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四川内江市第六中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．在等差数列中，若，，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．已知数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列是公差为的等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球
A．55 B．66 C．110 D．136
7．已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
10．下列命题正确的有（ ）
A．若是等比数列，（c为常数），则必有
B．若数列为等差数列，则为等比数列；
C．数列满足：，则
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和
11．如图，是边长为9cm的等边三角形，点、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，依循相同的规律、、依次将、、分成1：2的两部分，得到，不断重复这个步骤，得到三角形，…，，…．若的面积记为，的面积记为，现给出下列四个结论，其中正确的有（ ）
A．数列是公比为的等比数列
B．数列为常数列
C．数列的前n项
D．一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，则该蚂蚁所爬行的总距离小于．
三、填空题
12．设数列的前项和为，且对任意的正整数，，都有，若，则__________.
13．正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，．前项和为，则的值为 ___________．
14．已知数列满足，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题
15．等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
16．设数列的前项和为，已知，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和.
17．已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)证明：为等差数列.
(2)求的值和的通项公式.
(3)若数列满足，其前项和为，证明：.
18．已知数列的前n项和为，且，且.
(1)证明数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和；
(3)若，求正整数k的所有取值.
19．若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．
(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；
(2)若数列为“A数列”，且，．
①求证：；
②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．
参考答案
1．A
【详解】，所以，
，所以，
所以.
故选：A.
2．C
【详解】在数列中，，，则，
，，，
以此类推可知，，即数列是以为周期的周期数列，
所以，.
故选：C.
3．B
【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则，
由等比数列的等比中项性质可得：.
因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则,
所以.
故选：B.
4．A
【详解】由数列是公差为的等差数列，得，
则，因此数列是公比为的等比数列，
所以.
故选：A
5．B
【详解】数列和都为等差数列，且，
则，
故选：B．
6．B
【详解】设“三角垛”每一层球的个数构成数列，
由题意可知，，，，，…，，
这11项加在一起，得.
故选：B
7．B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
8．C
【详解】已知，因为，所以，.
根据，可得，化简得到.
因为，所以，.
同理可得.
通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）.
当时，.
故选：C.
9．CD
【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；
，故B错误；
当时，，故C正确；
因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.
故选：CD.
10．BD
【详解】对于A，因为（c为常数），所以当时，，
当时，，
因为是等比数列，则也满足上式，即，解得，故A错误；
对于B，设数列为等差数列的公差为，则，又因为(常数)，
所以为等比数列，故B正确；
对于C，因为①，当时，，
当时， ②，
由得，则，当时，，不满足上式，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以当时，，即，
当时，，则，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故D正确.
11．BCD
【详解】对于A，显然∽∽，
在中，由余弦定理有，
所以：，
所以面积比，所以数列的公比为，故A不正确；
对于B，在中，，
所以.
同理，
同理可知数列是等比数列，公比为，
所以，
所以，故B正确；
对于C，由，
可得，
而，
所以，故C正确；
对于D，可知，即数列是首项为3，公比为的等比数列，
一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行的总距离为，
而，故D正确.
故选：BCD
12．
【详解】因为，当时， ，因为，所以，故，
所以数列为首项，公比的等比数列，则，
所以.
13．
【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为，
则，而，解得，
于是，显然，
所以．
故答案为：
14．
【详解】由，，可得，
整理得，，
所以数列表示首项为2，公差为1的等差数列.
，则，
又由恒成立，即，对恒成立，
令，
当时，，当时，，
由对勾函数的单调性，得，所以.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，
解得，
所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，
所以
．
16．(1)
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
，
所以数列的前项和为.
17．(1)证明过程见解析；
(2)，；
(3)证明过程见解析
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①-②得，
故，故，
为正项数列，故，所以，
即，为公差为2的等差数列；
（2）由（1）知，为公差为2的等差数列，
，故，
中，令得，
即，
将代入上式得，解得，
的通项公式为；
（3），
③，
故④，
式子③-④得
，
故.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)，，
【详解】（1）证明：因为，两边同时除以得，，
化简得，所以，
又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，所以，
则①，
又②，
①②得，
所以.
（3）解：由（1）（2）可知，，.
所以，.
由可得，，整理可得.
令，易知在上单调递增，
在上单调递增，所以，在上单调递增.
又，，
，，
所以，当时，有，即，在，时不成立.
所以k可取，，.
19．(1)
(2)①证明见详解；②1
【详解】（1）因为等比数列为“A数列”，则，
即，可得，
若上述方程对任意恒成立，则，且为定值，
所以的公比.
（2）由题意可知：，且，
则数列是以首项为，公差为1的等差数列，
可得，即.
①因为，
若，则；
若，则；
若，则，
可得；
综上所述：；
②因为，且是正项数列，则，即，
可得，
若对任意恒成立，即，
令，可得，可得，
且，则，
若，可得，
又因为，
可得，
所以符合题意；
若对任意恒成立，即，
令，可得，可得，
若，可得，
又因为，
可得，，
可得，所以符合题意；
综上所述：的最小值1.

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