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四川省绵阳市涪城区2026年中考二模考试数学试题
1． （-2026) 的值是（　　）
A．- 2026 B．2026 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据任何一个不等于0的数的零次幂都等于解答即可.
2．如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．近几年我国汽车工业快速发展，在2025年仅新能源汽车销量就超过1600万辆，将1600万用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万用科学记数法表示为，
故答案为：D..
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．使得式子 有意义的x的取值范围是（　　）
A．且x≠1 B．
C．且x≠-1 D．且x≠1
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴需满足，
解不等式，移项得，系数化为得，
解不等式，得，
∴的取值范围是，且．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零解答即可.
5．如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图有两列，左边有三个小正方形，右边有一个小正方形，如图所示：
，
故选：A．
【分析】根据从物体正面看所得到的图形是主视图解答即可.
6．下列运算结果正确的是（　　）
A．3xy-2xy=1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A 、合并同类项可得，故此选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得，故此选项正确；
D、根据完全平方公式，故此选项错误．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
7．已知点P（5a+2，2-3a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于原点的对称点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：.
故答案为：C.
【分析】先得到点所在象限， 然后根象限内点的特征列不等式组，求出a的取值范围即可.
8．如图，菱形ABCD中， AB=3， AC=2，则菱形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可得到长，利用菱形的面积公式计算解答.
9．若抛物线 与直线y=2有两交点A， B，且AB=2，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线有两交点A，B，
设点
∴
∴
∴，
∴
∴
解得．
故答案为：D.
【分析】先联立抛物线与直线解析式得到，设点，根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据列方程求出m的值解答即可．
10．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，OB，OC分别为上下两个圆锥的母线，OB⊥OC，若圆柱的高BC=10，OB=6，上下两个底面的直径AB，CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（　　）
A．3：4 B．4：3 C．9：16 D．16：9
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为，
圆锥的侧面积公式为（为母线长），
∴上下两个圆锥的侧面积之比为，
，
∴，即为直角三角形，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
上下两个圆锥的侧面积之比为．
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出OC长，然后利用圆锥侧面积公式计算，求出比值解答即可．
11．如图， M（2， 2)， ⊙M与x轴， y轴均相切，将一次函数y=3x+b的图象平移，当图象与⊙M有公共点时，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：圆心 ，
∴圆心到轴，轴的距离为
∵与轴，轴均相切，
的半径，
设圆上任意一点坐标为，
由半径得，
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程，
当图象与有公共点时，
联立与，
得： ，
整理得：，
关于 的一元二次方程有实数根，
，
整理得，.
令，
解得，
令，
∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围，
∵，抛物线开口方向向上，
不等式的解集为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，根据平面直角坐标系中两点间距离公式得到 ，再将代入根据直线和圆有交点得到 ，求出b的取值范围解答即可．
12．如图，在△ABC中， ∠B=90°， D、E、F分别是BC、AC、AB上点，且四边形BDEF是矩形，连接AD， AD与EF交于点G，若 则GE=（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴在中，，
∵
∴
∴
∴
∴
解得，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
解得．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理设，则，求出，即可得到，在中利用勾股定理求出CD长，进而得到BD长，根据勾股定理求出AD长，列方程求出x的值，即可得到，然后根据平行得到，根据对应边成比例解答即可．
13．因式分解　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】提取公因式x，x2﹣2x=x（x﹣2）．
故答案是x（x﹣2）．
【分析】提公因式法分解因式．
14．如图，直线m∥n， ∠1=55°； ∠3=95°，则∠2=　 　.
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∵，
∴．
故答案为：40°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到的度数，然后根据三角形的外角解答即可．
15．学校准备在候选的3名女生和2名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共种等可能的结果数，
其中选中一男一女的结果数为，
恰好选中一男一女的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.．
16．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是　 　元.
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，
根据题意列方程组得
解得，.
因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元，
设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用，
计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用：
当时，，元；
当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，计算可得总费用均大于元.
因此租船费用的最小值为．
故答案为：.
【分析】设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，根据“ 租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元 ”列方程组求出x和y的值，再设大船艘，小船艘，总费用为元，得到W关于m，n的关系式，逐一列举符合条件的m和n的值计算租船费用，比较解答即可．
17．已知关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是　 　.
【答案】且
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
整理得，
方程两边同乘得，
，
展开整理得，
解得，
分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为，
且，即且，
解得且.
故答案为：且.
【分析】先两边同时乘以(x-1)去分母化为整式方程，求出x的值，然后根据x为正数且x-1≠0求出m的取值范围解答即可.
18．矩形ABCD中， BC=2AB=12，连接 BD，将△BCD绕点D逆时针旋转得到△EFD，连接BF，CF， BF与CD交于M，若 则MC=　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点、分别作，，垂足为点，
∵矩形中，
∴，，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】过点、分别作，于点，根据矩形的性质和旋转的性质得到AB=CD=DF=6，然后根据三线合一得到CH=HF，然后根军正弦的定义和勾股定理求出HF和DF长，再根据△DCF的面积得到FG长，根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
19．
（1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、分母有理化和零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后去绝对值，合并同类二次根式解大即可；
（2）先运算括号内分式的减法，再将除法化为乘法，把分子、分母分解因式约分化简，再代入x的值计算．
20．联合国教科文组织设定每年 4 月 23 日是 “世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣。在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了 100 名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别 阅读时长（分钟) 频数（人数)
第1组 10≤x<20 5
第2组 20≤x<30 a
第3组 30≤x<40 35
第4组 40≤x<50 20
第5组 50≤x<60 15
（1）请直接写出a=　 　，m=　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度；
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少
【答案】（1）25；20；126
（2）解：由（1）得，则频数分布直方图如图，
（3）解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为，
（人）
答：若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
第4组所占百分比为：，则，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：；
故答案为：25；20；126；
【分析】（1）用考查人数乘以第2组的占比求a，运用第4组的人数除以考查人数乘以100%求出m，利用乘以第3组人所占比求出圆心角即可；
（2）根据（1）中计算出的a的值，不全频数直方图即可；
（3）用全校学生数乘以样本中周末阅读时长达到30分钟的占比解答即可．
21．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个.
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共.20 本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少.
【答案】（1）解：设乙笔记本的单价为元，则甲笔记本的单价为元，
根据题意，得
方程两边同乘，得
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，且符合题意，
则
答：甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元；
（2）解：设购买乙笔记本本，则购买甲笔记本本，
根据题意，得
解得
因为为非负整数，
所以可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案.
设总费用为元，则
因为，
所以随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，
答：共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设乙笔记本的单价为元， 根据“ 甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2） 设购买乙笔记本本 ，根据“ 购买这两种笔记本共.20 本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元 ”列不等式组求出m的取值范围，即可根据整数m的值得到方案，然后列出W关于m的函数解析式，根据增减性求出最小值解答即可．
22．如图，正方形ABCD中， E、F分别是边AB、BC上的点， DE⊥AF，垂足为H， AC与BD相交于O， DE与AC交于M， AF与BD交于N.
（1）求证： OM=ON；
（2）若正方形边长为6， 求MH的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）根据正方形的性质，利用ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（）先利用勾股定理求出AC长，利用正方形的性质可得，根据对应边成比例求出AE长，然后根据勾股定理求出DE长，即可得到，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 的图象与反比例函数 在第一象限中的图象交于点A， 点 C为反比例函数 图象上位于A点上方的一点，直线AC与x轴，y轴分别交于D，E两点.
（1）求反比例函数解析式；
（2）若AC=2AD，求点E坐标.
【答案】（1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，
设，
，
，
，
在第一象限，
，
，
，
；
（2）解：过点作轴于 ，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，即，
在上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
令 ，得
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）设，根据两点间距离公式列方程求出的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）过分别作轴的垂线，根据平行线可得，根据对应边成比例得到，即可得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
24．如图， AB， CD是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为F， CE为⊙O的直径， AB=CD=3AF=3，CE与AB、BD交分别交于M、G.
（1）证明： AF=CF；
（2）求cos∠DBE的值；
（3）求 BG的长度.
【答案】（1）解：过圆心作于，于，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，，
∵、，
∴．
（2）解：过圆心作于，于，连接，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（）得，矩形是正方形，
∴，
在中，，
∴直径，
在中，， ，
∴，
即 ；
（3）解：由（）得，
建立坐标系：设 ，，，，，，
设直线得解析式，代入点，，
得，
解得，
∴直线方程：，
即：直线方程：，
同理：代入点、，直线方程：，
联立方程直线、，得，
解得，
∴交点，
由两点间距离公式：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）过点作于，于，根据垂径定理可得AN和CH的长 ，然后根据HL得到，即可得到，即可得到矩形为正方形，进而得到；再根据线段的和差解答即可；
（）连接，，由圆周角定理的推论可得，，然后根据余弦的定义求出CF=AF=1，然后求出的值，在中根据勾股定理求出半径长，再在中，根据余弦的定义解答即可；
（）以F点为原点建立平面直角坐标系，分别求出直线和直线的解析式，联立两直线解析式求出交点的坐标，根据两点间距离公式计算BG长即可.
25．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 C，D为抛物线上一点，AD平分∠CAB，AD与y轴交于点 M.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求点 D 坐标；
（3）在直线AC上取E、F两点（F在E点上方)，连接ME， MF，使得 求E、F坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴代入两点坐标得方程组：，
解得 ，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线解析式；
令，得，
即：抛物线与轴交点，
在中，，，
由勾股定理得，
过点M作MN⊥AC于点N，则∠ANM=∠AOM=90°，
∵平分，
则MN=OM，
设OM=MN=a，则MC=4-a，
又∵AM=AM，
∴Rt△AMN≌Rt△AMO，
∴AN=AO=3，
∴CN=2，
在Rt△CMN中，MN2+CN2=CM2，
即a2+22=(4-a)2，
解得a=，
即，
设直线解析式为，
代入、得：，
联立直线与抛物线方程：，
整理得：，
解得：（对应点，舍去）， ，代入直线得 ，
∴点坐标为：；
（3）解：由（2）得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴在直线上，点到直线的距离为定值：，
即：中，边上的高为，
在中，在轴上，边上的高为，
∵，
∴，，即
由 ，，得，，
设，由得：，
整理解得 或，
① 当时，，
，，，计算得；
② 当时，，
，， ，计算得；
因此坐标为： 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（）先求出抛物线与y轴的交点，然后根据勾股定理求出AC的长，根据角平分线的性质可得MN=OM，然后根据勾股定理求出OM的值，即可得到点M的坐标，求出直线AD的解析式，然后联立二次函数的解析式求出交点D的坐标即可；
（）得到点M到AC的距离为，设，然后根据相似三角形的对应边成比例求出EF和EM的长，根据两点间距离公式求出x的值，然后分别求出点E和F的坐标即可．
1 / 1四川省绵阳市涪城区2026年中考二模考试数学试题
1． （-2026) 的值是（　　）
A．- 2026 B．2026 C．1 D．0
2．如图，下面四种中国传统窗户图案中，是轴对称但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．近几年我国汽车工业快速发展，在2025年仅新能源汽车销量就超过1600万辆，将1600万用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
4．使得式子 有意义的x的取值范围是（　　）
A．且x≠1 B．
C．且x≠-1 D．且x≠1
5．如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列运算结果正确的是（　　）
A．3xy-2xy=1 B． C． D．
7．已知点P（5a+2，2-3a)关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD中， AB=3， AC=2，则菱形ABCD的面积是（　　）
A． B． C． D．3
9．若抛物线 与直线y=2有两交点A， B，且AB=2，则m的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在圆柱中以圆柱的上下两个底面为底的两个圆锥顶点在O处相接，OB，OC分别为上下两个圆锥的母线，OB⊥OC，若圆柱的高BC=10，OB=6，上下两个底面的直径AB，CD与顶点O都在同一个平面之中，则上下两个圆锥的侧面积之比是（　　）
A．3：4 B．4：3 C．9：16 D．16：9
11．如图， M（2， 2)， ⊙M与x轴， y轴均相切，将一次函数y=3x+b的图象平移，当图象与⊙M有公共点时，则实数b的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，在△ABC中， ∠B=90°， D、E、F分别是BC、AC、AB上点，且四边形BDEF是矩形，连接AD， AD与EF交于点G，若 则GE=（　　）
A． B．2 C． D．
13．因式分解　 　 ．
14．如图，直线m∥n， ∠1=55°； ∠3=95°，则∠2=　 　.
15．学校准备在候选的3名女生和2名男生中采用随机抽签的方式选取两名学生代表学校参加全市的演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　 　.
16．人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是　 　元.
17．已知关于x的分式方程 的解为正数，则m的取值范围是　 　.
18．矩形ABCD中， BC=2AB=12，连接 BD，将△BCD绕点D逆时针旋转得到△EFD，连接BF，CF， BF与CD交于M，若 则MC=　 　.
19．
（1）计算：
（2）先化简，再求值： 其中
20．联合国教科文组织设定每年 4 月 23 日是 “世界读书日”，其主要目的在于希望散居全球各地的人们，无论是年老还是年轻，无论是贫穷还是富有，无论是患病还是健康，都能享受阅读带来的乐趣。在世界读书日即将到来之际，为了解全校同学的阅读情况，学校学生会随机选取了 100 名同学就周末在家开展课外读物阅读的时长进行调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：
组别 阅读时长（分钟) 频数（人数)
第1组 10≤x<20 5
第2组 20≤x<30 a
第3组 30≤x<40 35
第4组 40≤x<50 20
第5组 50≤x<60 15
（1）请直接写出a=　 　，m=　 　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　 　度；
（2）请补全上面的频数分布直方图；
（3）若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有多少
21．一文具店销售甲乙两种笔记本，其中甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个.
（1）求甲、乙两种笔记本的单价；
（2）在一次活动中某班准备购买这两种笔记本共.20 本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元，求购买这两种笔记本有多少种方案，并判断哪种方案总的花费最少.
22．如图，正方形ABCD中， E、F分别是边AB、BC上的点， DE⊥AF，垂足为H， AC与BD相交于O， DE与AC交于M， AF与BD交于N.
（1）求证： OM=ON；
（2）若正方形边长为6， 求MH的长度.
23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数 的图象与反比例函数 在第一象限中的图象交于点A， 点 C为反比例函数 图象上位于A点上方的一点，直线AC与x轴，y轴分别交于D，E两点.
（1）求反比例函数解析式；
（2）若AC=2AD，求点E坐标.
24．如图， AB， CD是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为F， CE为⊙O的直径， AB=CD=3AF=3，CE与AB、BD交分别交于M、G.
（1）证明： AF=CF；
（2）求cos∠DBE的值；
（3）求 BG的长度.
25．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 C，D为抛物线上一点，AD平分∠CAB，AD与y轴交于点 M.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求点 D 坐标；
（3）在直线AC上取E、F两点（F在E点上方)，连接ME， MF，使得 求E、F坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据任何一个不等于0的数的零次幂都等于解答即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解答．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万用科学记数法表示为，
故答案为：D..
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为所有整数位的个数减1，据此解答即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵要使有意义，
∴需满足，
解不等式，移项得，系数化为得，
解不等式，得，
∴的取值范围是，且．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零解答即可.
5．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图有两列，左边有三个小正方形，右边有一个小正方形，如图所示：
，
故选：A．
【分析】根据从物体正面看所得到的图形是主视图解答即可.
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A 、合并同类项可得，故此选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加，可得，故此选项正确；
D、根据完全平方公式，故此选项错误．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式的运算法则逐项判断解答即可．
7．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点关于原点的对称点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：.
故答案为：C.
【分析】先得到点所在象限， 然后根象限内点的特征列不等式组，求出a的取值范围即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接交于点，根据菱形的性质，利用勾股定理求出长，即可得到长，利用菱形的面积公式计算解答.
9．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线有两交点A，B，
设点
∴
∴
∴，
∴
∴
解得．
故答案为：D.
【分析】先联立抛物线与直线解析式得到，设点，根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据列方程求出m的值解答即可．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，则上下两个圆锥的底面半径均为，
圆锥的侧面积公式为（为母线长），
∴上下两个圆锥的侧面积之比为，
，
∴，即为直角三角形，
在中，，，
∴由勾股定理得：，
上下两个圆锥的侧面积之比为．
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出OC长，然后利用圆锥侧面积公式计算，求出比值解答即可．
11．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系；切线的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：圆心 ，
∴圆心到轴，轴的距离为
∵与轴，轴均相切，
的半径，
设圆上任意一点坐标为，
由半径得，
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程，
当图象与有公共点时，
联立与，
得： ，
整理得：，
关于 的一元二次方程有实数根，
，
整理得，.
令，
解得，
令，
∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围，
∵，抛物线开口方向向上，
不等式的解集为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，根据平面直角坐标系中两点间距离公式得到 ，再将代入根据直线和圆有交点得到 ，求出b的取值范围解答即可．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴在中，，
∵
∴
∴
∴
∴
解得，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
解得．
故答案为：D.
【分析】根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理设，则，求出，即可得到，在中利用勾股定理求出CD长，进而得到BD长，根据勾股定理求出AD长，列方程求出x的值，即可得到，然后根据平行得到，根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】提取公因式x，x2﹣2x=x（x﹣2）．
故答案是x（x﹣2）．
【分析】提公因式法分解因式．
14．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴
∵，
∴．
故答案为：40°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到的度数，然后根据三角形的外角解答即可．
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共种等可能的结果数，
其中选中一男一女的结果数为，
恰好选中一男一女的概率是．
故答案为：.
【分析】画树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可.．
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，
根据题意列方程组得
解得，.
因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元，
设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用，
计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用：
当时，，元；
当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，，剩余人需租艘小船，此时元；
当时，计算可得总费用均大于元.
因此租船费用的最小值为．
故答案为：.
【分析】设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元，根据“ 租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元 ”列方程组求出x和y的值，再设大船艘，小船艘，总费用为元，得到W关于m，n的关系式，逐一列举符合条件的m和n的值计算租船费用，比较解答即可．
17．【答案】且
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
整理得，
方程两边同乘得，
，
展开整理得，
解得，
分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为，
且，即且，
解得且.
故答案为：且.
【分析】先两边同时乘以(x-1)去分母化为整式方程，求出x的值，然后根据x为正数且x-1≠0求出m的取值范围解答即可.
18．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过点、分别作，，垂足为点，
∵矩形中，
∴，，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】过点、分别作，于点，根据矩形的性质和旋转的性质得到AB=CD=DF=6，然后根据三线合一得到CH=HF，然后根军正弦的定义和勾股定理求出HF和DF长，再根据△DCF的面积得到FG长，根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂、分母有理化和零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后去绝对值，合并同类二次根式解大即可；
（2）先运算括号内分式的减法，再将除法化为乘法，把分子、分母分解因式约分化简，再代入x的值计算．
20．【答案】（1）25；20；126
（2）解：由（1）得，则频数分布直方图如图，
（3）解：周末阅读时长达到30分钟所占百分比为，
（人）
答：若全校有学生1800人，请估计周末阅读时长达到30分钟的人数约有1260人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
第4组所占百分比为：，则，
第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为：；
故答案为：25；20；126；
【分析】（1）用考查人数乘以第2组的占比求a，运用第4组的人数除以考查人数乘以100%求出m，利用乘以第3组人所占比求出圆心角即可；
（2）根据（1）中计算出的a的值，不全频数直方图即可；
（3）用全校学生数乘以样本中周末阅读时长达到30分钟的占比解答即可．
21．【答案】（1）解：设乙笔记本的单价为元，则甲笔记本的单价为元，
根据题意，得
方程两边同乘，得
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解，且符合题意，
则
答：甲笔记本单价为15元，乙笔记本单价为12元；
（2）解：设购买乙笔记本本，则购买甲笔记本本，
根据题意，得
解得
因为为非负整数，
所以可取7，8，9，10，共4种取值，即共有4种购买方案.
设总费用为元，则
因为，
所以随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，
答：共有4种购买方案，购买甲笔记本10本，乙笔记本10本时总的花费最少．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设乙笔记本的单价为元， 根据“ 甲笔记本单价是乙笔记本单价的1.25倍，当两种笔记本的销售额均为600元时，甲笔记本的销售量比乙笔记本少10个 ”列分式方程，求出x的值并检验解答即可；
（2） 设购买乙笔记本本 ，根据“ 购买这两种笔记本共.20 本，且购买乙笔记本的费用不超过120元，总费用不超过280元 ”列不等式组求出m的取值范围，即可根据整数m的值得到方案，然后列出W关于m的函数解析式，根据增减性求出最小值解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）根据正方形的性质，利用ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（）先利用勾股定理求出AC长，利用正方形的性质可得，根据对应边成比例求出AE长，然后根据勾股定理求出DE长，即可得到，根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
23．【答案】（1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，
设，
，
，
，
在第一象限，
，
，
，
；
（2）解：过点作轴于 ，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，即，
在上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
令 ，得
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）设，根据两点间距离公式列方程求出的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）过分别作轴的垂线，根据平行线可得，根据对应边成比例得到，即可得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
24．【答案】（1）解：过圆心作于，于，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形，， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，，
∵、，
∴．
（2）解：过圆心作于，于，连接，，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（）得，矩形是正方形，
∴，
在中，，
∴直径，
在中，， ，
∴，
即 ；
（3）解：由（）得，
建立坐标系：设 ，，，，，，
设直线得解析式，代入点，，
得，
解得，
∴直线方程：，
即：直线方程：，
同理：代入点、，直线方程：，
联立方程直线、，得，
解得，
∴交点，
由两点间距离公式：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（）过点作于，于，根据垂径定理可得AN和CH的长 ，然后根据HL得到，即可得到，即可得到矩形为正方形，进而得到；再根据线段的和差解答即可；
（）连接，，由圆周角定理的推论可得，，然后根据余弦的定义求出CF=AF=1，然后求出的值，在中根据勾股定理求出半径长，再在中，根据余弦的定义解答即可；
（）以F点为原点建立平面直角坐标系，分别求出直线和直线的解析式，联立两直线解析式求出交点的坐标，根据两点间距离公式计算BG长即可.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴代入两点坐标得方程组：，
解得 ，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线解析式；
令，得，
即：抛物线与轴交点，
在中，，，
由勾股定理得，
过点M作MN⊥AC于点N，则∠ANM=∠AOM=90°，
∵平分，
则MN=OM，
设OM=MN=a，则MC=4-a，
又∵AM=AM，
∴Rt△AMN≌Rt△AMO，
∴AN=AO=3，
∴CN=2，
在Rt△CMN中，MN2+CN2=CM2，
即a2+22=(4-a)2，
解得a=，
即，
设直线解析式为，
代入、得：，
联立直线与抛物线方程：，
整理得：，
解得：（对应点，舍去）， ，代入直线得 ，
∴点坐标为：；
（3）解：由（2）得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴在直线上，点到直线的距离为定值：，
即：中，边上的高为，
在中，在轴上，边上的高为，
∵，
∴，，即
由 ，，得，，
设，由得：，
整理解得 或，
① 当时，，
，，，计算得；
② 当时，，
，， ，计算得；
因此坐标为： 或 ．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；角平分线的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（）先求出抛物线与y轴的交点，然后根据勾股定理求出AC的长，根据角平分线的性质可得MN=OM，然后根据勾股定理求出OM的值，即可得到点M的坐标，求出直线AD的解析式，然后联立二次函数的解析式求出交点D的坐标即可；
（）得到点M到AC的距离为，设，然后根据相似三角形的对应边成比例求出EF和EM的长，根据两点间距离公式求出x的值，然后分别求出点E和F的坐标即可．
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