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专题06 解三角形培优归类
题型1 三角形形状判断
正余弦定理：化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 正余弦定理：化边为角型 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”
1．（24-25高三·江苏阶段练习）在中，已知，则的形状为
【答案】等腰或直角三角形
【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可.
【详解】在中，由及余弦定理，得，
整理得，即，
而，因此或，
所以或，即为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
2．（24-25高三江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形．
【答案】直角
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而求得，得到，即可得到答案.
【详解】在中，因为，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，
且，
所以，
所以，
因为，，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
故答案为：直角.
3．（21-22高一下·北京·阶段练习）已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是 ．
①；②；③；④.
【答案】②④
【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理逐项判断即可求解.
【详解】对于①，若，由余弦定理可知，
即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故①错误；
对于②，因为，则，
由正弦定理得，设，，，，
可得为最大边，为三角形最大角，
根据余弦定理得，
则为锐角，可得一定是锐角三角形，故②正确；
对于③，因为，
则，整理可得，
由正弦定理可得，可得为直角，故③错误；
对于④，因为由于，
则，
故，
由于，故，
故，，均为锐角，为锐角三角形，故④正确．
故答案为：②④．
4．（24-25高三·上海·阶段练习）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 .
【答案】等腰或直角三角形
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得.
【详解】在中，及正弦定理得，
而，则，
于是，则或，而，因此或，
所以为等腰或直角三角形.
故答案为：等腰或直角三角形
题型2 三角形几解的判断
判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为 .
【答案】2
【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案.
【详解】因为中，，
所以的外接圆半径为,
即A位于以2为半径的圆弧上，
如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为,
如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则,
则，满足边上的高为2，
故满足条件的的个数为2个，
故答案为：2
【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.
6．（22-23高三上海阶段练习）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理得出，根据的度数和三角形只有一解，可得只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到的范围，从而得到的范围.
【详解】因为
由正弦定理可得：，
又，且三角形只有一解，可得A只有一个值，
或，
或，
，或
又，
的取值范围为，
故答案为
【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，特殊角的三角函数值，属于中档题.
2．（24-25高三·北京阶段练习）在△ABC中，请给出一个值 ，使该三角形有两解.
【答案】3（答案不唯一）
【分析】先由正弦定理得到，由三角形有两个解，可得且，进而可得答案.
【详解】根据正弦定理得到，
因为三角形有两个解，
且，
即且，可得
所以时，三角形有两个解.
故答案为：3（答案不唯一）.
4．（24-25高三吉林·模拟）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为 .
【答案】/
【分析】根据正弦定理可得，由有两解可得，根据不等式的性质即可求解.
【详解】由正弦定理及题中条件可得.
∵有两解，∴，即，
∴，即.
∴的一个可能整数值为（或）.
故答案为：（或）.
题型3 解三角形求角度（范围最值）
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
1．（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 .
【答案】/
【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围.
【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号，
因为，在单调递减，所以，即的最大值是．
故答案为：
2．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．
【答案】/
【分析】三角形重心的性质以及向量的线性运算，将已知向量等式转化为边的关系，再利用余弦定理求出角.
【详解】解法1：因为为的重心，所以，
从而，将其代入已知条件中，可得．
又因为与不共线，所以，即，所以，即．
解法2：（以，为基底）因为，，
，所以可化为，即．
因为与不共线，所以解得
所以，即．故答案为：或
3．（2025高三·全国·专题练习）若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ．
【答案】
【分析】首先得，然后由基本不等式得角取最大值时，角、角的值即可.
【详解】由条件得，因此，
所以，由此可知，，，
从而，当且仅当，即时，，的最大值为，
所以角的大小为．故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理和已知条件得，进而利用正弦定理边角互化得，由余弦的和差角公式可得，即可代入化简求解.
【详解】由余弦定理得，
由正弦定理，得，
因为，
又，所以，
所以，即，
化简得,解得．又,故
所以的取值范围是．故答案为：
题型4 复合型三角函数最值
复合型角或者三角函数范围最值， 以给了函数值的角度为基角来拆角。 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及余弦函数性质建立不等式求出范围.
【详解】在中，由及正弦定理得，即，则，
令，由，得，由余弦定理得
，由，得，因此，
整理得，解得，所以的取值范围为.
故选：C
2．（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的可能取值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】使用面积公式以及正弦定理化简得到，并结合余弦定理求得，根据锐角三角形可得，然后化简式子并使用对勾函数的性质可得结果.
【详解】在锐角中，，
所以，即，
由正弦定理有，又由余弦定理，
，
由正弦定理有，
，，所以，即，
又锐角中，，，
，故的可能取值为4，
答案选：C.
3．（24-25高三江苏无锡·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解.
【详解】由余弦定理得①，②,
由得，,
故，
因为，所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
则，
因为在中，不同时为，
故，所以，
又，所以，则，故，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时.
故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而根据余弦定理可得，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】由题知，由正弦定理得．
设，由三边关系可得，所以．
由余弦定理得．
因为，所以，则有，
整理得，解得，
故选：B．
题型5 边角互化：面积最值型
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
1．（2025高三·全国·专题练习）已知内接于单位圆，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据条件可得，然后根据正弦定理、余弦定理以及面积公式可知结果.
【详解】，，
，，.
又的外接圆为单位圆，其半径，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得，
当且仅当时时，“”成立，，
的面积，的最大值为.
故选：D.
2．（24-25高三·江苏苏州·模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，由余弦定理可得，
所以，所以，又，所以，
又，所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且.
故选：D
3．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值.
故选：C.
4．（23-24高三·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可.
【详解】且，,
根据正弦定理得，,
即，
整理得，
，，，解得，，
，，,
的面积
为锐角三角形，，，
，，，
.故选：C.
题型6 边角互化：周长最值型
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 ．
1．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围．
【详解】因为，所以．
由正弦定理，有所以．
因为．
又，
所以．
因为是锐角三角形，所以
所以，所以．
所以，即的取值范围是，
故选：D．
2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】在中，由及正弦定理，
得，整理得，而，
因此，解得，当且仅当时取等号，
所以当时，周长取得最大值6.
故选：B
3．（24-25高三·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围.
【详解】因为，故，
由正弦定理可得，而为三角形内角，故，
故，而为三角形内角，故为锐角，
故，故，故即，
故（为外接圆半径），故，
因为，，所以，则.
故
，
其中，且，
由锐角三角形可得，故，
故，
因为，且，故，则，，
所以时，，取得最大值.
当时，，
当时，，
故，
故选：C.
4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．9
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出角，再利用余弦定理及基本不等式求解即得.
【详解】在中，由及正弦定理，
得，而，
则，而，整理得，
又，解得，由余弦定理，得
，解得，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为9.故选：D
题型7 边角互化：比值范围型
最值范围：分式比值型 化边为角型 通过正余弦定理，把边转化为角。 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
1．（23-24高三·陕西咸阳·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理边角互化得，进而将问题转化为，根据锐角三角形得角的范围，即可根据三角函数的性质求解.
【详解】由正弦定理以及可得,故，
又,由于为锐角三角形，故,故，
因此，故，故选：A
2．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】在中，由余弦定理得，且的面积，
由，得，化简得，
又，，联立解得，，
所以，
为锐角三角形，有，，得，
则有，可得，所以.
故选：C
3．（24-25高三·山东枣庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由正弦定理将边化角，转化为的三角函数，由的范围计算可得.
【详解】因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
又，，则
所以或，即或（舍去），
所以，解得，则，
所以
因为，
所以
因为，所以，所以，
即的取值范围是．
故选：D．
4．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的面积公式结合余弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，根据是锐角三角形求出角的取值范围，可求出的取值范围，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的取值范围.
【详解】因为，由三角形的面积公式和余弦定理可得，
整理可得，
因为，则，可得，所以，，
因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，，则，
所以，.
故选：B.
题型8 边角互化：四边形面积最值型
四边形面积最值型 四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件
1．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为 .
【答案】
【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】由正弦定理可知可化为，
由余弦定理（当且仅当时等号成立）得，
所以，即，
即（当且仅当时等号成立）
，
整理为，即，又，
所以，又，
所以，即，
同理，条件等式也可化简为和，可得，
所以是等边三角形，
设，，在中，，
，，
，
当时，四边形的面积取得最大值.
故答案为：
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .

【答案】10
【分析】设，利用余弦定理求出，进而可求出，再根据换元，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】设，
则，
而，
则，
所以，
令，则，
则
，其中，
当且仅当时取等号，
此时，即，
所以四边形面积的最大值为10.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
3．（2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为 .

【答案】
【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公式中，可得，由二次函数性质可求得最大值.
【详解】在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，整理可得：，
，，
，
则当时，.故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够将所求面积平方和表示为关于变量的二次函数的形式，进而利用二次函数最值的求法来求得最大值.
4．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积的最大值为
【答案】
【分析】设，由余弦定理可得，再根据为等腰直角三角形，可得，最后根据及辅助角公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以为等腰直角三角形，
所以，
设，，则由余弦定理，
即，
所以
所以当，即时；
故答案为：
题型9 射影定理型
射影定理
1．（24-25高三·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理求出，再利用余弦定理求解.
【详解】在中，由射影定理得，而
则，解得，而，因此，
由余弦定理，得，
则，，所以.
故选：A
2．（2024·陕西西安·模拟预测）等边的边长为5，点在平面上，点在的同一侧，且边在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由在平面上的射影长分别为3，4，得点，到的距离分别为4,3，再利用勾股定理即可.
【详解】因为，且边在平面上的射影长分别为3，4，所以点，到的距离分别为4，3.
因在同一侧，在上的射影长为.
故选：D
3．（21-22高三·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
【答案】B
【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答.
【详解】在中，由射影定理及得：，解得，
而，则，由余弦定理及得：，
而，因此，，即，又，则，
所以.
故选：B
4．（24-25高三·广东佛山·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由射影定理以及可得的值，根据可计算出的值，结合已知条件可求解出的值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
又因为，，所以是等边三角形，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：，，.
题型10 图形解析型：中线型
中线的处理方法 1.向量法： 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设的内角的对边分别是，已知，且.
(1)求角C；
(2)若D为的中点，求线段长的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）将正弦差转化为边长差，建立关于边的方程，再结合余弦定理求解；
（2）利用向量法，结合三角形三边关系和余弦定理，确定中线长度的取值范围.
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以.
因为，所以.
（2）因为为的中点，所以，
所以.
又，所以，
所以，即.
由，得，
则，解得，即线段长的取值范围是.
2．（25-26高三上·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可；
（2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可.
【详解】（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
（2）因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
3．（24-25高三·陕西西安·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得；
（2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得；
（3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围.
【详解】（1）由可得，
因为，
所以，
由，得，又，则.
（2）如图：
由余弦定理，，因为，，
所以，又，所以.
由，得，
整理得：.
（3）因为是边上的中线，则，
两边取平方，，
由（2）已得，代入可得，
由正弦定理，，
则，
所以
，
因为为锐角三角形，则有，解得，
则，
由正弦函数的图象性质，可得，
故得，从而，
故边上的中线的取值范围为.
4．（24-25高三·江苏常州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．
(1)证明：；
(2)若.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）; （Ⅱ）
【分析】（1）结合图形，先找到的数量关系式，再运用诱导公式推理即得；
（2）（Ⅰ）在中，运用正弦定理得到，结合（1）结论，联立解方程即可求得；
（Ⅱ）在中，分别运用正、余弦定理得到，两式，结合式，在中，利用余弦定理将用的三角函数表示，并运用辅助角公式化成正弦型函数，利用三角函数的值域即得.
【详解】（1）证明：∵，∴，
在中，，可得，
∴，即.
（2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
可得，∴，
∵，∴，
可得，即，
解得或（舍去），
∵，∴.
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
∵，，∴，∴，
在中，由余弦定理得
，
∵，∴，∴，
∴，解得.
题型11 图形解析型：角平分线型
三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
1．（24-25高三·重庆渝北·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解；
（3）由三角形面积公式，求得，由变形可得，令，则，利用正弦定理结合三角函数性质可求得，进而利用函数单调性求得长度的最大值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理，可得，整理得，
又由余弦定理，可得，
又因为，所以.
（2）由（1）可知，，所以，
由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，则，
所以，即.
（3）
如图，由，
可得①
因为，所以，
所以①式：，可得，
由（1）可得，
则，即 ，
所以，
令，则，
因为
，
由（2）可知，，则，
所以，
因为在上单调递增，
所以时，为最大值，
所以长度的最大值为.
2．（24-25高三·吉林长春·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若的面积为.
①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出；
（2）①由三角形面积求出，从而得到，或，，根据中线得到，两边平方，结合向量数量积运算法则求出；②根据求出，由基本不等式求出长的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，即.
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）①，.
且，解得，或，.
由于，
所以，
；
②由，
得.
解得，
由于，当且仅当时，取等号，
故,当且仅当时，取等号，即的最大值为.
3．（24-25高三·河南平顶山阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)已知CD为的平分线，且CD交AB于点D.
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）若点E满足，求的值.
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】（1）先将题设转化得到，再结合余弦定理即可求解；
（2）（ⅰ）先在中由正弦定理得到，再结合和差角公式以及半角公式计算转化得到即可求解；（ⅱ）先由角平分线定理依次求出和即可由计算求解.
【详解】（1）因为，所以即，
所以由余弦定理得，
又，所以.
（2）（ⅰ）在中，由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以，所以，
所以，所以；
（ⅱ）因为，所以，因为为的平分线，
所以，则，
又，
，
所以
，
所以，，
所以.
4．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且.
(1)求；
(2)求的最大值；
(3)若的角平分线交于点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理求得答案；
（2）由，利用基本不等式求得答案；
（3）由，可得，结合可得，，令，求导判断单调性求得答案.
【详解】（1）由，得，
即，
所以，而，
所以.
（2）由（1），，即，
，
，即，当且仅当时，取等号.
所以的最大值为.
（3）由（1），，，
，即，
，
由，得，
所以，
由，令，
设，则，
所以在上单调递增，
，即，
所以的取值范围为.
题型12 图形解析型：三角形的高
三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法：
1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且.
(1)求C；
(2)若AB边上的高为h，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解；
（2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值.
【详解】（1）由及正弦定理得
，
所以，
因为，所以，所以，
所以，又因为，所以.
（2）因为，AB边上的高为h，
由三角形的面积公式得，所以.
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，所以，
即的最大值为.
2．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在中，内角所对的边分别是，且．

(1)求角的大小．
(2)若，是边的中点，为边上一点，且，与交于点．
（i）求的长度；
（ii）求．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用余弦定理即可；
（2）（i）利用即可求出；
（ii）先利用数量积的运算性质化简，再利用即可.
【详解】（1）由余弦定理和条件可得，，
，∴．
（2）（i）因是边的中点，则，
∴
，
∴．
（ii）∵，，∴，
则，
则
，
又，则．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，
(1)求角C；
(2)如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角形面积公式化简可得，利用余弦定理计算即可求得结果；
（2）由已知可得，在中，由正弦定理可求得，在中，由计算即可求得结果.
【详解】（1）已知，
由三角形面积公式可得.
由正弦定理可得：，即.
由余弦定理.
又因为，所以.
（2）因为，所以是等腰三角形，且是一个底角，
故为的中点，则，
在中，，
由正弦定理得，
故，
所以在中，.
4．（24-25高一下·广西百色·期末）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，是边上的高，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解；
（2）由是边上的高，且，在直角中，由正弦定理，列出方程，求得，，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）解：因为是边上的高，且，
在直角中，由正弦定理得，
即，即，解得，
又因为，可得，
所以的面积.
题型13 图形解析型：双余弦定比分点
三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法：
1．（24-25高一下·湖北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有．
(1)求角A和角C；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题设列式求出角A，法一：由余弦定理角化边结合题设求得，再由正弦定理即可求出角C；法二：先由正弦定理边化角结合内角和关系和两角和与差的正切公式求出的关系即可求解；
（2）由（1）可得角，进而由面积公式和正弦定理可求出，再由结合和即向量运算性质即可求解.
【详解】（1）由已知得，两式相除得，
又；
又已知，
解法一：根据余弦定理有
，化简得
由正弦定理得，，
又．
解法二：由正弦定理得，
，代入
得，化简得．
又．
（2），；
又由（1）得，
，化简得，即；
，
两边同时平方有
，
化简得.
2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知中，三个内角分别为，且．
(1)若，求的外接圆面积；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求出，再应用正弦定理求解即可；
（2）结合向量关系及面积公式得出边长，再应用余弦定理求解.
【详解】（1）由题意可得：，则，
故，
因为，且，故，则，
故的外接圆半径，
故的外接圆面积．
（2）由，由（1）知，，
又，则，
所以，则，故．
由的面积为，则，代入，可得，
又，则，解得，
由余弦定理，
故的周长为．
3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出；
（2）用表示，再根据得出，再结合基本不等式即面积公式即可；
（3）利用正弦定理得出，，进而化简得出，再结合锐角三角形的信息即可求出.
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）由题意得，
则，得，
即，
得，等号成立时，
的面积为，则的面积取得最大值.
（3）由正弦定理，得，，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，得，
则，，所以，
故周长的取值范围为.
4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求角；
(2)若为线段上一点，且，求的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，由余弦定理得，求出；
（2）求出，平方得，从而得到的长度.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
即，由余弦定理得，
而，所以.
（2）由，得，故，
又，，由（1）知.
则，
故，所以的长为.
题型14 图形解析型：外心与外接圆
三角形所在的外接圆的处理方法： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
1．（24-25高三·四川南充·模拟）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
(1)求的值；
(2)若，，的面积为，求的值；
(3)若，，为垂心，为的外心，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用三角形的面积公式、余弦定理可得出关于、的方程组，结合可得出、的值，再利用正弦定理求出的值即可；
（3）设，根据，，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出关于、的表达式，推导出，，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即，
即，
即，
因为、，故，可得，
所以，因此，.
（2）因为，可得，
因为，由余弦定理可得，
故，所以，解得，
由正弦定理可得，故，
因此，.
（3）由平面向量数量积的定义可得，
设，则，
因为，则，
即①，
，
因为，则，
即②，
联立①②得，，故，
取线段的中点，连接，则，如下图所示：
，
同理可得，
因此.
2．（23-24高三·广东广州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，.且满足.
(1)求角；
(2)已知的外接圆的圆心为，半径.
（i）作角的平分线交于，，求的面积；
（ii）若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）在中，由三角形内角和定理及诱导公式可得，结合两角和的余弦公式整理化简可得，进而，即可求解.
（2）（i）由（1）知.由正弦定理可得的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得.结合余弦定理求出的值即可求解；
（ii）由（1）知.由的外接圆的性质可知，，.根据向量数量积的运算可得
，化简整理得，故，根据三角恒等变换及角的范围即可求解.
【详解】（1）在中，∵，∴，
∴，即，
即，
∴，即.
∵，∴.∵，∴.
∵，∴.
（2）（i）由（1）知.由正弦定理可得.
∵是角的角平分线，∴.
∵，∴，∴，即.
由余弦定理可得，整理可得.
又，∴，即，∴，解得或（舍去）.
∴.
（ii）由（1）知.∵点为的外接圆的圆心，∴，，.
∵，，
∴，即，
即，∴，∴，
∴.
∵，∴，∴，∴，
即的取值范围为.
3．（24-25高三广东肇庆·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求b；
(3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理集合同角基本关系即可求解；
（2）根据已知条件先求出，结合正弦定理求出，根据面积公式即可求解；
（3）利用正弦定理求出值，再利用余弦定理求出，利用半角公式即面积公式求得，两式联立求出即可求解.
【详解】（1）由正弦定理，得，
，，，，
，，，
，又，．
（2）由（1）知，，，则．
．
由正弦定理得，，
，．
（3）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即．
平分，．
，．
，
，
化简得：，
代入，得，
，，
，的周长为．
4．（24-25高三·湖南·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且其外接圆的半径，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及和差角公式以及正弦定理得到，进而可求得，从而得解；
（2）由正弦定理得到，，即可得到，再由内角和定理及三角恒等变换公式将式子转化为的三角函数，最后结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）由已知可得
即
即
则
，，，，
，，；
（2）由正弦定理得
，，
，，
又由已知ABC为锐角三角形，可得，
，，
的取值范围为
题型15 图形解析与计算综合型
1．（2025高三·全国·专题练习）在四边形中，平分．
(1)求；
(2)当取最大值时，求．
【答案】(1)
(2)=1
【分析】（1）解法一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范围即可求出；
解法二：将原式变形，并利用正弦定理与余弦定理并结合角的范围化简求解．
（2）利用余弦定理将两边的平方用表示出来，再利用均值不等式确定取得最大值时的大小.
【详解】（1）解法一 ：因为，
所以，则，
在中，由余弦定理得
因为，所以．
解法二 ：因为，所以，
在中，由正弦定理和余弦定理得，
所以，
因为，代入上式整理得，
由题意可得，所以，因为，所以．
（2）由（1）可得，因为平分，所以，
因为，则在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时取最大值，即取最大值，
故当取最大值时，．
2．（22-23高三·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.

(1)求的大小；
(2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在合题意
【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式，求得的值，得的大小；
（2）设，利用正弦定理得关于的代数式，解出，利用三角形面积公式，求出的值.
【详解】（1）在中，由余弦定理，，
因为，所以，
即，又因为，所以.
（2）设，则，，，
在中，由正弦定理，，
在中，由正弦定理，，
两式作商，得，
即，因为，所以，，
，，
假设，所以，
解得.
【点睛】方法点睛：设，由题目中角的条件，及，考虑在两个三角形中利用正弦定理建立关系式进行计算.
3．（23-24高三·福建阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
(1)求出所有可能的三角形的面积.
(2)如图，在平面凸四边形中，，，，.
①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值.
②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)①，；②存在，
【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可；
（2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合已知条件计算可得；
②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值．
【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有可能符合情况的三角形的三边长为，3，4和2，，4，
当三角形三边为，3，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
当三角形三边为2，，4时，由余弦定理知等腰三角形顶角的余弦值，，.
（2）①连接BD，由余弦定理知，，
∴，，
∴，
∴.
又，
∴.
又∵，
∴.
∴.
故
，
当且仅当时，，取得最大值，
此时，，
∴，，，，.
②把绕A逆时针旋转60°，如图，则，，连接.
为等边三角形，则，，，，
∴（当且仅当，，P，B共线时取得最小值），
此刻，
∴最小值为.
【点睛】关键点点睛：①对和平方，由三角恒等变换求解面积最值.
②将绕A逆时针旋转60°得为等边三角形，利用三点共线求最值.
4．（23-24高三·湖南阶段练习）当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.
(1)若，，.
①求；
②设的周长为，求的值；
(2)若，，求实数的最小值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系.
（2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接着设，，，仿照第一小问的思路找到的等量关系，然后利用基本不等式求解出最值，又根据，即有，从而得解.
【详解】（1）①
，
则
②设
而，
在中，由余弦定理得:
同理有
则
在中由余弦定理知: 即
又则
又等面积法知：
则，，
故
（2）因为
所以
所以
所以所以为直角三角形，
点为的费马点，则，
设，，，，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为．
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，，，从而推导出、，再利用基本不等式及一元二次不等式求出的取值范围.
结束专题06 解三角形培优归类
题型1 三角形形状判断
正余弦定理：化角为边型 若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； 正余弦定理：化边为角型 若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”
1．（24-25高三·江苏阶段练习）在中，已知，则的形状为
2．（24-25高三江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形．
3．（21-22高一下·北京·阶段练习）已知△的三个内角所对的边分别为，则下列条件能推导出△一定为锐角三角形的是 ．
①；②；③；④.
4．（24-25高三·上海·阶段练习）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 .
题型2 三角形几解的判断
判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为 .
6．（22-23高三上海阶段练习）在中，角所对的边分别为已知要使该三角形有唯一解，则的取值范围为 .
2．（24-25高三·北京阶段练习）在△ABC中，请给出一个值 ，使该三角形有两解.
4．（24-25高三吉林·模拟）的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的一个可能整数值为 .
题型3 解三角形求角度（范围最值）
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
1．（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是 .
2．（2025高一·全国·专题练习）已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．
3．（2025高三·全国·专题练习）若的内角满足，则当角取最大值时，角的大小为 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）在内，内角的对边分别为，若，且，则的取值范围是 ．
题型4 复合型三角函数最值
复合型角或者三角函数范围最值， 以给了函数值的角度为基角来拆角。 讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号 所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·湖南永州·期末）在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的可能取值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
3．（24-25高三江苏无锡·阶段练习）的内角的对边分别为，已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，已知，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 边角互化：面积最值型
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
1．（2025高三·全国·专题练习）已知内接于单位圆，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三·江苏苏州·模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．15.
4．（23-24高三·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型6 边角互化：周长最值型
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 ．
1．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
3．（24-25高三·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．9
题型7 边角互化：比值范围型
最值范围：分式比值型 化边为角型 通过正余弦定理，把边转化为角。 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式 对单变量（单角）求最值。 角化变型： 主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化
1．（23-24高三·陕西咸阳·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三·山东枣庄·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北·期中）已知是锐角三角形，角、、 所对的边分别为、、，为的面积，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型8 边角互化：四边形面积最值型
四边形面积最值型 四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用余弦定理，构建数量关系。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这个隐形条件
1．（2025·浙江杭州·三模）如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为 .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .

3．（2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为 .

4．（21-22高一下·福建三明·期中）如图，平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积的最大值为
题型9 射影定理型
射影定理
1．（24-25高三·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）等边的边长为5，点在平面上，点在的同一侧，且边在上的射影长分别为3，4，则边在上的射影长为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高三·吉林长春·阶段练习）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（ ）
A．90 B．60 C．45 D．30
4．（24-25高三·广东佛山·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．
题型10 图形解析型：中线型
中线的处理方法 1.向量法： 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）设的内角的对边分别是，已知，且.
(1)求角C；
(2)若D为的中点，求线段长的取值范围.
2．（25-26高三上·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
3．（24-25高三·陕西西安·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
4．（24-25高三·江苏常州·阶段练习）如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．
(1)证明：；
(2)若.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段长度的取值范围．
题型11 图形解析型：角平分线型
三角形角平分线的处理方法： 角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
1．（24-25高三·重庆渝北·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值.
2．（24-25高三·吉林长春·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且
(1)求角A；
(2)若的面积为.
①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长；
②求内角A的角平分线AD长的最大值.
3．（24-25高三·河南平顶山阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)已知CD为的平分线，且CD交AB于点D.
（ⅰ）若，求的取值范围；
（ⅱ）若点E满足，求的值.
4．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且.
(1)求；
(2)求的最大值；
(3)若的角平分线交于点，求的取值范围.
题型12 图形解析型：三角形的高
三角形高的处理方法： 1.等面积法：两种求面积公式 如 2.三角函数法：
1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且.
(1)求C；
(2)若AB边上的高为h，求的最大值.
2．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在中，内角所对的边分别是，且．

(1)求角的大小．
(2)若，是边的中点，为边上一点，且，与交于点．
（i）求的长度；
（ii）求．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，
(1)求角C；
(2)如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长．
4．（24-25高一下·广西百色·期末）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，是边上的高，且，求的面积.
题型13 图形解析型：双余弦定比分点
三大线型引申：定比分点型 如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手： 双三角形余弦定理： （1）ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD ADcos （2）ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD ADcos(Π-） 2.向量法：
1．（24-25高一下·湖北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有．
(1)求角A和角C；
(2)若，求．
2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知中，三个内角分别为，且．
(1)若，求的外接圆面积；
(2)若的面积为，求的周长．
3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，.
(1)求角；
(2)若为线段上一点，且，求的长度.
题型14 图形解析型：外心与外接圆
三角形所在的外接圆的处理方法： 1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
1．（24-25高三·四川南充·模拟）已知、、分别为三个内角、、的对边，且.
(1)求的值；
(2)若，，的面积为，求的值；
(3)若，，为垂心，为的外心，求的值.
2．（23-24高三·广东广州·期末）已知的内角，，的对边分别为，，.且满足.
(1)求角；
(2)已知的外接圆的圆心为，半径.
（i）作角的平分线交于，，求的面积；
（ii）若，求的取值范围.
3．（24-25高三广东肇庆·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求b；
(3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
4．（24-25高三·湖南·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且其外接圆的半径，求的取值范围.
题型15 图形解析与计算综合型
1．（2025高三·全国·专题练习）在四边形中，平分．
(1)求；
(2)当取最大值时，求．
2．（22-23高三·湖北武汉·阶段练习）如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为.

(1)求的大小；
(2)若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
3．（23-24高三·福建阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.
(1)求出所有可能的三角形的面积.
(2)如图，在平面凸四边形中，，，，.
①当大小变化时，求四边形面积的最大值，并求出面积最大时的值.
②当时，所在平面内是否存在点P，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.
4．（23-24高三·湖南阶段练习）当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.
(1)若，，.
①求；
②设的周长为，求的值；
(2)若，，求实数的最小值.
结束

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