资源简介

贵州省贵阳市花溪区麦坪中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
2．用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
3．每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（　　）
A． B． C．x D．3x
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.14 9.15 9.14 9.15
方差 6.6 6.8 6.7 6.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（　　）
A．6037 B． C．637 D．
8．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（　　）
A． B． C． D．
9．在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
10．如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
12．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（　　）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．计算的结果是　 　.
14．小星一家准备从“黄小西”，即黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨这三个景区中随机选择一个去游玩，则选中黄果树瀑布的概率是　 　．
15．将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为　 　．
16．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程：；
（2）数学活动课上，老师展示了如下问题：已知数轴上不重合的三个点A，B，C所表示的数分别为，，，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧，求x的取值范围．
小星的解答过程如下：
第一步：根据点A在点B的左侧，可列不等式：　 　①；
第二步：根据点C在点B的右侧，可列不等式：　 　②；
第三步：解不等式①得　 　，解不等式②得　 　；
第四步：得出x的取值范围是　 　．
18．贵阳市某小区物业为改进服务质量，着重针对保洁绿化服务和车辆管理服务两方面制定调查问卷(满分为10分，7分及7分以上为满意)，随机抽取该小区100户居民进行调查，调查数据整理、分析如下：
平均数 中位数 众数 满意率
保洁绿化服务
车辆管理服务
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）已知该小区有2000户居民，估计该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的总户数；
（3）根据调查数据，你认为物业应该提高哪方面服务？说明理由，并提出合理建议．
19．茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元．
根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程：
小红：．小星：．
（1）小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______；
（2）请你任选一个同学的方程解决问题．
20．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围．
22．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，）
23．如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且．
（1）写出图中一个度数为的角：　 　；
（2）求的度数；
（3）连接，试判断四边形的形状，并给出证明．
24．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴为直线________；
（2）若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式；
（3）如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围．
25．在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，．
（1）【操作发现】
如图（1），当时，过点A作，交于点M．
①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形；
②的数量关系为________；
（2）【类比探究】
如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
当时，过点A作于点N，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣5|=5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
2．【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意；
、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意；
、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意；
、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意；
故选：．
【分析】根据几何体的截面逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当时，，，，
根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是，
故选：A．
【分析】根据分式有无意义的条件即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得：乙、丁的平均数最大， 但是丁的方差小于乙的方差， 所以丁成绩好且发挥稳定， 故选丁运动员参加比赛.
故答案为：D.
【分析】通过比较甲、乙、丙、丁平均数与方差的情况，可得出D的平均数最高，且方差最小，故而可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：个位上的数上有斜线，
这个数是负数，
是横式，不能表示百位数，
表示千位上的数，百位上的数为0，
根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为．
故选B．
【分析】根据图形的变换，总结规律即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴
∴
∴段的长可能为．
故选：D．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，
∴摸到印有艾片的卡片的概率为，
口袋中装有5张印有中药艾片的卡片，
∴，
即口袋中装有卡片约是25张，
∴口袋中印有白果的卡片数约是（张）
故选：B．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∵一次函数图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故选D．
【分析】当一次函数图象在正比例函数的图象下方时，且都在x轴上方时有，结合函数图象即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】由作图可知：，，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵，且容器内氧气的质量一定，
∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故D正确，不符合题意；
∴，
当时，，故A正确，不符合题意；
当时，，故C不正确，符合题意；
故选C．
【分析】根据反比例函数的图象逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：故答案为：
【分析】根据二次根式乘法的法则即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有三个景区，即一共有3种等可能的结果，从中选择1种，所以选中黄果树瀑布的概率是，
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题可知，
又∵，的中点D，E均落在数轴上，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两点间距离可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
16．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H，
∵在中，，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】延长交延长线于点P，过作于点H，根据平行四边形性质可得，，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CF，解直角三角形可得AH，HF，再根据勾股定理可得HP，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）因式分解得：，∴或，解得：，（2），，，，
（1）解：因式分解得：，
∴或，
解得：，
（2）；；；；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（2）∵点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，
当点A在点B左侧，则；
当点C在点B右侧，可列不等式为，
即
解不等式①得，
解不等式②得，
∴得出x的取值范围是，
故答案为：，，，，．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
18．【答案】（1），
（2）解：(户)．
答：该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的约有300户．
（3）解：物业应提高车辆管理服务．
理由：车辆管理服务得分的平均数、中位数、众数、满意率都比保洁绿化服务低，说明车辆管理服务有待提高．(答案不唯一，合理即可)
建议：加强管理车辆停放，解决车辆乱停乱放的问题．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）由条形图可知：保洁绿化服务分有：(人)
保洁绿化服务8分有30人，
∴第50、51个数据都是8分，
∴保洁绿化服务中位数是(分)．
由扇形统计图可知：车辆管理服务6分所占百分比最大，
∴车辆管理服务众数是：(分)
故答案为∶；；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据200乘以满分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行分析即可求出答案.
（1）由条形图可知：保洁绿化服务分有：(人)
保洁绿化服务8分有30人，
∴第50、51个数据都是8分，
∴保洁绿化服务中位数是(分)．
由扇形统计图可知：车辆管理服务6分所占百分比最大，
∴车辆管理服务众数是：(分)
故答案为∶；；
（2）(户)．
答：该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的约有300户．
（3）物业应提高车辆管理服务．
理由：车辆管理服务得分的平均数、中位数、众数、满意率都比保洁绿化服务低，说明车辆管理服务有待提高．(答案不唯一，合理即可)
建议：加强管理车辆停放，解决车辆乱停乱放的问题．(答案不唯一，合理即可)
19．【答案】（1）每盒B种茶叶的进价，A种茶叶的数量
（2）解：选择小红的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元）．
选择小星的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元），
（元）．
答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数，
∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ．
小星的方程：表示种茶叶的进价，
∴表示种茶叶的数量 ．
故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ．
【分析】（1）分析小红和小星所列方程的含义，结合题目中的数量关系，确定和分别代表的量．小红的方程是根据“种茶叶盒数种茶叶盒数”列的，小星的方程是根据“种茶叶进价种茶叶进价”列的，以此判断、代表的内容．
（2）若选小红的方程，先明确是种茶叶进价，是种茶叶进价，根据“总价÷单价 = 数量”，得出是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，再利用盒数差列方程求解；若选小星的方程，是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，根据“总价÷数量 = 单价”，得出是种茶叶进价，是种茶叶进价，再利用进价倍数关系列方程求解．
（1）解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数，
∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ．
小星的方程：表示种茶叶的进价，
∴表示种茶叶的数量 ．
故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ．
（2）解：选择小红的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元）．
选择小星的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元），
（元）．
答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元．
20．【答案】（1）解：∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，D是的中点，
∴，
∴在中，根据勾股定理得．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得=90°，即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，D是的中点，
∴，
∴在中，根据勾股定理得．
21．【答案】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）知，，
∴点C的横坐标为．
当时，，
∴，
当，时，，
则；
当，时，，
则；
综上所述，m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，根据全等三角形性质可得，根据边之间的关系可得BE，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将x=9代入反比例函数解析式可得，再将点B，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）知，，
∴点C的横坐标为．
当时，，
∴，
当，时，，
则；
当，时，，
则；
综上所述，m的取值范围是．
22．【答案】（1）解：由题意得，
∴，．
∵，，
∴，．
∵米，
∴（米）
（米）
∴（米）．
（2）解：设水池的水深为x米，则米，
由题意可知，，米，
∴（米），（米）．
∵，
∴，
解得，
即水池的水深约为11.7米．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由题意得，根据直线平行性质可得，，解直角三角形可得BF，CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设水池的水深为x米，则米，由题意可知，，米，解直角三角形可得DN，N'E，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，
∴，．
∵，，
∴，．
∵米，
∴（米）
（米）
∴（米）．
（2）解：设水池的水深为x米，则米，
由题意可知，，米，
∴（米），（米）．
∵，
∴，
解得，
即水池的水深约为11.7米．
23．【答案】（1）(答案不唯一)
（2）解：∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
（3）解：四边形是菱形．理由如下：
证明：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；(答案不唯一)
【分析】（1）根据切线性质可得，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得∠AFC，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（3）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；(答案不唯一)
（2）∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
（3）四边形是菱形．理由如下：
证明：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
24．【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴点，关于直线对称，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（3）解：∵，
∴该抛物线过定点．
若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则，
解得，此时抛物线与正方形有个交点；
当时，抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为，
则，
解得，此时抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线过点时，将代入，得，
解得，此时抛物线与正方形有个交点．
当时，抛物线与正方形又开始有个交点．
若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点．
综上，当抛物线与正方形有个交点时，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】（1）解：对于二次函数，其中，
根据对称轴公式，可得．
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数对称性即可求出答案.
（3）由题意可得该抛物线过定点，分情况讨论：或，再根据二次函数性质及正方形性质即可求出答案.
（1）解：对于二次函数，其中，
根据对称轴公式，可得．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴点，关于直线对称，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（3）解：∵，
∴该抛物线过定点．
若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则，
解得，此时抛物线与正方形有个交点；
当时，抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为，
则，
解得，此时抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线过点时，将代入，得，
解得，此时抛物线与正方形有个交点．
当时，抛物线与正方形又开始有个交点．
若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点．
综上，当抛物线与正方形有个交点时，或．
25．【答案】（1）①解：作图如图．
②
（2）解：．
理由：在上截取，连接，如图，
∵，，，
∴．
∴，．
∴是等腰三角形．
，，
∴．
．
过点A作于点P，
易得，
∴．
∴．
（3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论：
当点D在线段上时，如图，
由（2）得，为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
当点D在的延长线上时，如图，
同理可得为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）②，，
．
．
，
．
，，
．
．
．
故答案为：BM=CE
【分析】（1）①根据题意补全图形即可.
②根据等边对等角可得，根据直角三角形内角和定理可得∠BAC，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，过点A作于点P，根据含30°角的直角三角形性质可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在射线上截取，使，连接，分情况讨论：当点D在线段上时，由（2）得，为等腰三角形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据边之间的关系即可求出答案；当点D在的延长线上时，同理可得为等腰三角形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：作图如图．
，，
．
．
，
．
，，
．
．
．
（2）解：．
理由：在上截取，连接，如图，
∵，，，
∴．
∴，．
∴是等腰三角形．
，，
∴．
．
过点A作于点P，
易得，
∴．
∴．
（3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论：
当点D在线段上时，如图，
由（2）得，为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
当点D在的延长线上时，如图，
同理可得为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的长为或．
1 / 1贵州省贵阳市花溪区麦坪中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|﹣5|=5.
故答案为：A.
【分析】根据负数的绝对值为其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答.
2．用一个平面去截下列几何体，截面一定是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意；
、用一个平面去截，截面可能是圆形或四边形，不合题意；
、用一个平面去截，截面可能是三角形或四边形，不合题意；
、球体无论怎样去截，其截面一定是圆形的，符合题意；
故选：．
【分析】根据几何体的截面逐项进行判断即可求出答案.
3．每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食．已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
4．当时，分式无意义，则所表示的代数式可以是（　　）
A． B． C．x D．3x
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：当时，，，，
根据分式无意义则分母为零，可知所表示的代数式可以是，
故选：A．
【分析】根据分式有无意义的条件即可求出答案.
5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(　　)
　 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 9.14 9.15 9.14 9.15
方差 6.6 6.8 6.7 6.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得：乙、丁的平均数最大， 但是丁的方差小于乙的方差， 所以丁成绩好且发挥稳定， 故选丁运动员参加比赛.
故答案为：D.
【分析】通过比较甲、乙、丙、丁平均数与方差的情况，可得出D的平均数最高，且方差最小，故而可得出答案。
6．如图，在四边形中，对角线和交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质逐项进行判断即可求出答案.
7．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（　　）
A．6037 B． C．637 D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：个位上的数上有斜线，
这个数是负数，
是横式，不能表示百位数，
表示千位上的数，百位上的数为0，
根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为．
故选B．
【分析】根据图形的变换，总结规律即可求出答案.
8．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据题意得，
∵
∴
∴
∴段的长可能为．
故选：D．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
9．在一个不透明的口袋中装有5张印有中药艾片的卡片和若干张印有中药白果的卡片，它们除卡片上的图案不同其余均相同，通过多次摸卡片试验后发现，摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，则口袋中印有白果的卡片数约是（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： ∵摸到印有艾片的卡片的频率稳定在0.2附近，
∴摸到印有艾片的卡片的概率为，
口袋中装有5张印有中药艾片的卡片，
∴，
即口袋中装有卡片约是25张，
∴口袋中印有白果的卡片数约是（张）
故选：B．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
10．如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当时，，
∵一次函数图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故选D．
【分析】当一次函数图象在正比例函数的图象下方时，且都在x轴上方时有，结合函数图象即可求出答案.
11．如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B、D为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于两点M、N，作直线分别交、于点E、F，则线段的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
在中，，
∴，
，
故选：C．
【分析】由作图可知：，，根据勾股定理可得AB，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（　　）
A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为
B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数
C．标准大气压下，该容器的体积约为
D．该容器内氧气的质量为
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵，且容器内氧气的质量一定，
∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意；
由图象可知，当时，，
∴，故D正确，不符合题意；
∴，
当时，，故A正确，不符合题意；
当时，，故C不正确，符合题意；
故选C．
【分析】根据反比例函数的图象逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．计算的结果是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：故答案为：
【分析】根据二次根式乘法的法则即可求出答案.
14．小星一家准备从“黄小西”，即黄果树瀑布、荔波小七孔、西江千户苗寨这三个景区中随机选择一个去游玩，则选中黄果树瀑布的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有三个景区，即一共有3种等可能的结果，从中选择1种，所以选中黄果树瀑布的概率是，
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．将放置在一条数轴上，，的中点D，E均落在数轴上，且点D，E在数轴上的位置如图所示，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题可知，
又∵，的中点D，E均落在数轴上，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两点间距离可得DE，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
16．如图，在中，点E为的中点，点F在边上，，，，，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，延长交延长线于点P，过作于点H，
∵在中，，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】延长交延长线于点P，过作于点H，根据平行四边形性质可得，，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CF，解直角三角形可得AH，HF，再根据勾股定理可得HP，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程：；
（2）数学活动课上，老师展示了如下问题：已知数轴上不重合的三个点A，B，C所表示的数分别为，，，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧，求x的取值范围．
小星的解答过程如下：
第一步：根据点A在点B的左侧，可列不等式：　 　①；
第二步：根据点C在点B的右侧，可列不等式：　 　②；
第三步：解不等式①得　 　，解不等式②得　 　；
第四步：得出x的取值范围是　 　．
【答案】（1）因式分解得：，∴或，解得：，（2），，，，
（1）解：因式分解得：，
∴或，
解得：，
（2）；；；；
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（2）∵点A，B，C在数轴上的对应值分别为，，，
当点A在点B左侧，则；
当点C在点B右侧，可列不等式为，
即
解不等式①得，
解不等式②得，
∴得出x的取值范围是，
故答案为：，，，，．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
18．贵阳市某小区物业为改进服务质量，着重针对保洁绿化服务和车辆管理服务两方面制定调查问卷(满分为10分，7分及7分以上为满意)，随机抽取该小区100户居民进行调查，调查数据整理、分析如下：
平均数 中位数 众数 满意率
保洁绿化服务
车辆管理服务
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）已知该小区有2000户居民，估计该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的总户数；
（3）根据调查数据，你认为物业应该提高哪方面服务？说明理由，并提出合理建议．
【答案】（1），
（2）解：(户)．
答：该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的约有300户．
（3）解：物业应提高车辆管理服务．
理由：车辆管理服务得分的平均数、中位数、众数、满意率都比保洁绿化服务低，说明车辆管理服务有待提高．(答案不唯一，合理即可)
建议：加强管理车辆停放，解决车辆乱停乱放的问题．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）由条形图可知：保洁绿化服务分有：(人)
保洁绿化服务8分有30人，
∴第50、51个数据都是8分，
∴保洁绿化服务中位数是(分)．
由扇形统计图可知：车辆管理服务6分所占百分比最大，
∴车辆管理服务众数是：(分)
故答案为∶；；
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）根据200乘以满分的占比即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行分析即可求出答案.
（1）由条形图可知：保洁绿化服务分有：(人)
保洁绿化服务8分有30人，
∴第50、51个数据都是8分，
∴保洁绿化服务中位数是(分)．
由扇形统计图可知：车辆管理服务6分所占百分比最大，
∴车辆管理服务众数是：(分)
故答案为∶；；
（2）(户)．
答：该小区居民在本次调查中对保洁绿化服务评分为满分的约有300户．
（3）物业应提高车辆管理服务．
理由：车辆管理服务得分的平均数、中位数、众数、满意率都比保洁绿化服务低，说明车辆管理服务有待提高．(答案不唯一，合理即可)
建议：加强管理车辆停放，解决车辆乱停乱放的问题．(答案不唯一，合理即可)
19．茶产业是遵义市的特色优势产业和主导产业．某商店用1200元购进A种茶叶若干盒，用600元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，且每盒A种茶叶的进价是每盒B种茶叶进价的1.5倍．求每盒A种茶叶和每盒B种茶叶的进价分别为多少元．
根据题意，小红、小星两名同学分别列出如下方程：
小红：．小星：．
（1）小红所列方程中的x表示_______，小星所列方程中的y表示_______；
（2）请你任选一个同学的方程解决问题．
【答案】（1）每盒B种茶叶的进价，A种茶叶的数量
（2）解：选择小红的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元）．
选择小星的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元），
（元）．
答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数，
∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ．
小星的方程：表示种茶叶的进价，
∴表示种茶叶的数量 ．
故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ．
【分析】（1）分析小红和小星所列方程的含义，结合题目中的数量关系，确定和分别代表的量．小红的方程是根据“种茶叶盒数种茶叶盒数”列的，小星的方程是根据“种茶叶进价种茶叶进价”列的，以此判断、代表的内容．
（2）若选小红的方程，先明确是种茶叶进价，是种茶叶进价，根据“总价÷单价 = 数量”，得出是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，再利用盒数差列方程求解；若选小星的方程，是种茶叶盒数，是种茶叶盒数，根据“总价÷数量 = 单价”，得出是种茶叶进价，是种茶叶进价，再利用进价倍数关系列方程求解．
（1）解：小红的方程，表示用元购进种茶叶的盒数，
∴表示每盒种茶叶的进价；表示用元购进种茶叶的盒数 ．
小星的方程：表示种茶叶的进价，
∴表示种茶叶的数量 ．
故答案为：每盒种茶叶的进价；种茶叶的数量 ．
（2）解：选择小红的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元）．
选择小星的方程：，
解得，
经检验：是原分式方程的解．
（元），
（元）．
答：每盒A种茶叶的进价为30元，每盒B种茶叶的进价为20元．
20．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，D是的中点，
∴，
∴在中，根据勾股定理得．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得=90°，即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵E是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，D是的中点，
∴，
∴在中，根据勾股定理得．
21．小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）知，，
∴点C的横坐标为．
当时，，
∴，
当，时，，
则；
当，时，，
则；
综上所述，m的取值范围是．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，根据全等三角形性质可得，根据边之间的关系可得BE，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）将x=9代入反比例函数解析式可得，再将点B，C坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）知，，
∴点C的横坐标为．
当时，，
∴，
当，时，，
则；
当，时，，
则；
综上所述，m的取值范围是．
22．如图，光从空气斜射入长方体水槽中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底D点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底E点处，入射角，折射角．交延长线于点F，，，为法线．线段，入射光线，和折射光线，及法线，都在同一平面内，米．
（1）求的长；（结果保留根号）
（2）若米，求水池的水深．（结果精确到0.1．参考数据：，，，，，，，）
【答案】（1）解：由题意得，
∴，．
∵，，
∴，．
∵米，
∴（米）
（米）
∴（米）．
（2）解：设水池的水深为x米，则米，
由题意可知，，米，
∴（米），（米）．
∵，
∴，
解得，
即水池的水深约为11.7米．
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由题意得，根据直线平行性质可得，，解直角三角形可得BF，CF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设水池的水深为x米，则米，由题意可知，，米，解直角三角形可得DN，N'E，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：由题意得，
∴，．
∵，，
∴，．
∵米，
∴（米）
（米）
∴（米）．
（2）解：设水池的水深为x米，则米，
由题意可知，，米，
∴（米），（米）．
∵，
∴，
解得，
即水池的水深约为11.7米．
23．如图，在中，，以为直径的恰好与边相切，交于点D，E是边上一点，连接交于点F，连接，，且．
（1）写出图中一个度数为的角：　 　；
（2）求的度数；
（3）连接，试判断四边形的形状，并给出证明．
【答案】（1）(答案不唯一)
（2）解：∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
（3）解：四边形是菱形．理由如下：
证明：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；(答案不唯一)
【分析】（1）根据切线性质可得，根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得∠AFC，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（3）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（1）∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：；(答案不唯一)
（2）∵是的切线，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
（3）四边形是菱形．理由如下：
证明：如图，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
24．已知二次函数．
（1）二次函数图象的对称轴为直线________；
（2）若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式；
（3）如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围．
【答案】（1）3
（2）解：∵，
∴点，关于直线对称，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（3）解：∵，
∴该抛物线过定点．
若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则，
解得，此时抛物线与正方形有个交点；
当时，抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为，
则，
解得，此时抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线过点时，将代入，得，
解得，此时抛物线与正方形有个交点．
当时，抛物线与正方形又开始有个交点．
若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点．
综上，当抛物线与正方形有个交点时，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】（1）解：对于二次函数，其中，
根据对称轴公式，可得．
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数对称性即可求出答案.
（3）由题意可得该抛物线过定点，分情况讨论：或，再根据二次函数性质及正方形性质即可求出答案.
（1）解：对于二次函数，其中，
根据对称轴公式，可得．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴点，关于直线对称，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（3）解：∵，
∴该抛物线过定点．
若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则，
解得，此时抛物线与正方形有个交点；
当时，抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为，
则，
解得，此时抛物线开始与正方形有个交点；
当抛物线过点时，将代入，得，
解得，此时抛物线与正方形有个交点．
当时，抛物线与正方形又开始有个交点．
若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点．
综上，当抛物线与正方形有个交点时，或．
25．在中，，点D为射线上一动点（不与点A，C重合），作，并交射线于点E，连接，．
（1）【操作发现】
如图（1），当时，过点A作，交于点M．
①请利用无刻度的直尺和圆规补全图形；
②的数量关系为________；
（2）【类比探究】
如图（2），当，且点D在线段上时，探究：线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
当时，过点A作于点N，若，，求的长．
【答案】（1）①解：作图如图．
②
（2）解：．
理由：在上截取，连接，如图，
∵，，，
∴．
∴，．
∴是等腰三角形．
，，
∴．
．
过点A作于点P，
易得，
∴．
∴．
（3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论：
当点D在线段上时，如图，
由（2）得，为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
当点D在的延长线上时，如图，
同理可得为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的长为或．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）②，，
．
．
，
．
，，
．
．
．
故答案为：BM=CE
【分析】（1）①根据题意补全图形即可.
②根据等边对等角可得，根据直角三角形内角和定理可得∠BAC，再根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，则，过点A作于点P，根据含30°角的直角三角形性质可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在射线上截取，使，连接，分情况讨论：当点D在线段上时，由（2）得，为等腰三角形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据边之间的关系即可求出答案；当点D在的延长线上时，同理可得为等腰三角形，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得BN，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：作图如图．
，，
．
．
，
．
，，
．
．
．
（2）解：．
理由：在上截取，连接，如图，
∵，，，
∴．
∴，．
∴是等腰三角形．
，，
∴．
．
过点A作于点P，
易得，
∴．
∴．
（3）解：在射线上截取，使，连接．分以下两种情况讨论：
当点D在线段上时，如图，
由（2）得，为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
当点D在的延长线上时，如图，
同理可得为等腰三角形，，
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
综上所述，的长为或．
1 / 1

展开更多......

收起↑