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广东省深圳市福田区红岭教育集团石厦中学2024—2025学年下学期第一次模拟考试九年级数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．的绝对值为（　　）
A． B．2025 C． D．
2．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．2025年，深圳“智能医疗数据中心”正式投入使用，该中心每天处理的医疗影像数据量达到了4.8千万张，如果用科学记数法表示深圳“智能医疗数据中心”每天处理的医疗影像数据总量，选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数不变，方差变小
C．平均数变小，方差变大 D．平均数不变，方差变大
5．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
6．由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线m的夹角为30°，延长CB1交直线m于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线m于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线m于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2020A2021等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，，交于点E，若，则　 　．
10．已知a是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
11．全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是　 　．
12．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，则这棵木棉树的高度约　 　m．（结果精确到）（参考数据：，，）
13．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
16．寒假期间，青少年很容易陷入“宅”生活，长时间面对电子屏幕，缺乏必要的身体锻炼，这不仅会影响他们的身体健康，还可能导致心理问题如情绪波动、注意力不集中等，某校为了解学生寒假期间体育锻炼的情况，寒假结束时，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从八、九年级随机抽取了名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（，，，，），其中八年级成绩如表：
跳绳个数
频数（人）
频率（）
九年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
八、九两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示：
（1）填空：______，_____，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可）
（3）假如该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计该校八、九年级达到和等级的总人数？
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
18．如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
19．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．
20．折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：　 　．
（2）深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接．
①求证：；
②猜想线段和的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：B．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，其中正数与0的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，据此计算，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．该选项是三个矩形，符合正视图形状，不符合左视图形状，故本选项不符合题意；
B．此选项是两个矩形且有一条公共边，符合从左面看正六棱柱的视图形状，故本选项不符合题意；
C．这是一个矩形，不符合从左面看正六棱柱的视图形状，故本选项不符合题意；
D．该图形是正六边形，它是正六棱柱的俯视图（从上往下看的视图），并非左视图，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4.8千万即48000000，
，
故选：D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变，
设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
则，
，
，
，
若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小．
故答案为：B．
【分析】因为 第一组数据，，，，的平均数为， 所以 第二组数据，，，，，的平均数仍然为m，进而根据方差定义，通过计算可得出 方差变小 ，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的定义及作图方法和步骤逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB＝AB1＝1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∴A1B2＝A1B1＝，
∴A1A2＝2A1B2＝2，
同理：A2A3＝2（）2，
A3A4＝2（）3，
…
∴AnAn+1＝2（）n，
∴A2020A2021＝2（）2020=，
故选：C．
【分析】根据正方形性质可得AB＝AB1＝1，AB∥CB1，则AB∥A1C，根据直线平行性质可得∠CA1A＝30°，根据含30°角的直角三角形性质可得A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，根据边之间的关系可得A1B2＝A1B1＝，A1A2＝2A1B2＝2，同理：A2A3＝2（）2，A3A4＝2（）3，总结规律，即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
；
故答案为：.
【分析】由两直线平行，同位角相等得∠DEF=∠A=42°，再利用邻补角的性质可得答案.
10．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴；
故答案为3．
【分析】首先根据方程的根的意义得出，再根据完全平方公式可得：，进而整体代入求值即可。
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》；
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》；
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》；
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》；
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》；
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》；
其中有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】20
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，，
斜坡的坡度，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得：，
，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
这棵木棉树的高度约为．
故答案为：20．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，，，设，则，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，设，根据边之间的关系雕刻BH，解直角三角形可得FH，FE，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得y值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】作，使得，，则，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即（定长），再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
16．【答案】（1），，，
（2）解：九年级的跳绳测试成绩较好，
从中位数和众数来看，九年级的中位数与众数都比八年级的要大，所以九年级的跳绳测试成绩较好；
（3）解：，
答：估计该校八、九年级达到和等级的总人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
∴，
根据表格可得八年级成绩中，出现了次，出现次数最多，故，
根据扇形统计图可得，
∴，
∴组人数为人，
九年级成绩中位数在组，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
所以第个和第个数分别为：，，中位数为，故
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据对应频数除以总人数可得a值，再根据中位数，众数定义可得b值，再根据A的人数除以总人数可得m值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应占比即可求出答案.
（1）解：
∴，
根据表格可得八年级成绩中，出现了次，出现次数最多，故，
根据扇形统计图可得，
∴，
∴组人数为人，
九年级成绩中位数在组，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
所以第个和第个数分别为：，，中位数为，故
故答案为：，，，．
（2）九年级的跳绳测试成绩较好，
从中位数和众数来看，九年级的中位数与众数都比八年级的要大，所以九年级的跳绳测试成绩较好；
（3），
答：估计该校八、九年级达到和等级的总人数为人．
17．【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）或
（3）解：由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴不等式的解集为或；
【分析】（1）根据待定系数法，即可得出 反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据点，，结合一次函数和反比例函数的图象，即可得出得出答案；
（3）由（1）可知，设点的坐标为，则，即可得出，然后根据三角形的面积计算公式，即可得出，根据二次函数的最值，即可得出当时，最大值为4，．
18．【答案】（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
答：三角形ABC的面积为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得，再由同角的余角可得，由等角对等边可得，最后由三角函数定义tan∠1=tan∠CAE=即可求证；
（2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可求得AE的值，由面积法可求得CM的值，在Rt△CDM中，用勾股定理求得EM的值，由等腰三角形的三线合一可得：，最后由圆周角定理和对顶角相等可得∠ADB=∠B，再根据等角对等边即可求解；
（3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可求解．
（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
19．【答案】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，，
这时液面的纵坐标为，
当时，有，解得，，
则液面宽度为．
问题3：解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点，
由题知，，，
轴，
又，
∴，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】问题1：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，，，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2： 由题意可得液面的纵坐标为，将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 根据等角对等边可得，，根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，H坐标代入解析式可得，再联立抛物线解析式，解方程组可得，再根据两点间距离即可求出答案.
20．【答案】（1）正方形
（2）①∵点C落在边上的点G处，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图1，
在上截取，
由①知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（3）如图2，
当交于N时，此时．
∵，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴，（舍去），
∴，
如图3，
当N在时，延长，，交于点W，
设，则，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，（舍去），，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【分析】（1）根据矩形性质可得，由折叠得，，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系，结合三角形内角和定理即可求出答案.
②在上截取，由①知：，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当交于N时，此时，根据相似三角形判定定理可得，，则，，设，代值计算可得a，再根据边之间的关系即可求出答案；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，根据矩形性质可得，，再根据相似三角形定理可得，，则，，代值计算可得x值，求出FG，DW，CW，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）①∵点C落在边上的点G处，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图1，
在上截取，
由①知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，
当交于N时，此时．
∵，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴，（舍去），
∴，
如图3，
当N在时，延长，，交于点W，
设，则，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，（舍去），，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
1 / 1广东省深圳市福田区红岭教育集团石厦中学2024—2025学年下学期第一次模拟考试九年级数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．的绝对值为（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：B．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，其中正数与0的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，据此计算，即可得到答案.
2．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它是一个上下底面为正六边形的六棱柱，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A．该选项是三个矩形，符合正视图形状，不符合左视图形状，故本选项不符合题意；
B．此选项是两个矩形且有一条公共边，符合从左面看正六棱柱的视图形状，故本选项不符合题意；
C．这是一个矩形，不符合从左面看正六棱柱的视图形状，故本选项不符合题意；
D．该图形是正六边形，它是正六棱柱的俯视图（从上往下看的视图），并非左视图，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．2025年，深圳“智能医疗数据中心”正式投入使用，该中心每天处理的医疗影像数据量达到了4.8千万张，如果用科学记数法表示深圳“智能医疗数据中心”每天处理的医疗影像数据总量，选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4.8千万即48000000，
，
故选：D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数不变，方差变小
C．平均数变小，方差变大 D．平均数不变，方差变大
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意可知，第二组数据，，，，，与第一组数据相比，平均数不变，
设第一组数据的方差为，第二组数据的方差为，
则，
，
，
，
若第一组数据，，，，的平均数为，则第二组数据，，，，，与第一组数据相比平均数不变，方差变小．
故答案为：B．
【分析】因为 第一组数据，，，，的平均数为， 所以 第二组数据，，，，，的平均数仍然为m，进而根据方差定义，通过计算可得出 方差变小 ，即可得出答案。
5．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：B.
【分析】
根据题意可得，，，，，从而可得，然后利用AA证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，解答即可.
6．由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的定义及作图方法和步骤逐项分析判断即可.
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
8．如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线m的夹角为30°，延长CB1交直线m于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线m于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线m于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2020A2021等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB＝AB1＝1，AB∥CB1，
∴AB∥A1C，
∴∠CA1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∴A1B2＝A1B1＝，
∴A1A2＝2A1B2＝2，
同理：A2A3＝2（）2，
A3A4＝2（）3，
…
∴AnAn+1＝2（）n，
∴A2020A2021＝2（）2020=，
故选：C．
【分析】根据正方形性质可得AB＝AB1＝1，AB∥CB1，则AB∥A1C，根据直线平行性质可得∠CA1A＝30°，根据含30°角的直角三角形性质可得A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，根据边之间的关系可得A1B2＝A1B1＝，A1A2＝2A1B2＝2，同理：A2A3＝2（）2，A3A4＝2（）3，总结规律，即可求出答案.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，，交于点E，若，则　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
，
；
故答案为：.
【分析】由两直线平行，同位角相等得∠DEF=∠A=42°，再利用邻补角的性质可得答案.
10．已知a是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，即，
∴；
故答案为3．
【分析】首先根据方程的根的意义得出，再根据完全平方公式可得：，进而整体代入求值即可。
11．全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：一共有6种情况发生：
1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》；
2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》；
3、《射雕英雄传：侠之大者》《：重启未来》；
4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》；
5、《封神第二部：战火西岐》《：重启未来》；
6、《哪吒之魔童闹海》《：重启未来》；
其中有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是，
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
12．如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，则这棵木棉树的高度约　 　m．（结果精确到）（参考数据：，，）
【答案】20
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，，，
斜坡的坡度，
，
设，则，
在中，，
，
，
解得：，
，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
这棵木棉树的高度约为．
故答案为：20．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，，，设，则，根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系建立方程，解方程可得，，设，根据边之间的关系雕刻BH，解直角三角形可得FH，FE，再根据边之间的关系建立方程，解方程可得y值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】作，使得，，则，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即（定长），再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题11分，第20题12分，共61分）
14．计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值性质，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
16．寒假期间，青少年很容易陷入“宅”生活，长时间面对电子屏幕，缺乏必要的身体锻炼，这不仅会影响他们的身体健康，还可能导致心理问题如情绪波动、注意力不集中等，某校为了解学生寒假期间体育锻炼的情况，寒假结束时，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从八、九年级随机抽取了名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（，，，，），其中八年级成绩如表：
跳绳个数
频数（人）
频率（）
九年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
年级 平均数 中位数 众数
八年级
九年级
八、九两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示：
（1）填空：______，_____，______，______．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可）
（3）假如该校八年级有名学生，九年级有名学生，请估计该校八、九年级达到和等级的总人数？
【答案】（1），，，
（2）解：九年级的跳绳测试成绩较好，
从中位数和众数来看，九年级的中位数与众数都比八年级的要大，所以九年级的跳绳测试成绩较好；
（3）解：，
答：估计该校八、九年级达到和等级的总人数为人．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
∴，
根据表格可得八年级成绩中，出现了次，出现次数最多，故，
根据扇形统计图可得，
∴，
∴组人数为人，
九年级成绩中位数在组，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
所以第个和第个数分别为：，，中位数为，故
故答案为：，，，．
【分析】（1）根据对应频数除以总人数可得a值，再根据中位数，众数定义可得b值，再根据A的人数除以总人数可得m值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以对应占比即可求出答案.
（1）解：
∴，
根据表格可得八年级成绩中，出现了次，出现次数最多，故，
根据扇形统计图可得，
∴，
∴组人数为人，
九年级成绩中位数在组，评分为B的学生的跳绳个数为：，，，，，，，，，，，．
所以第个和第个数分别为：，，中位数为，故
故答案为：，，，．
（2）九年级的跳绳测试成绩较好，
从中位数和众数来看，九年级的中位数与众数都比八年级的要大，所以九年级的跳绳测试成绩较好；
（3），
答：估计该校八、九年级达到和等级的总人数为人．
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集．
（3）设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）或
（3）解：由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）知，，
∴不等式的解集为或；
【分析】（1）根据待定系数法，即可得出 反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据点，，结合一次函数和反比例函数的图象，即可得出得出答案；
（3）由（1）可知，设点的坐标为，则，即可得出，然后根据三角形的面积计算公式，即可得出，根据二次函数的最值，即可得出当时，最大值为4，．
18．如图，内接于，连结交于点D，交于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，设的半径为r，求的面积（用含r的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
答：三角形ABC的面积为.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可得，再由同角的余角可得，由等角对等边可得，最后由三角函数定义tan∠1=tan∠CAE=即可求证；
（2）如图2，过点C作于M，根据勾股定理可求得AE的值，由面积法可求得CM的值，在Rt△CDM中，用勾股定理求得EM的值，由等腰三角形的三线合一可得：，最后由圆周角定理和对顶角相等可得∠ADB=∠B，再根据等角对等边即可求解；
（3）如图3，连接并延长交于F，连接，先根据垂径定理得：，，根据三角形的内角和定理得：，则，是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理和三角形的面积即可求解．
（1）证明：如图1，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图2，过点C作于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接并延长交于F，连接，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
．
19．中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
【设计方案求碗里水面的宽度】
素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度．
素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．
问题解决
问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式；
问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长；
问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度．
【答案】问题1：解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入解析式，有，解得，
抛物线解析式为．
问题2：解：碗中液面高度（离桌面距离）为，，
这时液面的纵坐标为，
当时，有，解得，，
则液面宽度为．
问题3：解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点，
由题知，，，
轴，
又，
∴，
，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】问题1：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据点的坐标可得，，，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
问题2： 由题意可得液面的纵坐标为，将y=7代入解析式即可求出答案.
问题3：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 根据等角对等边可得，，根据点的坐标可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点C，H坐标代入解析式可得，再联立抛物线解析式，解方程组可得，再根据两点间距离即可求出答案.
20．折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断：如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：　 　．
（2）深入探究：继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，延长交于点M，连接．
①求证：；
②猜想线段和的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：延长交矩形的边于点N，若，直接写出的值．
【答案】（1）正方形
（2）①∵点C落在边上的点G处，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图1，
在上截取，
由①知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（3）如图2，
当交于N时，此时．
∵，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴，（舍去），
∴，
如图3，
当N在时，延长，，交于点W，
设，则，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，（舍去），，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
【分析】（1）根据矩形性质可得，由折叠得，，，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①根据折叠性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系，结合三角形内角和定理即可求出答案.
②在上截取，由①知：，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：当交于N时，此时，根据相似三角形判定定理可得，，则，，设，代值计算可得a，再根据边之间的关系即可求出答案；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，根据矩形性质可得，，再根据相似三角形定理可得，，则，，代值计算可得x值，求出FG，DW，CW，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得，，，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）①∵点C落在边上的点G处，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图1，
在上截取，
由①知：，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，
当交于N时，此时．
∵，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴，（舍去），
∴，
如图3，
当N在时，延长，，交于点W，
设，则，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，（舍去），，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或．
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