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特殊平行四边形（辅助线、动点和图形变换、折叠三大难点）
突破训练
难点1：特殊平行四边形中添加常用的辅助线
一、选择题
1.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是
A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结若，，则GH的最小值为
A. B. C. D.
3.如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC的中点，于点P，则的度数是
A. B. C. D.
4.如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形ABDE，BCGF，ACHM，连结CE，分别记正方形BCGF，的面积为，若，则的值为
A. B. C. D.
二、填空题
5.如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连结DE，则的度数是 .
6.如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，于点E，于点F，连结EF，给出以下四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形;②若G为BD上任意一点，则③点G在运动过程中，的值为定值④点G在运动过程中，线段EF的最小值为。正确的有 填序号。
三、解答题
7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点
求证：
连结CM，
①求菱形ABCD的周长；
②若，求ME的长．
难点2： 特殊平行四边形中的动点和图形变换问题
一、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结若，，则GH的最小值为
A. B. C. 2 D. 3
2.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是
A. B. C. 8 D. 10
4.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置如图，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则
A. B. C. D.
二、填空题
5.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为 .
6.图1是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图2是一个菱形，将图2截去一个边长为原来一半的菱形得到图3，用图3镶嵌得到图4，将图4着色后，再次镶嵌便得到图1，则图4中的度数是
三、解答题
7.如图，已知和是两个边长都为1 cm的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连结AD及
求证：四边形ADFC是平行四边形．
若，沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时， ADFC是菱形？请说明你的理由；
② ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
8.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．
9.如图，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转到正方形，其中，AD与相交于点
如图1，求证：
如图2，当E是AD的中点时，
①求的大小；
②求的长．
难点3：特殊平行四边形中的折叠问题
一、选择题
1.如图，在矩形纸片ABCD中，，，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为
A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm
2.如图，已知矩形ABCD，将沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若，则的度数为
A. B. C. D.
3.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若，则等于
A. B. C. D.
4.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点，，E在同一条直线上，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为若，，则重叠部分的面积为
6.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿DE所在的直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处。
若，则的度数为 。
若，，则CD的长是 。
7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是 .
三、解答题
8.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．
求证：
求重叠部分的面积．
9.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上的点F处，已知，
求AF的长．
求CE的长．
10.如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连结AF，
求证：四边形AFCE为菱形．
设，，求菱形AFCE的面积和周长．
11.如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开．
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段，，展开，如图
求证：
第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在点处，得到折痕EF，同时得到线段，展开，如图求证：①点在AD上；②四边形为菱形．
12.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用；
第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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特殊平行四边形（辅助线、动点和图形变换、折叠三大难点）
突破训练
难点1：特殊平行四边形中添加常用的辅助线
一、选择题
1.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是
A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
【答案】C
【解答】
解：要使四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD交于点O，
根据三角形的中位线定理得：，，，，
，，
四边形EFGH是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形EFGH是矩形.
故选
2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结若，，则GH的最小值为
A. B. C. D.
【答案】D
3.如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC的中点，于点P，则的度数是
A. B. C. D.
【答案】A
4.如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形ABDE，BCGF，ACHM，连结CE，分别记正方形BCGF，的面积为，若，则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
二、填空题
5.如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，连结DE，则的度数是 .
【答案】
6.如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，于点E，于点F，连结EF，给出以下四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形;②若G为BD上任意一点，则③点G在运动过程中，的值为定值④点G在运动过程中，线段EF的最小值为。正确的有 填序号。
【答案】①②③④
三、解答题
7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点
求证：
连结CM，
①求菱形ABCD的周长；
②若，求ME的长．
【答案】【小题1】
略
【小题2】
①②

难点2： 特殊平行四边形中的动点和图形变换问题
一、选择题
1.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结若，，则GH的最小值为
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】【分析】
连接AF，利用三角形中位线定理，可知，求出AF的最小值即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
【解答】
解：连接AF，如图所示：
四边形ABCD是菱形，
，
，H分别为AE，EF的中点，
是的中位线，
，
当时，AF最小，GH得到最小值，
则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即GH的最小值为，
故选：
2.如图，在平行四边形ABCD中，，，E，F是对角线BD上的动点，且，M，N分别是边AD，BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形
其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
解：连接AC，MN，BD，它们交于点O，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
只要，那么四边形MENF就是平行四边形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要，，则四边形MENF是矩形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要，，则四边形MENF是菱形，
点E，F是BD上的动点，
存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要，，，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：
3.如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形ABCD的对角线BD的长是
A. B. C. 8 D. 10
【答案】B
4.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置如图，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则
A. B. C. D.
【答案】C
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
5.如图，在矩形ABCD中，，，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且，则BM的值为 .
【答案】1或6
6.图1是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图2是一个菱形，将图2截去一个边长为原来一半的菱形得到图3，用图3镶嵌得到图4，将图4着色后，再次镶嵌便得到图1，则图4中的度数是
【答案】60
三、解答题
7.如图，已知和是两个边长都为1 cm的等边三角形，且B，D，C，E都在同一直线上，连结AD及
求证：四边形ADFC是平行四边形．
若，沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，设运动时间为t秒．
①当t为何值时， ADFC是菱形？请说明你的理由；
② ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
【答案】【小题1】
证明：和是两个边长都为1 cm的等边三角形，，，，四边形ADFC是平行四边形．
【小题2】
解：①当秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由：沿着BE的方向以每秒1 cm的速度运动，当秒时，B与D重合，如图2所示，则，平行四边形ADFC是菱形； ②若平行四边形ADFC是矩形，则，同理，同理，与B重合，秒如图3，在中，，，，，矩形ADFC的面积

8.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．
【答案】解：四边形OABC为矩形，
，，
将矩形OABC沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，
，，
在中，，，
，
，
点坐标为；
设，则，，
在中，
，
，解得，
点坐标为
9.如图，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕点C顺时针旋转到正方形，其中，AD与相交于点
如图1，求证：
如图2，当E是AD的中点时，
①求的大小；
②求的长．
【答案】【小题1】
证明：连结AC，，，易得，，又，，
【小题2】
解：①连结CA，，，， 则由易得， 由得，，， 又，，； ②延长，并过点作延长线，垂足为H， 设，易证≌，，又，，，在中，有， 解得，，

难点3：特殊平行四边形中的折叠问题
一、选择题
1.如图，在矩形纸片ABCD中，，，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为
A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm
【答案】C
2.如图，已知矩形ABCD，将沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若，则的度数为
A. B. C. D.
【答案】D
3.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
4.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点，，E在同一条直线上，已知，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、填空题
5.把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为若，，则重叠部分的面积为
【答案】
6.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿DE所在的直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处。
若，则的度数为 。
若，，则CD的长是 。
【答案】【小题1】
【小题2】
9

7.如图，已知矩形ABCD的两条边，，点E是对角线AC，BD的交点，点P是边AD上一个动点，将沿PE折叠，使点D落在点处，当与矩形一条边垂直时，PD的长是 .
【答案】或5
三、解答题
8.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．
求证：
求重叠部分的面积．
【答案】【小题1】
解：证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有，，，≌，
【小题2】
设， 在中，有， 即，解得，

9.如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上的点F处，已知，
求AF的长．
求CE的长．
【答案】【小题1】
解：根据翻折不变性，≌，
【小题2】
在中， ， 则 设，则 在中，有，即，解得，

10.如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连结AF，
求证：四边形AFCE为菱形．
设，，求菱形AFCE的面积和周长．
【答案】【小题1】
解：证明：四边形ABCD是矩形，， 由折叠的性质，可得，，，，，，四边形AFCE为菱形．
【小题2】
由轴对称的性质可得， 设，则，，，，解得，菱形AFCE的面积， 菱形AFCE的周长

11.如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开．
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段，，展开，如图
求证：
第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在点处，得到折痕EF，同时得到线段，展开，如图求证：①点在AD上；②四边形为菱形．
【答案】【小题1】
证明：连结，由题意得是等边三角形，，；
【小题2】
①，，，第二步折叠得到，第三步折叠得到，，点在AD上； ②，，，，和都是等边三角形，，四边形为菱形．

12.如图，长方形纸片ABCD中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片余下部分不再使用；
第二步：如图2，沿三角形纸片EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；
第三步：如图3，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．
求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值和最大值．
【答案】解：如图1为第三步剪拼之后的四边形的示意图．，三角形中位线定理，四边形是平行四边形，其周长为为定值，四边形的周长取决于MN的大小．
如图2是剪拼之前的完整示意图，过点G，H作BC边的平行线，分别交AB，CD于点P，Q，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，根据垂线段最短，得到MN的最小值为4；MN的最大值等于矩形对角线的长度，即四边形的周长为，四边形周长的最小值为20，最大值为

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