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广西南宁三中等2025-2026学年下学期九年级 数学素养提升训练(二) 数学
1．在，0，3，7四个数中，最小的是（　　）
A． B．0 C．3 D．7
2．以下几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
3．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
5．以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）
A．45 B．60 C．90 D．135
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．分式中的，的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
8．已知一次函数，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　）
A． B．3m C． D．4m
12．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
14．若，则　 　．
15．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是　 　．
16．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，证明：．
20．某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】
平均数 中位数 众数
八年级 a 87.5 c
九年级 85 b 80
（1）直接写出_____；_____；_____．
（2）该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）
（3）【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．
（4）【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）
21．综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型．
【解决问题】
（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
22．如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，求阴影部分的面积．
23．学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．
（1）当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；
（2）第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；
（3）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式；
（4）已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
最小的是．
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、球的左视图是圆，故A符合题意；
B、长方体的左视图是矩形，故B不符合题意；
C、三棱锥的左视图是三角形，故C不符合题意；
D、圆柱的左视图是矩形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
观察选项A中的立体图形：这是一个圆锥，从左侧面看，其形状是一个三角形，而不是圆；因此A不符合题意；
观察选项B中的立体图形：这是一个圆柱，从左侧面看，其形状是一个矩形，而不是圆；因此选项B不符合题意；
观察选项C中的立体图形：这是一个三棱柱，从左侧面看，其形状也是一个矩形，而不是圆；因此选项C不符合题意；
观察选项D中的立体图形：这是一个球体，无论从哪个侧面看，其形状都是一个圆；因此选项D符合题意；逐一判断即可解答.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】．
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法形式为（，为整数），将转化为，确定，即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质，该图案可被均匀分成四部分，每部分对应圆心角为，图形旋转的整数倍可与自身重合，最小旋转角为。
6．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查整式的混合运算，与不是同类项无法合并；需按积的乘方计算得；同底数幂相除；合并同类项，据此判断正确选项。
7．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：中的，的值都扩大到原来的2倍得
∴分式的值扩大到原来的2倍，
故选：A．
【分析】本题考查分式的基本性质，用、替换原式中、，化简，可知分式值扩大为原来的倍。
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y的值随x的值的增大而减小，
∴，
解得：，
∴k的取值范围为．
故选：B．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，时随增大而减小，因此令，解得。
9．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，
所以3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是，
故答案为：C
【分析】本题考查用树状图求概率，画出树状图可得总共有种等可能结果，其中恰有只雄鸟的结果有种，概率为。
10．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：D．
【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，根据题意建立方程即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点M是的中点，且经过点O，，
∴，
∴．
设半径为r，则，根据勾股定理，得
，
解得，
所以半径为．
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，则，在中列方程，求解得半径。
12．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查折叠性质与平行线性质，折叠得，由得，结合折叠角相等推出，再用三角形内角和求。
13．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
14．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：＜
【分析】本题考查不等式的性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，两边乘，得。
15．【答案】4
【知识点】解二元一次方程组；三角形的面积；三角形全等及其性质；菱形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示：
在菱形中，对角线交于点，则，，，，
四个直角三角形全等，
设，，且，
由图2左图可知，，
由图2右图可知，，
联立，解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形性质与二元一次方程组，设直角三角形两直角边为、，由拼图得，解得，，菱形面积为。
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，，
，
．
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形中线性质、垂直平分线与三角函数，，是垂直平分线，得，由面积求，推出，。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查实数与二次根式混合运算。
(1)先算乘方、，再算乘除加减；
(2)去括号后合并同类二次根式，化简后计算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质与全等三角形证明。
（1）根据作图-垂直平分线结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形对角线互相平分得、，由中点得，结合对顶角相等，用证，得。
（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）86，85，90
（2）解：，
所以这两个年级学生的平均得分是85.6分；
（3）解：如图所示；
（4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高；
八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小．
（选择任意一条即可，答案不唯一）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；箱线图
【解析】【解答】（1）解：，，；
故答案为：86；85；90；
【分析】本题考查统计量计算与数据分析。
(1)按平均数、中位数、众数定义计算八年级平均数，九年级中位数，八年级众数；
(2)用加权平均数计算两年级总平均分；
(3)确定四分位数绘制箱线图；
(4)从平均数、数据波动角度分析两组数据。
（1）解：，，；
（2）解：，
所以这两个年级学生的平均得分是85.6分；
（3）解：如图所示；
（4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高；
八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小．
（选择任意一条即可，答案不唯一）．
21．【答案】（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）解：当时，即，
解得，
所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）解：当时，，
由于，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的实际应用；抽样调查的可靠性
【解析】【分析】本题考查数据收集与函数应用。
(1)第一次仅收集一人数据，样本不具代表性；
(2)将代入，解方程得时间；
(3)将代入解析式，判断心率是否超并给出建议。
（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）当时，即，
解得，
所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）解：当时，，
由于，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
22．【答案】（1）证明：∵是的切线，∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
在中，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆的切线、圆周角定理、相似三角形与阴影面积。
(1)由切线性质得，结合角的关系证；
(2)证，得比例式转化为乘积式；
(3)由直角三角形性质求边长，确定圆心角，用扇形减三角形面积得阴影面积。
（1）证明：∵是的切线，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
在中，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴．
23．【答案】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为，将点代入，得，
解得，
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为；
（2）
（3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得
，
则；
（4）解：能，理由如下：当时，，
解得或（舍去）
∵，，
则，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴抛物线的顶点式为；
【分析】本题考查二次函数的实际应用。
(1)设顶点式，代入求得解析式；
(2)利用关于轴对称的坐标特征写第二象限解析式；
(3)抛物线向上平移米过，整理得与关系式；
(4)代入求，判断水柱半径是否覆盖绿化带。
（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为，
将点代入，得，
解得，
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴抛物线的顶点式为；
（3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得
，
则；
（4）解：能，理由如下：
当时，，
解得或（舍去）
∵，，
则，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
1 / 1广西南宁三中等2025-2026学年下学期九年级 数学素养提升训练(二) 数学
1．在，0，3，7四个数中，最小的是（　　）
A． B．0 C．3 D．7
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
最小的是．
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．以下几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、球的左视图是圆，故A符合题意；
B、长方体的左视图是矩形，故B不符合题意；
C、三棱锥的左视图是三角形，故C不符合题意；
D、圆柱的左视图是矩形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
观察选项A中的立体图形：这是一个圆锥，从左侧面看，其形状是一个三角形，而不是圆；因此A不符合题意；
观察选项B中的立体图形：这是一个圆柱，从左侧面看，其形状是一个矩形，而不是圆；因此选项B不符合题意；
观察选项C中的立体图形：这是一个三棱柱，从左侧面看，其形状也是一个矩形，而不是圆；因此选项C不符合题意；
观察选项D中的立体图形：这是一个球体，无论从哪个侧面看，其形状都是一个圆；因此选项D符合题意；逐一判断即可解答.
3．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】．
故选：C．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法形式为（，为整数），将转化为，确定，即可得出答案。
4．如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
5．以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）
A．45 B．60 C．90 D．135
【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质，该图案可被均匀分成四部分，每部分对应圆心角为，图形旋转的整数倍可与自身重合，最小旋转角为。
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；整式的混合运算；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查整式的混合运算，与不是同类项无法合并；需按积的乘方计算得；同底数幂相除；合并同类项，据此判断正确选项。
7．分式中的，的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：中的，的值都扩大到原来的2倍得
∴分式的值扩大到原来的2倍，
故选：A．
【分析】本题考查分式的基本性质，用、替换原式中、，化简，可知分式值扩大为原来的倍。
8．已知一次函数，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y的值随x的值的增大而减小，
∴，
解得：，
∴k的取值范围为．
故选：B．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，时随增大而减小，因此令，解得。
9．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下，
共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雄鸟有3种情况，
所以3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是，
故答案为：C
【分析】本题考查用树状图求概率，画出树状图可得总共有种等可能结果，其中恰有只雄鸟的结果有种，概率为。
10．某智能手机代工厂接到生产30万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，该代工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货，那么原计划每月生产智能手机多少万部？设原计划每月生产智能手机x万部，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：D．
【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，根据题意建立方程即可求出答案.
11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　）
A． B．3m C． D．4m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵点M是的中点，且经过点O，，
∴，
∴．
设半径为r，则，根据勾股定理，得
，
解得，
所以半径为．
故答案为：C
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，则，在中列方程，求解得半径。
12．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查折叠性质与平行线性质，折叠得，由得，结合折叠角相等推出，再用三角形内角和求。
13．若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
14．若，则　 　．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：＜
【分析】本题考查不等式的性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，两边乘，得。
15．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】解二元一次方程组；三角形的面积；三角形全等及其性质；菱形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示：
在菱形中，对角线交于点，则，，，，
四个直角三角形全等，
设，，且，
由图2左图可知，，
由图2右图可知，，
联立，解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形性质与二元一次方程组，设直角三角形两直角边为、，由拼图得，解得，，菱形面积为。
16．如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，，
，
．
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形中线性质、垂直平分线与三角函数，，是垂直平分线，得，由面积求，推出，。
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的加减法；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】本题考查实数与二次根式混合运算。
(1)先算乘方、，再算乘除加减；
(2)去括号后合并同类二次根式，化简后计算。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
19．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
（1）尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接，证明：．
【答案】（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查平行四边形性质与全等三角形证明。
（1）根据作图-垂直平分线结合题意即可求解；
（2）根据平行四边形对角线互相平分得、，由中点得，结合对顶角相等，用证，得。
（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
20．某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分．
【收集数据】
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100.
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100.
【整理数据】
平均数 中位数 众数
八年级 a 87.5 c
九年级 85 b 80
（1）直接写出_____；_____；_____．
（2）该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数）
（3）【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示．
根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图．
（4）【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可）
【答案】（1）86，85，90
（2）解：，
所以这两个年级学生的平均得分是85.6分；
（3）解：如图所示；
（4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高；
八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小．
（选择任意一条即可，答案不唯一）．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；箱线图
【解析】【解答】（1）解：，，；
故答案为：86；85；90；
【分析】本题考查统计量计算与数据分析。
(1)按平均数、中位数、众数定义计算八年级平均数，九年级中位数，八年级众数；
(2)用加权平均数计算两年级总平均分；
(3)确定四分位数绘制箱线图；
(4)从平均数、数据波动角度分析两组数据。
（1）解：，，；
（2）解：，
所以这两个年级学生的平均得分是85.6分；
（3）解：如图所示；
（4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高；
八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小．
（选择任意一条即可，答案不唯一）．
21．综合与实践
心率监测不仅能够对运动者在锻炼过程中的身体状况进行有效监控与衡量，也可最大限度避免强度过大造成危险，确保体育运动的有效性与安全性．体育运动时的心率受年龄、性别、运动项目、运动时间等因素影响，某数学小组对此问题很感兴趣，选取相关因素进行项目研究．
【提出问题】跳绳运动中心率与运动时间的关系．
【收集数据】第一次数据收集，该小组收集小红同学的跳绳心率，每隔10秒作一次记录并绘制图象（如图1）．
小组讨论后，发现这样收集数据不合理，于是进行第二次数据收集，收集15位学生的跳绳心率，每隔10秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（如图2）：
【建立模型】由图象可知，随着跳绳时间增加，心率趋于一个定值，该小组要寻找一个函数模型分析跳绳过程中心率与时间的关系，他们依次建立一次函数模型、二次函数模型，但都与心率曲线不吻合，老师提醒他们可以借助反比例函数图象的平移来建立模型．
小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率随运动时间（单位：秒）的变化而变化的函数模型．
【解决问题】
（1）写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可）；
（2）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生平均心率原则上在140-160，以努力解决学生在体育课上“不出汗”的问题.请你根据解析式，求学生需要跳绳多少秒才能达到140的心率（结果精确到个位）；
（3）研究发现，运动时心率达到175时，就是运动过度.请你根据模型解析式，通过计算，对跳绳200秒的小明同学提出建议（写出一条建议即可）．
【答案】（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）解：当时，即，
解得，
所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）解：当时，，
由于，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的实际应用；抽样调查的可靠性
【解析】【分析】本题考查数据收集与函数应用。
(1)第一次仅收集一人数据，样本不具代表性；
(2)将代入，解方程得时间；
(3)将代入解析式，判断心率是否超并给出建议。
（1）解：选取的样本只有小红一个人，样本不具有代表性，因此第一次数据收集不合理；
（2）当时，即，
解得，
所以，学生需要跳绳47秒才能达到140的心率；
（3）解：当时，，
由于，
所以小明的运动过度，要缩短跳绳的时间．
22．如图，是的外接圆的直径，线段与相切于点，连接，交，于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵是的切线，∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
在中，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查圆的切线、圆周角定理、相似三角形与阴影面积。
(1)由切线性质得，结合角的关系证；
(2)证，得比例式转化为乘积式；
(3)由直角三角形性质求边长，确定圆心角，用扇形减三角形面积得阴影面积。
（1）证明：∵是的切线，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
即；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
在中，，
∴，
∴，
根据勾股定理，得．
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得（负值舍去），
∴．
23．学校的中心有一个圆形喷泉池，喷泉池的中央安装一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱，效果图如图1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．
（1）当喷头高度一定时，从喷泉口喷出的水柱呈抛物线，经测算，水柱的落点在水平地面半径为2米的圆上，在距离池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，画出图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需要写自变量取值范围）；
（2）第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，由轴对称性，直接写出第二象限的抛物线的解析式；
（3）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加米，水柱落点形成的圆半径相应增加米，与之间存在一定的数量关系，求出与之间的数量关系式；
（4）已知喷泉池的半径是2.1米，四周种植了一圈宽度为0.5米的绿化带，为了提高对水资源的利用率，可通过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加米时，绿化带能否被水柱喷灌到？请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为，将点代入，得，
解得，
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为；
（2）
（3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得
，
则；
（4）解：能，理由如下：当时，，
解得或（舍去）
∵，，
则，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴抛物线的顶点式为；
【分析】本题考查二次函数的实际应用。
(1)设顶点式，代入求得解析式；
(2)利用关于轴对称的坐标特征写第二象限解析式；
(3)抛物线向上平移米过，整理得与关系式；
(4)代入求，判断水柱半径是否覆盖绿化带。
（1）解：根据题意可知抛物线的顶点坐标为，且经过点，设抛物线的顶点式为，
将点代入，得，
解得，
∴水柱所在的抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，第一象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴第二象限的抛物线的顶点坐标为，且经过点，
∴抛物线的顶点式为；
（3）解：当喷头竖直高度增加h米，水柱落点形成的圆半径相应增加d米，即将抛物线向上平移h米，经过点，根据题意，得
，
则；
（4）解：能，理由如下：
当时，，
解得或（舍去）
∵，，
则，
所以绿化带能被水柱喷灌到．
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