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专题04 三角函数拆角与恒等变形培优归类
题型1 辅助角（特殊角型）
辅助角 形式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角） 详细的推导：
1．（24-25高三津和平·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三·江苏苏州·阶段练习）设的最大值为，则正数a的值是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称
C．在上有4个极值点 D．在上单调递减
4．（21-22高三江西上饶·阶段练习）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
题型2 辅助角（非特殊角型）
辅助角范围满足：
1．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若，，下列判断错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．（2025高三·全国·专题练习）当函数取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·湖北黄冈·阶段练习）若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，，满足，则xy的值是（ ）
A． B． C． D．
题型3 恒等公式体系：和与差、倍与半
恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_
1．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线与曲线的交点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
题型4 恒等公式体系：升幂与降幂
恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·河南·阶段练习）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
题型5 正弦与余弦型“和、积”互化
与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2.
1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（ ）
A． B． C．7 D．
2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·湖南·阶段练习）若A是的内角，且，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型6 拆角基础
常见的变角技巧有： 、.（2）、。（3）、 . （4）、。 （5）、。（6）、等．
1．（24-25高三·陕西安康·阶段练习）已知锐角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知锐角满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型7 “奇变偶不变”型拆角
角度“广义互余”可以用诱导公式转化： “广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化
1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·河南南阳·阶段练习）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（ ）
A． B． C． D．
题型8二倍角型
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝ 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·江苏宿迁·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知角满足：，其中，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型9 特殊角型拆角1
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值
1.（22-23高三上·河南·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2.（23-24高三·重庆·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．2
3.（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A． B． C． D．1
4.（2024高一下·全国·专题练习）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
题型10 特殊角型拆角2
常见的变角技巧有： ， ， ， ， 等．
1.（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2.（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）计算的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3.（2024·河北沧州·二模）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
4.（2024·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
题型11 正切型拆角
正切型公式： tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan 2α＝
1.在三角形中，若，则的值是___________；
新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试题
2. （ ）
A． B． C． D．
四川省成都市简阳市2021-2022学年高一下学期期末数学文科试题
3.的值是__________．
4..已知，则______．
四川省资阳市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题
题型12 复杂分式型
复杂型分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。 所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。
1._______.
2.（2021·广西·一模）＝ （ ）
A． B． C． D．
3.（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4.（23-24高三·四川成都·阶段练习）求值（ ）
A． B． C．1 D．
题型13 对偶型
对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为对称结构，可以借助消元求解
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．0 B． C． D．1
2.（2022·全国·高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2021秋·高一单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
题型14 拆角求角：
拆角求角主要是求求复合型角， 以给了函数值的角度为基角来拆角。 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1.（23-24高三·广东·阶段练习）已知角、满足，，，，则角等于 ．
2.（2021·湖南株洲·三模）若，，且，，则的值是 ．
3.（23-24高三上·安徽合肥·期末）若，且，则 ．
4.（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值为 ．
题型15 拆角求最值型
1.（2023高三全国·模拟）若，，且满足关系式，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2024高三·江苏·专题练习）中，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3.（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·山西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C． D．2
题型16 恒等变形综合型
1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习） ．
2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ．
5．（22-23高二下·福建·期末）= .
6．（22-23高三下·江苏南京·阶段练习）已知，，则正常数p的值为 .专题04 三角函数拆角与恒等变形培优归类
题型1 辅助角（特殊角型）
辅助角 形式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角） 详细的推导：
1．（24-25高三津和平·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据和正弦函数的图象和性质列式求解即可.
【详解】由题意可得
，
所以，
因为与的图象关于轴对称，
所以，即，
所以，解得，
又由可得的最小值为，
故选：A
2．（24-25高三·江苏苏州·阶段练习）设的最大值为，则正数a的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式和辅助角公式可得，结合函数的最大值可求正数的值.
【详解】
，其中，
因为，则的最大值为，当且仅当时取最大值，
故，即，
故选：A.
3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．的图象关于直线对称
C．在上有4个极值点 D．在上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数周期性、对称性定义判断A，B；求导并探讨导数在上的正负情况判断C；探讨函数在上单调性判断D作答.
【详解】函数，
对于A，，
即不是的周期，A不正确；
对于B，因为，而，
显然函数图象上的点关于直线的对称点不在的图象上，B不正确；
对于C，当或时，，，
此时或，当或，
即或时，函数取得最值，因此在或取极值，
当时，，，此时，
当或，即或时，函数取得最值，因此在或取极值，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又函数是定义域R上的连续函数，则是函数的一个极小值点，
所以函数在上的极值点至少有5个，C不正确；
对于D，因为，则是函数的一个周期，
当时，，由选项C知函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，所以在上单调递减，D正确.
故选：D
4．（21-22高三江西上饶·阶段练习）已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数化简变形，然后由题意可得，求得，再由可得，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果
【详解】因为，
其中，，
由于函数的图象关于对称，所以，
即，化简得，
所以，即，
所以，
故选：C.
题型2 辅助角（非特殊角型）
辅助角范围满足：
1．（22-23高一上·上海宝山·阶段练习）若，，下列判断错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.
【详解】由选项知，，，
令，有，，
则，
对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；
对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；
对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；
对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.
故选：D
2．（2025高三·全国·专题练习）当函数取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数转化为单一三角函数形式，找到最小值对应的相位角，再利用和角公式计算的值.
【详解】，其中，.
当时，取最小值，此时，故。.
所以，，故.
故选：A.
3．（24-25高三·湖北黄冈·阶段练习）若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数，其中，
由，得，而，
因此，即，则即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
4．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知，，满足，则xy的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用辅助角法得到，从而，即，再利用基本不等式得到，从而求解.
【详解】由，则，
，其中，因为，所以，
即，又由基本不等式可得：，当且仅当即时等号成立，
故，即，且取等号，因为，所以
此时，，，所以，
解得，因为，所以，，
又，所以故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用辅助角公式结合基本不等式求出的值，再结合三角函数求解即可.
题型3 恒等公式体系：和与差、倍与半
恒等变形基础： （1）两角和的正弦公式：_； （2）两角差的正弦公式：_； （3）两角和的余弦公式：_； （4）两角差的余弦公式：； （5）二倍角的正弦公式：__ （6）二倍角的余弦公式：__ （7）二倍角的正切公式：_
1．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解.
【详解】由题知.
∵，
∴，
即.
∴.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将变形为，利用二倍角公式和两角差的余弦公式得，结合，得，最后利用诱导公式化简即可求解.
【详解】因为，
所以，
则，即，
因为，所以，则，
所以，即，
因为，，所以，，
又，所以或，
由得，不符合题意，
由，得，
所以，即，故C，D均错误；
因为，所以，
所以，即，
故A错误，B正确．
故选：B．
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算．
【详解】，
是锐角，则，
，
故选：B．
4．（2025高三·全国·专题练习）当时，曲线与曲线的交点个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】将两个曲线交点转化为等式，用三角恒等变换进行化简，分析对应角度的范围，结合周期与函数性质确定交点个数.
【详解】由题意得，令，化简得
，
，，令，则，
正切函数的周期为，区间的长度为，包含三个完整的周期，
又正切函数在每个周期内为单调递增函数，在每个周期内有且仅有一个解，故三个周期有个解，
故选：.
题型4 恒等公式体系：升幂与降幂
恒等变形主要公式体系： 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可求出角的值，然后对化简变形可求得结果．
【详解】由，
两边平方得：
.
所以．
故选：C
2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值.
【详解】由，，原式可化为，
由，故.
故选：C
3．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用和角公式与二倍角公式化简已知式，结合角的范围得出，两边平方，根据同角的三角函数关系式计算即得.
【详解】由，可得，，
因，所以，，则，则有，
两边取平方，可得，即．
故选：A.
4．（24-25高三·河南·阶段练习）函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】由同角三角函数的关系、二倍角公式及辅助角公式化简可得，再由三角函数的值域可得结果.
【详解】，其中.
所以的最大值为.
故选：C．
题型5 正弦与余弦型“和、积”互化
与 的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围． 之间的互化关系 1. 2.
1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】D
【分析】将已知条件两侧平方并整理得，结合已知得，最后应用商数关系及和差正余弦公式求值.
【详解】由，得，解得，
由于，则，又，则，
则，
则．
故选：D
2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题的核心在于灵活运用和差公式、二倍角公式等进行化简，关键点在于将分母展开，并通过变量代换将原式转化为关于的方程，最终利用二倍角公式求解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，即，
所以，解得．
故选：B.
3．（24-25高三·湖南·阶段练习）若A是的内角，且，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系中的平方关系求解即可，，的根据条件求，再将齐次式化简求值.
【详解】由可得，
即，
即,,
①，所以；
所以，
所以.
②，所以；
所以，
所以.
故选：A
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解.
【详解】因为，所以，
化简得，
解得或（舍去，因为，且等号不能成立）．
故选：D．
题型6 拆角基础
常见的变角技巧有： 、.（2）、。（3）、 . （4）、。 （5）、。（6）、等．
1．（24-25高三·陕西安康·阶段练习）已知锐角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到，，利用同角三角函数关系得到，根据，得到，于是求出，，利用凑角法，代入求值即可.
【详解】由，均为锐角可知，而，
故，于是，
因为，，均为锐角，所以，，，
故由可知，
于是，.
于是
.
故选：C.
2．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知锐角满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两角差的正弦、正切，两角和的正切，二倍角的正切结合已知计算可得.
【详解】由可得，
即，
而，
所以，
移项得，即，
又，是锐角，所以，则，
所以，即，且，
所以，解得，
因为，所以，
又，所以.故选：D.
3．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得，再根据，，计算即可求解.
【详解】因为
，
由题意可知，，所以，
因为，，，所以，，
所以，，
因为，
，
所以.故选：C.
4．（24-25高三上·河南周口·期中）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过把拆解成与的关系式可求得的值，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和、差的正弦公式可得结果.
【详解】∵，∴，
∴，
∵，∴，故，
∴，
∴
.
故选：A.
题型7 “奇变偶不变”型拆角
角度“广义互余”可以用诱导公式转化： “广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化
1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
【详解】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以
==.
故选：D.
2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可.
【详解】，则，
又，则，
故，
.
故选：A
3．（24-25高三·河南南阳·阶段练习）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解.
【详解】由题意得，
则，，
所以
.
故选：B
4．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过对所求式子进行变形，利用已知条件得出答案即可.
【详解】，．
故选：.
题型8二倍角型
降幂公式：cos2α＝，sin2α＝ 升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α 1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.
1．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由，
故选：A.
4．（24-25高三·江苏宿迁·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由，得，然后利用三角函数恒等变换公式及同角三角函数的关系对化简变形，再代入计算即可.
【详解】由，得，
.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）已知角满足：，其中，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用和差化积公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为，
，
所以，又，
于是由可得，即，
所以或．
因为，所以，
所以，即，
所以，即，
所以，即.
故选：B．
4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.
【详解】，.
，
，，
，，
又因为，所以，
则，所以
.
.
故选：A
题型9 特殊角型拆角1
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值
1.（22-23高三上·河南·期末）的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由，利用两角和的正弦公式求解即可．
【详解】
，
故选：B.
2.（23-24高三·重庆·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】
故选：A
3.（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.故选：C
4.（2024高一下·全国·专题练习）等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据基本关系式、诱导公式、二倍角正弦公式及辅助角公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：C.
题型10 特殊角型拆角2
常见的变角技巧有： ， ， ， ， 等．
1.（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用三角函数的和差公式与倍角公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：C.
2.（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）计算的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简，再结合两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：C.
3.（2024·河北沧州·二模）化简（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简.
【详解】.
故选：B.
4.（2024·全国·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】切化弦后通分，根据两角和差的正余弦公式求解即可.
【详解】
.
故选：A.
题型11 正切型拆角
正切型公式： tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan 2α＝
1.在三角形中，若，则的值是___________；
新疆呼图壁县第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试题
【答案】
【解析】由已知得到，化简即得解.
【详解】在三角形中，
由题设得：得：，
即，
所以，而，所以，
所以.故答案为：
2. （ ）
A． B． C． D．
四川省成都市简阳市2021-2022学年高一下学期期末数学文科试题
【答案】D
【分析】根据正切两角差的公式即可求解.
【详解】因为；
故，
故选：D
3.的值是__________．
【答案】
【详解】∵，
．
4..已知，则______．
四川省资阳市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题
【答案】2
【分析】将代入目标式，利用两角差的正切公式化简计算即可.
【详解】，
故答案为：2.
题型12 复杂分式型
复杂型分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。 所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。
1._______.
【答案】
【解析】将展开代入计算可得结果.
【详解】原式
.
故答案为：.
2.（2021·广西·一模）＝ （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，然后，利用，代入 的值求解即可
【详解】，
令，得， ，，所以，，
所以，
故选：A
3.（23-24高一下·辽宁·期中）化简的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和与差公式和二倍角公式求解即可.
【详解】
.
故选：C.
4.（23-24高三·四川成都·阶段练习）求值（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可.
【详解】因为；
；
，
所以
.故选：D.
题型13 对偶型
对称结构，又叫“对偶”结构，一般是正弦对偶余弦，减法对偶减法。 常见的对称型结构： 为对称结构，可以借助消元求解
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【分析】将已知两式平方相加可得，即得，由此求得，化简为 ，由二倍角公式可求得答案.
【详解】因为，，
两式平方相加得： ，
即 ，即，
则，
故即，，即，
即，，即，
故，
故选：C
2.（2022·全国·高三专题练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将题设中等式两边平方后相加可得，结合角的范围可求，从而可得正确的选项.
【详解】由题意知，，，
将两式分别平方相加，得，
，故选项AB错误；
，，，
又，，，故选项D正确，C错误．
故选：D
3.（2022·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】两式平方后作和，根据两角和差正弦公式可构造方程求得结果.
【详解】由得：…①；
由得：…②；
①②得：，
.
故选：C.
4.（2021秋·高一单元测试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换公式，两式平方再相加求解即可
【详解】由题，，
故，
两式相加有，故
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换求解三角函数值的问题，需要熟悉三角函数的公式，根据题意计算求解，属于中档题
题型14 拆角求角：
拆角求角主要是求求复合型角， 以给了函数值的角度为基角来拆角。 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1.（23-24高三·广东·阶段练习）已知角、满足，，，，则角等于 ．
【答案】
【分析】根据、的范围求出、、的取值范围，再根据同角三角函数的基本关系求出，，最后根据计算可得.
【详解】解：因为，，所以，，，
因为，，
所以，，
则
，所以.故答案为：
2.（2021·湖南株洲·三模）若，，且，，则的值是 ．
【答案】
【分析】
根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得的余弦值，结合角的范围即可求解.
【详解】因为，所以，且，所以，
则，且，由，所以，
又，所以，则，
所以
，又，所以.故答案为:.
3.（23-24高三上·安徽合肥·期末）若，且，则 ．
【答案】
【分析】由已知，可以和差化积可得，从而，可求值.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又在上单调递减，所以，则，所以，
由已知可得，
则，所以，所以.故答案为：.
4.（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据条件，得出，利用平方关系得到，进而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范围和特殊角的三角函数值，即可求出结果.
【详解】因为，又，所以，
又，所以，
又，故，
所以，得到，
又，所以，
又，所以，故答案为：.
题型15 拆角求最值型
1.（2023高三全国·模拟）若，，且满足关系式，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用已知等式变形可得，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由得：，
，，，，
且，
（当且仅当时取等号），
的最小值为.
故选：B.
2.（2024高三·江苏·专题练习）中，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】由，利用两角和与差的正弦公式化简得，再由，代入中由基本不等式求最小值.
【详解】中，，即，
有，
得，
则有，得，
且，
则，
若A为钝角，则为钝角，∴，与矛盾，舍去，
故A为锐角，∴，，当且仅当时取“”，
的最小值为2.
故选：A．
3.（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知等式利用两角差的正弦公式和同角三角函数的商数关系化简得，结合基本不等式可得，由正切函数的单调性可得的最大值.
【详解】由，得，
即，化简得，
则，
所以，
由为锐角，，则有，
当且仅当，即时等号成立，
，
由，函数在上单调递增，
所以的最大值为.
故选：B
4.（2024·山西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C． D．2
【答案】C
【分析】由两角和与差的余弦公式变形已知式得出，再利用两角和的正切公式变形得出关于的代数式，利用基本不等式得出其范围．
【详解】，，
，
又，
，即，
．
，，
当且仅当，即等号成立，
的最小值为．
故选：C．
题型16 恒等变形综合型
1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习） ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
2．（24-25高三下·河北·开学考试）已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
【答案】/
【分析】直接利用三角换元法结合辅助角公式及三角恒等变换求解即可.
【详解】依题可设，，，，
由，可得
而，
可先求的最小值，
设，则，
从而有
，
因此，
解得
则，
可知最大值为
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于多变量的最值问题，观察条件等式的结构，有时利用三角换元结合辅助角公式可巧妙处理.
3．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）若，，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及差角公式可得，进而得到，然后中用代换，化简后利用基本不等式求出最值.
【详解】由得，，
又，所以，所以，
所以，
因为，，，所以，
则，即，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：.
4．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】由条件等式右边含有，可联想到中分离出来处理，设，待求表达式中用表示，结合万能公式进行求解.
【详解】设，于是，
整理可得，根据万能公式，，
整理可得，
由可得，，
故，
根据诱导公式，，
根据两角和的正切公式，，
故.
故答案为：
5．（22-23高二下·福建·期末）= .
【答案】
【分析】先找到，再将原式带入，运算求解即可.
【详解】因为
，
故原式
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：此题的关键是找到裂项.
6．（22-23高三下·江苏南京·阶段练习）已知，，则正常数p的值为 .
【答案】
【解析】设，，根据题意得到，，故，，，解得答案.
【详解】设，.
故，
，故，.
，且，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力，取，，是解题的关键.
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