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广东省深圳市桂园中学2024-2025学年九年级下学期 第二次模拟检测数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
2．2022年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（　　）
体重指数的范围 体重状况
体重指数 消瘦
体重指数 正常
体重指数 超重
体重指数 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
5．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．分解因式　 　．
10．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有　 　个 ．
11．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为　 　cm．
12．如图，平行四边形的边在轴正半轴上，，，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象经过点，则　 　．
13．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则　 　．
三、解答题（第14题5分，第15题6分，第16题5分，第17题9分，第18题10分，第19题14分，第20题12分，共61分．）
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头．某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图．（注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917
解答下列问题：
（1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_______°；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头．
（2）填表：
（3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法．
17．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
18．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
19．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为2L，的面积为5L，且，请问的长是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-绝对值比较法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：，
则信号最强的是，
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小时，绝对值大的反而小，据此分析判断，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：冰壶如图放置时，从正面看到的图形与A选项相符合．
故选：A．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意；
B．，原式计算正确，故B符合题意；
C．，原式计算错误，故C不符合题意；
D．，原式计算错误，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，小张的，
∴小张的体重状况是超重，
故选：C．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故答案为 ：A.、
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得，即可作答．
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，则长为(x+12)步，
可得方程：x(x+12)=864.
故答案为：D.
【分析】根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，表示出长，即可得到方程.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，和都是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，和都是等腰三角形，则，，根据直线平行性质可得，，解直角三角形可得PE，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】4
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
【分析】设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB
将y=0代入y=x-4中
记得x=4
∴A(4，0)
在平行四边形ABCD中，
∵∠OAD=∠CBA
∴
∵AD=BC=5
∴DE=4，AE=3
∴OE=OA-AE=4-3=1
∴D（1，4）
∴
故答案为：4
【分析】过点D作DE⊥AB，根据x轴上点的坐标特征可得A(4，0)，根据平行四边形性质，结合正弦定义可得，则DE=4，AE=3，根据边之间的关系可得OE，根据点的坐标可得D（1，4），再根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：过作垂直于点，过作交于点，
在中，，
，
又，
，
在等腰直角三角形中，，
，
在中，，
，
，，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
故答案为：2．
【分析】过作垂直于点，过作交于点，根据勾股定理可得AB，则，根据边之间的关系可得CH，根据勾股定理可得CD，再根据直线平行性质可得，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得CG，根据边之间的关系可得BG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：，
，
，
，
把代入中得：.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
16．【答案】（1），
（2）
（3）解：加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：，
∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：
，，，，，，
近6年野生麋鹿头数的中位数为，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
【分析】（1）①求出哺乳类的占比，再乘以360°即可求出答案.
②根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：，
∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：
，，，，，，
近6年野生麋鹿头数的中位数为，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术．
17．【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
18．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
（2）解：由（1）知：
在中
∴
∵ 又∵∴
∴
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理得 ，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得；
（2）先根据垂径定理，求出AD，再根据勾股定理求出AC，最后证明，根据对应边成比例，得出，求出CF即可.
19．【答案】（1）解：把代入抛物线，
得或，
点A在点B的左侧
A( 2a，0)，B(3，0)
抛物线的函数表达式为：；
（2）解：由题意得：作，连接与轴交于点，
在与中，
，
，
，与轴的交点，即
，即，
得
设直线解析式为
将，代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，
，设直线解析式为，
将与代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
点的坐标为，；
（3）是，5．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）的值为定值，定值是5．
，，点到轴的距离为
和同底
点、到直线的距离相等，
，，
，
的值为定值，定值为5
【分析】（1）根据根据x轴上点的坐标特征可得A( 2a，0)，B(3，0)，再根据两点间距离代入等式，解方程即可求出答案.
（2）由题意得：作，连接与轴交于点，根据相似三角形判定定理可得，根据圆周上点的坐标特征可得，即，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得，根据点的坐标可得，设直线解析式为，根据待定系数法将点Q，B坐标代入解析式可得直线解析式为，联立抛物线解析式可得点坐标为，将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点Q'，B坐标代入解析式可得直线解析式为，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据三角形面积可得，则点、到直线的距离相等，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：把代入抛物线，
得或，
点A在点B的左侧
A( 2a，0)，B(3，0)
抛物线的函数表达式为：；
（2）由题意得：作，连接与轴交于点，
在与中，
，
，
，与轴的交点，即
，即，
得
设直线解析式为
将，代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，
，设直线解析式为，
将与代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
点的坐标为，；
（3）的值为定值，定值是5．
，，点到轴的距离为
和同底
点、到直线的距离相等，
，，
，
的值为定值，定值为5
20．【答案】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
∴点到的距离为．
[问题延伸]；[问题拓展]
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；等积变换
【解析】【解答】[问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，
∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，
∴的最小值等于的长，
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
即的最小值为；
故答案为：；
[问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即的最小值等于．
【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形三线合一性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
[问题延伸]连接，过点作于，过点作于，根据边之间的关系可得，则的最小值等于的长，当时，的长最小，此时点Q与点H重合，则的最小值等于的长，根据等腰三角形三线合一性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
[问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，则的最小值等于，当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，的最小值等于，根据矩形性质可得，则，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市桂园中学2024-2025学年九年级下学期 第二次模拟检测数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的大小比较-绝对值比较法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：，
则信号最强的是，
故选：A．
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小时，绝对值大的反而小，据此分析判断，即可求解.
2．2022年北京冬奥会的成功举办，标志着北京成为世界上第一个双奥之城．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：冰壶如图放置时，从正面看到的图形与A选项相符合．
故选：A．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意；
B．，原式计算正确，故B符合题意；
C．，原式计算错误，故C不符合题意；
D．，原式计算错误，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则逐项进行判断即可求出答案.
4．体重指数是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重70千克，则小张的体重状况是（　　）
体重指数的范围 体重状况
体重指数 消瘦
体重指数 正常
体重指数 超重
体重指数 肥胖
A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖
【答案】C
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：由题意得，小张的，
∴小张的体重状况是超重，
故选：C．
【分析】根据题意列式计算即可求出答案.
5．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
6．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴
∵物距为，像距为
∴
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是
∴
∴
故答案为 ：A.、
【分析】由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得，即可作答．
7．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为步，根据题意列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，则长为(x+12)步，
可得方程：x(x+12)=864.
故答案为：D.
【分析】根据题意得等量关系：宽+12=长，宽×长=864，设宽x步，表示出长，即可得到方程.
8．在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为，．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为，当 ，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得，和都是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，和都是等腰三角形，则，，根据直线平行性质可得，，解直角三角形可得PE，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．分解因式　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有　 　个 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
【分析】设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式，解方程即可求出答案.
11．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为　 　cm．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是的黄金分割点，线段的长为，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割即可求出答案.
12．如图，平行四边形的边在轴正半轴上，，，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象经过点，则　 　．
【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB
将y=0代入y=x-4中
记得x=4
∴A(4，0)
在平行四边形ABCD中，
∵∠OAD=∠CBA
∴
∵AD=BC=5
∴DE=4，AE=3
∴OE=OA-AE=4-3=1
∴D（1，4）
∴
故答案为：4
【分析】过点D作DE⊥AB，根据x轴上点的坐标特征可得A(4，0)，根据平行四边形性质，结合正弦定义可得，则DE=4，AE=3，根据边之间的关系可得OE，根据点的坐标可得D（1，4），再根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：过作垂直于点，过作交于点，
在中，，
，
又，
，
在等腰直角三角形中，，
，
在中，，
，
，，
，
又，
，
，
，
即，
，
，
又，
，
又，
，
又，
，
，
故答案为：2．
【分析】过作垂直于点，过作交于点，根据勾股定理可得AB，则，根据边之间的关系可得CH，根据勾股定理可得CD，再根据直线平行性质可得，，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得CG，根据边之间的关系可得BG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（第14题5分，第15题6分，第16题5分，第17题9分，第18题10分，第19题14分，第20题12分，共61分．）
14．计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
，
，
，
把代入中得：.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
16．盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头．某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图．（注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数）
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917
解答下列问题：
（1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_______°；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头．
（2）填表：
（3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法．
【答案】（1），
（2）
（3）解：加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：，
∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：
，，，，，，
近6年野生麋鹿头数的中位数为，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
【分析】（1）①求出哺乳类的占比，再乘以360°即可求出答案.
②根据中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：，
∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：；
②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为：
，，，，，，
近6年野生麋鹿头数的中位数为，
故答案为：，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术．
17．伟大的“乡村振兴”战略思想为广大的农村地区带来了福音，各项惠农政策极大的促进了农村产业高速发展，某地政府为了加快农产品快速输出，计划整修公路缩短运输路程，如图C地是当地蔬菜种植基地，原先C地的蔬菜运往A城市必须先经过B地中转然后才能到达A市（即沿路线），现在政府计划打通一条隧道（大概位置为图中粗墨色线条），然后再到达A市，即沿路线．
（1）为了使得隧道最短，请你利用尺规作图准确作出D点位置（保留作图痕迹）
（2）已知，，，请你利用所学知识计算打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了多少．
【答案】（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得AB，根据三角形面积可得CD，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，D点位置即为所作，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
打通隧道前，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后，由C地到A城市的路程为，
打通隧道后由C地到A城市的路程缩短了．
18．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
（2）解：由（1）知：
在中
∴
∵ 又∵∴
∴
∴
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理得 ，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得；
（2）先根据垂径定理，求出AD，再根据勾股定理求出AC，最后证明，根据对应边成比例，得出，求出CF即可.
19．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接BC，点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
（3）如图2，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为2L，的面积为5L，且，请问的长是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入抛物线，
得或，
点A在点B的左侧
A( 2a，0)，B(3，0)
抛物线的函数表达式为：；
（2）解：由题意得：作，连接与轴交于点，
在与中，
，
，
，与轴的交点，即
，即，
得
设直线解析式为
将，代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，
，设直线解析式为，
将与代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
点的坐标为，；
（3）是，5．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）的值为定值，定值是5．
，，点到轴的距离为
和同底
点、到直线的距离相等，
，，
，
的值为定值，定值为5
【分析】（1）根据根据x轴上点的坐标特征可得A( 2a，0)，B(3，0)，再根据两点间距离代入等式，解方程即可求出答案.
（2）由题意得：作，连接与轴交于点，根据相似三角形判定定理可得，根据圆周上点的坐标特征可得，即，再根据相似三角形性质可得，代值计算可得，根据点的坐标可得，设直线解析式为，根据待定系数法将点Q，B坐标代入解析式可得直线解析式为，联立抛物线解析式可得点坐标为，将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，则，设直线解析式为，根据待定系数法将点Q'，B坐标代入解析式可得直线解析式为，再联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
（3）根据三角形面积可得，则点、到直线的距离相等，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：把代入抛物线，
得或，
点A在点B的左侧
A( 2a，0)，B(3，0)
抛物线的函数表达式为：；
（2）由题意得：作，连接与轴交于点，
在与中，
，
，
，与轴的交点，即
，即，
得
设直线解析式为
将，代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，
，设直线解析式为，
将与代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
点的坐标为，；
（3）的值为定值，定值是5．
，，点到轴的距离为
和同底
点、到直线的距离相等，
，，
，
的值为定值，定值为5
20．【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离．
【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________．
【答案】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
∴点到的距离为．
[问题延伸]；[问题拓展]
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-三线合一；等积变换
【解析】【解答】[问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，
∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，
∴的最小值等于的长，
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
即的最小值为；
故答案为：；
[问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即的最小值等于．
【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形三线合一性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
[问题延伸]连接，过点作于，过点作于，根据边之间的关系可得，则的最小值等于的长，当时，的长最小，此时点Q与点H重合，则的最小值等于的长，根据等腰三角形三线合一性质可得BD，再根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积即可求出答案.
[问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，则的最小值等于，当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，的最小值等于，根据矩形性质可得，则，即可求出答案.
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