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2026年高考数学稳妥拿分专训（山东专用）（一）（学生版）
专训说明：1.本专训共15个题目，单选8题，多选2题，填空2题，解答题3题，均选自最新模拟试题，可训性强；2.适合80-120分的学生进行保底训练；3.建议限时60-80分钟.
一、单选题
1．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知与的夹角为.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山东菏泽·模拟预测）若函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
7．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（ ）
A． B．点的轨迹方程为
C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为
10．（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ）
A．展开式共项 B．展开式中常数项为
C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为
三、填空题
11．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．
12．（2025·山东威海·三模）有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为__________．
四、解答题
13．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
14．（2026·山东日照·二模）如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为．
(1)若，求三棱柱的体积；
(2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值．
15．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立.
(1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率；
(2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望.
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2026年高考数学稳妥拿分专训（山东专用）（一）（详解版）
专训说明：1.本专训共15个题目，单选8题，多选2题，填空2题，解答题3题，均选自最新模拟试题，可训性强；2.适合80-120分的学生进行保底训练；3.建议限时60-80分钟.
一、单选题
1．（2026·山东泰安·模拟预测）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解不等式，得，
则不等式的解集为，
记使不等式成立的充分不必要条件为集合，
则集合为集合的真子集，
所以集合.
2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】因为，所以，
，
，
所以在复平面内对应的点位于第一象限.
3．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知与的夹角为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，展开得，
又，所以，解得.
4．（2026·山东菏泽·模拟预测）若函数的定义域为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，得出是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意得函数的定义域是，且满足方程，
等式两边同除以得，令，则有，
这说明当是正整数时，数列是一个公差为的等差数列，由，得，
因此，对于正整数有，则，
所以，故C正确.
5．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.
【详解】对于A选项，对于函数，由可得，
即函数的定义域为，与题中图象不符；
对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；
对于C选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，与题中图象不符；
对于D选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，
令得，可得，
当时，，则，与题中图象相符.
6．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为 ，令，则可由求出，，关于的表达式，再由条件求出，进而得到．
【详解】设等比数列的首项为，公比为，其中．
则，由，得．
令，则．由上式可得，
，，由题意得，
因为，所以．
化简得．解得或．
又，所以，故．
7．（2026·山东聊城·二模）已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】设点、，可得，，利用点差法可求得直线的斜率，根据可得出的值.
【详解】设点、，易知直线的斜率存在，且，，
若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为零，
则，作差得，
故直线的斜率为，
因为，且，所以，解得.
8．（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值.
【详解】任意的，都有，
则在上恒成立，
令，，
则，令，得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此存在，使，
令，则，令，得，
当时，当时，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以时，的最大值为.
二、多选题
9．（2026·山东东营·二模）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，其中为坐标原点．则下列说法正确的是（ ）
A． B．点的轨迹方程为
C．的取值范围是 D．点到直线距离的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据向量的运算及共线性质判断A；设点的坐标，利用相关点法求解轨迹方程判断B，利用数量积的坐标运算和余弦函数的性质求解判断C；利用圆心到直线的距离求解判断D.
【详解】因为，所以，即，故A正确；
设，由已知且，
所以.
又点在圆上，得，
所以，故点轨迹为以为圆心，半径的圆，故B正确；
设，所以，
又，所以，故C错误；
因为圆心到直线距离为，
所以点到直线距离的最小值为，故D正确.
10．（2026·山东济宁·二模）的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ）
A．展开式共项 B．展开式中常数项为
C．展开式中所有项的二项式系数之和为 D．展开式中所有项的系数之和为
【答案】ACD
【分析】先由两项二项式系数相等可得，根据二项式定理可判断AC，再通过通项公式可判断B，用赋值法判断选项D可得.
【详解】因为的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，
所以，即，得.
所以二项式展开式的项数为，故A正确；
对于B，由通项公式.
令，得，所以常数项为 ，故B错误.
所以二项式展开式中所有项的二项式系数之和为，故C正确；
令，则展开式中所有项的系数之和为 ，故D正确；
三、填空题
11．（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____．
【答案】
【详解】由的周期为2，可得，
由是奇函数，可得，
再由的周期为2，可得，
因为当时，，所以，
即.
12．（2025·山东威海·三模）有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为__________．
【答案】/0.4
【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概率乘以取到红球的概率，再相加即可得解.
【详解】由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球1个红球.
①从甲袋中取出2个白球的概率为，
放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为；
②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为，
放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为，
综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，
再从乙袋中任取一球为红球的概率为.
故答案为：
四、解答题
13．（2026·山东淄博·一模）已知锐角的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，化简即可求解；
（2）由（1）结合三角形为锐角三角形，确定的范围，将转换成，再结合两角差正弦公式及辅助角公式，转换成正弦型函数求值域即可.
【详解】（1）由正弦定理，，，可得：
，
又，
所以，因为，
化简可得：，
因为是锐角三角形，，
故；
（2）由得，即，
因为是锐角三角形，所以，
解得，
由得，
故，
代入得： ，
因此的取值范围为.
14．（2026·山东日照·二模）如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为．
(1)若，求三棱柱的体积；
(2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据二面角的定义以及线面垂直的判定定理证明该图形为直三棱柱，然后根据棱柱的体积公式即可求解.
（2）建立空间直角坐标系，求出点坐标以及平面的一个法向量，然后根据线面角的空间向量公式即可求解.
【详解】（1）由折叠性质可知：，，
因此 就是二面角的平面角，即 ，
三棱柱为直三棱柱，
原正方形边长为2，为中点，故， .
当 时，，，
，侧棱长为高，
因此三棱柱的体积 .
（2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴，
各点坐标为 ，，，，
设 ， ，，
由得 ，解得，即，
因此，
，，设平面的法向量为，
由，取得，
， ，
设直线与平面所成角为，由线面角公式得 .
15．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立.
(1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率；
(2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)
X 0 2 4 6
P
.
【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解；
（2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解.
【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，
“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，
则，且与相互独立，
与相互独立，与互斥，
所以.
（2）X的可能取值为0，2，4，6.
，
，
，
.
的分布列为：
0 2 4 6
P
故.
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