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四川省德阳中学校2024-2025学年八年级下学期期中（第二次检测）考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，
∴此选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义"（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式"并结合各选项即可判断求解．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】
根据二次根式的除法法则得到，可判断A；根据乘法法则计算可得根据减法法则计算可得，可判断C；根据同类二次根式的定义可判断D逐一判断即可作答．
3．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数的定义，可知D选项中，一个值，有两个值与之对应，不符合函数定义，因此D选项中的曲线不能表示y是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应”这一核心条件，结合函数图象的特征进行判断。对每个选项的图象分析，看是否存在一个值对应多个值的情况，若存在则不符合函数定义，由此确定符合条件的选项。
4．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙
C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故说法符合题意；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故说法符合题意；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．故说法符合题意；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．故说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形．
5．下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）
A．中，为全体实数 B．中，
C．中， D．中，
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；负整数指数幂；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A、中，为全体实数，
∴此选项不符合题意；
B、中，则：，
∴此选项符合题意；
C、中，，则：，
∴此选项不符合题意；
D、，，则：，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据整式的意义可求解；
B、根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解；
C、根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解；
D、根据负整数指数幂的定义“a-p=(a≠0)”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
，
解得，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，，
，
解得，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、由题意设，则，，分别计算a2、b2、c2的值，再求得a2+b2的值，观察是否等于c2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
B、由题意设，则，，由三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解方程求得x的值，再把x的值代入∠A、∠B、∠C计算，然后根据直角三角形的定义即可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°可得，将∠A+∠B=∠C代入可得关于∠C的方程，解方程求得∠C的值，然后根据直角三角形的定义即可判断求解；
D、由题意设，则，，分别计算a2、b2、c2的值，再求得a2+c2的值，观察是否等于b2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解．
7．如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）．
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴；；；．
A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意；
C．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可．
8．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，，，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并结合图形可得，，作，由等腰三角形的三线合一可得，由三角形的内角和等于180°可求得∠PMN=∠PNM=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得PE=PM，再Rt PME中，用勾股定理求得ME的值，则MN可求解．
9．如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P．过点P作于点F．若的周长为4．则菱形的面积为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，则，
∵的周长为4，
∴，解得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据菱形的性质，得到是等腰直角三角形，即可得到，，然后得到是等腰直角三角形，即可得到，，设，进而可得，根据△PDF的周长求出x的值，即可求出DE长和BC长，根据菱形的面积公式计算即可．
10．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】连接，如图
，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】本题综合考查了勾股定理逆定理和矩形的判定性质。解题关键在于通过矩形性质得出的关系。首先运用勾股定理逆定理判定为直角三角形；根据四边形的三个直角特征，证明其为矩形；利用矩形对角线相等的性质，得到的关键等式；将问题转化为求的最小值；根据垂线段最短原理，当时，取得最小值，从而确定最终结论。
11．如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】连接交于O，根据菱形对角线的性质可得，，再由函数图象可知，当，且当点P运动到上，且时，，在 中，根据勾股定理，求出的长，最后再根据菱形的面积即可求解。
12．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后面的横线上）
13．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有　 　．
【答案】①③④
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，
而式子，对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的值与之对应，则y不是x的函数；
故答案为：①③④．
【分析】根据函数的定义"一个变化的过程中，有两个变量，其中随着的变化而变化，且对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，我们就称y是x的函数"并结合各选项即可判断求解．
14．若x，y都是实数，且，求　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】先利用二次根式的性质求出x=4，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
15．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为，
∴直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形斜边上的高为，
∴它的面积为，
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半可得斜边长为，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
16．如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为　 　米．
【答案】0.8
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，
∴与都是直角三角形，
∵米，米，
∴根据勾股定理得：米，
∵米，
∴（米），
∴根据勾股定理得：米，
∴梯子的底部向外滑出距离为：（米），
故答案为：0.8．
【分析】根据勾股定理求出AO长，然后根据线段的和差求出CO长，再根据勾股定理求出OD长，解答即可．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A'D=5，
∴A'B=13－5=8，
设AE=x，则A'E=x，BE=12－x，
在Rt△A'EB中：，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出BD长，然后根据折叠求出A'B的长，设AE=x，在Rt△A'EB中根据勾股定理求出x的值解答即可.
18．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；菱形的性质；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，顶点，，
∴中，，，
∴，，
∴点D的坐标为，
连接，交于P，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴，
即为的最小值，
∵点E的坐标为，
∴，
即的最小值为：．
故答案为：．
【分析】
过点D做轴于点F，根据菱形的性质和点的坐标得到中，，，根据菱形的性质得到点B的对称点是点D，连接，交于点P，再由两点之间线段最短得出即为最短，再由勾股定理计算即可解答．
19．如图，在平行四边形中，，，点E在上，如果，F是中点，过点D分别作于点P，于点Q，那么等于　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】 【解答】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，，，
∴，，
∴，，
∴在和中，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，根据三角形的面积公式可得比例式．再根据题意得出可求出、的长，由含度角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”并结合勾股定理可间接求出，，，的长，最后再次利用勾股定理求出，的长，然后代入DP：DQ计算即可求解．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
20．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据零指数幂运算法则“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-1）0=1，由绝对值的非负性可得，由二次根式性质可得，由负整数指数幂运算法则“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据二次根式乘除运算法则进行计算，在化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解．
21．如图，武汉光谷为庆祝“两会”的召开，园艺工人要在二妃山一块Rt()的空地上划出一个后，种植出如图中阴影部分图案的草坪．测得 米， 米， 米， 米．求图中阴影部分的面积．
【答案】平方米
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，米，米，
∴（米），
∵米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
阴影部分的面积
平方米．
故答案为：平方米.
【分析】根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用割补法求出阴影部分面积即可．
22．如图，矩形中，垂直平分对角线，分别交，于点，，垂足为．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，求线段的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，
的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）已证四边形为菱形，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：，解得，
；
（3）解：在中，，由勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质得到，再由AAS判定得出，根据全等三角形的性质得出，根据菱形的判定即可解答；
（2）设，根据菱形的性质得出，表示出，在中由勾股定理建立方程得出，求出，再由面积公式计算即可解答．
（3）先由勾股定理计算得到AC，再根据菱形面积=对角线乘积的一半，计算即可求解．
（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，
的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）已证四边形为菱形，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：，解得，
；
（3）解：在中，，由勾股定理得：，
，
．
23．某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）写出当，，4时对应y的值是多少？
（3）写出当和时x的值是多少？
（4）当x取何值时y的值最大？当x取何值时y的值最小？
（5）当x的值在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x的值在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】（1）解：由函数图象可得自变量x的取值范围为；
（2）解：由函数图象可得当时，；
当时，；
当时，；
（3）解：由函数图象可得当时，或或；
当时，；
（4）解：由函数图象可得当时，y的值最大；
当时，y的值最小；
（5）解：由函数图象可得当时，y随x的增大而增大；
当或时，y随x的增大而减小．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】
（1）根据函数图象的横坐标，可求解；
（2）根据函数图象，由自变量的值与函数值的对应关系，可求解；
（3）根据函数图象，由函数值可得相应自变量的值；
（4）根据函数图象的最高点、最低点，可求解；
（5）根据函数图象即可求解．
（1）解：由函数图象可得自变量x的取值范围为；
（2）解：由函数图象可得当时，；
当时，；
当时，；
（3）解：由函数图象可得当时，或或；
当时，；
（4）解：由函数图象可得当时，y的值最大；
当时，y的值最小；
（5）解：由函数图象可得当时，y随x的增大而增大；
当或时，y随x的增大而减小．
24．如图，在中，，，，点D从点A出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知，、，
则，，
∵、，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，且、，
∴当，即时，四边形是菱形，
解得：，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：如图1，当时，
∵，
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
如图2，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上，当或时，为直角三角形．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得CD，AE，根据直线平行判定定理可得，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据直线平行性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得AD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据平行四边形性质可得，则，根据直角三角形两锐角互余可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，建立方程，解方程即可求出答案.
25．如图：矩形的顶点、分别在坐标轴上，点的坐标为．
（1）若、满足：，直接写出点的坐标______；
（2）已知：、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，求的值；
（3）点、分别在边、轴上，、相交于，点的坐标为，，若，求的长．
【答案】（1）
（2）解：过点作于点，过点作于点，如图所示
∵四边形是矩形，、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，
∴，
，
∴，
∵，，点的坐标为，
∴，，，，
，
∴，，四边形是矩形，，，
∴四边形是正方形，
是梯形的中位线，即点为的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：解：情况一，当点在线段上时，过点作于点，过点作于点，如图所示，
∵四边形是矩形，点的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴
，
设，则，
∴，
∴，
方程左右同平方，整理得：，
，
解得：，
∴，
∴；
情况二，当点在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，如图所示，
∵四边形是矩形，点的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，的长为或6．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰直角三角形；算术平方根的性质（双重非负性）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a-8=0，6-b=0，
解得：，，
∴点B的坐标为（8，6）
故答案为：（8，6）；
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；
（2）过点E作EG⊥AB，过点E作EH⊥OA，根据矩形、正方形的判定与性质，结合梯形的中位线，求解即可；
（3）分两种情况：当点D在线段CO上时，当点D在线段OC的延长线上时．分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质、结合勾 股定理，求解即可。
1 / 1四川省德阳中学校2024-2025学年八年级下学期期中（第二次检测）考试数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙
C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
5．下列函数关系式中，自变量x的取值范围错误的是（　　）
A．中，为全体实数 B．中，
C．中， D．中，
6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（　　）．
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
8．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，，，则的长度为（　　）
A． B．2 C． D．
9．如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P．过点P作于点F．若的周长为4．则菱形的面积为（　　）
A．8 B． C．16 D．
10．如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于点F，则的最小值为（　　）
A．5 B．4 C． D．3
11．如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
12．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后面的横线上）
13．下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有　 　．
14．若x，y都是实数，且，求　 　．
15．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是　 　．
16．如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为　 　米．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为　 　．
18．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，，点E坐标为，点P是对角线上一个动点．则的最短距离是 　 　．
19．如图，在平行四边形中，，，点E在上，如果，F是中点，过点D分别作于点P，于点Q，那么等于　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
20．（1）计算：；
（2）计算：．
21．如图，武汉光谷为庆祝“两会”的召开，园艺工人要在二妃山一块Rt()的空地上划出一个后，种植出如图中阴影部分图案的草坪．测得 米， 米， 米， 米．求图中阴影部分的面积．
22．如图，矩形中，垂直平分对角线，分别交，于点，，垂足为．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求四边形的面积；
（3）在（2）的条件下，求线段的长．
23．某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）写出当，，4时对应y的值是多少？
（3）写出当和时x的值是多少？
（4）当x取何值时y的值最大？当x取何值时y的值最小？
（5）当x的值在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x的值在什么范围内时，y随x的增大而减小？
24．如图，在中，，，，点D从点A出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形为菱形？说明理由；
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
25．如图：矩形的顶点、分别在坐标轴上，点的坐标为．
（1）若、满足：，直接写出点的坐标______；
（2）已知：、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，求的值；
（3）点、分别在边、轴上，、相交于，点的坐标为，，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，
∴此选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义"（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】
根据二次根式的除法法则得到，可判断A；根据乘法法则计算可得根据减法法则计算可得，可判断C；根据同类二次根式的定义可判断D逐一判断即可作答．
3．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：由函数的定义，可知D选项中，一个值，有两个值与之对应，不符合函数定义，因此D选项中的曲线不能表示y是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应”这一核心条件，结合函数图象的特征进行判断。对每个选项的图象分析，看是否存在一个值对应多个值的情况，若存在则不符合函数定义，由此确定符合条件的选项。
4．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；
有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故说法符合题意；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故说法符合题意；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形．故说法符合题意；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．故说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形．
5．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；负整数指数幂；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A、中，为全体实数，
∴此选项不符合题意；
B、中，则：，
∴此选项符合题意；
C、中，，则：，
∴此选项不符合题意；
D、，，则：，
∴此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、根据整式的意义可求解；
B、根据分式有意义的条件“分母≠0”和二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解；
C、根据二次根式有意义的条件“被开方式非负”可得关于x的不等式，解不等式即可求解；
D、根据负整数指数幂的定义“a-p=(a≠0)”可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
，
解得，
，，，
不是直角三角形，符合题意；
C、，，
，
解得，
是直角三角形，不符合题意；
D、设，则，，
，
是直角三角形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】A、由题意设，则，，分别计算a2、b2、c2的值，再求得a2+b2的值，观察是否等于c2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
B、由题意设，则，，由三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解方程求得x的值，再把x的值代入∠A、∠B、∠C计算，然后根据直角三角形的定义即可判断求解；
C、由三角形的内角和等于180°可得，将∠A+∠B=∠C代入可得关于∠C的方程，解方程求得∠C的值，然后根据直角三角形的定义即可判断求解；
D、由题意设，则，，分别计算a2、b2、c2的值，再求得a2+c2的值，观察是否等于b2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解．
7．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股数
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴；；；．
A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意；
C．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可．
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P是对角线的中点，点M，N分别是，的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
作，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并结合图形可得，，作，由等腰三角形的三线合一可得，由三角形的内角和等于180°可求得∠PMN=∠PNM=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得PE=PM，再Rt PME中，用勾股定理求得ME的值，则MN可求解．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，则，
∵的周长为4，
∴，解得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】根据菱形的性质，得到是等腰直角三角形，即可得到，，然后得到是等腰直角三角形，即可得到，，设，进而可得，根据△PDF的周长求出x的值，即可求出DE长和BC长，根据菱形的面积公式计算即可．
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】连接，如图
，
∵，
∴，
∴为直角三角形，，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，当的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴的最小值为，
故选：C．
【分析】本题综合考查了勾股定理逆定理和矩形的判定性质。解题关键在于通过矩形性质得出的关系。首先运用勾股定理逆定理判定为直角三角形；根据四边形的三个直角特征，证明其为矩形；利用矩形对角线相等的性质，得到的关键等式；将问题转化为求的最小值；根据垂线段最短原理，当时，取得最小值，从而确定最终结论。
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】连接交于O，根据菱形对角线的性质可得，，再由函数图象可知，当，且当点P运动到上，且时，，在 中，根据勾股定理，求出的长，最后再根据菱形的面积即可求解。
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
13．【答案】①③④
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，
而式子，对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的值与之对应，则y不是x的函数；
故答案为：①③④．
【分析】根据函数的定义"一个变化的过程中，有两个变量，其中随着的变化而变化，且对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，我们就称y是x的函数"并结合各选项即可判断求解．
14．【答案】5
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：5．
【分析】先利用二次根式的性质求出x=4，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长为，
∴直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形斜边上的高为，
∴它的面积为，
故答案为：．
【分析】
根据直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半可得斜边长为，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
16．【答案】0.8
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵，
∴与都是直角三角形，
∵米，米，
∴根据勾股定理得：米，
∵米，
∴（米），
∴根据勾股定理得：米，
∴梯子的底部向外滑出距离为：（米），
故答案为：0.8．
【分析】根据勾股定理求出AO长，然后根据线段的和差求出CO长，再根据勾股定理求出OD长，解答即可．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A'D=5，
∴A'B=13－5=8，
设AE=x，则A'E=x，BE=12－x，
在Rt△A'EB中：，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出BD长，然后根据折叠求出A'B的长，设AE=x，在Rt△A'EB中根据勾股定理求出x的值解答即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；菱形的性质；坐标与图形变化﹣对称；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，顶点，，
∴中，，，
∴，，
∴点D的坐标为，
连接，交于P，如图，
∵点B的对称点是点D，
∴，
即为的最小值，
∵点E的坐标为，
∴，
即的最小值为：．
故答案为：．
【分析】
过点D做轴于点F，根据菱形的性质和点的坐标得到中，，，根据菱形的性质得到点B的对称点是点D，连接，交于点P，再由两点之间线段最短得出即为最短，再由勾股定理计算即可解答．
19．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】 【解答】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴在和中，，，
∴，，
∴，，
∴在和中，
，
，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得，根据三角形的面积公式可得比例式．再根据题意得出可求出、的长，由含度角的直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”并结合勾股定理可间接求出，，，的长，最后再次利用勾股定理求出，的长，然后代入DP：DQ计算即可求解．
20．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据零指数幂运算法则“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-1）0=1，由绝对值的非负性可得，由二次根式性质可得，由负整数指数幂运算法则“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=2，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）根据二次根式乘除运算法则进行计算，在化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解．
21．【答案】平方米
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵，米，米，
∴（米），
∵米，米，
∴，
∴是直角三角形，且，
阴影部分的面积
平方米．
故答案为：平方米.
【分析】根据勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理得到，然后利用割补法求出阴影部分面积即可．
22．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，
的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）已证四边形为菱形，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：，解得，
；
（3）解：在中，，由勾股定理得：，
，
．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出，再根据平行线的性质得到，再由AAS判定得出，根据全等三角形的性质得出，根据菱形的判定即可解答；
（2）设，根据菱形的性质得出，表示出，在中由勾股定理建立方程得出，求出，再由面积公式计算即可解答．
（3）先由勾股定理计算得到AC，再根据菱形面积=对角线乘积的一半，计算即可求解．
（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，
的垂直平分线，
，，
在和中
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）已证四边形为菱形，
，
设，则，
在中，，由勾股定理得：，解得，
；
（3）解：在中，，由勾股定理得：，
，
．
23．【答案】（1）解：由函数图象可得自变量x的取值范围为；
（2）解：由函数图象可得当时，；
当时，；
当时，；
（3）解：由函数图象可得当时，或或；
当时，；
（4）解：由函数图象可得当时，y的值最大；
当时，y的值最小；
（5）解：由函数图象可得当时，y随x的增大而增大；
当或时，y随x的增大而减小．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】
（1）根据函数图象的横坐标，可求解；
（2）根据函数图象，由自变量的值与函数值的对应关系，可求解；
（3）根据函数图象，由函数值可得相应自变量的值；
（4）根据函数图象的最高点、最低点，可求解；
（5）根据函数图象即可求解．
（1）解：由函数图象可得自变量x的取值范围为；
（2）解：由函数图象可得当时，；
当时，；
当时，；
（3）解：由函数图象可得当时，或或；
当时，；
（4）解：由函数图象可得当时，y的值最大；
当时，y的值最小；
（5）解：由函数图象可得当时，y随x的增大而增大；
当或时，y随x的增大而减小．
24．【答案】（1）证明：由题意知，、，
则，，
∵、，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，且、，
∴当，即时，四边形是菱形，
解得：，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：如图1，当时，
∵，
∴四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
如图2，当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
综上，当或时，为直角三角形．
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得CD，AE，根据直线平行判定定理可得，根据含30°角的直角三角形性质可得DF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据直线平行性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得AD，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当时，根据平行四边形性质可得，则，根据直角三角形两锐角互余可得，根据含30°角的直角三角形性质可得，建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：过点作于点，过点作于点，如图所示
∵四边形是矩形，、分别平分、，连并延长交边于点，若点为边中点，
∴，
，
∴，
∵，，点的坐标为，
∴，，，，
，
∴，，四边形是矩形，，，
∴四边形是正方形，
是梯形的中位线，即点为的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：解：情况一，当点在线段上时，过点作于点，过点作于点，如图所示，
∵四边形是矩形，点的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴
，
设，则，
∴，
∴，
方程左右同平方，整理得：，
，
解得：，
∴，
∴；
情况二，当点在线段的延长线上时，过点作于点，过点作于点，如图所示，
∵四边形是矩形，点的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
，
∴，，
设，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，的长为或6．
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；等腰直角三角形；算术平方根的性质（双重非负性）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴a-8=0，6-b=0，
解得：，，
∴点B的坐标为（8，6）
故答案为：（8，6）；
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可得到点B的坐标；
（2）过点E作EG⊥AB，过点E作EH⊥OA，根据矩形、正方形的判定与性质，结合梯形的中位线，求解即可；
（3）分两种情况：当点D在线段CO上时，当点D在线段OC的延长线上时．分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质、结合勾 股定理，求解即可。
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