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九下数学第10周《复杂新定义问题探究》
复杂条件如何处理？
1.尝试把长长的文字描述转化为文字+符号表示
2.后面的每小题再把其中的字母进行“替换”
3.画图探索，任找一个符合条件的点，找出一般状态，然后再找临界位置
1．购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．我们把西瓜都看成球形，半径是R，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d．已知球的体积公式为VπR3（其中R为球的半径）．
（1）西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
（2）买大西瓜划算还是买小西瓜划算？
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 　 　 ．
3．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 　 　 ．
4．定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　 　 ．
四．点与圆的位置关系（共1小题）
5．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
6．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　 　 ；
（2）若双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　 　 ．
7．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点P（x，y）和给定的正整数n，如果满足|x|+ny＝n（y≥0），则把点P（x，y）称作“n﹣精致点”．
（1）P（x，y）是“n﹣精致点”，当n＝1，时，y＝ 　 　 ；
（2）在第一象限内，当n＝4时，
①设“4﹣精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 　 　 ；
②如图直线l经过（5，0）和（0，﹣5），求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“4﹣精致点”．如果有，请求出其“4﹣精致点”的坐标，如果没有，请说明理由；
（3）若直线y＝2x+b上存在“4﹣精致点”，请直接写出实数b的取值范围．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝　 　 °；②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　 　 ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　 　 ．
9．（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　 　 ．
（2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化．
①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围．
②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　 　．
10．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）．
抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 　 　 ．
11．已知二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1．
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足23，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围．
12．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC，点P在线段OA的垂直平分线上，对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点．
（1）如图1，点A在y轴上，B（2，0），C（8，0），在P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）中，是点A关于线段BC的90度等腰点的是　 　 ；
（2）如图2，D（﹣3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点，求m的取值范围；
（3）如图3，点M（0，3），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）．
14．如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．
（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．
①若AD＝1，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 　 　 ．
15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长．
已知，在菱形ABCD中，AB＝k，E是CD的中点，连接AE，BE．
（1）如图1，若∠D＝120°，k＝10，求折中线AEB中较长的AE；
（2）如图2，若∠C＝∠AEB，请探究折中线AEB的长与k之间的数量关系式，并说明理由；
（3）若k＝10，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长．
16．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P的弦AB（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦AB所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线QM、QN与⊙P相切，则称点Q是⊙P关于AB的“近切点”．已知A（﹣2，0），B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）．
（1）若⊙O的半径为2，
①在点P1（﹣3，0），P2（﹣2，1），，中，⊙O关于AB的“近切点”是　 　 ；
②直线l经过点（4，0），且与x轴垂直，点C在⊙O上．若直线l上存在⊙O关于BC的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围；
（2）若存在半径为3的⊙T，使得对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为t的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”，直接写出t的取值范围．
17．定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图（1），△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为．
（1）在△OAB中，下列说法：
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是　 　 ．
（2）C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，B是⊙O上任意点．
①如图（2），点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线．
②如图（3），已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”．
（1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0．
①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”；
②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围；
（2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）．
19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x 2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
20．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ 　 　 ，　 　 ）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为 　 　 cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．
21．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　 ；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
∴△BDE∽△ADC，
∴，
∵AC＝4，CD＝1，
∴4DE＝BE，
∵∠BAD＝45°，∠DEB＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，即AE＝BE＝4DE，
∴AD＝3DE，
∵在Rt△ACD中，AD，
∴DE，
∴BE＝4DE，
∵∠DEB＝90°，
∴BD，
∴BC，
∴S△ABCAC BC，
故答案为：．
3．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 　4或2　 ．
【解答】解：∵△ABC是“倍角三角形”，
∴分四种情况：
当∠A＝2∠B＝90°时，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴AB＝AC2，
∴△ABC的面积AB AC224；
当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4；
当∠B＝2∠C时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝2∠C，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∵BC＝4，
∴ABBC＝2，ACAB＝2，
∴△ABC的面积AB AC2×22；
当∠C＝2∠B时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠C＝60°，
∵BC＝4，
∴ACBC＝2，ABAC＝2，
∴△ABC的面积AB AC22＝2；
综上所述：△ABC的面积为4或2，
故答案为：4或2．
三．含30度角的直角三角形（共1小题）
4．定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thiA，即：．如图，若∠A＝45°，则thiA的值为 　　 ．
【解答】解：作BH⊥AC于H，
设BH＝x，
∵∠A＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴ABBHx，
∵∠C＝30°，
∴BC＝2BH＝2x，
∴thiA．
故答案为：．
四．点与圆的位置关系（共1小题）
5．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【解答】解：设OA交⊙O于C，连接B′C，如图2，
∵OA′ OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′ OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′，
∴A′B′＝4sin60°＝2．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
6．定义：若x，y满足x2＝4y+t，y2＝4x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”．
（1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　﹣7　 ；
（2）若双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，则k的取值范围 　3＜k＜4　 ．
【解答】解：（1）∵P（3，m）是“和谐点”，
∴，
消去t得到m2+4m﹣21＝0，
解得m＝﹣7或3，
∵x≠y，
∴m＝﹣7；
故答案为：﹣7；
（2）∵双曲线y（﹣3＜x＜﹣1）存在“和谐点”，
∴，
①﹣②得（x）（x）＝﹣4（x），
∴（x）（x4）＝0，
∵x≠y，
∴x4＝0，
整理得k＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，
∵﹣3＜x＜﹣1，且x≠﹣2，
∴3＜k＜4．
故答案为：3＜k＜4．
六．一次函数综合题（共2小题）
7．在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点P（x，y）和给定的正整数n，如果满足|x|+ny＝n（y≥0），则把点P（x，y）称作“n﹣精致点”．
（1）P（x，y）是“n﹣精致点”，当n＝1，时，y＝ 　　 ；
（2）在第一象限内，当n＝4时，
①设“4﹣精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 　1x ；
②如图直线l经过（5，0）和（0，﹣5），求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“4﹣精致点”．如果有，请求出其“4﹣精致点”的坐标，如果没有，请说明理由；
（3）若直线y＝2x+b上存在“4﹣精致点”，请直接写出实数b的取值范围．
【解答】解：（1）∵n＝1，
∴|x|+y＝1，
当x时，y，
故答案为：；
（2）①当n＝4时，
∴|x|+4y＝4，
∵点P在第一象限，
∴x＞0，
∴x+4y＝4，
即y＝1x，
故答案为：1x；
②设直线l的表达式为 y＝kx+b，
∵直线l经过（5，0）和（0，﹣5），
∴，
解得，
直线l的表达式为 y＝x﹣5；
结论：该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”，
法1：由题意得|x|+ny＝n 在第一象限内有“4﹣精致点”，
可化为，
联立，
解得，
此时交点（，）不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”；
法2：如图，直线l与|x|+4y＝4（y≥0）的图象在第一象限没有交点，
即该直线在第一象限内不存在“4﹣精致点”；
（3）∵P在y＝2x+b上，
∴设P（m，2m+b），
∵点P是“4﹣精致点”，
∴，
①当m＜0时，
﹣m+8m+4b＝4，
∴m，
∴2m+bb≥0，
解得b≤8；
②当m≥0时，
m+8m+4b＝4，
∴m，
∴2m+bb≥0，
解得b≥﹣8；
综上，﹣8≤b≤8．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线l过原点且经过第三、第一象限，l与x轴所夹锐角为n°．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为Q，若点Q的纵坐标为正数，且△MNQ为等边三角形，则称点P为M，N的n°点．
（1）如图1，若点M（2，0），N（4，0），点P为M，N的45°点，连接OP，OQ．
①∠POQ＝　30　 °；
②求点P的纵坐标；
（2）已知点M（m，0），N（m+t，0）．
①当t＝2时，点P为M，N的60°点，且点P的横坐标为﹣2，则m＝　6　 ；
②当m＝﹣2时，点P为M，N的30°点，且点P的横坐标为2，则t＝　3或﹣6　 ．
【解答】解：（1）①如图1，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，
∵M（2，0），N（4，0），
∴MN＝2，OM＝2，
∵△MNQ为等边三角形，QE⊥MN，
∴QM＝MN＝2，MEMN＝1，∠QMN＝60°，
∴QE，OE＝OM+ME＝2+1＝3，
∵OM＝QM，
∴∠QOM＝∠OQM＝30°，
∵点P为M，N的45°点，
∴l与x轴所夹锐角为45°，
∵点P关于直线l的对称点为Q，
∴∠POQ＝2×（45°﹣30°）＝30°，OP＝OQ，∠POF＝∠QOE＝30°，
故答案为：30．
②在△POF和△QOE中，
，
∴△POF≌△QOE（AAS），
∴OF＝OE＝3，PF＝QE，
∴P（，3）；
（2）①∵M（m，0），N（m+t，0），
∴MN＝m+t﹣m＝t，
∴当t＝2时，MN＝2，
如图2，过点Q作QE⊥x轴于E，过点P作PF⊥y轴于F，作PK∥y轴交直线l于K，交x轴于T，连接KQ交x轴于W，连接PQ交直线l于L，
∵点P为M，N的60°点，
∴QE，OE＝m+1，OP＝OQ，∠KOT＝∠LOM＝60°，
∴∠PKO＝30°，
∵P、Q关于直线l对称，
∴PQ⊥l，PK＝QK，∠QKL＝∠PKL＝30°，
∴OK＝4，
∵∠OWK＝∠KOT﹣∠QKL＝60°﹣30°＝30°，
∴∠OWK＝∠QKL，
∴OW＝OK＝4，
∴WE＝OE﹣OW＝m+1﹣4＝m﹣3，
在Rt△WQE中，∵∠QWE＝∠OWK＝30°，QE⊥MN，
∴WQ＝2QE＝2，
∴WE3，
∴m﹣3＝3，
∴m＝6，
故答案为：6．
②∵m＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
如图，分两种情况：当t＞0时，点N1在点M的右侧，
∵x＝2与l的夹角为60°，
∴x＝2关于l的对称线和l的夹角也为60°，
∴∠HTK＝60°，
∴△TOK是等腰三角形，
∴HK＝OH＝2，
∴∠Q1KM＝30°，
∵∠Q1MK＝60°，
∴Q1M⊥Q1K，
∴MK＝2Q1M，即6＝2t，
∴t＝3；
当t＜0时，点N2在点M的左侧，
同理可得：KN2＝2Q2N2，即6﹣t＝﹣2t，
∴t＝﹣6；
综上所述，t＝3或﹣6，
故答案为：3或﹣6．
七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
9．（1）将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与y轴交点的纵坐标是　﹣2　 ．
（2）平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上．设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m，与y轴交点的纵坐标为n，n随m的变化而变化．
①若k＝2，当0≤m≤3时，求n的取值范围．
②设函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，点P在线段AB上．当k取不同值时，下列关于n的变化趋势的描述：（a）n随m的增大而增大；（b）n随m的增大而减小；（c）n随m的增大先增大后减小；（d）n随m的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是　（a）（b）　 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．
【解答】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数y＝﹣x2+2的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
令x＝0，则y＝﹣2，即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．
故答案为：﹣2；
（2）∵平移函数y＝﹣x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y＝kx+2的图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m
则平移后的得到为（m，km+2），
∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣m）2+km+2，
当x＝0时，与y轴交点的纵坐标n＝﹣m2+km+2，
①若k＝2，则n＝﹣m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3，
∴n是关于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线m＝1，
∵m＝3时，n＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，m＝1时，n＝3，
∴当0≤m≤3时，n的取值范围是﹣1≤n≤3；
②∵函数y＝kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，
∴A（，0），B（0，2），
∴当k＜0时，0≤m，
∵n＝﹣m2+km+2，
∴对称轴为直线m0，
∴当m时，n随m的增大而减小，
∵m≥0，
∴n随m的增大而减小，
当k＞0时，m≤0，
∵n＝﹣m2+km+2，
∴对称轴为直线m0，
∵m≤0，
∴n随m的增大而增大，
故可能的序号是（a）（b）．
故答案为：（a）（b）．
八．抛物线与x轴的交点（共1小题）
10．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x＜0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣x，y）；当x≥0时，点P的变换点P'的坐标为（﹣y，x）．
抛物线y＝（x﹣2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上．若点P的变换点P'在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，则满足该条件所有n值的和为 　﹣13　 ．
【解答】解：∵四边形ECP'D是菱形，
∴点E与点P'关于x轴对称．
∵点E的坐标为（2，n），
∴点P'的坐标为（2，﹣n）．
当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（﹣2，﹣n）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣n＝（﹣2﹣2）2+n．
n＝﹣8．
当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（﹣n，﹣2）．
代入y＝（x﹣2）2+n，得﹣2＝（﹣n﹣2）2+n．n1＝﹣2，n2＝﹣3．
综上所述，n的值是n＝﹣8，n＝﹣2，n＝﹣3．
﹣8﹣2﹣3＝﹣13
故答案为：﹣13．
九．二次函数综合题（共2小题）
11．已知二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1．
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足23，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1．
∴当y＝0时，mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0．
∴a＝m，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣1，
∴Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m，
∴Δ＝（m+1）2≥0，
∴这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1，
∴y＝m（x）2m﹣1，
∴x时，y的最大值为m﹣1．
∵这个二次函数有最大值为0，
∴m﹣1＝0．
解得：m＝﹣1．
答：二次函数有最大值为0时，m的值为﹣1；
（3）∵y＝mx2﹣（m﹣1）x﹣1，
∴当y＝0时，
mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0，
∴x＝1或
由题意：2＜﹣m＜3或23
解得：﹣3＜m＜﹣2或m．
综上所述，m的取值范围为：m或﹣3＜m＜﹣2．
12．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2或a＝2（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a或a（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2或．
十．三角形综合题（共2小题）
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC，点P在线段OA的垂直平分线上，对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关于线段BC的k度等腰点．
（1）如图1，点A在y轴上，B（2，0），C（8，0），在P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）中，是点A关于线段BC的90度等腰点的是P2，P3 ；
（2）如图2，D（﹣3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点，求m的取值范围；
（3）如图3，点M（0，3），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）．
【解答】解：（1）∵B（2，0），C（8，0），
∴线段BC的对称轴为直线，
设对称轴与x轴的交点为Q，
∴点B，点C到对称轴的距离为QC＝QB＝3，
∵点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，
∴点P在对称轴直线x＝5上，点P1（5，4），P2（5，3），P3（5，2）都在对称轴直线x＝5上，
如图，
当QP＝3时，QP＝QC＝QB＝3，
此时△PBC是等腰直角三角形，且∠BPC＝90°，这时点P的坐标为（5，3），恰好是P2（5，3），符合题意；
点P3（5，2）在P2（5，3）下方，连接P3B，P3C．
∵∠BP3Q＞∠BP2Q，∠CP3Q＞∠CP2Q，
∴∠BP3Q+∠CP3Q＞∠BP2Q+∠CP2Q，
∴∠BP3C＞∠BP2C，即∠BP3C＞90°，
故P3（5，2），也符合题意；
点P1（5，4）在P2（5，3）上方，连接P1B，P1C，
∵∠BP1Q＜∠BP2Q，∠CP1Q＜∠CP2Q，
∴∠BP1Q+∠CP1Q＜∠BP2Q+∠CP2Q，即∠BP1C＜∠BP2C，
∴∠BP1C＜90°，
故P1（5，4），不符合题意；
故答案为：P2，P3；
（2）设OD的中点为T，过点D作DM⊥x轴于点M，
∵O（0，0），D（﹣3，3），
∴，TO＝TD，MO＝MD＝3，M（﹣3，0），
∴直线TM为线段OD的垂直平分线，
设直线TM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线TM的解析式为y＝x+3，
∴点D关于线段EF的9O度等腰点在直线y＝x+3上，
∵E（m，0），F（m+2，0），
设EF的对称轴与x轴的交点为G，
∴EF＝2，EF的垂直平分线为直线x＝m+1，
∴点E，点F到对称轴的距离为GE＝GF＝1，
∵点P使得△PEF是以EF为底边的等腰三角形，且点D关于线段EF的90度等腰点，
∴点D关于线段EF的90度等腰点在对称轴直线x＝m+1上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角，
∴点P1（m+1，1），P2（m+1，﹣1）都是等腰点的直角点，
∴1＝m+1+3或﹣1＝m+1+3，
解得m＝﹣3或m＝﹣5，
∴等腰点在点P1（﹣2，1）下方，在P2（﹣4，﹣1）上方，包括这两点，
∴m的取值范围为﹣5≤m≤﹣3，
∵m+1＝﹣3时，E，等腰点，F三点共线，
∴m＝﹣4，此时不符合题意，
∴m的取值范围为﹣5≤m≤﹣3且m≠﹣4；
（3）当点N与原点重合时，如图，以NH为边构造等边三角形△CNH，过点C作CG⊥y轴于点G，
∵点M（0，3），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，
∴OM＝3，MH＝2OM＝6，，
过点C作CF⊥x轴于点F，
则，
∴，四边形CGNF是矩形，
∴，
∵点T为y轴上的动点，存在点T关于线段NH的60度等腰点，
∴NG是OT的一半，
∴T（0，9），
当N（0，n）向上平移9个单位时，此时N（0，n+9）；
当N（0，n）向下平移9个单位时，此时N（0，n﹣9）；
根据定义得﹣9+n≤t≤9+n，
当t＝n时，T，N，H三点共线，不符合题意，故t≠n，
∴9+n≤t≤9+n且t≠n．
14．如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．
（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．
①若AD＝1，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是 　AD　 ．
【解答】（1）①证明：∵∠BDP+∠BPC＝180°，∠BDP＝∠BAC+∠APD，
∴∠BAC+∠APD+∠BPC＝180°，
∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BPD＝∠BAC，
∴点P是点D的“和谐点”；
②解：以B为圆心，BP为半径作弧交AC于点Q，点Q即为所求，如图：
连接BQ，
∵∠BDP＝∠BAC+∠APD，∠BPD＝∠BAC，
∴∠BDP＝∠BPD+∠APD，
∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠BDP+∠BPC＝180°，
∵BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQP，
∴∠BDP+∠BQP＝180°，
∴B、Q、P、D四点共圆，
∴∠BPD＝∠DQB，
∵∠BPD＝∠BAC，
∴∠DQB＝∠BAC，
∴Q也是点D的“和谐点”；
（2）解：①∵∠BPD＝∠BAP，∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴，，
∴BP，
∵C（2，4），
∴直线AC的表达式为：y＝2x，
设点P的坐标为（x，2x），
∵点B（6，0），
∴（x﹣6）2+（2x）2＝30，
∴5x2﹣12x+6＝0，
∴x1，x2，
∴P（，）或（，）；
②当点P与点C重合时，△BDP的外接圆与线段AC恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：
∵点B（6，0），C（2，4），
∴BC4，
由①知△PBD∽△ABP，
∴，即，
∴BD，
∴AD＝AB﹣BD＝6；
当△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图：
此时△BDP的外接圆与线段AC相切，则AP⊥PB，且PB为直径，
∴∠PDB＝90°，
∵点P的坐标为（x，2x），
∴AD＝x，PD＝2x，BD＝AB﹣AD＝6﹣x，
∵∠PAD+∠PBD＝90°，∠PAD+∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠PBD，
∵∠ADP＝∠PDB＝90°，
∴△ADP∽△PDB，
∴，
∴PD2＝AD DB，即（2x）2＝x（6﹣x），
∴x，
∴AD；
综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是AD，
故答案为：AD．
十一．四边形综合题（共1小题）
15．定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE，BE，则折线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长．
已知，在菱形ABCD中，AB＝k，E是CD的中点，连接AE，BE．
（1）如图1，若∠D＝120°，k＝10，求折中线AEB中较长的AE；
（2）如图2，若∠C＝∠AEB，请探究折中线AEB的长与k之间的数量关系式，并说明理由；
（3）若k＝10，且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，AB＝BC＝CD＝10，AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△DBC为等边三角形，
∵E是CD的中点，
∴EB⊥CD，DE＝CE＝5，
∴∠BEC＝90°，
∴，
∵DC∥AB，
∴∠ABE＝∠BEC＝90°，
∴；
（2）折中线AEB的长，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，AB＝BC＝CD＝k，
∴∠CEB＝∠ABE，
∵∠C＝∠AEB，
∴△AEB∽△BCE，
∴，
∵E是CD的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴折中线AEB的长；
（3）由已知得折中线AEB中的AE或BE只能与菱形ABCD中较短的对角线相等，
当BE＝BD时，如图，过点B作BG⊥CD于点G，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，
，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝10，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE＝5，
∵BG⊥CD，BE＝BD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴BG⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴四边形BFEG为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴此时折中线AEB的长；
当BE＝AC时，如图，过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，连接AC交BE于点O，
，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴CF＝BE＝AC，CF∥BE，
∴∠CAF＝∠F，∠ABE＝∠F，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵AB＝BC，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴△ABO∽△ACB，
∴，
∴AC AO＝AB2＝100，
∵CD∥BF，
∴△ABO∽△CEO
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB＝AB，∠CAF＝∠ABE，AC＝BE，
∴△ABE≌△BAC（SAS），
∴∠BAE＝∠ABC，
∵AB＝BC，∠ABC＝∠D，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠D，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠AED＝∠D，
∴AE＝AD＝10，
∴折中线AEB的长，
综上所述，折中线AEB的长为或．
十二．圆柱的计算
十三．圆的综合题（共2小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙P的弦AB（非直径）和圆外一点Q，给出如下定义：若弦AB所对的劣弧上存在两点M、N（且不与A、B重合），使直线QM、QN与⊙P相切，则称点Q是⊙P关于AB的“近切点”．已知A（﹣2，0），B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）．
（1）若⊙O的半径为2，
①在点P1（﹣3，0），P2（﹣2，1），，中，⊙O关于AB的“近切点”是P4 ；
②直线l经过点（4，0），且与x轴垂直，点C在⊙O上．若直线l上存在⊙O关于BC的“近切点”，记点C的纵坐标为m，直接写出m的取值范围；
（2）若存在半径为3的⊙T，使得对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为t的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”，直接写出t的取值范围．
【解答】解：（1）①如图所示，取点G（﹣2，2），连接AG，BG，
∵A（﹣2，0），B（0，2），G（﹣2，2），
∴GA⊥OA，GB⊥OB，
∴GA，GB都是⊙O的切线，由“近切点”的定义可知，线段GA，GB与劣弧AB组成的区域（不包括边界）内的点都是⊙O关于AB的“近切点”，
∴由图可知，只有点是⊙O关于AB的“近切点”；
故答案为：P4；
②设RB，RC分别是⊙O的切线，由切线的性质可得OB⊥BR，
∴点R在过点B且垂直于y轴的直线上；
由（1）①可知线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）内的点都是⊙O关于BC的“近切点”，
∴当直线上存在⊙O关于BC的“近切点”时，线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）与直线l有交点；
如图2﹣1所示，当点R恰好在直线l上时，
∵直线经过点（4，0），且与x轴垂直，
∴点P的横坐标为4，
∴BR＝4，
∵B（0，2），
∴点R的纵坐标为2，
∴R（4，2），
由切线长定理可得CR＝BR＝4；
设C（x1，y1），
∵OC＝OB＝2，CR＝BR＝4，
∴，
解得或，
∴；
如图2﹣2所示，当点R在直线l右侧时，此时线段RB，RC和劣弧BC组成的区域（不包括边界）与直线l一定有交点，
∴此时满足题意，即时满足题意，
又∵“近切点”在劣弧BC上，
∴m＞﹣2，
∴；
（2）如图3﹣1所示，设HF，HG是⊙T（半径为3）的切线，
则由（1）可知，线段HF，HG与劣弧FG组成的区域（不包含边界）内的点都是⊙T关于FG的“近切点”，
∴随着弦FG在⊙T上运动时，线段HF，HG与劣弧FG组成的区域（不包含边界）也随着运动，
∴⊙T关于FG的“近切点”是以T为圆心，半径分别为3和TH的长的两个圆组成的圆环（不包括边界），
∵对于△DEB上任意一点S，都存在⊙T的长为的弦FG，满足点S是⊙T关于FG的“近切点”，
∴当⊙T（半径为3）移动时，△DEB能够整个放进以T为圆心，半径分别为3和TH的长的两个圆组成的圆环（不包括边界）内部，
如图3﹣2所示，当BE恰好与⊙T（半径为3）相切，切点为BE的中点L时，且点D恰好在圆环的外圆上时，
由切线的性质可得TL⊥BE，由三线合一定理可得DL⊥BE，
∴T、L、D三点共线；
∵B（0，2），D（2，0），E（0，﹣2）．
∴L（0，0），
∴DL＝2，
∴TH＝TD＝TL+DL＝5；
由切线的性质可得HF⊥TF，
由切线长定理可得HF＝HG，
∴，
又∵TF＝TG，
∴HT垂直平分FG，
设HT与FG交于点S，则FG＝2FS，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵FG是⊙T（半径为3）内的一条弦，
∴FG＜6，
∴，
即．
17．定义：当点P在射线OA上时，把的值叫做点P在射线OA上的射影值；当点P不在射线OA上时，把射线OA上与点P最近点的射影值，叫做点P在射线OA上的射影值．例如：如图（1），△OAB三个顶点均在格点上，BP是OA边上的高，则点P和点B在射线OA上的射影值均为．
（1）在△OAB中，下列说法：
①点B在射线OA上的射影值小于1时，则△OAB是锐角三角形；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，则△OAB是直角三角形；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，则△OAB是钝角三角形．
其中，正确说法的序号是　②③　 ．
（2）C是射线OA上一点，CA＝OA＝1，以O为圆心，OA为半径画圆，B是⊙O上任意点．
①如图（2），点B在射线OA上的射影值为，求证：直线BC是⊙O的切线．
②如图（3），已知D为线段BC的中点，设点D在射线OA上的射影值为x，点D在射线OB上的射影值为y，直接写出y与x之间的函数关系式．
【解答】（1）解：①点B在射线OA上的射影值小于1时，∠OBA可以是钝角，
∴△OAB不一定是锐角三角形，
故该选项说法错误；
②点B在射线OA上的射影值等于1时，AB⊥OA，∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形，
故该选项说法正确；
③点B在射线OA上的射影值大于1时，∠OAB是钝角，
∴△OAB是钝角三角形，
故该选项说法正确；
故答案为：②③；
（2）①证明：如图（2），作BH⊥OC于点H，
∵点B在射线OA上的射影值为，
∴，
∵，CA＝OA＝OB＝1，
∴，
又∵∠BOH＝∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO＝∠CBO＝90°，
∴BC⊥OB，
∴直线BC是⊙O的切线；
②解：（）．理由如下：
图形是上下对称的，只考虑B在直线OC上及OC上方部分的情形．
过点D作DM⊥OC，作DN⊥OB，如图（3），
当0°≤∠DOB≤90°时，如图3，
设DM＝h，
∵D为线段BC的中点，
∴S△OBD＝S△ODC，
∴，
∴DN＝2h，
∵CA＝OA＝OB＝1，
∴
∵在Rt△DON和Rt△DOM中，
OD2＝DN2+ON2＝DM2+OM2，
∴4h2+y2＝h2+x2，
∴3h2＝x2﹣y2①，
∵BD2＝CD2，
∴4h2+（1﹣y）2＝h2+（2﹣x）2②，
①②消去h，得；
如图（4），当点N与点O重合时，∠BOD＝90°，
∴OD＝2DM＝2h，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当∠BOD＝0°时，
点B与点A重合，点D与点M重合，点D在AC中点，
∴，
∴；
当90°＜∠BOD≤180°时，ON不存在，
∴y不存在．
综上所述，（）．
十四．几何变换综合题（共1小题）
18．在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”．
（1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0．
①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”；
②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围；
（2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）．
【解答】（1）解：①如图所示：线段B'C'即为所求；
②如图：
当t＝2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴恰有公共点，
∴t≥2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴有公共点；
当t＝﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴恰有公共点，
∴t≤﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴有公共点．
综上所述：t≤﹣4或t≥2；
（2）如图，
画出分析图，如图所示，线段AB的长度为a，圆N的半径为r，
点A、B分别绕点N顺时针旋转 90° 得到 N1N2，
分析可知△BNP∽△BNQ且相似比为 ，
可得圆 N1N2 的半径均为 ，
∴随意转动图，可得2r≤d≤2r+a．
十五．相似多边形的性质（共1小题）
19．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．
题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x 2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．
我的结果也正确！
小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．
结果为何正确呢？
（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：
变化一下会怎样…
（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．
【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：
设温室的宽为xm，则长为2xm．
则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．
∵，
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；
（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，
就要，即，
即，
即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），
∴a+c＝2（b+d），
即．
十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）
20．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ 　2　 ，　60°　 ）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，则线段BD的长为 　2　 cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1，O2，O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△ABI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．
【解答】解：（1）这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，故可得A（2，60°）．
依题意：①2，60°；
②已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD，
可推出∠BAD＝90°，
利用勾股定理可求出BD＝2；
（2）△AO1O3经过旋转相似变换A（，45°），得到△ABI，此时，线段O1O3变为线段BI；
△CIB经过旋转相似变换C（，45°），得到△CAO2，此时，线段BI变为线段AO2．
∵，45°+45°＝90°
∴O1O3＝AO2，O1O3⊥AO2．
十七．作图-相似变换（共1小题）
21．尺规作图：已知△ABC和⊙O，求作△DEF，使△DEF∽△ABC且△DEF内接于⊙O．要求：①用两种不同方法完成；②保留作图痕迹，并写出必要的文字说明．
【解答】解：方法一：如图所示，△DEF即为所求作的三角形．
①在⊙O上取点B′，作弦B′F，作∠FB′D＝∠ABC，交⊙O于D，连接DF，
②作∠FDE＝∠BAC，交⊙O于E，连接EF，
则△DEF∽△ABC．
方法二：如图所示，△DEF即为所求作的三角形．
①作出△ABC的外接圆圆心O′，连接O′A，O′B，O′C，
②以O为圆心，O′A为半径画圆，
③作∠DOE＝∠AO′B，作∠EOF＝∠BO′C，
④连接DE，EF，DF，
则△DEF∽△ABC．
十八．相似形综合题（共1小题）
22．在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　①②　 ；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
【解答】（1）解：如图1，
故答案为：①②；
（2）解：（方法一）如图3﹣1，
（Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′，
（Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′，
（Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO，
（Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P，
则点P就是Q点变换前的对应点，
（方法二）如图3﹣2，
以点A为圆心，AE为半径画弧交AC于E′，以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于D′，以点D′为圆心，DQ为半径画弧，交D′E′于Q′，连接AQ′，延长AQ′，交BC于P，
则点P就是求作的点；
（3）证明：如图4，
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