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贵州省毕节市金沙县第四中学2025年中考一模数学试题
一、单选题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
3．据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列四个城市地铁标志中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C． D．
6．如图，直线和相交于点，．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．一元二次方程的常数项是（　　）
A．2 B． C． D．1
8．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
9．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（　　）
… 0 1 2 …
… 1 4 7 …
A．的值随值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．关于的方程的解是
D．不等式的解集为
11．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
12．已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共66分）
13．因式分解： =　 　．
14．计算：= 　 　.
15．抛物线的顶点坐标是　 　．
16．如图，P是内部一点，若，，则　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算
（1）．
（2）解不等式
18．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
19．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
（2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
（3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
20．如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求（O为坐标原点）的面积．
21．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元．
（1）该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？
（2）根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案．
22．如图，风力发电机的主塔在一座山坡上，山坡的坡比为，在坡底测得塔顶的仰角．已知山坡的坡面为水平地面，风力发电机的主塔．求的高．（参考数据：，，结果精确到）
23．如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
24．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
25．已知如图，在中，，点是上一点，；
（1）如图1，若，，求的值；
（2）如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是5．
故答案为：C．
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，解答即可．
2．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体为
故答案为：．
【分析】
根据三视图判断选项中的立体图形，解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“95.10亿”用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，故A符合题意；
B、不属于中心对称图形，故B不符合题意；
C、不属于中心对称图形，故C不符合题意；
D、不属于中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答．
5．【答案】C
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】根据分式的除法即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据对顶角线相等可得∠BOD，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：已知一元二次方程，则其常数项为．
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程的一般式．常数项为不含x的项，需要注意的是，在叙述常数项时，需要带上它前面的符号.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意可得，，
故答案为：C．
【分析】
设竿长尺，绳索长尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺列方程为x+5=y；根据 将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺 列方程为x-5= ；由此解答即可．
9．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这一类新品种苹果树成活的概率为，
故答案为：C．
【分析】
根据频率估计概率：大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，观察表格得频率接近，解答即可．
10．【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由表格可知，的值随值的增大而增大，故A错误；
∴，
B、当时，，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故B错误；
C、当时，，故关于的方程的解不是，故C错误；
D、∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故D正确；
故答案为：D．
【分析】
根据观察表格得的值随值的增大而增大可判断A；于是得到，由表格数据得到当时，，根据函数图象可知该函数的图象经过第一、二、三象限可判断B；观察表格发现当时，，可判断C；根据一次函数与不等式得关系可判断D；逐一判断即可解答.
11．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；等积变换
【解析】【解答】解：根据平行四边形得性质得到：，，
∵，
∴，
过点作，过点作，过点作，
设，
则，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形得性质得到，，根据特正弦得定义得到，过点作，过点作，过点作，设，根据30°角得性质得到CF，BF，表示出BE，CE，再根据三角形得面积利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一的性质得到BG，再计算出HG，根据平行线分线段成比例得到， 代入数据计算出的长，再求线段的比值，解答即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
14．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式===4．
故答案为：4
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的解析式写出顶点坐标，解答即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，设，根据30直角三角形的性质得到，利用勾股定理计算求出，根据正切的定义表示出BG=3x，利用勾股定理计算求出 ，，利用AA判定，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算出线段的比值得，根据得出，根据相似三角形的性质得到，再根据面积公式计算，解答即可．
17．【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先算绝对值|-1|=1，再算乘方，计算零次幂，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法，解答即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解答即可．
（1）解：
（2）解：
18．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19．【答案】（1）40人；15
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
【分析】
（1）根据总人数=每天使用手机为2小时的人数10所占的百分比；根据百分比m=每天使用手机为4小时的人数调查的总人数，计算即可解答；
（2）根据圆心角度数=手机使用平均时长为4小时的百分比，计算即可解答；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的结果，然后再根据概率公式计算即可解答．
（1）解：参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
20．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
∴把点代入解析式得，
解得；
∴直线解析式，
把点代入解析式得，
故点
把点代入解析式得，
故反比例函数的解析式为.
（2）解：由，，得，
根据题意，得．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法把点代入解析式可求得b值，再写出函数解析式为直线解析式，根据待定系数法把点代入解析式可求得k值，再写出反比例函数的解析式为，解答即可；
（2）根据题意由，，表示出，再由三角形的面积计算，解答即可．
（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
∴把点代入解析式得，
解得；
∴直线解析式，
把点代入解析式得，
故点
把点代入解析式得，
故反比例函数的解析式为.
（2）解：由，，得，
根据题意，得．
21．【答案】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得，
解得，．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；
（2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张．
由题意，得，
解得，所以正整数解有，
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，表示出A品牌的利润为，再表示出B品牌的利润为，再根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程计算即可解答；
（2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，列式为30-a0.7a；根据用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元列式为3500a+4200(30-a)，解不等式组写出方案，解答即可．
（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得，
解得，．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；
（2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张．
由题意，得，
解得，所以正整数解有，
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
22．【答案】解：如图所示，延长交于点，则，
∵山坡的坡比为，
∴设，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，，
设，则，
在中，，，
∴，
∴，
∴的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正切的概念
【解析】【分析】
如图所示，延长交于点，则，根据坡比的定义设，利用勾股定理计算得到x的值，即可得出，，在中根据正切的定义解直角三角形得到，再计算线段的和差得，解答即可．
23．【答案】（1）证明：根据圆周角定理推论，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；垂径定理；已知余弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论，得，根据直角三角形两锐角互余代换角度得到，根据三角形内角和定理计算由垂线得定义可得，解答即可；
（2）根据30直角三角形的性质得，，根据余弦的定义解直角三角形得到，计算即可解答．
（1）证明：根据圆周角定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
24．【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．
理由如下：当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
令则y=，
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据当水平距离为时，实心球行进至最高点处设函数解析式为顶点式，再用待定系数法把代入解析式中求得a的值，写出函数解析式，解答即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离可令，用直接开平方法解得x的值，然后取符合条件的值，判断即可解答；
（3）根据题意设，把，代入计算得h的值，再将函数解析式化为一般式为，再令即可求解．
（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
25．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴

（2）证明：如图，延长交的延长线于
∵
∴
∴
∴
∵F是的中点
∴
在中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴

（3）
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形-动点问题
【解析】【分析】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，，
∵点关于的对称点
∴
作等腰三角形使，，连接
∴，
∴
在中
∴
∴
∴
∴当共线时，最大
如图4
作，
∴，
在中，
在中，
在中，
∵
∴
，
∴
故答案为：
【分析】
（1）先计算线段BD=CD=3，再根据勾股定理求得和，再根据正弦的定义计算即可解答；
（2）延长，交的延长线于G，先判断，再根据平行线的性质得到，根据中点的定义得到利用AAS判定得，根据全等三角形的定义得，再利用SAS证得，根据全等三角形的定义计算得出，解答即可；
（3）先计算角度得到 ，再根据正切得定义解直角三角形得到AD，BD，BC的值，根据轴对称的性质得到 ，作等腰三角形，使，连接，根据等腰三角形得性质计算角度得 ，利用余弦的定义计算得到， 再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得出，根据，根据两点之间线段最短当共线时，最大，作于X，根据勾股定理依次求得，再利用三角形的面积公式求得，四边形的面积，再根据割补法求面积计算即可解答．
（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明：如图，延长交的延长线于
∵
∴
∴
∴
∵F是的中点
∴
在中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，，
∵点关于的对称点
∴
作等腰三角形使，，连接
∴，
∴
在中
∴
∴
∴
∴当共线时，最大
如图4
作，
∴，
在中，
在中，
在中，
∵
∴
，
∴
1 / 1贵州省毕节市金沙县第四中学2025年中考一模数学试题
一、单选题（本大题共12题，每小题3分，共36分）
1．的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是5．
故答案为：C．
【分析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，解答即可．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体为
故答案为：．
【分析】
根据三视图判断选项中的立体图形，解答即可．
3．据国家电影局统计，截至2月5日9：00，2025年春节档票房为95.10亿元，观影人次为1.87亿，创下历史纪录．将数据“95.10亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：“95.10亿”用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
4．下列四个城市地铁标志中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、属于中心对称图形，故A符合题意；
B、不属于中心对称图形，故B不符合题意；
C、不属于中心对称图形，故C不符合题意；
D、不属于中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐一判断即可解答．
5．化简的结果是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】根据分式的除法即可求出答案.
6．如图，直线和相交于点，．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据对顶角线相等可得∠BOD，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．一元二次方程的常数项是（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：已知一元二次方程，则其常数项为．
故选：C．
【分析】本题考查一元二次方程的一般式．常数项为不含x的项，需要注意的是，在叙述常数项时，需要带上它前面的符号.
8．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意可得，，
故答案为：C．
【分析】
设竿长尺，绳索长尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺列方程为x+5=y；根据 将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺 列方程为x-5= ；由此解答即可．
9．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这一类新品种苹果树成活的概率为，
故答案为：C．
【分析】
根据频率估计概率：大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，观察表格得频率接近，解答即可．
10．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（　　）
… 0 1 2 …
… 1 4 7 …
A．的值随值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．关于的方程的解是
D．不等式的解集为
【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由表格可知，的值随值的增大而增大，故A错误；
∴，
B、当时，，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故B错误；
C、当时，，故关于的方程的解不是，故C错误；
D、∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故D正确；
故答案为：D．
【分析】
根据观察表格得的值随值的增大而增大可判断A；于是得到，由表格数据得到当时，，根据函数图象可知该函数的图象经过第一、二、三象限可判断B；观察表格发现当时，，可判断C；根据一次函数与不等式得关系可判断D；逐一判断即可解答.
11．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
12．已知如图，在平行四边形中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形；等积变换
【解析】【解答】解：根据平行四边形得性质得到：，，
∵，
∴，
过点作，过点作，过点作，
设，
则，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据平行四边形得性质得到，，根据特正弦得定义得到，过点作，过点作，过点作，设，根据30°角得性质得到CF，BF，表示出BE，CE，再根据三角形得面积利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一的性质得到BG，再计算出HG，根据平行线分线段成比例得到， 代入数据计算出的长，再求线段的比值，解答即可．
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共66分）
13．因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
14．计算：= 　 　.
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式===4．
故答案为：4
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
15．抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数的解析式写出顶点坐标，解答即可．
16．如图，P是内部一点，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，
设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
过点P作，垂足分别为，过点作于点Q，延长交于点E，设，根据30直角三角形的性质得到，利用勾股定理计算求出，根据正切的定义表示出BG=3x，利用勾股定理计算求出 ，，利用AA判定，根据相似三角形的性质得到，代入数据计算出线段的比值得，根据得出，根据相似三角形的性质得到，再根据面积公式计算，解答即可．
三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算
（1）．
（2）解不等式
【答案】（1）解：
（2）解：

【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【分析】
（1）先算绝对值|-1|=1，再算乘方，计算零次幂，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法，解答即可；
（2）根据解一元一次不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解答即可．
（1）解：
（2）解：
18．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
（2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
（3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
【答案】（1）40人；15
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
【分析】
（1）根据总人数=每天使用手机为2小时的人数10所占的百分比；根据百分比m=每天使用手机为4小时的人数调查的总人数，计算即可解答；
（2）根据圆心角度数=手机使用平均时长为4小时的百分比，计算即可解答；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的结果，然后再根据概率公式计算即可解答．
（1）解：参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
20．如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求（O为坐标原点）的面积．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
∴把点代入解析式得，
解得；
∴直线解析式，
把点代入解析式得，
故点
把点代入解析式得，
故反比例函数的解析式为.
（2）解：由，，得，
根据题意，得．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据待定系数法把点代入解析式可求得b值，再写出函数解析式为直线解析式，根据待定系数法把点代入解析式可求得k值，再写出反比例函数的解析式为，解答即可；
（2）根据题意由，，表示出，再由三角形的面积计算，解答即可．
（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
∴把点代入解析式得，
解得；
∴直线解析式，
把点代入解析式得，
故点
把点代入解析式得，
故反比例函数的解析式为.
（2）解：由，，得，
根据题意，得．
21．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元．
（1）该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？
（2）根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案．
【答案】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得，
解得，．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；
（2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张．
由题意，得，
解得，所以正整数解有，
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
【知识点】解一元一次方程；解一元一次不等式组；一元一次方程的实际应用-销售问题；列一元一次不等式组；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，表示出A品牌的利润为，再表示出B品牌的利润为，再根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程计算即可解答；
（2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，列式为30-a0.7a；根据用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元列式为3500a+4200(30-a)，解不等式组写出方案，解答即可．
（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张．
由题意，得，
解得，．
故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张；
（2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张．
由题意，得，
解得，所以正整数解有，
所以有两种进货方案：
①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；
②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张．
22．如图，风力发电机的主塔在一座山坡上，山坡的坡比为，在坡底测得塔顶的仰角．已知山坡的坡面为水平地面，风力发电机的主塔．求的高．（参考数据：，，结果精确到）
【答案】解：如图所示，延长交于点，则，
∵山坡的坡比为，
∴设，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴，，
设，则，
在中，，，
∴，
∴，
∴的高为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；正切的概念
【解析】【分析】
如图所示，延长交于点，则，根据坡比的定义设，利用勾股定理计算得到x的值，即可得出，，在中根据正切的定义解直角三角形得到，再计算线段的和差得，解答即可．
23．如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：根据圆周角定理推论，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；垂径定理；已知余弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理推论，得，根据直角三角形两锐角互余代换角度得到，根据三角形内角和定理计算由垂线得定义可得，解答即可；
（2）根据30直角三角形的性质得，，根据余弦的定义解直角三角形得到，计算即可解答．
（1）证明：根据圆周角定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
24．掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求抛物线的表达式；
（2）根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
（3）在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的高度至少达到多少时，可得满分．
【答案】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．
理由如下：当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
令则y=，
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据当水平距离为时，实心球行进至最高点处设函数解析式为顶点式，再用待定系数法把代入解析式中求得a的值，写出函数解析式，解答即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离可令，用直接开平方法解得x的值，然后取符合条件的值，判断即可解答；
（3）根据题意设，把，代入计算得h的值，再将函数解析式化为一般式为，再令即可求解．
（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
解得．
∴关于的函数表达式为．
（2）解：该女生在此项考试中没有得满分．理由如下：
当时，即：，
解得，（舍去），
∵，
∴该女生在此项考试中没有得满分．
（3）解：可设．
把，代入得，，
求出．
∴．
∴
答：当掷出点的高度至少达到时，可得满分．
25．已知如图，在中，，点是上一点，；
（1）如图1，若，，求的值；
（2）如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：；
（3）如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴

（2）证明：如图，延长交的延长线于
∵
∴
∴
∴
∵F是的中点
∴
在中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴

（3）
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形-动点问题
【解析】【分析】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，，
∵点关于的对称点
∴
作等腰三角形使，，连接
∴，
∴
在中
∴
∴
∴
∴当共线时，最大
如图4
作，
∴，
在中，
在中，
在中，
∵
∴
，
∴
故答案为：
【分析】
（1）先计算线段BD=CD=3，再根据勾股定理求得和，再根据正弦的定义计算即可解答；
（2）延长，交的延长线于G，先判断，再根据平行线的性质得到，根据中点的定义得到利用AAS判定得，根据全等三角形的定义得，再利用SAS证得，根据全等三角形的定义计算得出，解答即可；
（3）先计算角度得到 ，再根据正切得定义解直角三角形得到AD，BD，BC的值，根据轴对称的性质得到 ，作等腰三角形，使，连接，根据等腰三角形得性质计算角度得 ，利用余弦的定义计算得到， 再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得出，根据，根据两点之间线段最短当共线时，最大，作于X，根据勾股定理依次求得，再利用三角形的面积公式求得，四边形的面积，再根据割补法求面积计算即可解答．
（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明：如图，延长交的延长线于
∵
∴
∴
∴
∵F是的中点
∴
在中
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在中
∴
∴
∴
（3）解：∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，，
∵点关于的对称点
∴
作等腰三角形使，，连接
∴，
∴
在中
∴
∴
∴
∴当共线时，最大
如图4
作，
∴，
在中，
在中，
在中，
∵
∴
，
∴
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