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湖南省长沙市雅礼中学2026年理科实验班自主招生数学试卷 (一)
一、填空题: (每小题 5 分, 共 50 分)
1． 计算： 　 　.
【答案】
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先计算复合二次根式的化简、负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可．
2．已知实数，满足，则的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：．
【分析】原式化为，根据偶次方的非负性求出m和n的值，然后计算m+n的值，再求平方根即可.
3．若，那么的最小值等于　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
不妨设、、，建立平面直角坐标系，连接，过点作轴于点，如图所示：
那么，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
∴
∵，
∴当三点共线时，最短，最小值为，
∵，轴，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为13．
故答案为：13．
【分析】不妨设、、，建立平面直角坐标系，连接，过点作轴于点，即可得到，，即可得到，然后作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，过点作轴于点，根据两点间线段最短得到当三点共线时，最短，最小值为，根据勾股定理解答即可．
4． 如图，在 中，高 和 交于点 ，且 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在中，于点D，于点E，垂足分别为D和E，与交于点H，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：45°．
【分析】先根据AAS得到，根据对应边相等得到，再三角形的内角和定理和等边对等角求出的度数解答即可．
5． 四条边长分别为 的梯形的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理；梯形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作交于，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
若，
则，
∵，
∴此时不能构成三角形，也就不能组成梯形，
同理可得，只有当时，才能组成梯形，
过点C作，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点D作交于，根据三角形的三边关系得到梯形的四条边为，过点C作，过点D作，根据三线合一和勾股定理求出CF长，再根据三角形的等积变形求出DH长，利用梯形面积公式计算即可．
6． 已知实数 满足 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值；基本不等式
【解析】【解答】解：∵实数，，满足，，
∴，，的符号为两负一正，
设，则，，
由，得．
代入，得，即，
∴．
∴．
代入，得，
故表达式为．
令，则所求式子．
证明均值不等式，当、、时，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当且仅当时等号成立），
由均值不等式，，
等号成立当且仅当，即，．此时所求式子最小值为，
故 的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据题意得到， ，，x<0．代入即可得到．令，则所求式子(t>0)的最小值．根据均值不等式得到，解答即可．
7．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为　 　．
【答案】64
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点，
由题意可得，
当时，最大交点数为，
当时，最大交点数为，
∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64，
故答案为：64．
【分析】根据题意得到，然后验证解答即可．
8．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从5条线段中任取3条，共有种可能组合：，，，，，，，，，，
其中能构成三角形的组合有，，，
∵由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，
∴当三角形中较小的两边的平方和小于第三边的平方时，三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，构成的是钝角三角形，
∴能构成钝角三角形的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举所有等可能的三条线段组合结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9． 如图，在 中， ， ， 是 内一点， ， ， ，则 的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，则，，，，连接，
，
∵，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点、、在同一直线上，
过点C作，则，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】 将绕点顺时针旋转得到，即可得到，，，，连接，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形且，即可得到，进而得到点、、在同一直线上，作，即可得到，利用三角形的面积公式计算即可．
10．如图所示，直径为 的一个圆盘没有任何滑动的沿一个直径为 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了　 　．
【答案】2
【知识点】圆与圆的位置关系；圆的周长
【解析】【解答】解：∵铁环半径为，圆盘半径为，
∴圆盘在铁环内侧滚动时，其圆心的运动轨迹是一个圆，半径为“铁环半径－圆盘半径”，即，
∴圆心轨迹的周长（即圆盘滚动的距离）为，
∵圆盘的周长为
∴无滑动滚动时，圆盘滚动的距离等于自身转动的弧长，
∴转动圈数为滚动距离÷圆盘周长，即．
故答案为：．
【分析】先得到圆盘圆心在以铁环圆心为圆心，d为半径的圆上，再计算圆心运动的周长与圆盘自身周长的比解答即可．
二、解答题:
11．已知 为正整数，关于 的方程 的两个实根为 ，关于 的方程 的两个实根为 ，且 ，求 的最小值.
【答案】解：方程的两个实根为：
，
方程 的两个实根为：
，
设 ，
当 时， ，
为正整数， ，
，不符合题意；
当 时， (不满足题意)；
当 时， (不满足题意)；
当 时，
为正整数， ，
，符合题意，
，
，
，
为正整数，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
综上所述， 的最小值为 165 .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先求出两个方程的根，设，然后根据方程根的情况分四种情况，得到at=26，然后根据整数解求出b的值解答即可．
12．已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内交于点 ，其中一次函数的图象过点 和 .
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请问在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点坐标； 若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：一次函数 的图象过点 和 ，将点 代入得： ，即 ①；
将 代入得：
，即 ②，
由①②得： ，
反比例函数解析式为 ；
（2）解：在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；现由如下：
反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ，
联立得： ，
整理得： ，
解得： ，
点 在第一象限，
，
，
如图，
以 为圆心，以 为半径画圆，交 轴于 ，
，即 、 为等腰三角形，
或 ，
以 为圆心，以 半径画圆，交 轴于 ，
，即 为等腰三角形，
，
，
过 作 轴，交 轴于 ，
，
，即 为等腰三角形，
，
，
，
综上所述，在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；所有符合条件的 点坐标为 ， .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）将点代入一次函数得到，再将代入 得到，然后整体代入求出k的值解答即可；
（2）联立两解析式求出点的坐标，即可求出OA长，以O为圆心，长为半径画弧，交x轴于；以A为圆心，以长为半径画弧，交x轴于；过A作轴，交x轴于；则即为所求，求出坐标解答即可．
13．如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，射线 、 各交对边于点 、 ，射线 、 各交 于点 . 求证： .
【答案】证明：如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，连接 ，
分别平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据内心的性质可得，然后根据圆周角定理的推论和三角形的外角得到∠BID=∠MAN，再根据即可得到，利用对应边成比例证明即可．
14． 如图， 与 外切于点 ，以直线 为 轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 在 轴上方的两圆的外公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 ，直线 与 轴交于点 ， 若 .
（1）求经过 三点的抛物线的解析式；
（2）若 ，求证： ；
（3）如图，设直线 与 (1)中的抛物线相交于 、 两点，且线段 被 轴平分，求：当 时， 的面积.
【答案】（1）解：如图 1， 、 是两圆的公切线，标记点 H ，点 ，连接 、 ，
，
，
，
，
在直角三角形 ，
由勾股定理得： ，
点 坐标为 足 的直径，
，
，
，
，
点 的坐标为 ，
同理可得点 的坐标为 ，
设经过 三点的抛物线的解析式为 ，将点 、点 、点 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）证明： ，
，
，
，
；
（3）解：联立直线 与抛物线的解析式，得： ，
整理得： ，
如图 2，令直线 与 轴的交点为点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作该平行线的垂线，垂足为 ，
线段 被 轴平分， ，
即 ，解得： ，
则 ，
，
当 时，可得 ，
，化简得： ，解得： 或 (不合题意，舍去)，
，
故此时 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；切线长定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）连接，根据切线长定理得到，进而得到点C的坐标，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出OH长，得到点的坐标，同理可得点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可．
（2）先化简，再得到，取值范围，然后代入计算即可．
（3）联立两解析式，可得，根据根与系数的关系得到，设直线与y轴的交点为点，过点M作，根利用中点坐标公式求出，然后根据勾股定理表示MN的值，当时，根据直角三角形斜边上的中线性质求得，再根据三角形的面积公式计算即可．
1 / 1湖南省长沙市雅礼中学2026年理科实验班自主招生数学试卷 (一)
一、填空题: (每小题 5 分, 共 50 分)
1． 计算： 　 　.
2．已知实数，满足，则的平方根是　 　．
3．若，那么的最小值等于　 　．
4． 如图，在 中，高 和 交于点 ，且 ，则 　 　.
5． 四条边长分别为 的梯形的面积是　 　.
6． 已知实数 满足 的最小值为　 　.
7．平面上的条直线恰有2011个交点，则的最小值为　 　．
8．从长为1、2、3、4、5的5条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率是　 　．
9． 如图，在 中， ， ， 是 内一点， ， ， ，则 的面积是　 　.
10．如图所示，直径为 的一个圆盘没有任何滑动的沿一个直径为 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了　 　．
二、解答题:
11．已知 为正整数，关于 的方程 的两个实根为 ，关于 的方程 的两个实根为 ，且 ，求 的最小值.
12．已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限内交于点 ，其中一次函数的图象过点 和 .
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请问在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 点坐标； 若不存在，请说明理由.
13．如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，射线 、 各交对边于点 、 ，射线 、 各交 于点 . 求证： .
14． 如图， 与 外切于点 ，以直线 为 轴， 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 在 轴上方的两圆的外公切线 与 相切于点 ，与 相切于点 ，直线 与 轴交于点 ， 若 .
（1）求经过 三点的抛物线的解析式；
（2）若 ，求证： ；
（3）如图，设直线 与 (1)中的抛物线相交于 、 两点，且线段 被 轴平分，求：当 时， 的面积.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】先计算复合二次根式的化简、负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解答即可．
2．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：．
【分析】原式化为，根据偶次方的非负性求出m和n的值，然后计算m+n的值，再求平方根即可.
3．【答案】13
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
不妨设、、，建立平面直角坐标系，连接，过点作轴于点，如图所示：
那么，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，过点作轴于点，如图所示：
∴
∵，
∴当三点共线时，最短，最小值为，
∵，轴，
∴，
∴
∴，
∴的最小值为13．
故答案为：13．
【分析】不妨设、、，建立平面直角坐标系，连接，过点作轴于点，即可得到，，即可得到，然后作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，过点作轴于点，根据两点间线段最短得到当三点共线时，最短，最小值为，根据勾股定理解答即可．
4．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在中，于点D，于点E，垂足分别为D和E，与交于点H，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：45°．
【分析】先根据AAS得到，根据对应边相等得到，再三角形的内角和定理和等边对等角求出的度数解答即可．
5．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理；梯形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示：过点D作交于，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
若，
则，
∵，
∴此时不能构成三角形，也就不能组成梯形，
同理可得，只有当时，才能组成梯形，
过点C作，过点D作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点D作交于，根据三角形的三边关系得到梯形的四条边为，过点C作，过点D作，根据三线合一和勾股定理求出CF长，再根据三角形的等积变形求出DH长，利用梯形面积公式计算即可．
6．【答案】
【知识点】化简含绝对值有理数；多个绝对值的和的最值；基本不等式
【解析】【解答】解：∵实数，，满足，，
∴，，的符号为两负一正，
设，则，，
由，得．
代入，得，即，
∴．
∴．
代入，得，
故表达式为．
令，则所求式子．
证明均值不等式，当、、时，
∵，，，
∴，
∴，
∴（当且仅当时等号成立），
由均值不等式，，
等号成立当且仅当，即，．此时所求式子最小值为，
故 的最小值为，
故答案为：．
【分析】根据题意得到， ，，x<0．代入即可得到．令，则所求式子(t>0)的最小值．根据均值不等式得到，解答即可．
7．【答案】64
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：∵（，且为整数）条直线在同一平面内两两相交时，最多有个交点，
由题意可得，
当时，最大交点数为，
当时，最大交点数为，
∴平面上的条直线恰有2011个交点时，的最小值为64，
故答案为：64．
【分析】根据题意得到，然后验证解答即可．
8．【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵从5条线段中任取3条，共有种可能组合：，，，，，，，，，，
其中能构成三角形的组合有，，，
∵由勾股定理的逆定理可知：当三角形两短边的平方和等于最长边的平方时，三角形为直角三角形，
∴当三角形中较小的两边的平方和小于第三边的平方时，三角形为钝角三角形，
∵，，
∴，构成的是钝角三角形，
∴能构成钝角三角形的概率是．
故答案为：．
【分析】直接列举所有等可能的三条线段组合结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，则，，，，连接，
，
∵，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点、、在同一直线上，
过点C作，则，
∴的面积为，
故答案为：．
【分析】 将绕点顺时针旋转得到，即可得到，，，，连接，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形且，即可得到，进而得到点、、在同一直线上，作，即可得到，利用三角形的面积公式计算即可．
10．【答案】2
【知识点】圆与圆的位置关系；圆的周长
【解析】【解答】解：∵铁环半径为，圆盘半径为，
∴圆盘在铁环内侧滚动时，其圆心的运动轨迹是一个圆，半径为“铁环半径－圆盘半径”，即，
∴圆心轨迹的周长（即圆盘滚动的距离）为，
∵圆盘的周长为
∴无滑动滚动时，圆盘滚动的距离等于自身转动的弧长，
∴转动圈数为滚动距离÷圆盘周长，即．
故答案为：．
【分析】先得到圆盘圆心在以铁环圆心为圆心，d为半径的圆上，再计算圆心运动的周长与圆盘自身周长的比解答即可．
11．【答案】解：方程的两个实根为：
，
方程 的两个实根为：
，
设 ，
当 时， ，
为正整数， ，
，不符合题意；
当 时， (不满足题意)；
当 时， (不满足题意)；
当 时，
为正整数， ，
，符合题意，
，
，
，
为正整数，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
当 时， ，此时 ，解得 (不符合题意)；
综上所述， 的最小值为 165 .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先求出两个方程的根，设，然后根据方程根的情况分四种情况，得到at=26，然后根据整数解求出b的值解答即可．
12．【答案】（1）解：一次函数 的图象过点 和 ，将点 代入得： ，即 ①；
将 代入得：
，即 ②，
由①②得： ，
反比例函数解析式为 ；
（2）解：在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；现由如下：
反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ，
联立得： ，
整理得： ，
解得： ，
点 在第一象限，
，
，
如图，
以 为圆心，以 为半径画圆，交 轴于 ，
，即 、 为等腰三角形，
或 ，
以 为圆心，以 半径画圆，交 轴于 ，
，即 为等腰三角形，
，
，
过 作 轴，交 轴于 ，
，
，即 为等腰三角形，
，
，
，
综上所述，在 轴上存在点 ，使 为等腰三角形；所有符合条件的 点坐标为 ， .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）将点代入一次函数得到，再将代入 得到，然后整体代入求出k的值解答即可；
（2）联立两解析式求出点的坐标，即可求出OA长，以O为圆心，长为半径画弧，交x轴于；以A为圆心，以长为半径画弧，交x轴于；过A作轴，交x轴于；则即为所求，求出坐标解答即可．
13．【答案】证明：如图， 是 的外接圆，点 是它的内心，连接 ，
分别平分 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形的内切圆与内心；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】根据内心的性质可得，然后根据圆周角定理的推论和三角形的外角得到∠BID=∠MAN，再根据即可得到，利用对应边成比例证明即可．
14．【答案】（1）解：如图 1， 、 是两圆的公切线，标记点 H ，点 ，连接 、 ，
，
，
，
，
在直角三角形 ，
由勾股定理得： ，
点 坐标为 足 的直径，
，
，
，
，
点 的坐标为 ，
同理可得点 的坐标为 ，
设经过 三点的抛物线的解析式为 ，将点 、点 、点 的坐标分别代入得：
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）证明： ，
，
，
，
；
（3）解：联立直线 与抛物线的解析式，得： ，
整理得： ，
如图 2，令直线 与 轴的交点为点 ，过点 作 轴的平行线，过点 作该平行线的垂线，垂足为 ，
线段 被 轴平分， ，
即 ，解得： ，
则 ，
，
当 时，可得 ，
，化简得： ，解得： 或 (不合题意，舍去)，
，
故此时 .
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；切线长定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）连接，根据切线长定理得到，进而得到点C的坐标，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出OH长，得到点的坐标，同理可得点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可．
（2）先化简，再得到，取值范围，然后代入计算即可．
（3）联立两解析式，可得，根据根与系数的关系得到，设直线与y轴的交点为点，过点M作，根利用中点坐标公式求出，然后根据勾股定理表示MN的值，当时，根据直角三角形斜边上的中线性质求得，再根据三角形的面积公式计算即可．
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