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2026年春季期中质量检测
高一数学
说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．
所有试题均在答题卡相应的区域内作答．
第I卷（选择题 共58分）
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1. （ ）
A． B． C． D．
2. 设则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3. 在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5. 在中，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
6. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ）
A．10 m B．10m C．10 D．10m
7. 已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
8. 若，且，则（ ）
A． B． C． D．
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）
9. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内对应的点在第三象限
C．的共轭复数为
D．若，则的最大值是
10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数向右平移个单位长度后可得到的图象
11. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最大值为6
C．
D．满足的点仅有一个
第II卷（非选择题 共92分）
注意事项： 必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若为虚数单位，则________．
13. 已知，，则_______．
14.在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
已知向量.
（1）若单位向量与共线，求的坐标；
（2）若，求；
（3）求与夹角的余弦值.
16. （本小题满分15分）
（1）求值：；
（2）设，且，求角的值.
17. （本小题满分15分）
已知函数.
(1)求函数的对称中心；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在的值域.
18. （本小题满分17分）
在中，角的对边分别是，且，.
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.
19. （本小题满分17分）
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为．
(1)若向量为函数的积向量，求；
(2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：；
(3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围．
2026年春季期中质量检测参考答案
高一数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D C A A A D D A BCD ABC AB
13. 14. 15.
15.解：（1）与同向的单位向量，
与反向的单位向量.
（2）
所以，所以.
（3）
所以求与夹角的余弦值为
.
16.解：（1）
.
（2），且，
，
因为，，
，
又因为，所以.
17.解：（1）
.
由得，
所以函数的对称中心为；
（2）函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，
所得解析式为，
又将所得函数图象向右平移个单位长度，
解析式为，则.
因为，所以，
所以在的值域为.
18.解：（1）由有
所以，，
所以，．
（2）由平方得
所以，，所以
又由余弦定理得，所以，所以的面积为.
（3）,又
所以
，注意到
又为锐角三角形，则有，得，
所以，所以，故．
19.解：（1）由函数，
根据“积函数”的定义，可得，所以.
（2）证明：由函数为向量的积函数，可得，
因为，可得，即，
又因为，所以，所以，解得，
因为，
又因为，所以，
两式相加，可得，两式相减可得，
所以，所以.
（3）由向量时，可得积函数为，
则，设在区间上的最大值与最小值之差为，
因为，可得，
令，问题转化为在上的最大值与最小值之差.
（1）显然当对称时，
的最大值与最小值之差为最小值，
（2）当在单调区间内时才能取到最大，
不妨在单调增区间内，
，当得最大值
综上，在区间上最大值与最小值之差的取值范围为.

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