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广东东莞市瑞风实验学校2025-2026学年九年级一模数学试卷
1．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（　　）
A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
5．下列各组图形中，一定相似的是（　　）
A．两个菱形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
6．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位
B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位
D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
7．在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）．
A． B．
C． D．
9．赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．计算：　 　．
12．比较大小：　 　（填“”“”或“”）．
13．若的值为5，则的值为　 　
14．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则　 　．
16．（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
17．已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：．
18．广州起义烈士纪念碑位于广州市，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志起义的红布带的汉阳造步枪．同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，（米，米．请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度（结果精确到1米）．
参考数据：．
19．“强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛．该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次调查活动共抽取　 　人；
（2）条形统计图中的　 　；“”等所在扇形的圆心角的度数为　 　度；
（3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
20．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若y1＜y2，直接写出x的取值范围．
21．如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
23．运用发现、探究、拓展解决下列问题．
（1）发现：如图所示，是矩形的对角线，作交于点，交于点．求证：；
（2）探究：如图，点是矩形边上一点，连接，过点作交于点，，若，探究的值；
（3）拓展：在矩形中，，，点为边上的三等分点，点和分别为直线和上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3，4，7，
∵，
∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形；
B、6，8，15，
∵，
∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形；
C、5，12，13，
∵，
∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形；
D、5，5，11，
∵，
∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形．
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，然后对各个选项进行逐一分析，即可求解。
3．【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，错误，不符合题意；
B.，错误，不符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据，，再结合合并同类项、分式的加减运算、幂的乘方对选项逐一运算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A：任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误，不符合题意；
B：两个等腰三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，故B错误，不符合题意；
C：两个等边三角形的对应角相等，一定相似，C正确，符合题意
D：任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，故D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似图形的判定定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线可化为
∴其顶点坐标为(2， 1)，
-2-2=-4，4-（-1）=5，
∴若使其平移后的顶点为( 2，4)，则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】本题先将抛物线化为顶点式，从而确定顶点坐标为(2， 1)，然后根据函数图象平移的法则，并计算出2到-2需要向左平移4个单位、-1到4需要向上平移5个单位，从而得出答案。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形的内角和得到，进而根据线段垂直平分线的性质得，即可根据等腰三角形的性质得到，再由即可求得的大小 .
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式组得，
表示在数轴上为：
故答案为：B。
【分析】先对每个不等式进行求解，然后再根据“等号用实心，大于号或小于号用空心”，然后再在数轴上将各个不等式的解集标示出来即可。
9．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，
由题意得，，
故答案为：A。
【分析】设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间=路程÷速度，分别求出两队的速度，然后再根据“A队比B队提前了25秒到达终点”，据此即可建立方程。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，，
对称轴为直线
，，
故①正确；
，，
，
故
故②错误；
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为；
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为；
时，；
将代入中，则
故③正确；
由函数图象可知，当当时，，故④正确；
故正确的个数为：个
故选：C
【分析】根据二次函数开口向上，所以，与轴交于负半轴，所以，根据对称轴为直线可得，所以①正确；，，所以，所以②错误；由对称性可以求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，把带入到中，即可得到，所以③正确；由函数图象可知，当时，的图像在x轴的下方，所以，故④正确．
11．【答案】5
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】根据负整数指数幂的运算法则，对式子进行运算即可。
12．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： ，，，
，
故答案为：。
【分析】根据两个负数比较大小的方法：绝对值大的反而小，据此即可求解。
13．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：。
【分析】先对式子 进行变形：，然后再将代入上述式子中，即可求解。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据“二次函数与x轴有两个不相同的交点”可知， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，然后再根据一元二次方程的判别式公式：，代入数据即可求解。
15．【答案】72
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
作，
，且，
，
由勾股定理可得：，
轴，点的坐标为，
，，
点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为，
平移后点、在反比例函数图象上，
，解得：，
平移后点的坐标为，
．
故答案为：72
【分析】作，根据等腰三角形的性质，结合相等，等于5，等于，即可得
等于4，根据勾股定理得等于3，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移得坐标变为，点坐标变为，即可得答案.
16．【答案】（1）
，
故答案为-4；
（2）
，
把代入，得．
故答案为.
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
17．【答案】证明：如图，
在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得相等，平行，根据相等，得相等，再根据平行，即可得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得平行.
18．【答案】解：延长交点所在水平线于点，可得，
设的长为，
在中，，
，
在中，，
，
，
∴，解得，
，
米．
答：广州起义烈士纪念碑的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交点所在水平线于点，可得，设的长为，在和中，利用正切的定义求出和长，再根据列方程求出x的值，即可求得AB的长，进而根据AF=AB+BF即可求得的长，即求得广州起义烈士纪念碑的高度 ．
19．【答案】（1）50
（2）7；108
（3）解：A等级的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示
（4）解：树状图如下：
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（1）（人）；
故答案为：50；
（2），
“”等所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：7；
【分析】（1）由条形统计图可得出B等级的人数为16；扇形统计图知B等级所占百分比为32，进而可得出这次调查活动共抽取人数为（人）；
（2）根据（1）中求得的结果，乘以D级所占的比例14%，即可求出m的值； 用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
20．【答案】（1）解：∵点A（1，8）在反比例函数 上，
将点A代入反比例函数，得k1＝1×8＝8，
∴．
∵点B（-4，m）在反比例函数上，
将点B代入，得-4m＝8．
∴m＝-2．
∴B（-4，-2）．
∵点A（1，8）、B（-4，-2）在一次函数y2＝k2x+b的图象上，
∴ ，
解得： ．
∴y2＝2x+6．
（2）解：设直线AB与y轴交于点C，如图，
由直线AB： y2＝2x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6）．
∴OC＝6．
过点A作AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，
∵A（1，8），B（-4，-2），
∴AF＝1，BE＝4．
∴=15
答：△AOB的面积是15．
（3）-4＜x＜0或x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可知，点A右侧的部分和点B与点C之间的部分y1＜y2，
∴若y1＜y2，x的取值范围为：-4＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）先利用待定系数法求出，再利用待定系数法求出B点坐标，最后再次利用待定系数法列出二元一次方程，求出k2和b，即可得出答案；
（2）先利用直线AB解析式求得点C（0，6），即可得出OC＝6，再结合条件和图中信息求出AF＝1，BE＝4，最后用△AOC，△OCD和△OBD的面积之和表示△AOB的面积，列示计算即可得出答案；
（3）利用图象即可确定出x的取值范围．
21．【答案】（1）证明：如图所示，连结，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，
，
∴，
∴，
在中，，，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据“同弧对应的圆周角相等”可以得到，然后根据AB是的直径得到，由此即可证明；
（2）在中，利用三角函数计算公式可以计算出x的值，此时即可计算出，在中，解直角三角形即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，，
，
在中，，，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为，则，
在中，，，，
．
22．【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
23．【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2，
∵，，
∴可设，，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
（3）解：如图3
　　　　图3
作于点，则，
∵在矩形中，，，
∴四边形为矩形，
∴，
根据题意可知，点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为边上的三等分点，
当时，，
当时，，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得相等，再根据直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可推出相等，再根据相似三角形得判定定理得相似即可.
（2）根据已知可设，，，根据矩形的性质得相等，再根据直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可推出相等，再根据相似三角形得判定定理得相似，根据相似性质得相等，即可列方程，解出，即可得的值.
（3）作于点，则等于，根据四边形是矩形得四边形为矩形，即可得，根据已知得点和点关于直线对称，即可得，进一步推出相等，即可证明相似，即可得，再根据，点为边上的三等分点，即可得当时，，同理得当时，，综合即可得答案.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
设，，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（与矛盾，舍去），
∴．
（3）解：作于点，则，
∵在矩形中，，，
∴四边形为矩形，
∴，
根据题意可知，点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为边上的三等分点，
当时，，
当时，，
综上所述：或．
1 / 1广东东莞市瑞风实验学校2025-2026学年九年级一模数学试卷
1．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形据此逐一判断得出答案.
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（　　）
A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、3，4，7，
∵，
∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形；
B、6，8，15，
∵，
∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形；
C、5，12，13，
∵，
∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形；
D、5，5，11，
∵，
∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形．
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，然后对各个选项进行逐一分析，即可求解。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A.，错误，不符合题意；
B.，错误，不符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据，，再结合合并同类项、分式的加减运算、幂的乘方对选项逐一运算即可求解。
4．如图，在中，边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF.
故答案为：B．
【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。
5．下列各组图形中，一定相似的是（　　）
A．两个菱形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个矩形
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A：任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，故A错误，不符合题意；
B：两个等腰三角形的对应角不一定相等，故不一定相似，故B错误，不符合题意；
C：两个等边三角形的对应角相等，一定相似，C正确，符合题意
D：任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，故D错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似图形的判定定理即可求出答案.
6．将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（　　）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位
B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位
D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线可化为
∴其顶点坐标为(2， 1)，
-2-2=-4，4-（-1）=5，
∴若使其平移后的顶点为( 2，4)，则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故答案为：C.
【分析】本题先将抛物线化为顶点式，从而确定顶点坐标为(2， 1)，然后根据函数图象平移的法则，并计算出2到-2需要向左平移4个单位、-1到4需要向上平移5个单位，从而得出答案。
7．在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在三角形ABC中，，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形的内角和得到，进而根据线段垂直平分线的性质得，即可根据等腰三角形的性质得到，再由即可求得的大小 .
8．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式组得，
表示在数轴上为：
故答案为：B。
【分析】先对每个不等式进行求解，然后再根据“等号用实心，大于号或小于号用空心”，然后再在数轴上将各个不等式的解集标示出来即可。
9．赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，
由题意得，，
故答案为：A。
【分析】设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间=路程÷速度，分别求出两队的速度，然后再根据“A队比B队提前了25秒到达终点”，据此即可建立方程。
10．如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，，
对称轴为直线
，，
故①正确；
，，
，
故
故②错误；
二次函数的图象与轴的一个交点坐标为；
二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为；
时，；
将代入中，则
故③正确；
由函数图象可知，当当时，，故④正确；
故正确的个数为：个
故选：C
【分析】根据二次函数开口向上，所以，与轴交于负半轴，所以，根据对称轴为直线可得，所以①正确；，，所以，所以②错误；由对称性可以求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，把带入到中，即可得到，所以③正确；由函数图象可知，当时，的图像在x轴的下方，所以，故④正确．
11．计算：　 　．
【答案】5
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】根据负整数指数幂的运算法则，对式子进行运算即可。
12．比较大小：　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解： ，，，
，
故答案为：。
【分析】根据两个负数比较大小的方法：绝对值大的反而小，据此即可求解。
13．若的值为5，则的值为　 　
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：。
【分析】先对式子 进行变形：，然后再将代入上述式子中，即可求解。
14．已知抛物线与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据“二次函数与x轴有两个不相同的交点”可知， 关于x的方程有两个不相等的实数根 ，然后再根据一元二次方程的判别式公式：，代入数据即可求解。
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则　 　．
【答案】72
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
作，
，且，
，
由勾股定理可得：，
轴，点的坐标为，
，，
点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为，
平移后点、在反比例函数图象上，
，解得：，
平移后点的坐标为，
．
故答案为：72
【分析】作，根据等腰三角形的性质，结合相等，等于5，等于，即可得
等于4，根据勾股定理得等于3，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移得坐标变为，点坐标变为，即可得答案.
16．（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
，
故答案为-4；
（2）
，
把代入，得．
故答案为.
【知识点】负整数指数幂；分母有理化；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先化简乘方、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，化简得，把代入进行计算，即可作答．
17．已知：如图，在平行四边形中，点分别在和上，且．求证：．
【答案】证明：如图，
在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得相等，平行，根据相等，得相等，再根据平行，即可得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得平行.
18．广州起义烈士纪念碑位于广州市，它由底部雕塑和顶部雕塑组成，顶部雕塑的造型是手臂紧握系着标志起义的红布带的汉阳造步枪．同学们来到广州起义烈士陵园，了解广州起义的相关历史背景并用无人机收集到以下数据：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示顶部雕塑的高度，点E为点A正上方一点，（米，米．请根据上述数据，计算广州起义烈士纪念碑的高度（结果精确到1米）．
参考数据：．
【答案】解：延长交点所在水平线于点，可得，
设的长为，
在中，，
，
在中，，
，
，
∴，解得，
，
米．
答：广州起义烈士纪念碑的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交点所在水平线于点，可得，设的长为，在和中，利用正切的定义求出和长，再根据列方程求出x的值，即可求得AB的长，进而根据AF=AB+BF即可求得的长，即求得广州起义烈士纪念碑的高度 ．
19．“强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛．该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次调查活动共抽取　 　人；
（2）条形统计图中的　 　；“”等所在扇形的圆心角的度数为　 　度；
（3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）50
（2）7；108
（3）解：A等级的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示
（4）解：树状图如下：
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：（1）（人）；
故答案为：50；
（2），
“”等所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：7；
【分析】（1）由条形统计图可得出B等级的人数为16；扇形统计图知B等级所占百分比为32，进而可得出这次调查活动共抽取人数为（人）；
（2）根据（1）中求得的结果，乘以D级所占的比例14%，即可求出m的值； 用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
20．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若y1＜y2，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵点A（1，8）在反比例函数 上，
将点A代入反比例函数，得k1＝1×8＝8，
∴．
∵点B（-4，m）在反比例函数上，
将点B代入，得-4m＝8．
∴m＝-2．
∴B（-4，-2）．
∵点A（1，8）、B（-4，-2）在一次函数y2＝k2x+b的图象上，
∴ ，
解得： ．
∴y2＝2x+6．
（2）解：设直线AB与y轴交于点C，如图，
由直线AB： y2＝2x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6）．
∴OC＝6．
过点A作AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，
∵A（1，8），B（-4，-2），
∴AF＝1，BE＝4．
∴=15
答：△AOB的面积是15．
（3）-4＜x＜0或x＞1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可知，点A右侧的部分和点B与点C之间的部分y1＜y2，
∴若y1＜y2，x的取值范围为：-4＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）先利用待定系数法求出，再利用待定系数法求出B点坐标，最后再次利用待定系数法列出二元一次方程，求出k2和b，即可得出答案；
（2）先利用直线AB解析式求得点C（0，6），即可得出OC＝6，再结合条件和图中信息求出AF＝1，BE＝4，最后用△AOC，△OCD和△OBD的面积之和表示△AOB的面积，列示计算即可得出答案；
（3）利用图象即可确定出x的取值范围．
21．如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连结，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，
，
∴，
∴，
在中，，，，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据“同弧对应的圆周角相等”可以得到，然后根据AB是的直径得到，由此即可证明；
（2）在中，利用三角函数计算公式可以计算出x的值，此时即可计算出，在中，解直角三角形即可求解．
（1）证明：连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：设半径为，则，
，，
，
在中，，，
，即，
解得，
经检验，是所列方程的解，
半径为，则，
在中，，，，
．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
23．运用发现、探究、拓展解决下列问题．
（1）发现：如图所示，是矩形的对角线，作交于点，交于点．求证：；
（2）探究：如图，点是矩形边上一点，连接，过点作交于点，，若，探究的值；
（3）拓展：在矩形中，，，点为边上的三等分点，点和分别为直线和上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，求的值．
【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图2，
∵，，
∴可设，，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
（3）解：如图3
　　　　图3
作于点，则，
∵在矩形中，，，
∴四边形为矩形，
∴，
根据题意可知，点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为边上的三等分点，
当时，，
当时，，
综上所述：或．
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得相等，再根据直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可推出相等，再根据相似三角形得判定定理得相似即可.
（2）根据已知可设，，，根据矩形的性质得相等，再根据直角三角形的两个锐角互余，结合同角的余角相等，可推出相等，再根据相似三角形得判定定理得相似，根据相似性质得相等，即可列方程，解出，即可得的值.
（3）作于点，则等于，根据四边形是矩形得四边形为矩形，即可得，根据已知得点和点关于直线对称，即可得，进一步推出相等，即可证明相似，即可得，再根据，点为边上的三等分点，即可得当时，，同理得当时，，综合即可得答案.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵交于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
设，，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（与矛盾，舍去），
∴．
（3）解：作于点，则，
∵在矩形中，，，
∴四边形为矩形，
∴，
根据题意可知，点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点为边上的三等分点，
当时，，
当时，，
综上所述：或．
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