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广东省深圳市罗湖区东湖中学2025年4月中考模拟数学试卷
一、选择题（共8小题，共24分）
1．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）
A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：100800=1.008×105．故选C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2．如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（其底面是等腰三角形），下部是圆柱．画出它的左视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：原图三视图为：
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算正确；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误；
C、x6÷x2＝x4，故本选项计算错误；
D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项计算错误.
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方运算法则分别进行计算即可得出答案.
4．第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0
方差 0.9 0.9 1.3 57.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可．
6．在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
7．某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，
根据题意得：，
故选：A．
【分析】设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”建立方程，解方程即可求出答案.
8．若当时，二次函数的最小值为0，则（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
当时，当时，y有最小值，则，
解得或（舍去）；
当时，当时，二次函数y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，则，
解得（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：B．
【分析】先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得出对称轴直线为x=m，由二次项的系数＞0，可得该二次函数的图象开口向上，由于m＞0，故分、两种情况，分别根据二次函数的增减性，结合x的取值范围表示出其最小值，结合最小值为0建立方程，求解即可.
二、填空题（共5小题，共15分）
9．因式分解：　 　．
【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
10．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；对顶角及其性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为；
故答案为：
【分析】过作于，由作图可得：，，，根据对顶角相等可得，根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则　 　°．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：70．
【分析】延长交于点E，连接，根据三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是　 　．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过B作于D，如下图．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设．
∵的面积为6，
∴，
∴．
∵点C是AB的中点，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-4．
【分析】过B作于D，根据反比例函数图象上点的坐标特征设，根据三角形面积可得，根据点的坐标可得，根据线段中点可得，再将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，则：，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到当时，取得最小值，利用勾股定理求出AE长，再根据角平分线的性质可得，即可得到，设，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出x值即可解题．
三、解答题（共7小题）
14． 计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
15．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
【答案】解：
，
∵，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再结合分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是______人，C组对应扇形的圆心角为______°；
（2）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少？
（3）经过统计，某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，求选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率．
【答案】（1）400人，144
（2）解：（2）解：中小学生每天在校体育活动时间不低于，
调查结果中达到要求的只有和组，
调查结果中达到要求的所占百分比为：．
其中达到国家规定体育活动时间的学生人数为：（人）．
故答案为：48000人．
（3）解：某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，
设2名男生为，设2名女生为，
则用树状图表示，
抽取的总情况有：12 ，抽取的一男一女的情况：8．
选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率为：．
故答案为：．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：组的人数为40人，占，
总人数为：（人）．
组的人数是：（人）
组所对应的圆心角为：．
故答案为：400人，144．
【分析】（1）根据组的人数和所占百分比即可求出总人数；根据总人数即可求出组人数，然后算出所占百分比，最后即可求出组所对应的圆心角度数．
（2）根据题意先求出调查人数中达到国家规定体育活动时间的学生所占百分比，再利用所占百分比乘以市辖区总人数即是可求答案．
（3）根据概率公式即可求出答案。
17．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【分析】（1）根据题意建立函数解析式即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量建立函数解析式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
18．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）直线与相切。连接，根据圆周角定理可得出，再结合， 进而得出，然后根据∠A+∠B=90°，即可等量代换为∠BOD+∠B=90°，由三角形内角和定理，即可得出∠ODB=90°，根据切线判定定理，即可得出结论直线与相切；
（2）首先解Rt，根据OD=3，可得出OB=5，进而得出BC的长为8，然后在Rt中，根据∠B的正弦值，可设，然后根据勾股定理，可得出关于x的方程，解得x=2.进而可得出．
19．某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到．
（1）【轻松探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：．
小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可．
请完整的写出上述推理过程．
（2）【深入探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由．
（3）【模型应用】
如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值．
【答案】轻松探究：见解析；深入探究：成立，理由见解析；模型应用：15．
（1）解：如图，
联立得，，
在中，令，则，
又∵，
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（2）仍然成立，理由如下：
联立，
，
在中，令，则，
又∵
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（3）解：在中，令，则；令，则，
∴，
是等腰直角三角形，
∴
过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，
由前面可知，
，
∴，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
深入探究：仍然成立，理由如下.联立两函数解析式得到，则，在中，令，则；又因，得，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
模型应用：在中，令，则；令，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得．
20．综合与探究
【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心．
【知识探究】
（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
　 思路一 思路二
第一步 如图3，取中点，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系
图形表达
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种）
【问题解决】
（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 　　；
②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值；
③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式．
【答案】解：（1）线段与存在固定的数量关系为，理由：
思路一：取中点，连接，如图，
，，
为的中位线，
，．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
思路二：作交延长线于点，如图，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
，，
，
，
；
（2）①；
②连接、，
由（1）知：，
设，则，
，，
，
．
，
由（1）知：．
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）①连接，如图，
，，
为的重心，
，
，
．
故答案为：；
③如图，连接，
是的直径，
，
，
如图所示，过点作于点，交于，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，，，
，
，
，
即，整理得．
与的函数关系式为．
【分析】（1）思路一：取中点，连接，根据三角形中位线定理可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
思路二：作交延长线于点，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）①连接，根据三角形重心可得E为的重心，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②连接、，设，则，根据勾股定理可得AE，AC，再根据正弦定义即可求出答案.
③连接，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AC，过点作于点，交于，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，解直角三角形可得FQ，BQ，根据正切定义可得，再化简计算即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市罗湖区东湖中学2025年4月中考模拟数学试卷
一、选择题（共8小题，共24分）
1．一个正常人的心跳平均每分70次，一天大约跳100800次，将100800用科学记数法表示为（　　）
A．0.1008×106 B．1.008×106 C．1.008×105 D．10.08×104
2．如图是一个多功能塞子，上部是直三棱柱（其底面是等腰三角形），下部是圆柱．画出它的左视图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
4．第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（　　）
　 甲 乙 丙 丁
平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0
方差 0.9 0.9 1.3 57.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3元．设购买扇子的单价为x元．则x满足的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．若当时，二次函数的最小值为0，则（　　）
A． B． C． D．或
二、填空题（共5小题，共15分）
9．因式分解：　 　．
10．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与，相交于点F，Q．若，则F到的距离为 　 　．
11．如图，点A，B，C在⊙上，平分，若，则　 　°．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是　 　．
13．如图，在边长为6的等边中，点P是内一点，过点P作，，，垂足分别为D，E，F，连接，若，则的最小值为　 　．
三、解答题（共7小题）
14． 计算：．
15．先化简：，然后从2，0，中选一个合适的数代入求值．
16．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查的人数是______人，C组对应扇形的圆心角为______°；
（2）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少？
（3）经过统计，某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，求选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率．
17．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
18．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，求的长．
19．某兴趣小组利用代数推理方法发现了反比例函数一个有趣的结论．
小龙：如图1，直线与双曲线交于两点，根据中心对称性可以得到．
（1）【轻松探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，试证明：．
小华：如图2，直线与双曲线联立可得，进而求得与的值，由，证得线段的中点与线段的中点重合即可．
请完整的写出上述推理过程．
（2）【深入探究】
直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点，，试问：还成立吗？请说明理由．
（3）【模型应用】
如图3，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于点．连接．若的面积为，求的值．
20．综合与探究
【课本回顾】如图1，在中，中线，，于点，点叫做的重心．
【知识探究】
（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
　 思路一 思路二
第一步 如图3，取中点，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系
图形表达
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；（若用其他思路解决问题，则写第3种）
【问题解决】
（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图Ⅱ，若点是弦的中点，交于点，则的值为 　　；
②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值；
③如图，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，直接写出与的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：100800=1.008×105．故选C．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：原图三视图为：
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2x+3x＝5x，故本选项计算正确；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项计算错误；
C、x6÷x2＝x4，故本选项计算错误；
D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项计算错误.
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方运算法则分别进行计算即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低，从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定，
∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定，
故选：A．
【分析】方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集即可．
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图，三角板与直尺分别交于点、．
，
．
，
．
故选：D．
【分析】
利用平行线的性质先把转移到上，再利用三角形的外角的性质即可．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，
根据题意得：，
故选：A．
【分析】设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
，
∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵，
当时，当时，y有最小值，则，
解得或（舍去）；
当时，当时，二次函数y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，则，
解得（舍去），
综上，m的值为．
故答案为：B．
【分析】先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得出对称轴直线为x=m，由二次项的系数＞0，可得该二次函数的图象开口向上，由于m＞0，故分、两种情况，分别根据二次函数的增减性，结合x的取值范围表示出其最小值，结合最小值为0建立方程，求解即可.
9．【答案】a（a-3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：a（a-3）2．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；对顶角及其性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为；
故答案为：
【分析】过作于，由作图可得：，，，根据对顶角相等可得，根据角之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：延长交于点E，连接，
则，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：70．
【分析】延长交于点E，连接，根据三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
12．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过B作于D，如下图．
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设．
∵的面积为6，
∴，
∴．
∵点C是AB的中点，
∴．
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-4．
【分析】过B作于D，根据反比例函数图象上点的坐标特征设，根据三角形面积可得，根据点的坐标可得，根据线段中点可得，再将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，则：，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，如图，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到当时，取得最小值，利用勾股定理求出AE长，再根据角平分线的性质可得，即可得到，设，然后根据两角对应相等的两三角形相似得到，即可得到求出x值即可解题．
14．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，然后合并即可.
15．【答案】解：
，
∵，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再结合分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）400人，144
（2）解：（2）解：中小学生每天在校体育活动时间不低于，
调查结果中达到要求的只有和组，
调查结果中达到要求的所占百分比为：．
其中达到国家规定体育活动时间的学生人数为：（人）．
故答案为：48000人．
（3）解：某班属于组的有4名同学，2个男生，2个女生，现准备从这4个学生中选2人担任体育委员，
设2名男生为，设2名女生为，
则用树状图表示，
抽取的总情况有：12 ，抽取的一男一女的情况：8．
选出的2人恰好是一个男生一个女生的概率为：．
故答案为：．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：组的人数为40人，占，
总人数为：（人）．
组的人数是：（人）
组所对应的圆心角为：．
故答案为：400人，144．
【分析】（1）根据组的人数和所占百分比即可求出总人数；根据总人数即可求出组人数，然后算出所占百分比，最后即可求出组所对应的圆心角度数．
（2）根据题意先求出调查人数中达到国家规定体育活动时间的学生所占百分比，再利用所占百分比乘以市辖区总人数即是可求答案．
（3）根据概率公式即可求出答案。
17．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【分析】（1）根据题意建立函数解析式即可求出答案.
（2）根据总利润=单件利润×总销售量建立函数解析式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：根据题意得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是元
18．【答案】（1）解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，
∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
（2）解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）直线与相切。连接，根据圆周角定理可得出，再结合， 进而得出，然后根据∠A+∠B=90°，即可等量代换为∠BOD+∠B=90°，由三角形内角和定理，即可得出∠ODB=90°，根据切线判定定理，即可得出结论直线与相切；
（2）首先解Rt，根据OD=3，可得出OB=5，进而得出BC的长为8，然后在Rt中，根据∠B的正弦值，可设，然后根据勾股定理，可得出关于x的方程，解得x=2.进而可得出．
19．【答案】轻松探究：见解析；深入探究：成立，理由见解析；模型应用：15．
（1）解：如图，
联立得，，
在中，令，则，
又∵，
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（2）仍然成立，理由如下：
联立，
，
在中，令，则，
又∵
，
∴线段的中点与线段的中点重合
，
；
（3）解：在中，令，则；令，则，
∴，
是等腰直角三角形，
∴
过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，
由前面可知，
，
∴，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
轻松探究：联立两函数解析式得到，则，再求出，，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
深入探究：仍然成立，理由如下.联立两函数解析式得到，则，在中，令，则；又因，得，进而得到，则线段的中点与线段的中点重合，再由线段的和差关系AE-CE=BE-DE，证明AC=BD；
模型应用：在中，令，则；令，则，可证明是等腰直角三角形，得到，过点作轴的垂线交于点，则是等腰直角三角形，由前面可知，则可证明，得到，进而证明，则，由反比例函数比例系数的几何应用可得．
20．【答案】解：（1）线段与存在固定的数量关系为，理由：
思路一：取中点，连接，如图，
，，
为的中位线，
，．
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
思路二：作交延长线于点，如图，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
，，
，
，
；
（2）①；
②连接、，
由（1）知：，
设，则，
，，
，
．
，
由（1）知：．
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（2）①连接，如图，
，，
为的重心，
，
，
．
故答案为：；
③如图，连接，
是的直径，
，
，
如图所示，过点作于点，交于，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，，，
，
，
，
即，整理得．
与的函数关系式为．
【分析】（1）思路一：取中点，连接，根据三角形中位线定理可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
思路二：作交延长线于点，根据直线平行性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）①连接，根据三角形重心可得E为的重心，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
②连接、，设，则，根据勾股定理可得AE，AC，再根据正弦定义即可求出答案.
③连接，根据圆周角定理的推论可得，根据勾股定理可得AC，过点作于点，交于，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，解直角三角形可得FQ，BQ，根据正切定义可得，再化简计算即可求出答案.
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