，直线与抛物线相切，有1个公共点；
当时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点．
3、直线与抛物线相交弦长问题
设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为．
（1）弦长公式：（为直线的斜率，且）．
（2）中点弦斜率：,
推导：由题意，知，① ②
由①-②，得，故，即.
（3）中点弦直线方程：直线的方程为．
4、抛物线的焦点弦性质
如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，，
根据抛物线的定义有，，
故.
又因为是梯形的中位线，所以，
从而有下列结论；
（1）以为直径的圆必与准线相切.
（2）(焦点弦长与中点关系)
（3）.
（4）若直线的倾斜角为，则.
（5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，.
（6）为定值.
【真题实战】（2025·湖南·一模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则线段的长为 ．
01 抛物线中的定点问题
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴 轴分别交于两个不同的动点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线与曲线交于两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
【典例2】（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知抛物线仅经过中的一点.
(1)求的方程；
(2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点.
02 抛物线中的定值问题
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离解析式，再利用题设条件化简变形求得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（25-26高三上·四川成都·月考）已知点在抛物线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值．
【典例2】（24-25高三上·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）；
(3)点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：与的面积之比为定值.
03 抛物线中的最值或范围问题
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【典例1】（24-25高三下·广东广州·月考）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，两点，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，
(1)求的值；
(2)若直线AB在y轴上的截距，求面积的最大值．
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离大1．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线、，直线与曲线交于、两点，直线与曲线交于、两点，求的最小值．
04 抛物线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25高三上·海南·期中）已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点.
(1)求的方程；
(2)求点关于的对称点的轨迹方程；
(3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：.
【典例2】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点到的距离比到直线的距离小1，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点的坐标为，过点作曲线的切线，切点为（在第一象限），若过点的直线与曲线交于M，N两点，证明：．
05 抛物线中的探究性问题
“肯定顺推法”解决探索性问题，即先假设结论成立，用待定系数法列出相应参数的方程，倘若相应方程有解，则探索的元素存在(或命题成立)，否则不存在(或不成立)．
【典例1】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于C、D两点，直线CF与抛物线交于M、N两点，直线DF与抛物线交于P、Q两点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（24-25高三下·浙江·月考）已知抛物线，为的焦点，为的准线是上两点，且（O为坐标原点），过作，垂足为D，点D的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)在C上是否存在点，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线的斜率均成等差数列？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
01 未考虑抛物线开口方向的多解性致错
辨析：已知“抛物线过某点”或“焦点在某轴上”时，未考虑开口的不同方向（如焦点在x轴上的抛物线，可能开口向左或向右），导致漏解．这种情况要死记标准结构，多解问题需要先分类讨论．
【典例1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为 .
【典例2】顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 .
02 遗漏斜率不存在的情况致错
辨析：设直线方程前，先明确“是否需要分斜率存在/不存在两类”，尤其涉及“垂直于对称轴的直线”时，必须单独讨论．另外对于斜率可能不存在的类型，设直线方程为可规避讨论．
【典例1】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
【典例2】（2025·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与过焦点与抛物线分别交于与四点.
(1)求证：；
(2)若，求直线的倾斜角的取值范围.
03 判别式使用不当致错
辨析：联立方程后，未先判断方程类型（一元一次或一元二次），直接用一元二次方程的判别式；若得到一元一次方程（直线平行于抛物线对称轴），此时无意义，却误判为“无交点”．
【典例1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
01 抛物线的定义及辨析
紧扣“到定点与定直线距离相等”的本质，避免与椭圆、双曲线定义混淆
1、明确三要素：必须同时满足“一个定点（焦点F）”“一条定直线（准线）”“定点不在定直线上”这三个条件；
2、抓住距离关系：抛物线上任意一点P，到焦点F的距离（|PF|）与到准线的距离（）始终相等，即；
3、区分定义与方程：定义是几何本质，抛物线方程（如）是定义在特定坐标系下的代数表达，解题时需能双向转化．
【典例1】（25-26高三上·湖南·月考）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【典例2】（25-26高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（ ）
A． B．2 C．3 D．
02 利用定义解决距离和差的最值问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 .
【典例2】（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
03 与抛物线有关的轨迹问题
解决这类问题的关键是：距离转化
1、统一距离类型：根据抛物线定义，将抛物线上任意一点P到焦点F的距离（|PF|），转化为该点到准线的距离（），即；
2、转化目标：通过上述转化，将原本含“焦点距离”的复杂和差问题，转化为仅含“点到直线距离”或“两点间距离”的平面几何最值问题，利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”求解．
【典例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ．
【典例2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
04 求抛物线的标准方程
求抛物线标准方程的方法
（1）直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数；
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或；
注意：①已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；
②已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定．
【典例1】（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·福建厦门·三模）已知抛物线C：恰好经过圆M：的圆心，则C的准线方程为 .
05 直线与抛物线的位置关系
解题的通用流程
1、设方程：根据已知条件设出直线和抛物线的方程。直线方程优先考虑斜截式，需单独讨论斜率不存在（即）的情况；抛物线方程优先用标准形式．
2、联立消元：将直线方程代入抛物线方程，消去一个变量（通常消或），得到关于另一个变量的一元方程（可能是一次或二次方程）．
3、判断方程类型：
（1）若得到一元一次方程：直线与抛物线只有一个交点，此时直线为抛物线的“平行于对称轴的直线”（非切线）；
（2）若得到一元二次方程：设其一般形式为（或），计算判别式，通过判断位置关系来判断．
【典例1】（24-25高三下·安徽·月考）已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．
06 直线与抛物线的相交弦长
按照“设方程并分类讨论——联立消元得一元二次方程——韦达定理——代入弦长公式”这个流程求解直线与抛物线相交的弦长问题．但要注意焦点弦的弦长可使用焦半径公式简化求解．
【典例1】（25-26高三上·四川眉山·月考）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ）
A． B．4 C． D．3
【典例2】（25-26高三上·贵州·月考）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中点的纵坐标为1，且，则 .
07 抛物线的中点弦问题
1、优先选择点差法：点差法无需联立方程求解，可直接建立中点与斜率的关系，计算量远小于韦达定理法，尤其适用于已知中点求弦所在直线方程的场景．
2、分类讨论斜率存在性：
（1）若用点差法推导时，若得到的斜率关系式中分母为0，需单独讨论斜率不存在的情况；
（2）若中点在抛物线对称轴上，中点弦通常垂直于对称轴，需优先考虑斜率不存在的直线．
3、必做验证步骤：无论用点差法还是韦达定理法，求出直线方程后必须验证判别式Δ>0，避免出现“所求直线与抛物线无交点或相切”的无效解．
【典例1】（25-26高三上·广东·月考）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ）
A．12 B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·河北保定·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.

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