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西 城 区 高 三 模 拟 测 试 试 卷
数 学 2026.5
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数满足，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为
（A） （B）
（C） （D）
（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，为终边上一点，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知函数在上单调递增，设，则函数是
（A）奇函数，且在上单调递增 （B）偶函数，且在上单调递增
（C）奇函数，且在上单调递减 （D）偶函数，且在上单调递减
（6）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（7）设函数，若不等式的解集为，则
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知正方体和平面，则“正方体的个顶点中存在个到平面的距离相等”是“平面将正方体分成体积相等的两部分”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）某工厂年的年产值为，这一年工厂制定年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为，以期年的年产值达到年的倍. 实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期. 已知年的工厂年产值恰好达到规划中年的既定目标，如果从年起未来年（含年）的年平均增长率与前年实际年平均增长率相同，那么年工厂的年产值为
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知无穷数列的各项均为正数，且对任意的正整数，总存在正整数，满足，则
（A）可能为常数列 （B）可能为等差数列
（C）不可能为等比数列 （D）可能为递减数列
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在中，若，，，则最大内角的余弦值为______.
（12）在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
（13）已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为______．
（14）设函数 集合，其中. 若集合中共有个元素，则的取值范围是______；若集合中共有个元素，则这个元素乘积的最小值为______.
（15）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”. 曲线是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
① 若为曲线上一点，则，；
② 曲线上两点间距离的最大值为；
③ 曲线所围成的区域的面积小于；
④ 过原点的直线与曲线最多有个公共点.
其中，所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在三棱锥中，平面，，，直线与底面所成角的大小为．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定．当时，求函数的最大值和最小值．
条件① ：；
条件② ：函数在上单调递减；
条件③ ：函数为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市年到年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下：
假设各年的参观情况互不影响.
（Ⅰ）在年到年这年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率；
（Ⅱ）从年至年这年中任选年，再从年至年这年中任选年，记选出的年中该市年参观文博馆总人次超过万的年数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记年至年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与交于两点，过点作垂直直线于点，记和的面积分别为和，求证：.
（20）（本小题15分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）对于，讨论与的大小；
（Ⅲ）当时，证明：方程存在两个根，且.
（21）（本小题15分）
给定正整数，记集合
或，且.
对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质.
（Ⅰ）在的子集中，写出一个具有性质的三元子集；（结论不要求证明）
（Ⅱ）证明：在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集；
（Ⅲ）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质的三元子集？说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
西 城 区 高 三 模 拟 测 试 试 卷
数学答案及评分参考 2026.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）D （ 2 ）B （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）C
（ 6 ）B （ 7 ）C （ 8 ）D （ 9 ）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13）（答案不唯一） （14）
（15）① ③ ④
注：（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题全部选对得5分，有两个选对且无错选得4分，有一个选对且无错选得3分，其他得0分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为平面，
所以，，为在平面内的射影，
所以直线与底面所成角为,即. ……………… 2分
在中，由，，得．
在中，又因为，，
所以，即． ……………… 4分
又因为，，
所以平面． ……………… 6分
（Ⅱ）在平面内，过作. 由（Ⅰ）得两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． …………… 8分
设平面的法向量为，
则 即
令，则．于是．
设平面的法向量为，
则 即
令，则．于是． ……………… 12分
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为. ……………… 14分
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为
， ……………… 4分
所以的最小正周期. ……………… 6分
（Ⅱ）选择条件① ：
由，得，
所以，即.
结合，得，即. ……………… 9分
由，得.
结合函数在上单调递增，在上单调递减，
得当，即时，；
当，即时，. ……………… 13分
选择条件③ ：
由为偶函数，得或，
即，结合，得.
故. ……………… 9分
以下解答过程与选择条件①相同，略.
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件“这一年与其前一年相比，该市未成年人参观次数出现增长”为，
由图可知，在年到年这年中，有年的未成年人参观次数比上一年的
未成年人参观次数出现增长，故. ……………… 4分
（Ⅱ）由题意，的取值集合为， ……………… 5分
由图知：在年至年这年中，只有年和年这年的参观总人次超过万；在余下的年中，只有年和年这年的参观总人次超过万，
所以； ；
； .
故变量的分布列为：
……………… 8分
所以. ……………… 10分
（Ⅲ）. ……………… 13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，得，且，， ……………… 3分
解得，.
所以椭圆的方程为. ……………… 5分
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，故设. ……………… 6分
设，，
由 得，
故，即（由题意）.
且 ……………… 9分
由和轴，得，
所以直线的方程为，即.
点到直线的距离.
点到直线的距离. ……………… 12分
因为
,
所以. ……………… 14分
又因为，，
所以. ……………… 15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意，，则. ……………… 2分
所以，.
所以曲线在点处的切线方程为. ……………… 4分
（Ⅱ）设，， ……………… 5分
则.
当时，由，，得；
当时，由，，得，
所以当时，（当且仅当时取等号），
即在上单调递增. ……………… 7分
由，得当时，，即；
同理，得当时，.
综上，当时，；当时，；当时，. ……………… 9分
（Ⅲ）求导，得.
令，解得.
当变化时，与的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘
所以函数在上单调递增，在上单调递减. ……………… 11分
下面证明结论：当时，.（）
设，，则.故在单调递增.
所以当时，，即.
因为，，（利用结论（））.
所以，使得. ……………… 13分
由（Ⅱ），知当时，.
所以，即.
又因为，函数在上单调递增，
所以，即. ……………… 15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）答案不唯一. 如. ……………… 3分
（Ⅱ）由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集.
……………… 5分
将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于；同理，所有第二个分量、第三个的分量、……的和均等于. ……………… 7分
假设能选出个符合题意的三元子集，
由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素，且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数.
故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为.
这与矛盾.
所以在的子集中，不可能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.
……………… 9分
（Ⅲ）记，其中为偶数.不妨设时有意义.
当时，的三元子集只有一个，且具有性质.……10分
所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.
记中具有性质的三元子集为.
当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集.
因为的子集，
，，
和
为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共个），
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集. ……………… 12分
设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个，
同理，得中有元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集，
且对于，可以构造出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集，即
，
,
,
.
又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集，
所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集.
以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集. ……………… 15分
2
西城区高三模拟测试试卷 数学2026.5 第 2 页（共14页）

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