资源简介

广东省深圳市北京师大南山附校2026年中考数学一模试卷
1． 如果公元前 600年记作-600年，那么公元 2026年应记作（　　)
A．-2026年 B．+1426年 C．+2026年 D．+2626年
2．位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米. 若栏杆的旋转角 则栏杆 A端升高的高度为（　　)
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
5．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B． C． D．
6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　）
A．90° B．85° C．95° D．80°
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
8． 如图，折叠正方形 ABCD的一边 AD，使点 A落在 BD上的点 N处，折痕 DM交AC于点 P. 若 BM=8，则 AP的长是（　　)
A． B．4 C． D．
9．计算： 　 　.
10． 如图，将△AOB沿 x轴方向向右平移得到△CDE，点 B的坐标为（6， 0)， DB=2，则点 E的坐标为　 　.
11．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
12． 如图，平行四边形 ABCD的顶点 A在 x轴上，点 D在 上，且 AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点 E. 若 则 k=　 　.
13． 如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，以点 A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段 DE绕点 D 顺时针方向旋转 90°并缩短到原来的一半，得到线段 DF，连结 AF，则 AF的最小值是　 　.
14．解方程：
15． 计算：
16．为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩（百分制)，对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整)：
主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告
数据收集 八年级学生成绩 80， 80， 100， 90， 80， 70， 70， 80， 70， 90， 70， 80， 100， 90， 60， 80， 90， 80， 90， 90 九年级学生成绩 90， 90， 100， 80， 80， 60， 70， 80， 60， 100， 60， 70， 90， 80， 90， 90， 90， 70， 100， 90
数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量
年级平均数中位数众数八年级828080九年级82 　90
任务 1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数 n= ▲ ；
任务 2 该校九年级学生共 1200人，请估计成绩不低于 80分的人数；
任务 3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好 请说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
17．某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如表所示：
　 甲 乙
进价 （元/个) 40 25
售价 （元/个) 43 30
（1）该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元. 超市购进甲、乙两种水杯各多少个
（2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量. 已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的 2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大 并求出最大利润.
18．如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作 DE⊥AC，垂足为点 E，延长CA交⊙O于点 F.
（1）求证： DE是⊙O的切线；
（2）若 AF=4， ∠C=30°，求图中阴影部分的面积.
19．在平面直角坐标系中，若点 P的横坐标和纵坐标相同，则称点 P为“幸运点”，如点（-1，-1)，（5，5)都是“幸运点”.
（1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线 L上，请直接写出直线 L的解析式：　 　；
（2）小芳在研究抛物线 时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”（2，2). 请你帮她求出 a，b的值.
（3）在（2）的条件下将抛物线 C1向下平移 1个单位得到抛物线 C2，若 C2上有两个“幸运点”分别是M （x1， y1) ， N （x2， y2) （其中时，求出 C2中 y的最大值与最小值的差.
20．如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫做“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”.
（1）问题发现
如图①，四边形 ABCD是“对称四边形”，对角线AC，BD交于点 O，AC是“对称线”，若AO=4. OC=12，CD=13，则四边形 ABCD的面积是　 　.
（2）问题探究
如图②，四边形 ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°，AC=6+6 P， Q分别为线段 AC， BC上的动点，求 PB+PQ的最小值.
（3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中. O为坐标原点，已知点 过 A作射线 轴，交 y轴于点 P，E为射线 AQ上的动点（不与点 A重合)，G，F分别为线段 AO和 x轴正半轴上的动点，连接 EG， EF，点 M是线段 OE与 GF的交点，并且四边形 EGOF为“对称四边形”，其中 GF是“对称线”. 请问 的面积是否存在最小值 若存在，请求出面积的最小值以及此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵公元前 600年记作-600年，
∴公元 2026年应记作+2026年，
故答案为：C.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解；从上面看，看到的图形是一个圆，故“中国天眼”的俯视图是圆，
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）．
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求解.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A'作A'C⊥AB于点C，如图所示：
在Rt△A'BC中，sin=，
∴A'C=A'Bsin=4sinα，
故答案为：B.
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，利用正弦的定义可得sin=，再将数据代入求出A'C=A'Bsin=4sinα即可.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B.，故符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、 幂的运算、完全平方公式、积的乘方运算法则进行计算，逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥EM∥CD
∴∠1+∠BEM=180°，∠CEM=∠2
∵∠1=125°，∠2=35°
∴∠BEM=55°，∠CEM=35°
∴∠BEC=∠BEM+∠CEM=90°
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质可得∠BEM=55°，∠CEM=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故答案为：C．
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，可得点P到x轴、y轴的距离相等，且横、纵坐标化为相反数可得a-b=0，从而得解。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAO＝∠ABO＝45°，AB＝AD，OA＝OB＝OD，∠BAD＝∠AOD＝90°，
由折叠可得∠ADM＝∠NDM，∠DAM＝∠MND＝90°，AM＝MN，
∴∠BNM＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴MN＝BN，
∴AM＝MN＝BN，
设AM＝MN＝BN＝x，
在Rt△BMN中，由勾股定理得MN2＋BN2＝BM2，即x2＋x2＝82，
解得x＝（负值已舍去），
∴AM＝MN＝BN＝，
∴AD＝AB＝AM＋BM＝＋8，
∵OA2＋OD2＝AD2，
∴2OA2＝(＋8)2，
∴OD＝OA＝4＋，
在△OPD和△EPD中，
，
∴△OPD≌△EPD（AAS），
∴DE＝OD＝4＋，
∴AE＝AD DE＝＋8 (4＋)＝4，
∵PE⊥AD，∠DAO＝45°，
∴PE＝AE＝4，
∴AP＝，
故答案为：A．
【分析】设AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AD于点E，由正方形的性质可得AB＝AD，OA＝OB＝OD，∠BAD＝∠AOD＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，由对折可得∠DAM＝∠MND＝90°，AM＝MN，∠ADM＝∠NDM，推出AM＝MN＝BN，根据勾股定理求出AM＝MN＝BN＝，则AD＝AB＝＋8，进而求出OD＝OA＝4＋，证明△OPD≌△EPD，得到DE＝OD＝4＋，可得AE＝4，由PE⊥AD，∠DAO＝45°可得PE＝AE＝4，最后根据勾股定理求解即可．
9．【答案】3
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解： .
故答案为：3.
【分析】根据同分母分式的加法进行计算，并进行化简，即可得出答案。
10．【答案】（10， 0)
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点B的坐标为（6， 0)，
∴OB=6，
∵DB=2，
∴OD=OB-DB=6-2=4，
∵将△AOB沿 x轴方向向右平移得到△CDE，
∴BE=OD=4，
∴OE=OB+BE=6+4=10，
∴点E的坐标为（10，0），
故答案为：（10，0）.
【分析】先利用点坐标的定义可得OB=6，再利用平移的性质及线段的和差求出OE=OB+BE=6+4=10，从而可得点E的坐标.
11．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
12．【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE＝，
∴k＝3，
故答案为：3．
【分析】连接DF、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆的综合题；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点T，连接AT，TF，AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
∵DT＝CT＝1，DE＝2DF，
∴＝2，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDT，
∴△EDA∽△FDT，
∴，
∴FT＝，
∵AT＝，
∴AF≥AT TF，
∴AF≥，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，取CD的中点T，连接AT，TF，AE．利用勾股定理求出AT，利用相似三角形的性质求出TF，根据AF≥AT TF，可得结论．
14．【答案】解：方程两边同乘以，得，
移项、化简得，
检验：当时，，所以是增根，
因此，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
15．【答案】解：原式=-1-7+3×1+5
=-8+3+5
=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
16．【答案】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有7人，
故补全条形统计图，如图所示：
②（1 15% 15% 15% 35%）×360°＝72°；
“80 分”所在扇形的圆心角的度数为72°；
③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90，
则中位数为n＝
80＋90
2
＝85；
任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：1200×（1 15% 15%）＝840（人）；
任务三：我认为九年级成绩更好．
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图；
②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为360°乘以占比即可；
③根据中位数定义进行求解即可；
任务二：用样本估计总体即可；
任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可．
17．【答案】（1）解：设超市购进甲种水杯 x个，乙种水杯 y个，
由题意得
解得：
答：超市购进甲种水杯 20个，乙种水杯 30个
（2）解：设甲种水杯减少 a，则乙种水杯增加 2a个，
由题意得：40 （20-a) +25 （30+2a) ≤1600，
解得： a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为 W元，
由题意得：W=3 （20-a)+5（30+2a)
=7a+210
∵k=7>0，
∴W随 a的增大而增大，
∴当 a=5时，
答：当超市购进甲种水杯 15个，乙种水杯 40个时，全部销售后获利最大. 最大毛利润为 245元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设超市购进甲种水杯 x个，乙种水杯 y个，根据“ 该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元”列出方程组求解即可；
（2）设甲种水杯减少 a，则乙种水杯增加 2a个，全部销售后获得的毛利润为 W元，利用“总费用=甲的费用+已的费用”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：如图，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，则OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，AF＝4，∠C＝30°，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，
∴AG＝GF＝AF＝2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠OAG＝∠B＋∠C＝60°，
∴OG＝AG tan60°＝，OA＝＝4＝OD，
∴S△AOG＝×2×=，
∵DE⊥AC，OG⊥AF，OD⊥DE，
∴∠GED＝90°，∠ODE＝90°，∠OGE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴S矩形ODEG＝4×＝，
∵∠AOD＝2∠B＝60°，
∴S扇形OAD＝π，
∴S阴影＝S矩形ODEG S△AOG S扇形OAD＝ ＝
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由OD＝OB根据“等边对等角”得∠OBD＝∠ODB，已知∠B＝∠C，即可得∠ODB＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”得OD∥AC，根据DE⊥AC，可得OD⊥DE即可证明结论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，根据垂径定理，则得AG＝GF＝AF＝2，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得∠OAG＝60°，解直角三角形可得OG＝，OA＝4，进而得到S△AOG＝；再证明四边形ODEG是矩形，以及S矩形ODEG＝；易得∠AOD＝2∠B＝60°，则S扇形OAD＝π，最后根据S阴影＝S矩形ODEG S△AOG S扇形OAD求解即可．
19．【答案】（1）y=x
（2）解：由条件可得2＝4a 2b＋4，
∵抛物线C1：y＝ax2 bx＋4(a≠0)与直线L：y＝x仅有一个交点，
∴方程ax2 bx＋4＝x只有一个实数解，
方程变形为ax2 （b＋1）x＋4＝0，
即Δ＝[ （b＋1）]2 16a＝0，
可得方程组，
解得：，
故答案为：a＝1、b＝3．
（3）解：抛物线C2的表达式为y＝x2 3x＋3，
结合抛物线C2：y＝x2 3x＋3与直线L：y＝x，
得方程x2 3x＋3＝x，
解得x＝1或x＝3，
故1≤x≤3，C2的对称轴为直线x＝，
故当x＝，对应函数值最小，此时y＝()2 3×＋3＝，
当x＝3时，对应函数值最大，此时y＝32 3×3＋3＝3，
3 ＝，
故y的最大值与最小值的差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）令直线L的函数表达式为y＝kx＋b，由条件可得：
，
解得：，
故直线L的函数表达式为y＝x，
故答案为：y＝x.
【分析】（1）令直线L的函数表达式为y＝kx＋b，将点（ 1， 1），（5，5）代入，利用待定系数法求解析式即可；
（2）由点（2，2）在抛物线C1上，可得关于a、b的方程，根据抛物线C1与直线L仅有一个交点，也可得关于a、b的方程，由此得出方程组，求解方程组即可；
（3）先得出平移后的抛物线的解析式为C2：y＝x2 3x＋3，再根据“幸运点”求得点M，N的坐标，得出x的取值范围，根据结合二次函数的图象与性质即可求出结果．
20．【答案】（1）80
（2）解：如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．
由（1）可知AC⊥BD，
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，
∴OA＝OD，OC＝OD，
设OD＝OA＝m，则OC＝m，
∵AC＝6＋6，
∴m＋m＝6＋6，
∴m＝6，
∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12，
∴CD＝CB＝12，
∵∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝6，
在△CPQ和△CPQ'中，
，
∴△PCQ≌△PCQ'（SAS），
∴PQ＝PQ'，
∴PB＋PQ＝PB＋PQ'≥BH＝6，
∴PB＋PQ的最小值为6；
（3）解：存在，
理由：过点E作EH⊥x轴于点H．
∵PQ∥OF，A（6，6），
∴OP＝EH＝6，
∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”，
∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME，
∴S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF 6＝EF，
∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6，
∴△EMF的面积的最小值为27，
此时E（6，6），
∴M（3，3）．
【知识点】点的坐标；四边形的综合；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）在△ADC和△ABC中，
，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴OD＝OB＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝ AC BD＝×（4＋12）×10＝80，
故答案为：80；
【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB＝，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD＝ AC BD．求解即可；
（2）如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ'，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题；
（3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF ＝EF，求出EF的最小值，可得结论．
1 / 1广东省深圳市北京师大南山附校2026年中考数学一模试卷
1． 如果公元前 600年记作-600年，那么公元 2026年应记作（　　)
A．-2026年 B．+1426年 C．+2026年 D．+2626年
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵公元前 600年记作-600年，
∴公元 2026年应记作+2026年，
故答案为：C.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解；从上面看，看到的图形是一个圆，故“中国天眼”的俯视图是圆，
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）．
故答案为：B.
【分析】根据概率=所求情况数与总情况数之比即可求解.
4． 如图，某停车场入口的栏杆 AB，从水平位置绕点 O旋转到 A'B'的位置，已知AO的长为 4米. 若栏杆的旋转角 则栏杆 A端升高的高度为（　　)
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A'作A'C⊥AB于点C，如图所示：
在Rt△A'BC中，sin=，
∴A'C=A'Bsin=4sinα，
故答案为：B.
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，利用正弦的定义可得sin=，再将数据代入求出A'C=A'Bsin=4sinα即可.
5．下列运算正确的是（　　）
A．2a+3b=5ab B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B.，故符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、 幂的运算、完全平方公式、积的乘方运算法则进行计算，逐一判断即可.
6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为（　　）
A．90° B．85° C．95° D．80°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥EM∥CD
∴∠1+∠BEM=180°，∠CEM=∠2
∵∠1=125°，∠2=35°
∴∠BEM=55°，∠CEM=35°
∴∠BEC=∠BEM+∠CEM=90°
故答案为：A
【分析】根据直线平行性质可得∠BEM=55°，∠CEM=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故答案为：C．
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，可得点P到x轴、y轴的距离相等，且横、纵坐标化为相反数可得a-b=0，从而得解。
8． 如图，折叠正方形 ABCD的一边 AD，使点 A落在 BD上的点 N处，折痕 DM交AC于点 P. 若 BM=8，则 AP的长是（　　)
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAO＝∠ABO＝45°，AB＝AD，OA＝OB＝OD，∠BAD＝∠AOD＝90°，
由折叠可得∠ADM＝∠NDM，∠DAM＝∠MND＝90°，AM＝MN，
∴∠BNM＝90°，
∵∠MBN＝45°，
∴MN＝BN，
∴AM＝MN＝BN，
设AM＝MN＝BN＝x，
在Rt△BMN中，由勾股定理得MN2＋BN2＝BM2，即x2＋x2＝82，
解得x＝（负值已舍去），
∴AM＝MN＝BN＝，
∴AD＝AB＝AM＋BM＝＋8，
∵OA2＋OD2＝AD2，
∴2OA2＝(＋8)2，
∴OD＝OA＝4＋，
在△OPD和△EPD中，
，
∴△OPD≌△EPD（AAS），
∴DE＝OD＝4＋，
∴AE＝AD DE＝＋8 (4＋)＝4，
∵PE⊥AD，∠DAO＝45°，
∴PE＝AE＝4，
∴AP＝，
故答案为：A．
【分析】设AC、BD交于点O，过点P作PE⊥AD于点E，由正方形的性质可得AB＝AD，OA＝OB＝OD，∠BAD＝∠AOD＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，由对折可得∠DAM＝∠MND＝90°，AM＝MN，∠ADM＝∠NDM，推出AM＝MN＝BN，根据勾股定理求出AM＝MN＝BN＝，则AD＝AB＝＋8，进而求出OD＝OA＝4＋，证明△OPD≌△EPD，得到DE＝OD＝4＋，可得AE＝4，由PE⊥AD，∠DAO＝45°可得PE＝AE＝4，最后根据勾股定理求解即可．
9．计算： 　 　.
【答案】3
【知识点】分式的约分；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解： .
故答案为：3.
【分析】根据同分母分式的加法进行计算，并进行化简，即可得出答案。
10． 如图，将△AOB沿 x轴方向向右平移得到△CDE，点 B的坐标为（6， 0)， DB=2，则点 E的坐标为　 　.
【答案】（10， 0)
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点B的坐标为（6， 0)，
∴OB=6，
∵DB=2，
∴OD=OB-DB=6-2=4，
∵将△AOB沿 x轴方向向右平移得到△CDE，
∴BE=OD=4，
∴OE=OB+BE=6+4=10，
∴点E的坐标为（10，0），
故答案为：（10，0）.
【分析】先利用点坐标的定义可得OB=6，再利用平移的性质及线段的和差求出OE=OB+BE=6+4=10，从而可得点E的坐标.
11．已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
12． 如图，平行四边形 ABCD的顶点 A在 x轴上，点 D在 上，且 AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点 E. 若 则 k=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，
∴S△OAD＝S△ABE＝，
∴k＝3，
故答案为：3．
【分析】连接DF、OD，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，根据三角形的面积公式得到S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，进而求出S△OAD，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
13． 如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，以点 A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段 DE绕点 D 顺时针方向旋转 90°并缩短到原来的一半，得到线段 DF，连结 AF，则 AF的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆的综合题；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，取CD的中点T，连接AT，TF，AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
∵DT＝CT＝1，DE＝2DF，
∴＝2，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠EDA＝∠FDT，
∴△EDA∽△FDT，
∴，
∴FT＝，
∵AT＝，
∴AF≥AT TF，
∴AF≥，
∴AF的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，取CD的中点T，连接AT，TF，AE．利用勾股定理求出AT，利用相似三角形的性质求出TF，根据AF≥AT TF，可得结论．
14．解方程：
【答案】解：方程两边同乘以，得，
移项、化简得，
检验：当时，，所以是增根，
因此，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
15． 计算：
【答案】解：原式=-1-7+3×1+5
=-8+3+5
=0
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
16．为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取 20名学生的竞赛成绩（百分制)，对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整)：
主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告
数据收集 八年级学生成绩 80， 80， 100， 90， 80， 70， 70， 80， 70， 90， 70， 80， 100， 90， 60， 80， 90， 80， 90， 90 九年级学生成绩 90， 90， 100， 80， 80， 60， 70， 80， 60， 100， 60， 70， 90， 80， 90， 90， 90， 70， 100， 90
数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量
年级平均数中位数众数八年级828080九年级82 　90
任务 1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数 n= ▲ ；
任务 2 该校九年级学生共 1200人，请估计成绩不低于 80分的人数；
任务 3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好 请说明理由.
根据所给信息，请完成以上所有任务.
【答案】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有7人，
故补全条形统计图，如图所示：
②（1 15% 15% 15% 35%）×360°＝72°；
“80 分”所在扇形的圆心角的度数为72°；
③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90，
则中位数为n＝
80＋90
2
＝85；
任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：1200×（1 15% 15%）＝840（人）；
任务三：我认为九年级成绩更好．
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图；
②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为360°乘以占比即可；
③根据中位数定义进行求解即可；
任务二：用样本估计总体即可；
任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可．
17．某小超市销售甲、乙两种品牌的水杯，这两种水杯的进价和售价如表所示：
　 甲 乙
进价 （元/个) 40 25
售价 （元/个) 43 30
（1）该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元. 超市购进甲、乙两种水杯各多少个
（2）这批两种水杯售罄后，该超市决定再次购买两种水杯，减少甲种水杯的购进数量，增加乙种水杯的购进数量. 已知乙种水杯增加的数量是甲种水杯减少数量的 2倍，而且用于再次购进这两种水杯的资金不超过1600元，该超市怎样进货，使第二批销售获得的利润最大 并求出最大利润.
【答案】（1）解：设超市购进甲种水杯 x个，乙种水杯 y个，
由题意得
解得：
答：超市购进甲种水杯 20个，乙种水杯 30个
（2）解：设甲种水杯减少 a，则乙种水杯增加 2a个，
由题意得：40 （20-a) +25 （30+2a) ≤1600，
解得： a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为 W元，
由题意得：W=3 （20-a)+5（30+2a)
=7a+210
∵k=7>0，
∴W随 a的增大而增大，
∴当 a=5时，
答：当超市购进甲种水杯 15个，乙种水杯 40个时，全部销售后获利最大. 最大毛利润为 245元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设超市购进甲种水杯 x个，乙种水杯 y个，根据“ 该超市计划用 1550元资金，购进两种水杯若干个，全部销售后可获利润 210元”列出方程组求解即可；
（2）设甲种水杯减少 a，则乙种水杯增加 2a个，全部销售后获得的毛利润为 W元，利用“总费用=甲的费用+已的费用”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙O交 BC于点 D，过点 D作 DE⊥AC，垂足为点 E，延长CA交⊙O于点 F.
（1）求证： DE是⊙O的切线；
（2）若 AF=4， ∠C=30°，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，则OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，AF＝4，∠C＝30°，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，
∴AG＝GF＝AF＝2，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠OAG＝∠B＋∠C＝60°，
∴OG＝AG tan60°＝，OA＝＝4＝OD，
∴S△AOG＝×2×=，
∵DE⊥AC，OG⊥AF，OD⊥DE，
∴∠GED＝90°，∠ODE＝90°，∠OGE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∴S矩形ODEG＝4×＝，
∵∠AOD＝2∠B＝60°，
∴S扇形OAD＝π，
∴S阴影＝S矩形ODEG S△AOG S扇形OAD＝ ＝
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由OD＝OB根据“等边对等角”得∠OBD＝∠ODB，已知∠B＝∠C，即可得∠ODB＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”得OD∥AC，根据DE⊥AC，可得OD⊥DE即可证明结论；
（2）如图2，过点O作OG⊥AF，垂足为点G，根据垂径定理，则得AG＝GF＝AF＝2，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得∠OAG＝60°，解直角三角形可得OG＝，OA＝4，进而得到S△AOG＝；再证明四边形ODEG是矩形，以及S矩形ODEG＝；易得∠AOD＝2∠B＝60°，则S扇形OAD＝π，最后根据S阴影＝S矩形ODEG S△AOG S扇形OAD求解即可．
19．在平面直角坐标系中，若点 P的横坐标和纵坐标相同，则称点 P为“幸运点”，如点（-1，-1)，（5，5)都是“幸运点”.
（1）小清认为所有的“幸运点”都在同一条直线 L上，请直接写出直线 L的解析式：　 　；
（2）小芳在研究抛物线 时，发现它的图象上有且只有一个“幸运点”（2，2). 请你帮她求出 a，b的值.
（3）在（2）的条件下将抛物线 C1向下平移 1个单位得到抛物线 C2，若 C2上有两个“幸运点”分别是M （x1， y1) ， N （x2， y2) （其中时，求出 C2中 y的最大值与最小值的差.
【答案】（1）y=x
（2）解：由条件可得2＝4a 2b＋4，
∵抛物线C1：y＝ax2 bx＋4(a≠0)与直线L：y＝x仅有一个交点，
∴方程ax2 bx＋4＝x只有一个实数解，
方程变形为ax2 （b＋1）x＋4＝0，
即Δ＝[ （b＋1）]2 16a＝0，
可得方程组，
解得：，
故答案为：a＝1、b＝3．
（3）解：抛物线C2的表达式为y＝x2 3x＋3，
结合抛物线C2：y＝x2 3x＋3与直线L：y＝x，
得方程x2 3x＋3＝x，
解得x＝1或x＝3，
故1≤x≤3，C2的对称轴为直线x＝，
故当x＝，对应函数值最小，此时y＝()2 3×＋3＝，
当x＝3时，对应函数值最大，此时y＝32 3×3＋3＝3，
3 ＝，
故y的最大值与最小值的差为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）令直线L的函数表达式为y＝kx＋b，由条件可得：
，
解得：，
故直线L的函数表达式为y＝x，
故答案为：y＝x.
【分析】（1）令直线L的函数表达式为y＝kx＋b，将点（ 1， 1），（5，5）代入，利用待定系数法求解析式即可；
（2）由点（2，2）在抛物线C1上，可得关于a、b的方程，根据抛物线C1与直线L仅有一个交点，也可得关于a、b的方程，由此得出方程组，求解方程组即可；
（3）先得出平移后的抛物线的解析式为C2：y＝x2 3x＋3，再根据“幸运点”求得点M，N的坐标，得出x的取值范围，根据结合二次函数的图象与性质即可求出结果．
20．如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么我们可把这条对角线叫做“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”.
（1）问题发现
如图①，四边形 ABCD是“对称四边形”，对角线AC，BD交于点 O，AC是“对称线”，若AO=4. OC=12，CD=13，则四边形 ABCD的面积是　 　.
（2）问题探究
如图②，四边形 ABCD是“对称四边形”，AC是“对称线”，∠DAC=45°，∠DCA=30°，AC=6+6 P， Q分别为线段 AC， BC上的动点，求 PB+PQ的最小值.
（3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中. O为坐标原点，已知点 过 A作射线 轴，交 y轴于点 P，E为射线 AQ上的动点（不与点 A重合)，G，F分别为线段 AO和 x轴正半轴上的动点，连接 EG， EF，点 M是线段 OE与 GF的交点，并且四边形 EGOF为“对称四边形”，其中 GF是“对称线”. 请问 的面积是否存在最小值 若存在，请求出面积的最小值以及此时点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）80
（2）解：如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．
由（1）可知AC⊥BD，
∵∠DAC＝45°，∠DCA＝30°，
∴OA＝OD，OC＝OD，
设OD＝OA＝m，则OC＝m，
∵AC＝6＋6，
∴m＋m＝6＋6，
∴m＝6，
∴OA＝OD＝6，CD＝2OD＝12，
∴CD＝CB＝12，
∵∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴∠BCH＝60°，∠CBH＝30°，
∴CH＝BC＝6，BH＝6，
在△CPQ和△CPQ'中，
，
∴△PCQ≌△PCQ'（SAS），
∴PQ＝PQ'，
∴PB＋PQ＝PB＋PQ'≥BH＝6，
∴PB＋PQ的最小值为6；
（3）解：存在，
理由：过点E作EH⊥x轴于点H．
∵PQ∥OF，A（6，6），
∴OP＝EH＝6，
∵四边形EGOF为“对称四边形”，其中GF是“对称线”，
∴FE＝FO，FG⊥OE，OM＝ME，
∴S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF 6＝EF，
∴当EF⊥OF时，EF的值最小，最小值为6，
∴△EMF的面积的最小值为27，
此时E（6，6），
∴M（3，3）．
【知识点】点的坐标；四边形的综合；四边形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（1）在△ADC和△ABC中，
，
∴△DAC≌△BAC（ASA），
∴AD＝AB，CD＝CB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴OD＝OB＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴S四边形ABCD＝ AC BD＝×（4＋12）×10＝80，
故答案为：80；
【分析】（1）证明△DAC≌△BAC（ASA），推出AD＝AB，CD＝CB，推出AC垂直平分线段BD，可得OD＝OB＝，推出BD＝2OD＝10，再根据S四边形ABCD＝ AC BD．求解即可；
（2）如图，在CD上取一点Q'，使得CQ'＝CQ，连接PQ'，过点B作BH⊥CD于点H，连接BD交AC于点O．证明PQ＝PQ'，解直角三角形求出BH，利用垂线段最短，解决问题；
（3）存在，理由：过点E作EH⊥x轴于点H．证明S△EMF＝S△EOF＝× OF EH＝EF ＝EF，求出EF的最小值，可得结论．
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