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河北邢台市2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
一、单选题
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列工具中，呈现类似对顶角结构的是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一平面内到直线的距离等于3的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
6．如图，阴影三角形平移后可得到（ ）
A．三角形 B．三角形
C．三角形 D．三角形
7．天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，刘师傅为了检验门框左侧是否垂直于水平地面，在的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过两点有且只有一条直线
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
9．下列各运算中，结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
11．方程组，下列步骤可以消去未知数的是（ ）
A．①② B．①② C．①-② D．①+②
12．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．54 B．50 C．43 D．34
二、填空题
13．计算： =____________________．
14．把方程改写成用含的式子表示的形式是_________．
15．如图，的同旁内角有_______个．
16．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______．
三、解答题
17．已知命题“相等的两个角是直角”
(1)写出此命题的条件．
(2)判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
18．在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究：
(1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）．
(2)当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：．
19．化简：
以下是嘉淇的解题过程：
…第一步
…第二步
第三步
老师看到后，说嘉淇做错了．
(1)嘉淇开始出现错误在第 步、
(2)请写出正确的解题过程．
20．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚．
(1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组．
(2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？
21．小玲和家人在青岛栈桥喂海鸥，回家后绘制了一个海鸥简笔画，如图，已知，，平分，，求证：．
22．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
(1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示；
(2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值．
23．某新能源光伏企业原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如下表所示，现因订单增加，实际上生产A、B两种太阳能光伏板共18件，生产成本变为72万元，求订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多多少万元？
A种产品 B种产品
生产成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
24．如图1，，直线与，分别相交于点G，H，，佳佳将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，，．
(1)请对说明理由．
(2)如图2，的平分线交直线于点O．
①当时，求的度数．
②佳佳将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
参考答案
1．D
解：A、只有1个未知数，且含有二次项，不是二元一次方程，不符合题意；
B、只有1个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
C、是二元二次方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、是二元一次方程，符合题意；
故选D．
2．C
解：由题意得，只有剪刀呈现类似对顶角结构．
3．B
解：同一平面内到直线的距离等于3的直线有2条，
故选：B．
4．B
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
5．C
解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处，
故选：C．
6．C
解：由平移的不变性可知，四个三角形只有三角形是经过三角形平移得到的．
故选：C．
7．A
解：，
故选：A．
8．A
解：由题意得，可以说明这个道理的数学知识是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
9．B
解：，
，
，
，
故选：B．
10．A
解：∵，
又 ∵，
∴，
∴．
故选A．
11．C
解：A、①②，得
，
变形后不能消去未知数，故不符合题意；
B、①②，得
，
变形后不能消去未知数，故不符合题意；
C、①②，得
，
变形后能消去未知数，故符合题意．
D、①②，得
，
变形后不能消去未知数，故不符合题意；
故选：C．
12．A
解：设小长方形的长、宽分别为，
依题意得，
解得，
∴小长方形的长、宽分别为，
．
13．
解：
，
故答案为：．
14．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．3
解：的同旁内角有和，共有3个．
故答案为：3．
16．如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房
解：由题意可知，方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住人，那么有人无房住”．
第二个方程，为客房总数量，表示实际使用的客房比总客房少间，即空出间客房，
表示所有客人恰好住满，
因此可得省略的条件为如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房．
17．(1)两个角相等
(2)该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角
（1）解：原命题可以改成：如果两个角相等，那么这两个角是直角，
故原命题的条件是两个角相等；
（2）解：该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角．
18．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：，、是正整数，
，
即（，、是正整数，）；
（2）解：，、是正整数
∴，
，
故．
19．(1)一
(2) ，过程见解析
（1）解：由解题过程可知，嘉淇开始出现错误在第一步，错误原因是把完全平方公式错用为平方差公式，以及在利用平方差公式时，使用错误；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
（1）解：
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵x，y是一对相反数，
∴，
联立
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为，
∴
∴．
21．证明见解析
【详解】证明：∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)
(2)15
（1）解：；
（2）解：①，
②，
∴
，
∴．
23．18万元
解：设原计划生产A种太阳能光伏板x件，生产B种太阳能光伏板y件，
由题意得，，
解得，
∴原计划生产A种太阳能光伏板3件，生产B种太阳能光伏板7件，
∴原计划的利润为万元；
设实际生产A种太阳能光伏板m件，生产B种太阳能光伏板n件，
由题意得，，
解得，
∴实际生产A种太阳能光伏板6件，生产B种太阳能光伏板12件，
∴实际的利润为万元，
万元，
答：订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多18万元．
24．(1)见解析
(2)①；②或．
（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q，
则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
又∵的平分线交直线于点O，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
②当点N在点G的右侧时，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴；
当点N在点G的左侧时，如答图2，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴；
综上所述，的度数为或．

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