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专题05 三角函数图像性质培优归类
题型1 图像性质核心：五点画图
五点画图法，是高中解决函数图像性质的小题的“终极实战大法”也是容易被忽略的的基本方法，合理利用这个方法，能在处理图像和性质，特别是求的题型时，达到“小题速做，小题不大作”的神奇效果。 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．(多选）（25-26高三上·福建·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
2．(多选）（（内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期第一次质量监测数学试卷）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴
C． D．在上单调递增
3．(多选）（（25-26高二上·云南昆明·开学考试）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．函数在区间上的最大值为
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象
4．(多选）（（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C．在上的值域为
D．两个相邻的零点之差绝对值为
题型2 图像与解析式：y轴有交点型
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 与y轴有交点型图像求解析式，相对来说有一定难度。主要依靠x=0时这类特殊值，确定符合条件的对应值来作为突破口，再借助五点画图法来求解解析式。
1.（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在区间共有8097个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称
2.（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A． B．
C． D．
题型3 平移最值型求w
平移最小型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。
1.（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（25-26高三上·浙江·阶段练习）若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）．
A． B． C．0 D．
题型4 对称中心或者零点型
正余弦函数性质：对称中心 正弦函数对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 正余弦函数对称中心（零点），在一些特殊题型时，要注意“第一零点与第二零点”的区别。而对于正切函数tanx，特别是正切型的对称中心，不一定是正切的零点，这个要注意区别。
1．（2022·浙江宁波·模拟预测）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
2．（21-22高三上·河南·阶段练习）函数在区间上的一个对称中心是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若是函数图象的一个对称中心，则的最大值为 .
4．（2025·江苏南京·模拟预测）曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为 ．
题型5 对称轴型求w
正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正余弦对称轴各自都有两种类型，一个是最大值对称轴，处于单调增到单调减的分界处，一个是最小值对称轴，处于单调减与单调增的分界处，注意区分。
1.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数的图像与轴交于点，距离轴最近的一条对称轴为，若，且，恒有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数图象的一条对称轴为直线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
4.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【省级联考】广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷
题型6 单调性求w
1、正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 2.余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
1.（2021春 鼓楼区校级期末）已知函数，，若，，在上单调递减，那么的取值个数是　　
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
2.（2024镇江台州市书生中学开学考试）已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
3.（2020·山西实验中学高三阶段练习（理）），函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023甘肃省高三阶段练习）已知函数，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型7 对称中心与对称轴型求w
函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间.
1（2025·河北·模拟预测）已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
3.（2021春·陕西汉中·高一校考期中）已知函数（，，）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点中心对称，则下列判断正确的是（ ）
A．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．函数在上单调递减
4.（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型8 零点个数型求w
在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足
1.（2023·全国·高三专题练习）设函数与有相同的对称轴,且在内恰有3个零点,则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2.．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三·江苏南通·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型9 最值点个数型求w
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
1．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型10 零点最值个数型求w
的单调区间长度是最小正周期的一半; 的相邻零点长度是最小正周期的一半; 的相邻轴长度是最小正周期的一半;
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点 两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型11 没有零点型求w
没有零点型型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
1．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型12 零点“和”型
零点和型： 正余弦函数相邻两个零点的中点，则是对称轴对应的横坐标，所以利用正余弦函数的对称性可以计算。
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
题型13 不单调型求w
对于正余弦型函数，如果区间内不单调，则区间内必有对称轴，可以借助这个思维来求解
1．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
2．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
4．（2020·全国·三模）已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型14 正整数型求w
求正整数型，可以先求出对应的范围，再“卡”整数点。
1．（20-21高一下·陕西渭南·期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则满足不等式的最小正整数x为 ．
3．（23-24高三·全国·阶段练习）已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，则最小正整数k的值为 ．
4．（21-22高三上·福建福州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
题型15 综合讨论应用型
解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
1．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ．
2．（23-24高一上·福建福州·期末）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时， ；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有 个．
3．（24-25高三·贵州铜仁·阶段练习）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为 ．
4．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 .
结束专题05 三角函数图像性质培优归类
题型1 图像性质核心：五点画图
五点画图法，是高中解决函数图像性质的小题的“终极实战大法”也是容易被忽略的的基本方法，合理利用这个方法，能在处理图像和性质，特别是求的题型时，达到“小题速做，小题不大作”的神奇效果。 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
1．(多选）（25-26高三上·福建·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】BC
【分析】先利用诱导公式和二倍角公式化简函数，再利用三角函数的平移规律得到平移后的函数表达式，结合偶函数的性质求出值，然后逐一分析选项即可.
【详解】，
将图象向左平移个单位长度得，
因为平移后图象关于轴对称，所以，所以，
因为，所以，所以B正确；
又，所以函数的最小正周期为，所以A错误；
令，解得，
当时，函数的单调递减区间为，又，
所以在区间上单调递减，所以C正确；
令，解得，当时，，当时，，
所以图象关于点和点对称，不关于点对称，所以D错误.
故选：BC
2．(多选）（（内蒙古呼和浩特市2025-2026学年高三上学期第一次质量监测数学试卷）把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴
C． D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】先根据辅助角公式化简可得，再由三角函数的图象变换可得，利用三角函数的周期性、对称性、单调性的判断方法依次判断各选项即可.
【详解】，则，
对于A，的最小正周期，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，令，解得，
当时，，而在的范围内，故D正确.
故选：ACD.
3．(多选）（（25-26高二上·云南昆明·开学考试）已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．函数在区间上的最大值为
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象
【答案】AD
【分析】根据周期公式先算出，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，
所以，则，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故A正确；
当，则，
所以当，即时取得最大值，故B错误；
当，则，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故C错误；
将函数图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：AD
4．(多选）（（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C．在上的值域为
D．两个相邻的零点之差绝对值为
【答案】ACD
【分析】由求出的值可判断A.；通过函数的平移原则可判断B；直接根据正弦函数的性质可判断C；令，解出可判断D.
【详解】选项A，因为，所以的图象关于直线对称，所以A正确；
选项B，，所以B错误；
选项C，由，得，所以，
则，所以C正确；
选项D，由，则，则，
解得，所以两个相邻的零点之差绝对值为，所以D正确.
故选：ACD.
题型2 图像与解析式：y轴有交点型
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 与y轴有交点型图像求解析式，相对来说有一定难度。主要依靠x=0时这类特殊值，确定符合条件的对应值来作为突破口，再借助五点画图法来求解解析式。
1.（23-24高二下·湖南·期末）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．在区间共有8097个零点
D．的图象向左平移个单位长度后得到的新图象关于轴对称
【答案】D
【分析】由图可知，，即可判断A；利用周期计算即可判断B；利用所得解析式结合三角函数图象性质可判断C；利用三角函数平移性质计算可判断D.
【详解】对于A，由题图可知，，从而，
且位于单调递增区间，结合，可知，故A不正确；
对于B，由图可得，解得，，
又，所以，所以，
故，故B错误；
对于，，
令，则，
共有8096个零点，故C不正确；
对于D，的图象向左平移个单位长度后得到的图象的函数解析式为：
，
显然的定义域为全体实数，且为偶函数，
所以的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，故D正确.
故选：D.
2.（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象和正弦函数的性质先求出周期，再根据以及求出和，从而利用三角函数的奇偶性确定平移的最小距离.
【详解】由图可知，即
由，即，则，
又图象过点，所以，即，点在原图象的增区间上，
所以可取，，可得；
的图象向右平移（）个单位得到的图象，
可得，
又为奇函数，所以，，
即，，又，所以.故选：A.
3.（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用图象看出最大值和周期，借助零点可以求出初相，最后可求值.
【详解】由得，
的图象上的所有点向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得函数的图象过点，
所以，即，故，
又，因为，所以，
即，所以，
故选：A．
4.（24-25高三上·上海·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正弦型函数的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，求出的值，可得函数的最小正周期，进而可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值.
【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知，
阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即，
由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又，
所以，，则，
因为，所以，即，
因为，所以.故选：A.
题型3 平移最值型求w
平移最小型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。
1.（2025·全国·模拟预测）已知函数在上单调， ，若将曲线向右平移个单位后恰好关于轴对称，则正数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调区间长度可以估计周期的长度，再结合，可确定的取值，然后进行讨论检验即可得解.
【详解】因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
则，又，所以．
若，则由，
又因为，，所以此时无解．
若，则，
因为，所以．又，符合题意．
若，则，
又，，则此时无解．
综上，，所以函数图像向右平移个单位，，
由的图象关于轴对称，
所以有，
则正数的最小值为，
故选：D．
2.（25-26高一上·全国·单元测试）将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，若，则正数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】由函数伸缩变换得，进一步由得即可求解.
【详解】因为将函数图象上所有点的横、纵坐标变为原来的，得到函数的图象，
所以.
因为，所以，
即，所以正数的最小值为6.
故选：C.
3．（25-26高三上·浙江·阶段练习）若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知平移后，再利用函数的奇偶性可得即可求解.
【详解】平移后得到函数的图象，则，
解得，而因此最小可取.
故选：D.
4．（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据平移得到，再根据奇偶性求参数即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，因为它是偶函数，
所以，，即．
当时，；当时，；当时，．
故选：C．
题型4 对称中心或者零点型
正余弦函数性质：对称中心 正弦函数对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 正余弦函数对称中心（零点），在一些特殊题型时，要注意“第一零点与第二零点”的区别。而对于正切函数tanx，特别是正切型的对称中心，不一定是正切的零点，这个要注意区别。
1．（2022·浙江宁波·模拟预测）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：A.
2．（21-22高三上·河南·阶段练习）函数在区间上的一个对称中心是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据图象性质求参数值.
【详解】由题得
，
令，则，
当时，，，
故的值为.
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若是函数图象的一个对称中心，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】首先根据图象变换原则，写出，根据是函数图像的一个对称中心，得到等量关系式，从而求得结果.
【详解】由题意可得，
∵是的一个对称中心，
∴，，解得，因为，
所以当时，取得最大值3.
故答案为：3.
【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有图象变换，根据函数图象的对称中心求参数，属于简单题目.
4．（2025·江苏南京·模拟预测）曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】令，求出最小的即可.
【详解】令，可得，
，当最小
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数的对称中心，考查了运算求解能力，属于基础题目.
题型5 对称轴型求w
正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正余弦对称轴各自都有两种类型，一个是最大值对称轴，处于单调增到单调减的分界处，一个是最小值对称轴，处于单调减与单调增的分界处，注意区分。
1.（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数的图像与轴交于点，距离轴最近的一条对称轴为，若，且，恒有，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象特征可求解解析式，根据，且，恒有可判断在单调，进而可根据正弦的性质求解.
【详解】在上，则，由于，故，
是离轴最近的对称轴，则,所以,故，
，且，恒有，故知在单调，
令或，故离原点最近的为，
故选：D
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的性质可得，进而可得，即得.
【详解】∵的最大值为，
∴，又，∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，
∴的最小值为.故选：B.
3.（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数图象的一条对称轴为直线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．－1 D．
【答案】C
【分析】由正弦函数的性质求解即等于函数的最大值或最小值．
【详解】，
因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，解得．
故选：C．
4.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【省级联考】广东省2019届高考适应性考试理科数学试卷
【答案】A
【分析】
根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间．
【详解】∵函数 的一个零点是，∴，∴，
∴，或．①又直线是的图像的一条对称轴，
∴，②由①②得，∵，
∴；此时，∴，∵，
∴，∴．由，
得．∴的单调增区间是．故选A．
题型6 单调性求w
1、正弦函数 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减 2.余弦函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增， 在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都单调递减
1.（2021春 鼓楼区校级期末）已知函数，，若，，在上单调递减，那么的取值个数是　　
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【解答】解：设函数的周期为，
因为在上单调递减，则，即，又，，
设，则，解得，所以有2020个，
则的取值有2020个．故选：．
2.（2024镇江台州市书生中学开学考试）已知函数是上的增函数，且，其中是锐角，并且使得在上单调递减，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：构造函数，因为函数是上的增函数，所以也是增函数，而，所以，那么，以及根据周期，解得，又因为，解得，综上可得，故选A.
考点：1.构造法；2.三角函数的性质.
【思路点睛】本题考查了三角函数的性质以及构造函数法，综合性强，属于难题，本题的第一个难点是构造函数，根据函数的单调性，得到，得到的第一个范围，根据函数在区间上单调递减，说明函数的周期,得到的第二个范围，以及时函数单调递减区间的子集，这样得到参数取值.
3.（2020·山西实验中学高三阶段练习（理）），函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得，再求出的增区间，，，根据列式可解得结果.
【详解】由题得，由，，
得，，所以的单调递增区间为，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，又＞0，所以.故选：B.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，考查了正弦函数的单调区间，属于中档题.
4.（2023甘肃省高三阶段练习）已知函数，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据在上单调递增，建立不等关系，解出的取值范围．
【详解】因为，由题意得解得，又，所以故选：D
【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．
题型7 对称中心与对称轴型求w
函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间.
1（2025·河北·模拟预测）已知函数，若图象上相邻的两个零点之间的距离是，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由图象上相邻的两个零点之间的距离为，得到的表达式，进而根据的范围，求出的范围，由分析出，从而根据正弦的对称轴方程列出等式，化简得到，再根据的限制条件即可求出的值.
【详解】依题意，
，即，.
又，，
，将代入，
可得，即，
，或4，
又，.
故选：C
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在区间上恰有三个零点，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式可得，结合选项，确定的取值范围，根据正弦函数的性质验证函数是否有3个零点且满足即可.
【详解】.
A：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
所以，不符合题意，故A错误；
B：当时，，
由，得，函数有3个零点；
，
，
，
所以，符合题意，故B正确；
C：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故C错误；
D：当时，，
由，得，
函数不止有3个零点，不符合题意，故D错误；
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定的取值范围是解决本题的关键.
3.（2021春·陕西汉中·高一校考期中）已知函数（，，）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点中心对称，则下列判断正确的是（ ）
A．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．函数在上单调递减
【答案】A
【分析】首先根据函数性质求函数的解析式，根据平移规律判断选项A，根据整体代入的方法和函数性质判断BCD选项.
【详解】由函数的最大值可知，
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以周期，则，解得：，
又函数关于点对称，则，
解得：，，因为，所以，
所以函数，
对于A，向右平移个单位后得到，
，所以A正确；
对于B，当时，，所以不是函数的对称轴，所以B不正确；
对于C，当时，，所以，
所以，故C错误；
对于D，若，则，
所以函数在上不具有单调性，故D错误.
故选：A.
4.（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件先求出的值，得到函数的解析式，根据函数的性质求出极值点即可.
【详解】因为的一条对称轴为，
所以，①，又的一个对称中心为，所以②，
①-②得，所以，因为，所以取最小整数值为3.
当时，由②得，因为，所以，所以.
由得的极值点为,
当时，极值点在内.故选：B.
题型8 零点个数型求w
在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力. 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足
1.（2023·全国·高三专题练习）设函数与有相同的对称轴,且在内恰有3个零点,则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据与有相同对称轴,求出的值,对的相位进行换元,根据,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点,写出不等式求出范围即可.
【详解】解:由题知,因为与有相同对称轴,所以,即,,
令,即在上有3个零点,因为,所以
画出图象如下所示:
当时,在上有3个零点,只需,解得,故;
当时,在上有3个零点,
只需,解得,综上: 或.
故选:D
2.．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案.
【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以.
令，则当时，.
因为在区间上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，时，得，时，得，其他值，均不合要求，
所以或，
所以的取值范围是.
故选：C
3．（24-25高一下·云南·期中）已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，结合零点的个数可得，求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为函数在上恰有3个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是．
故选：A.
4．（24-25高三·江苏南通·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，解出的范围即可得出合适的选项.
【详解】由可得，
因为，当时，，
因为函数在区间上有且仅有两个零点，
所以，，解得，即的最小值为.
故选：C.
题型9 最值点个数型求w
极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。
1．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论．
【详解】∵，∴时，，
∵在区间内有最大值，但无最小值，
令，结合图象，
∴，解得．
故选：B．
2．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知是函数的两个极值点，且，则的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求出对称中心．
【详解】图象上两个极值点，满足，
即，，所以，所以，
，，，，
当时，，
所以点为函数的一个对称中心为．
故选：D．
3．（24-25高一下·河南·期中）设函数，若，满足，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据得出，分别为最大值点和最小值点，再结合以及可以得到答案
【详解】，且，
，分别为最大值点和最小值点，
又，
，，整理得，
又，
，，整理得，，
又，
的最小值为4.
故选：B
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设可得，即，再由及区间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围.
【详解】由函数的图象经过点，
所以，由于，则，则．
由，可得，
因为在上有且只有两个最值点，则，
所以.
故选：A
题型10 零点最值个数型求w
的单调区间长度是最小正周期的一半; 的相邻零点长度是最小正周期的一半; 的相邻轴长度是最小正周期的一半;
1．（2025高三·全国·专题练习）已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定的值，再分析函数的零点和对称轴分布，结合区间内需满足两个零点和三条对称轴的条件，推导出a的范围.
【详解】由题得，，
则，．又由得，
则，时，，
令，由函数的图象可知，
要使在内有两个零点和三条对称轴，需满足，
解得．
故选:A.
1．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的图象可得答案.
【详解】因为，所以，
由函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
得，解得.
故选：C.
3．（2025·天津·二模）设函数在区间恰有三个极值点 两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三条对称轴 两个零点，得出不等式，即可求解.
【详解】由函数，其中，可得，
因为函数在区间恰有三条对称轴 两个零点，
由图象如图，
由图可知，，解得，所以的取值范围为.
故选：C.
4．（2025·河北·模拟预测）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用倍角公式以及辅助角公式化简，再求出，结合正弦函数图象即可得出.
【详解】，
又，，所以，
又，的图象如下图所示：
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
即使得在区间恰有三个极值点、两个零点，
则，解得.
则正实数的取值范围是.
故选：C.
题型11 没有零点型求w
没有零点型型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.
1．（25-26高三上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象经过点，若在上没有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用二倍角余弦公式得，由点在图象上求得，即得，根据区间零点个数及正弦函数的性质可求参数范围.
【详解】由题设，且，
所以，可得，
所以，
当，则，
依题在上无零点，则在上恒成立，
因为当时，使得的最小值为，
所以要使在上恒成立，需满足，解得
又，故得.
故选：A
2．（24-25高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据条件求出的范围，在求函数的零点，使其零点在区间内，求出的范围，进而将问题转化为，在上不存在整数解，再结合的范围，限制住的范围，进而利用不存在整数解约束其范围即可.
【详解】因在上没有零点，则，因，则，
，得，即，
若，则，
因在上没有零点，则在上不存在整数解，
因，，
则或，解得或
则的取值范围是.
故选：C
3．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知函数.若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先化简函数解析式，然后得到函数的零点，由题意得到不等关系，用整数表示出并求出整数的取值范围，从而得到结果.
【详解】
，
令，则，由题意可知，
故存在整数，使得，
即，因为，解得，
又∵，∴，
∴时，，当时，，
又∵，∴.
故选：D.
4．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）将函数的图象先向左平移个单位长度得到函数的图象，再将图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移以及伸缩变换，可得的解析式，结合题意确定，继而结合题意得，再判断的范围，根据题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
在区间上没有零点，则，即，
又，故，
而，故，，
由于在区间上没有零点，故，解得，
故的取值范围是，
故选：C
题型12 零点“和”型
零点和型： 正余弦函数相邻两个零点的中点，则是对称轴对应的横坐标，所以利用正余弦函数的对称性可以计算。
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得.
【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到，
函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数，
又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到，
所以的对称轴为，
又的图象是将的图象向上平移一个单位得到，
所以的图象如下所示：

因为关于的方程在上有个实数根，
即与在上有个交点，
又，，所以，
令与交点的横坐标从小到大依次为，
则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称，
所以，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知函数，，，若函数的所有零点依次记为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先明确函数在上对称轴的条数，再根据的对称性，和，可求的值.
【详解】由，为函数的对称轴.
又函数的最小正周期为，且，，
所以当时，可得函数的第一条对称轴为，
当时，.
所以函数在有9条对称轴.
根据正弦函数的图象和性质可知，函数与的交点有9个，其横坐标分别为：，且，
且关于对称，所以；
关于对称，所以；
……
关于对称，所以.
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键点就是方程的根与对称轴的对称关系，利用对称关系和对称轴方程，表示出即可求解.
3．（23-24高二下·山西太原·期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得，是要求解关于对称轴对称的两点与对称轴的关系问题，需要先求出对称轴通式，再判断在符合定义域取值范围内有多少条对称轴，确定每相邻两零点与对称轴关系，再通过叠加法表示出，结合数列通项公式求和即可
【详解】函数令，可得，
即函数的对称轴方程为，又的周期为，，
令，可得，所以函数在上有25条对称轴，
根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）,
将以上各式相加得
，
故选：A
4．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用方程组法求出的解析式，结合的奇偶性将上的零点和转化为上的零点和问题，令，转化为，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.
【详解】由，可得，
解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称，
则函数在上的图象关于原点对称，
故函数在上的零点也关于原点对称，和为0，
在上的零点和即为上的零点和，
令，得，
，，作出和在同一坐标系中的图象，
可知在内的零点有和两个，
故.
故选：B.
题型13 不单调型求w
对于正余弦型函数，如果区间内不单调，则区间内必有对称轴，可以借助这个思维来求解
1．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【分析】首先根据对称轴的性质求出的表达式，再根据函数的单调区间确定的范围，从而得出的最小值.
【详解】因直线是一条对称轴，所以，.
整理可得：，即，.
由，得.
则函数在上单调递增.
因为函数在区间上不单调，所以.
解得.因为，且，所以的最小值为11.
故选：C.
2．（21-22高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 （ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】解：对任意，都有，
为函数的最大值，则，，
得，，
在区间，上不单调，
，
即，即，得，
则当时，最小.
故选：B.
3．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解.
【详解】由条件可知，，得，
当时，，
由条件可知，，得，，且，
综上可知，的最小值为13.
故选：C
4．（2020·全国·三模）已知函数在上不单调，在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先运用辅助角公式将函数解析式化为，则当时，，当时，，依题意只需且即可.
【详解】依题意，函数在上不单调，故，即；
因为时，；
故，
则，解得：，
而，且，，故选D．
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参问题，难度一般.解答时采用整体思想，用整体的范围与原函数单调区间的关系来求解.
题型14 正整数型求w
求正整数型，可以先求出对应的范围，再“卡”整数点。
1．（20-21高一下·陕西渭南·期末）已知函数在区间上的最小值小于零，则可取的最小正整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分别对4个选项中的值进行验证，利用余弦函数的图象与性质判断是否符合题意即可求出结果.
【详解】A：，所以，则不存在最小值，不合题意，故A错误；
B：，所以，则不存在最小值，不合题意，故B错误；
C：，所以，则不存在最小值，不合题意，故C错误；
D：，所以，当时， ，符合题意，故D正确；
故选：D.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则满足不等式的最小正整数x为 ．
【答案】3
【分析】由图求出函数，由得，再解不等式可得答案.
【详解】根据题意，本题可只考虑的情况，
由题图知函数的图象经过点和，
则，
由五点作图法可知，则，所以，
则，
所以，
因为，所以，
令，得，
令，则，令，则，
易知，而，
所以满足不等式的最小正整数x为3．
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由图象求出和正确解出.
3．（23-24高三·全国·阶段练习）已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，则最小正整数k的值为 ．
【答案】63
【分析】先计算出函数的最小正周期，结合题意中给出的范围，即可求得参数的范围.
【详解】∵函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝，
且由题意知T≤1，即≤1，|k|≥20π≈62.8.
∴最小正整数k的值为63.
故答案为：63
【点睛】本题考查由正弦型函数的最小正周期求参数的值，属基础题,
4．（21-22高三上·福建福州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
【答案】
【分析】利用图象求出函数的解析式，然后解不等式可得出正整数的最小值.
【详解】由图可知函数的最小正周期为，，
，可得，
所以，，则，
取，则，，
所以，，，
由可得，
则或，即或，
（i）由可得，
解得，此时，正整数的最小值为；
（ii）由可得，
解得，此时，正整数的最小值为.
综上所述，满足条件的正整数的最小值为.
故答案为：.
题型15 综合讨论应用型
解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．
1．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，求得零点，令，零点和在区间内，则且，求得，可得，分别对取值求得结果.
【详解】由得，得．
令，零点和在区间内，则且，
即且，化简得，
由，得，所以为大于1的整数．
易得当时，；当时，；
当时，；当时，，
可得当时，，且当时，，
所以，
故实数的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案.
2．（23-24高一上·福建福州·期末）若存在实数及正整数，使得在区间内恰有2024个零点，（1）当时， ；（2）时，所有满足条件的正整数的值共有 个．
【答案】 1012 4
【分析】
（1），数形结合得到不等式，求出的取值范围，结合为正整数，所以；
（2）三角恒等变换，结合换元法得到，而，分三种情况，数形结合得到这样的正整数有4个.
【详解】
（1）当时，，当时，，
要想在上恰有2024个零点，则，
解得，
因为为正整数，所以；
（2）由题意知，
令，此时，
而，
则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，
①当时，，其中无解，
对于，在内都有2个零点，
内都有4个零点，则或；
②当时，在有2个零点，在内有3个零点，
在内有5个零点，在内有6个零点，则需要个周期，
故；
③当时，因为，所以，
故当时，有，解得，
因为，，所以，
又，故，
则在内有4个零点，在内有8个零点，故；
综上所述，这样的正整数有4个，分别为，，或1012.
故答案为：1012；4
【点睛】
思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
3．（24-25高三·贵州铜仁·阶段练习）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为 ．
【答案】
【分析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
当时，，故在不单调，
令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
【点睛】本题综合考查三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期．
4．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设为的最小正周期，则由得，由得，由得，结合求得和的范围，根据余弦函数性质列不等式组求解即可.
【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得，
由得，，，由得，，
又，所以，，
由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点.
由题意或，
解得或，
故实数的取值范围为.
故答案为：
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