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广东省深圳市罗湖区部分学校2025年中考模拟数学试卷（4月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　）
A． B．
C． D．
3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线，于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠C≠60°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（）
A． B．
C． D．
6．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
7．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5－5
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是　 　．
10．已知m是方程的一个根，则的值为　 　．
11．如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是　 　．
13．如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
15．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a= ．
16．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）请补全频数直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
17．在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
18．如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
19．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
20．如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
【问题发现】①当时，___________；②当时，___________；
【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、（b-a）2=b2-2ab+a2，故B不符合题意；
C、2a3 3a2=6a5，故C不符合题意；
D、-6a2÷3a=-2a，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据垂直定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】根据题干信息，在BC边上找一点D，使AD=BD，则点D是线段AB垂直平分线与BC的交点；
故答案为：D。
【分析】线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，结合中垂线的尺规作图法进行分析。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由题意设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设雀每只x两，燕每只y两，由题意，
得.
故答案为：B.
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，由“ 五只雀、六只燕，共重16两 ”列出方程5x+6y=16，由“四只雀重量与一只燕的重量和等于一只雀重量与五只燕的重量和”列出方程4x+y=5y+x，联立两方程可得方程组.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
∵斜坡 AB 的坡角为 30°
∴∠BAM＝30°，
∵AB＝10米
∴在Rt△ABE中：AM＝AB cos30°＝5（米），BM＝AB sin30°＝5（米）．
∵AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴在Rt△ACD中：DE＝AE tan60°＝10（米）．
∵BN＝AE＋AM，
∴BN＝10＋5，
∵∠CBN＝45°
∴在Rt△BCN中：CN＝BN tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5＋5 10＝15 5（米）．
故答案为：A．
【分析】
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N， 由斜坡 AB 的坡角为 30° 得∠BAM＝30°通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论．
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，
∴春节和端午节刚好被选中的概率为，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是和的结果，再根据概率公式即可求出答案.
10．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： m是方程的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，
∴m2-m+2023=2+2023=2025.
故答案为：2025
【分析】将x=m代入方程，可得到m2-m=2，然后整体代入求值.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
【分析】
设AB交DE于点O，先根据倍长中线法证明全等三角形模型可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再利用扇形面积公式求解即可．
12．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，
解得，
∴k=6．
故答案为：6．
【分析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，设AC=EO=BD=a，根据四边形面积可得四边形ACEO的面积是4a，根据三角形中位线定理可得，，则四边形HFGO的面积为，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 由翻折得：，
∵平行四边形
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由翻折的性质可得：，，用勾股定理求得BG的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出FG的值，由线段的和差求出B F的值，由于，，则，同理可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
14．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=
= ，
当a= 时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算括号里的异分母分式的减法，再计算括号外的除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式，再代入a的值，按实数的运算顺序及方法，算出答案。
16．【答案】（1）解：（人）；
（2）90
（3）解：D组人数为：；补全直方图如图：
（4）77
（5）解：（人）．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）；
故答案为：90；
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
故答案为：77
【分析】（1）根据A组人数与占比可得总人数.
（2）根据360°乘以B的占比即可求出答案.
（3）求出D组人数，再补全图形即可.
（4）根据中位数定义即可求出答案.
（5）根据900乘以达到80分及以上的学生人数占比即可求出答案.
（1）解：（人）；
（2）；
故答案为：90；
（3）D组人数为：；补全直方图如图：
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
（5）（人）．
17．【答案】（1）解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元，
．
经检验，是原方程的解，
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，
．
．
至少购进玫瑰200枝．
其中，
设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，
则．
，
随的增大而减小．
当时，收入最高，最高为．
当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，根据不超过900元的资金再次购进两种鲜花建立不等式，解不等式可得的取值范围，设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元，
．
经检验，是原方程的解，
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，
．
．
至少购进玫瑰200枝．
其中，
设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，
则．
，
随的增大而减小．
当时，收入最高，最高为．
当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
18．【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
在四边形中，，
又，
，
，
，
；
（2），，，
，
由可知，
，
在中，，
，，
．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BE，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理可得AB，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（1）证明：为的直径，
，
，
在四边形中，，
又，
，
，
，
；
（2），，，
，
由可知，
，
在中，，
，，
．
19．【答案】（1）
（2）①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；
②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：
【分析】（1）设水滑道所在抛物线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，根据中心对称性质可得人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，则此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：.
②根据x轴上点的坐标特征可得点，根据两点间距离可得OD，再根据边之间的关系可得DE，再比较大小即可求出答案.
（3）将y=4代入解析式可得，设所在直线的解析式为，根据待定系数法将点M，B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据直线平行性质设该钢架所在直线的解析式为，联立抛物线解析式可得，根据该钢架与水滑道有唯一公共点，则判别式，解方程可得n值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
20．【答案】[问题发现]①；②；
[拓展探究]无变化．
理由：如图1中，∵是的中位线，
∴，
如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变，
∴仍然成立，
又∵，
∴，
∴，
∴的大小无变化．
[问题解决]或
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：[问题发现]
①当时，如图1，
∵在Rt中，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴，
故答案为：；
②当时，如图，
由旋转的性质可知：，，
∴，
，
∴，
故答案为：；
[问题解决]
当点在线段上时，如图，
与[拓展探究]同理可证，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：；
当点在线段上时，如图，
同理可证，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上所述，或．
【分析】[问题发现]①当时，根据勾股定理可得AC，根据线段中点可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
②当时，根据旋转性质可得，，根据边之间的关系可得AE，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
[拓展探究]根据三角形中位线定理，旋转性质，相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
[问题解决]分情况讨论：当点在线段上时，同理可证，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AD，根据边之间的关系可得AE，再代入等式计算即可求出答案；当点在线段上时，同理可证，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得AE，再代入等式计算即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市罗湖区部分学校2025年中考模拟数学试卷（4月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、（b-a）2=b2-2ab+a2，故B不符合题意；
C、2a3 3a2=6a5，故C不符合题意；
D、-6a2÷3a=-2a，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
3．是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，的背后离不开大模型、大数据、大算力，其技术底座有着多达亿个模型参数，数据亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为所有整数位的个数减1．
4．如图，直线，于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据垂直定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
5．在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠C≠60°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】根据题干信息，在BC边上找一点D，使AD=BD，则点D是线段AB垂直平分线与BC的交点；
故答案为：D。
【分析】线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等，结合中垂线的尺规作图法进行分析。
6．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由题意设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断即可求出答案.
7．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设雀每只x两，燕每只y两，由题意，
得.
故答案为：B.
【分析】设雀每只x两，燕每只y两，由“ 五只雀、六只燕，共重16两 ”列出方程5x+6y=16，由“四只雀重量与一只燕的重量和等于一只雀重量与五只燕的重量和”列出方程4x+y=5y+x，联立两方程可得方程组.
8．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5－5
【答案】A
【知识点】解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
∵斜坡 AB 的坡角为 30°
∴∠BAM＝30°，
∵AB＝10米
∴在Rt△ABE中：AM＝AB cos30°＝5（米），BM＝AB sin30°＝5（米）．
∵AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴在Rt△ACD中：DE＝AE tan60°＝10（米）．
∵BN＝AE＋AM，
∴BN＝10＋5，
∵∠CBN＝45°
∴在Rt△BCN中：CN＝BN tan45°＝10＋5（米），
∴CD＝CN＋EN DE＝10＋5＋5 10＝15 5（米）．
故答案为：A．
【分析】
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N， 由斜坡 AB 的坡角为 30° 得∠BAM＝30°通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN DE即可求出结论．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，
∴春节和端午节刚好被选中的概率为，
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好是和的结果，再根据概率公式即可求出答案.
10．已知m是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： m是方程的一个根，
∴m2-m-2=0，
∴m2-m=2，
∴m2-m+2023=2+2023=2025.
故答案为：2025
【分析】将x=m代入方程，可得到m2-m=2，然后整体代入求值.
11．如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
【分析】
设AB交DE于点O，先根据倍长中线法证明全等三角形模型可得，再利用割补法可得阴影部分面积等于扇形ABE的面积，再利用扇形面积公式求解即可．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，
设AC=EO=BD=a，
∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，
∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，
∴四边形HFGO的面积为，
∴，
解得，
∴k=6．
故答案为：6．
【分析】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，设AC=EO=BD=a，根据四边形面积可得四边形ACEO的面积是4a，根据三角形中位线定理可得，，则四边形HFGO的面积为，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： 由翻折得：，
∵平行四边形
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由翻折的性质可得：，，用勾股定理求得BG的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式求出FG的值，由线段的和差求出B F的值，由于，，则，同理可得，然后根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题8分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a= ．
【答案】解：原式=
=
= ，
当a= 时，原式=
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】通分计算括号里的异分母分式的减法，再计算括号外的除法，把各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将除式的分子分母交换位置，将除法转变为乘法，然后约分化为最简分式，再代入a的值，按实数的运算顺序及方法，算出答案。
16．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）
并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：；B：；C：；D：；E：．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）请补全频数直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
【答案】（1）解：（人）；
（2）90
（3）解：D组人数为：；补全直方图如图：
（4）77
（5）解：（人）．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）；
故答案为：90；
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
故答案为：77
【分析】（1）根据A组人数与占比可得总人数.
（2）根据360°乘以B的占比即可求出答案.
（3）求出D组人数，再补全图形即可.
（4）根据中位数定义即可求出答案.
（5）根据900乘以达到80分及以上的学生人数占比即可求出答案.
（1）解：（人）；
（2）；
故答案为：90；
（3）D组人数为：；补全直方图如图：
（4）将数据排序后第30个和第31个数据分别为76，78，
∴中位数为：；
（5）（人）．
17．在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
【答案】（1）解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元，
．
经检验，是原方程的解，
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，
．
．
至少购进玫瑰200枝．
其中，
设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，
则．
，
随的增大而减小．
当时，收入最高，最高为．
当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设降价后每枝玫瑰的售价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，根据不超过900元的资金再次购进两种鲜花建立不等式，解不等式可得的取值范围，设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元，
．
经检验，是原方程的解，
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，
．
．
至少购进玫瑰200枝．
其中，
设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，
则．
，
随的增大而减小．
当时，收入最高，最高为．
当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
18．如图，在中，以为直径的分别交，于点、，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
在四边形中，，
又，
，
，
，
；
（2），，，
，
由可知，
，
在中，，
，，
．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BE，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理可得AB，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（1）证明：为的直径，
，
，
在四边形中，，
又，
，
，
，
；
（2），，，
，
由可知，
，
在中，，
，，
．
19．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；
②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；中心对称的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：
【分析】（1）设水滑道所在抛物线的解析式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，根据中心对称性质可得人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，则此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：.
②根据x轴上点的坐标特征可得点，根据两点间距离可得OD，再根据边之间的关系可得DE，再比较大小即可求出答案.
（3）将y=4代入解析式可得，设所在直线的解析式为，根据待定系数法将点M，B坐标代入解析式可得所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据直线平行性质设该钢架所在直线的解析式为，联立抛物线解析式可得，根据该钢架与水滑道有唯一公共点，则判别式，解方程可得n值，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
20．如图1，在Rt中，，点分别是边的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
【问题发现】①当时，___________；②当时，___________；
【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
【问题解决】当旋转至三点共线时，直接写出线段的长．
【答案】[问题发现]①；②；
[拓展探究]无变化．
理由：如图1中，∵是的中位线，
∴，
如图2中，∵在旋转过程中形状大小不变，
∴仍然成立，
又∵，
∴，
∴，
∴的大小无变化．
[问题解决]或
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：[问题发现]
①当时，如图1，
∵在Rt中，，
∴，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴，
故答案为：；
②当时，如图，
由旋转的性质可知：，，
∴，
，
∴，
故答案为：；
[问题解决]
当点在线段上时，如图，
与[拓展探究]同理可证，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：；
当点在线段上时，如图，
同理可证，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上所述，或．
【分析】[问题发现]①当时，根据勾股定理可得AC，根据线段中点可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
②当时，根据旋转性质可得，，根据边之间的关系可得AE，BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
[拓展探究]根据三角形中位线定理，旋转性质，相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
[问题解决]分情况讨论：当点在线段上时，同理可证，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AD，根据边之间的关系可得AE，再代入等式计算即可求出答案；当点在线段上时，同理可证，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得AE，再代入等式计算即可求出答案.
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