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八下数学第10周《因式分解拓展》
【知识点拨】
1.提公因式法：优先检查多项式各项是否有公因式，若有则提取。
公式法：
2.公式法：
平方差公式：适用于二项式且两项都是平方、符号一正一负的情况。
完全平方公式：适用于三项式，首末两项是平方且同号，中间项是首尾底数积的 2 倍。
3.十字相乘法：针对二次三项式 ax ＋ bx ＋ c，若存在 p 和 q 使得 p ＋ q ＝ b 且 p×q ＝ ac，则原式可分解为 (x ＋ p)(x ＋ q)。例如，x ＋ 5x ＋ 6 可分解为 (x ＋ 2)(x ＋ 3)。
4.拓展：
分组分解法：
配方法：通过加减常数将多项式配成完全平方式。
换元法：将复杂部分用新字母代替简化式子。
利用特殊值法：代入特殊值确定多项式系数。
解题时，一提（公因式）；二看（项数）：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式或十字相乘法，四项及以上考虑分组分解法。若常规方法不适用，再尝试其他方法。
【课前热身】
1．（2025春 玄武区校级月考）化简（﹣2）2025＋（﹣2）2026，结果为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025
2．（2025 鼓楼区校级一模）若k为任意整数，则（2k＋3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．（2022秋 鼓楼区期中）9998﹣993的结果最接近于（　　）
A．9998 B．9997 C．9996 D．9995
4．（2021春 南京月考）已知68﹣1能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是（　　）
A．31，33 B．33，35 C．35，37 D．37，39
5．（2025 江宁区校级一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1 100这100个数中，“神秘数”的个数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2025春 鼓楼区校级月考）若A＝x2＋6y＋4，B＝﹣y2＋2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　）
A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B
7．（2024春 玄武区校级月考）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2＋4x﹣2024的值为（　　）
A．﹣2027 B．﹣2026 C．﹣2025 D．﹣2024
8．（2026春 玄武区校级月考）已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d），N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c），那么M，N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
9．（2026 鼓楼区校级开学）已知，则代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　 　 ．
10．（2024春 同步）若△ABC的三边a、b、c满足a2＋ac﹣b（b＋c）＝0，则这个三角形是 　 　 三角形．
11．（2024春 玄武区校级月考）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当k＝　 　 时，这个长方形的周长最长为 　 　 ．
12．（2026 鼓楼区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x＋2）（x2﹣4x＋6）＋4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）
＝y2＋8y＋16（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2﹣4x＋4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ．
A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1进行因式分解．
13．（2021春 秦淮区校级期中）因式分解：
（1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2；（2）16a2b﹣16a3﹣4ab2；（3）（x2﹣4x）2＋8（x2﹣4x）＋16．
14．（2025秋 秦淮区校级月考）试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍．
15．（2025春 建邺区校级期中）已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除．
【典型例题】
1．（2023春 鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 　 　 ；
（2）猜测（a＋b＋c＋d）2＝　 　 ；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝48，求a2＋b2＋c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
2．（2025春 鼓楼区校级月考）设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n＋1＋7n＋2是57的倍数．
3．（2024 鼓楼区校级月考）已知实数a，b，c，m，n满足，．求证：b2﹣8ac为非负数．
4．（2025春 南京期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x＋6与N＝﹣2x2＋x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．
（1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 　 　 （填序号）；
①3x2＋2x与3x2＋2；②x﹣6与﹣x＋2；③﹣5x2y3＋2xy与5x2y3﹣2xy﹣1．
（2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x＋b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
（3）关于x的多项式C＝mx2＋6x＋4与D＝﹣m（x＋1）（x＋n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t的最小值．
5．（2026春 深圳校级同步）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请用含a，b的代数式表示S1＝　 　 ，S2＝　 　 ；
（2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：　 　 ；
（3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．
6．（2024春 秦淮区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“幸运数”．
（1）请判断：36 　 　 “幸运数”；（填“是”或“不是”）
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①佳佳发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪发现：2024是“幸运数”．
【拓展】
因式分解：x3＋2x＋3＝　 　 ．
因式分解：x4﹣18x2＋81＝　 　 ．
因式分解：（a﹣2b）2﹣4a＋8b＋4．
因式分解：x4﹣3x2＋1＝　 　 ．
已知x＋y＝1，x3＋y3＝4，则x4＋y4＝ 　 　 ．
已知x，y，z满足xy＋yz＋zx＝118，则x2＋y2＋z2的最小值为 　 　 ．
已知实数a，b满足a2b2＋a2＋b2﹣6ab﹣2a＋2b＋5＝0，则a7﹣b7的值为　 　 ．
已知m2＋m﹣1＝0，则m3＋2m2＋2014＝　 　 ．
＝（x2＋6y＋4）﹣（﹣y2＋2x﹣6）
＝x2＋6y＋4＋y2﹣2x＋6
＝（x2﹣2x＋1）＋（y2＋6y＋9）
＝（x﹣1）2＋（y＋3）2≥0，
∴A≥B，
故选：A．
7．（2024春 玄武区校级月考）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2＋4x﹣2024的值为（　　）
A．﹣2027 B．﹣2026 C．﹣2025 D．﹣2024
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x3﹣7x2＋4x﹣2024
＝2（x3﹣2x2）﹣3x2＋4x﹣2024
＝2x（x2﹣2x）﹣3x2＋4x﹣2024
＝2x﹣3x2＋4x﹣2024
＝﹣3（x2﹣2x）﹣2024
＝﹣3﹣2024
＝﹣2027，
故选：A．
8．（2026春 玄武区校级月考）已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d），N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c），那么M，N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【解答】解：设A＝a＋b＋c，B＝b＋c，
∵a，b，c，d都是正数，
∴A＞B，
则M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d）＝A（B＋d）＝AB＋Ad，
N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c）＝（A＋d）B＝AB＋Bd，
∴M﹣N＝AB＋Ad﹣（AB＋Bd）＝（A﹣B）d，
而A＞B，
∴（A﹣B）d＞0，
∴M＞N．
故选A．
9．（2026 鼓楼区校级开学）已知，则代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　7　 ．
【解答】解：因为，
所以a﹣b1，
b﹣c3，
a﹣c2，
a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca
（a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝7．
故答案为：7．
10．（2024春 同步）若△ABC的三边a、b、c满足a2＋ac﹣b（b＋c）＝0，则这个三角形是 　等腰　 三角形．
【解答】解：∵a2＋ac﹣b（b＋c）＝0，
∴a2＋ac﹣b2﹣bc＝0
∴（a﹣b）（a＋b＋c）＝0
∵a＋b＋c≠0
∴a﹣b＝0
∴a＝b
∴该三角形是等腰三角形．
故答案为等腰．
11．（2024春 玄武区校级月考）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当k＝　13或7　 时，这个长方形的周长最长为 　8a＋10b ．
【解答】解：当k＝3×4＋1×1＝13时，3a2＋13ab＋4b2＝（3a＋b）（a＋4b），周长为：2[（3a＋b）＋（a＋4b）]＝8a＋10b；
当k＝3×1＋1×4＝7时，3a2＋7ab＋4b2＝（3a＋4b）（a＋b），周长为：2[（3a＋4b）＋（a＋b）]＝8a＋10b；
当k＝3×2＋1×2＝8时，3a2＋8ab＋4b2＝（3a＋2b）（a＋2b），周长为：2[（3a＋2b）＋（a＋2b）]＝8a＋8b；
即k＝13或7时，这个长方形的周长最长为8a＋10b．
故答案为：13或7；8a＋10b．
12．（2026春 鼓楼区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x＋2）（x2﹣4x＋6）＋4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）
＝y2＋8y＋16（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2﹣4x＋4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A、提取公因式；
B、平方差公式；
C、两数和的完全平方公式；
D、两数差的完全平方公式．
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　不彻底　 ．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1进行因式分解．
【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）x2﹣4x＋4还可以分解，分解不彻底；
（x2﹣4x＋4）2＝（x﹣2）4．
（3）设x2﹣2x＝y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1，
＝y（y＋2）＋1，
＝y2＋2y＋1，
＝（y＋1）2，
＝（x2﹣2x＋1）2，
＝（x﹣1）4．
13．（2021春 秦淮区校级期中）因式分解：
（1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2；
（2）16a2b﹣16a3﹣4ab2；
（3）（x2﹣4x）2＋8（x2﹣4x）＋16．
【解答】解：（1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2
＝（5a＋5b）2﹣（3a﹣3b）2．
＝（5a＋5b＋3a﹣3b）[5a＋5b﹣（3a﹣3b）]
＝（8a＋2b）（2a＋8b）．
＝4（4a＋b）（a＋4b）．
（2）16a2b﹣16a3﹣4ab2
＝﹣4a（4a2﹣4ab＋b2）
＝﹣4a（2a﹣b）2
（3）原式＝（x2﹣4x＋4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4
14．（2025秋 秦淮区校级月考）试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍．
【解答】证明：设两个连续奇数为2n﹣1，2n＋1（n为整数），
（2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n＋1＋2n﹣1）（2n＋1﹣2n＋1）＝2[（2n＋1）＋（2n﹣1）]，
即两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍．
15．（2023春 鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 　（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc ；
（2）猜测（a＋b＋c＋d）2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd ；
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝48，求a2＋b2＋c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
（2）（a＋b＋c＋d）2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd，
故答案为：a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd；
（3）∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴122＝2×48＋（a2＋b2＋c2），
∴a2＋b2＋c2＝144﹣96＝48；
（4）∵a2＋b2＋c2＝48，ab＋ac＋bc＝48，
∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，即a2＋b2＋c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，
∴2a2＋2b2＋2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab＋b2）＋（b2﹣2bc＋c2）＋（a2﹣2ac＋c2）＝0，
∴（a﹣b）2＋（b﹣c）2＋（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
16．（2025春 建邺区校级期中）已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除．
【解答】解：∵a是一个正整数，且a除以3余1，
∴设 a＝3x＋1（x是非负整数），
a2＋4a＋4
＝（3x＋1）2＋4（3x＋1）＋4
＝9x2＋18x＋9
＝9（x2＋2x＋1）
＝9（x＋1）2，
∵（x＋1）2是正整数，
∴9（x＋1）2能被9整除，
∴a2＋4a＋4能被9整除．
17．（2025春 鼓楼区校级月考）设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n＋1＋7n＋2是57的倍数．
【解答】证明：∵64n﹣7n能被57整除，
∴64n﹣7n＝57m（m为正整数），即82n＝57m＋7n，
∴82n＋1＋7n＋2＝8×82n＋49×7n
＝8（57m＋7n）＋49×7n
＝57（8m＋7n），
∴82n＋1＋7n＋2是57的倍数．
∴，
∵a﹣b＝m，b﹣c＝mn，
∴a﹣c＝（a﹣b）＋（b﹣c）＝m＋mn＝6，
∴a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t
＝m2﹣4m＋32
＝（m﹣2）2＋28，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2＋28≥28，
即a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t≥28，
∴代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t的最小值是28．
20．（2026春 深圳校级同步）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请用含a，b的代数式表示S1＝a2﹣b2 ，S2＝　（a＋b）（a﹣b）　 ；
（2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）　 ；
（3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．
【解答】解：（1），S2＝（a＋b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）；
（2）∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）；
（3）原式＝（28＋1）（28﹣1）
＝（28＋1）（24＋1）（24﹣1）
＝（28＋1）（24＋1）（22＋1）（22﹣1）
＝（28＋1）（24＋1）（22＋1）（2＋1）（2﹣1），
＝（28＋1）×17×5×3，
∴216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除．
21．（2024春 秦淮区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“幸运数”．
（1）请判断：36 　是　 “幸运数”；（填“是”或“不是”）
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①佳佳发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪发现：2024是“幸运数”．
【解答】解：（1）∵36＝102﹣82，
∴36是“幸运数”，
故答案为：是；
（2）①佳佳的发现结论正确，理由如下：
∵两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”，
∴（2k＋2）2﹣（2k）2
＝4k2＋8k＋4﹣4k2
＝8k＋4
＝4（2k＋1），
∴两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪的发现结论错误，理由如下：
由①得：4（2k＋1）＝2024，
解得：k＝252.5，
∵k不是整数，
∴琪琪的发现不成立，2024不是“幸运数”．
22．（2022 秦淮区校级自主招生）因式分解：x3＋2x＋3＝　（x＋1）（x2﹣x＋3）　 ．
【解答】解：x3＋2x＋3
＝x3﹣x＋3x＋3
＝x（x2﹣1）＋3（x＋1）
＝x（x＋1）（x﹣1）＋3（x＋1）
＝（x＋1）[x（x﹣1）＋3]
＝（x＋1）（x2﹣x＋3）．
故答案为：（x＋1）（x2﹣x＋3）．
23．（2025 鼓楼区校级自主招生）因式分解：x4﹣18x2＋81＝　（x＋3）2（x﹣3）2 ．
【解答】解：x4﹣18x2＋81＝（x2﹣9）2＝（x＋3）2（x﹣3）2．
故答案为：（x＋3）2（x﹣3）2．
24．（2024 温江区校级自主招生）已知m2＋m﹣1＝0，则m3＋2m2＋2014＝　2015　 ．
【解答】解：∵m2＋m﹣1＝0，
∴m2＋m＝1，
∴m3＋2m2＋2014
＝m（m2＋m）＋m2＋2014
＝m2＋m＋2014
＝1＋2014
＝2015．
故答案为：2015．
25．（2021 鼓楼区校级自主招生）因式分解：x4﹣3x2＋1＝　（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）　 ．
【解答】解：x4﹣3x2＋1
＝x4﹣2x2＋1﹣x2
＝（x2﹣1）2﹣x2
＝（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）．
故答案为：（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）．
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