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2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评八年级1月数学一试试题
一、填空题
1． 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x，y)，若规定以下两种变换①②，例如按照以上变换有：；。则　 　。
【答案】（4，-5）
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵g(x，y)=(-x，-y)， f(x，y)=(x+2，y)，
∴g(-2，5)=(2，-5)，f(2，-5)=(2+2，-5)=(4，-5).
故答案为：（4，-5）.
【分析】先根据g(x，y)=(-x，-y)，计算g(-2，5)，然后根据f(x，y)=(x+2，y)进一步化简即可.
2．已知实数a，b，m，n()满足，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是　 　。
【答案】x＞-4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴a=n-m，b=2n-2a-5=2m-5
将a，b的值代入不等式ax+b>-5，
整理得(n-m)x>-2m
又∵ax+b>-5的解集为，
∴n-m<0，
∴n∴n=-4m，
∴-4m∴m>0
∵不等式mx-n>0即为mx+4m>0，
∴x>-4
∴mx-n>0的解集为x>-4.
故答案为：x＞-4.
【分析】根据非负数性质列方程，得出a=n-m，b=2n-2a-5=2m-5，将a，b的值代入不等式ax+b>-5，进而求解即可.
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；等积变换
【解析】【解答】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵， BM=6，OA=4，AB=5，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂线段最短的应用，以及坐标与图形性质和三角形的面积公式，连接AM，由点A，点B的坐标，点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，此时MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，结合三角形的面积公式，列出算式，求得PM的长，即可得到答案.
4．已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，则此三角形的面积为　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；三角形的面积；分解质因数
【解析】【解答】解：∵abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，
∴abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c+8=27
∴ab(c+2)+2a(c+2)+2b(c+2)+4(c+2) =27，
∴(ab+2a+2b+4)(c+2)=27，
∴(a+2)(b+2)(c+2)=3×3×3
∵三角形的三边a，b，c都是整数，
∴a+2=3， b+2=3， c+2=3
解得a=1，b=1，c=1
∴此三角形是边长为1的三角形，
∴此三角形的面积为：
故答案为：.
【分析】首先应用因式分解的方法，把abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c因式分解，根据abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，且三角形的三边a，b，c都是整数，求出a、b、c的值，然后根据三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可.
5． 对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即：当n 为非负整数时，如果，则 。如：<0.48>=0，<3.5>=4。如果< x>=x，则x=　 　.
【答案】0或或
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
即
解不等式①得：
解不等式②得：
则不等式组的解集为
∵x为非负实数，
∴
∴，
∵为非负整数，
∴或或
解得x=0或或
故答案为：0或或.
【分析】根据的定义可得一个关于x的一元一次不等式组，解不等式组、结合为非负整数即可得.
6． 如图，， 的角平分线 BP 交 的角平分线的反向延长线于点 P，直线 PB 交 CD 于点 N，若，则　 　.
【答案】36°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：PQ交HM于点E，
由题意可知：BP平分∠ABM，CQ平分∠HCD，
∴，
∵∠HCD-2∠BNC=24°，
∴2∠DCQ-2∠BNC=24°，
即∠DCQ-∠BNC=12°
∵∠DCQ=∠BNC+∠P，
∴∠P=12°
∵AB//CD
∴∠BNC=∠ABP=∠MBP
∵∠MBP是△BPE的一个外角，
∴∠BEP=∠MBP-∠P=∠BNC-12°
∴∠HEC=∠BEP=∠BNC-12°
∵∠HCQ是△HCE的一个外角，
∴∠H-∠HCQ-∠HEC-∠DCQ-(∠BNC-12°)=∠DCQ-∠BNC+12°=12°+12°=24°
∴∠P+∠H=12°+24°=36°，
故答案为：36°.
【分析】根据角平分线的性质和∠HCD-2∠BNC=24°，可得∠DCQ-∠BNC=12°，再根据三角形的外角定理分别求出∠P，∠H，进而可求解.
7．如图，点A是线段BC的垂直平分线上任意一点，连接AB，AC，作AB的垂直平分线EF分别交AB、BC于点G、H，若，，则GH的长为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AH，
∵GH是AB的垂直平分线，
∴AG=BG， BH=AH， 而
∴
∴
∴BH：CH=1：2， 而
∴
取H关于AF的对称点K，连接AK，则AH=AK，
∵AB=AC，AF是BC的垂直平分线，
∴由轴对称的性质可得：
∴S△AHK=S△ABH=S△ACK
∴BH=HK=CK，
∴AH=HK=AK，
∴△AHK是等边三角形，
∴∠AHK=60°
∵AH=BH，
∴∠B=∠BAH=30°，而∠BGH=90°，
∴
故答案为：.
【分析】如图，连接AH，证明BH：CH=1：2，而，可得，取H关于AF的对称点K，连接AK，则AH=AK，证明△AHK是等边三角形，可得∠B=∠BAH=30°，而∠BGH=90°，进而即可求解.
8．为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）·如图是某绿波路段的一部分，限速60km/h，AB长1000m，路口B的每次绿灯时长为30s，小车经过路口A后，以36km/h的速度行驶1min后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度vkm/h的取值范围是　 　.
【答案】48≤v≤60
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得
解得：48≤v≤60，
即小车行驶的平均速度vkm/h的取值范围是48≤v≤60，
故答案为：48≤v≤60.
【分析】根据小车想在这个绿灯间顺利通过B路口和限速60km/h得到一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案.
9．如图所示，在四边形ABCD中， ∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD =　 　°。
【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12° 且AP=AC，连接 PB、PD，
在△ADP和△ADC中， ∠PAD=∠CAD=12°，AP=AC， AD=AD
∴△ADP≌△ADC
∴∠APD=∠ACD
在△ABC中，∠CAB=36°， ∠ABC=72°，
∴∠ACB=72°，
∴AC=AB
∴AP=AB
∴∠PAB=∠PAD+∠DAC+∠CAB=12°+12°+36°=60°
∴△PAB 是等边三角形，∠APB=60°，PA=PB
在△DAB中，∠DAB=∠DAC+∠CAB=12°+36°=48°=∠DBA，
∴DA=DB
∵PA=PB， PD=PD，DA=DB
∴△PDA≌△PDB
∴，即∠ACD=30°
故答案为：30.
【分析】在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12°且AP=AC，连接PB、PD，证明 是△ADP≌△ADC，△PDA≌△PDB，△PAB是等边三角形，进而即可求解.
10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　．
【答案】10
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，即阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质以及完全平方公式的应用，解题时需要结合图形进行分析，运用数形结合的思想方法。根据题目描述，可以得出△IJC≌△KAM（全等三角形），因此它们的面积相等，即。由此可知，图2中阴影部分的面积可以表示为：。进一步用变量a、b表示阴影部分的面积，并利用完全平方公式进行计算即可求解。
11．如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点D、E分别为AC、BC的中点，点F为AB边上一动点，将∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，且点G始终在直线DE的下方，连接GE，当△GDE为直角三角形时，线段AF的长为　 　.
【答案】2或3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴
∴
∵点D、E分别为AC、BC的中点
∴，DE//AB，
∴∠CDE=∠A=30°
∵∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，
∴∠ADF=∠GDF， AD=DG，
当∠GDE=90°时，△GDE为直角三角形，如图1，
∴∠ADG=60°，
∴∠ADF=∠A=30°，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰三角形，
过点F作FH⊥AD交AD于点H，
∴
设HF=x
∴AF=2x
∵AF2=AH2+HF2，
∴4x2=3+x2，
解得：x=±1，
∴x=1，
∴AF=2x=2
当∠DGE=90°时，△GDE为直角三角形，如图2，
∵AD=CD=DG，DE是公共边，
∴△DCE≌△DGE(HL)，
∴∠GDE=∠CDE=30°
∴∠ADG=120°，
∴∠ADF=60°
∴∠AFD=90°.
∵，
∴，
∵AD2=AF2+DF2，
∴AF=3，
∵DG∴∠DEG不可能为直角.
综上所述，AF的长为2或3.
故答案为：2或3.
【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，求出BC，根据勾股定理，求出AC，根据三角形的中位线的性质，求出，DE//AB；分类讨论：当∠GDE=90°，△GDE为直角三角形，过点F作FH⊥AD交AD于点H，根据等腰三角形三线合一，求出AH根据勾股定理求出AF；当∠DGE=90°，△GDE为直角三角形，根据确定三角形的判定利性质，得∠GDE=∠CDE=30°，根据勾股定理，求出即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为 (1， 1)，是以点 B 为圆心，BA 为半径的圆弧是以点 O 为圆心，OA1 为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，CA2 为半径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3 为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的曲线 ... 称为正方形的“渐开线”，那么点 A2025的坐标是　 　.
【答案】（2026，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵点坐标为(1，1)，且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得
∴A1点坐标为(2，0)
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得
∴A2点坐标为(0，-2)
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得
∴A3点坐标为(-3，1)
又∵A4为A3点绕点顺时针旋转90°所得
∴A4点坐标为(1，5)
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、n，每次增加1.
∵2025÷4=506...1
∴A2025点坐标为(2026，0)
故答案为：（2026，0）.
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可.
1 / 12024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评八年级1月数学一试试题
一、填空题
1． 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(x，y)，若规定以下两种变换①②，例如按照以上变换有：；。则　 　。
2．已知实数a，b，m，n()满足，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是　 　。
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（－3，0）在x轴负半轴上，且AB=5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上的一动点，则MN+NP的最小值为　 　．
4．已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，则此三角形的面积为　 　.
5． 对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即：当n 为非负整数时，如果，则 。如：<0.48>=0，<3.5>=4。如果< x>=x，则x=　 　.
6． 如图，， 的角平分线 BP 交 的角平分线的反向延长线于点 P，直线 PB 交 CD 于点 N，若，则　 　.
7．如图，点A是线段BC的垂直平分线上任意一点，连接AB，AC，作AB的垂直平分线EF分别交AB、BC于点G、H，若，，则GH的长为　 　。
8．为有效提高道路通行效率，高安市公安局交警大队在我市中心城区建设了锦绣大道等6条绿波道路（通过对主干道上连续的多个路口实现信号联动控制，设定路口之间红绿灯启动时间差，车辆按照“绿波速度”通行，实现连续通过多个路口都是绿灯的效果）·如图是某绿波路段的一部分，限速60km/h，AB长1000m，路口B的每次绿灯时长为30s，小车经过路口A后，以36km/h的速度行驶1min后，B路口小车通行方向变绿灯，若小车想在这个绿灯间顺利通过B路口，则小车行驶的平均速度vkm/h的取值范围是　 　.
9．如图所示，在四边形ABCD中， ∠DAC=12°，∠CAB=36°，∠ABD=48°，∠DBC=24°，则∠ACD =　 　°。
10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　．
11．如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点D、E分别为AC、BC的中点，点F为AB边上一动点，将∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，且点G始终在直线DE的下方，连接GE，当△GDE为直角三角形时，线段AF的长为　 　.
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABOC 是正方形，点 A 的坐标为 (1， 1)，是以点 B 为圆心，BA 为半径的圆弧是以点 O 为圆心，OA1 为半径的圆弧，是以点 C 为圆心，CA2 为半径的圆弧，是以点 A 为圆心，AA3 为半径的圆弧，继续以点 B、O、C、A 为圆心按上述作法得到的曲线 ... 称为正方形的“渐开线”，那么点 A2025的坐标是　 　.
答案解析部分
1．【答案】（4，-5）
【知识点】平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵g(x，y)=(-x，-y)， f(x，y)=(x+2，y)，
∴g(-2，5)=(2，-5)，f(2，-5)=(2+2，-5)=(4，-5).
故答案为：（4，-5）.
【分析】先根据g(x，y)=(-x，-y)，计算g(-2，5)，然后根据f(x，y)=(x+2，y)进一步化简即可.
2．【答案】x＞-4
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴a=n-m，b=2n-2a-5=2m-5
将a，b的值代入不等式ax+b>-5，
整理得(n-m)x>-2m
又∵ax+b>-5的解集为，
∴n-m<0，
∴n∴n=-4m，
∴-4m∴m>0
∵不等式mx-n>0即为mx+4m>0，
∴x>-4
∴mx-n>0的解集为x>-4.
故答案为：x＞-4.
【分析】根据非负数性质列方程，得出a=n-m，b=2n-2a-5=2m-5，将a，b的值代入不等式ax+b>-5，进而求解即可.
3．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用；等积变换
【解析】【解答】解：连接AM，
∵点A（0，4），点B（-3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，OM=3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，
∵， BM=6，OA=4，AB=5，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂线段最短的应用，以及坐标与图形性质和三角形的面积公式，连接AM，由点A，点B的坐标，点M坐标为（3，0），得到OA=4，OB=3，OM=3，过M作MP⊥AB于P交OA于N，此时MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值=MP，结合三角形的面积公式，列出算式，求得PM的长，即可得到答案.
4．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；三角形的面积；分解质因数
【解析】【解答】解：∵abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，
∴abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c+8=27
∴ab(c+2)+2a(c+2)+2b(c+2)+4(c+2) =27，
∴(ab+2a+2b+4)(c+2)=27，
∴(a+2)(b+2)(c+2)=3×3×3
∵三角形的三边a，b，c都是整数，
∴a+2=3， b+2=3， c+2=3
解得a=1，b=1，c=1
∴此三角形是边长为1的三角形，
∴此三角形的面积为：
故答案为：.
【分析】首先应用因式分解的方法，把abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c因式分解，根据abc+2ab+2ac+2bc+4a+4b+4c=19，且三角形的三边a，b，c都是整数，求出a、b、c的值，然后根据三角形面积的求法，求出此三角形的面积即可.
5．【答案】0或或
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
即
解不等式①得：
解不等式②得：
则不等式组的解集为
∵x为非负实数，
∴
∴，
∵为非负整数，
∴或或
解得x=0或或
故答案为：0或或.
【分析】根据的定义可得一个关于x的一元一次不等式组，解不等式组、结合为非负整数即可得.
6．【答案】36°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：PQ交HM于点E，
由题意可知：BP平分∠ABM，CQ平分∠HCD，
∴，
∵∠HCD-2∠BNC=24°，
∴2∠DCQ-2∠BNC=24°，
即∠DCQ-∠BNC=12°
∵∠DCQ=∠BNC+∠P，
∴∠P=12°
∵AB//CD
∴∠BNC=∠ABP=∠MBP
∵∠MBP是△BPE的一个外角，
∴∠BEP=∠MBP-∠P=∠BNC-12°
∴∠HEC=∠BEP=∠BNC-12°
∵∠HCQ是△HCE的一个外角，
∴∠H-∠HCQ-∠HEC-∠DCQ-(∠BNC-12°)=∠DCQ-∠BNC+12°=12°+12°=24°
∴∠P+∠H=12°+24°=36°，
故答案为：36°.
【分析】根据角平分线的性质和∠HCD-2∠BNC=24°，可得∠DCQ-∠BNC=12°，再根据三角形的外角定理分别求出∠P，∠H，进而可求解.
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AH，
∵GH是AB的垂直平分线，
∴AG=BG， BH=AH， 而
∴
∴
∴BH：CH=1：2， 而
∴
取H关于AF的对称点K，连接AK，则AH=AK，
∵AB=AC，AF是BC的垂直平分线，
∴由轴对称的性质可得：
∴S△AHK=S△ABH=S△ACK
∴BH=HK=CK，
∴AH=HK=AK，
∴△AHK是等边三角形，
∴∠AHK=60°
∵AH=BH，
∴∠B=∠BAH=30°，而∠BGH=90°，
∴
故答案为：.
【分析】如图，连接AH，证明BH：CH=1：2，而，可得，取H关于AF的对称点K，连接AK，则AH=AK，证明△AHK是等边三角形，可得∠B=∠BAH=30°，而∠BGH=90°，进而即可求解.
8．【答案】48≤v≤60
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意可得
解得：48≤v≤60，
即小车行驶的平均速度vkm/h的取值范围是48≤v≤60，
故答案为：48≤v≤60.
【分析】根据小车想在这个绿灯间顺利通过B路口和限速60km/h得到一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案.
9．【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12° 且AP=AC，连接 PB、PD，
在△ADP和△ADC中， ∠PAD=∠CAD=12°，AP=AC， AD=AD
∴△ADP≌△ADC
∴∠APD=∠ACD
在△ABC中，∠CAB=36°， ∠ABC=72°，
∴∠ACB=72°，
∴AC=AB
∴AP=AB
∴∠PAB=∠PAD+∠DAC+∠CAB=12°+12°+36°=60°
∴△PAB 是等边三角形，∠APB=60°，PA=PB
在△DAB中，∠DAB=∠DAC+∠CAB=12°+36°=48°=∠DBA，
∴DA=DB
∵PA=PB， PD=PD，DA=DB
∴△PDA≌△PDB
∴，即∠ACD=30°
故答案为：30.
【分析】在四边形ABCD外取一点P，使∠PAD=12°且AP=AC，连接PB、PD，证明 是△ADP≌△ADC，△PDA≌△PDB，△PAB是等边三角形，进而即可求解.
10．【答案】10
【知识点】完全平方公式的几何背景；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，
∴，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴，
∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴，
∴，
∴阴影部分面积为
，
∵，，
∴，即阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质以及完全平方公式的应用，解题时需要结合图形进行分析，运用数形结合的思想方法。根据题目描述，可以得出△IJC≌△KAM（全等三角形），因此它们的面积相等，即。由此可知，图2中阴影部分的面积可以表示为：。进一步用变量a、b表示阴影部分的面积，并利用完全平方公式进行计算即可求解。
11．【答案】2或3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，
∴
∴
∵点D、E分别为AC、BC的中点
∴，DE//AB，
∴∠CDE=∠A=30°
∵∠A沿着DF折叠，点A的对应点为点G，
∴∠ADF=∠GDF， AD=DG，
当∠GDE=90°时，△GDE为直角三角形，如图1，
∴∠ADG=60°，
∴∠ADF=∠A=30°，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰三角形，
过点F作FH⊥AD交AD于点H，
∴
设HF=x
∴AF=2x
∵AF2=AH2+HF2，
∴4x2=3+x2，
解得：x=±1，
∴x=1，
∴AF=2x=2
当∠DGE=90°时，△GDE为直角三角形，如图2，
∵AD=CD=DG，DE是公共边，
∴△DCE≌△DGE(HL)，
∴∠GDE=∠CDE=30°
∴∠ADG=120°，
∴∠ADF=60°
∴∠AFD=90°.
∵，
∴，
∵AD2=AF2+DF2，
∴AF=3，
∵DG∴∠DEG不可能为直角.
综上所述，AF的长为2或3.
故答案为：2或3.
【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，求出BC，根据勾股定理，求出AC，根据三角形的中位线的性质，求出，DE//AB；分类讨论：当∠GDE=90°，△GDE为直角三角形，过点F作FH⊥AD交AD于点H，根据等腰三角形三线合一，求出AH根据勾股定理求出AF；当∠DGE=90°，△GDE为直角三角形，根据确定三角形的判定利性质，得∠GDE=∠CDE=30°，根据勾股定理，求出即可.
12．【答案】（2026，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵点坐标为(1，1)，且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得
∴A1点坐标为(2，0)
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得
∴A2点坐标为(0，-2)
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得
∴A3点坐标为(-3，1)
又∵A4为A3点绕点顺时针旋转90°所得
∴A4点坐标为(1，5)
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、n，每次增加1.
∵2025÷4=506...1
∴A2025点坐标为(2026，0)
故答案为：（2026，0）.
【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可.
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